2025-2026学年吉林省长春市汽开区九年级（上）期末数学试卷（含答案）

2025-2026学年吉林省长春市汽开区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题绐出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.在平面直角坐标系中，抛物线）=2x2的开口方向是（）

A.向上B.向下C.向左D.向右

2.已知是。。的弦，若。。的半径为4a〃,则弦力8的长不可能为（）

A.2cmB.4cniC.8cmD.\2cm

3.若关于x的一元二次方程片0有两个相等的实数根，则〃?的值为（）

A.-4B.4C.-2D.2

4.把二次函数尸94什3化成产。（X-/?）2+k的形式是（）

A.y=（x-2）2-\B.尸G+2）2-1C.y=（x-2）2+7D.产（x+2）2+7

5.人行天桥的示意图如图所示，若斜道力。长为30米，乙4=a,则高8c的长为（）

AB

:川;|||

A.30sina米B.3（）cos（x米C.―一米D.米

6.如图，在。。中，病'=病，点。在。。上，乙CDB=25：则乙408=（）

A.45°

B.50°

C.55°

D.60°

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B.3.5

C.7

D.8

二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

9.已知关于x的一元二次方程炉+叶片0的一个根是2,则c的值为一.

10.铁路道口的栏杆如图所示，。为栏杆的支点，/。=2米，CO10米.若栏杆左端下降的垂直距离力8为0.8

米，则栏杆右端上升的垂直距离CO为一米.

11.如图，若干全等正五边形排成环状.图中所示的是前3个正五边形，要完成这一圆

环还需个正五边形？

12.已知正方形的边长为5,当边长增加x时，其面积增加乂那么），与x之间的函数关系式是_.

13.已知二次函数产炉-4.什〃？（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1,0）,则关于x的一元二次方程

的两个实数根是______.

14.如图，在正方形力中，尸是边4c上的动点，E在△力4尸的外接圆匕且位于A__p

正方形48CQ的内部，病—前，分别连结£4、EP、BE、DE,过点E作跖18C（\

于点产.给出下面四个结论：①EA=EP；@ZEJP=45°；③DE=PF；④当点尸是4c的\

中点时，若DE-4,则。C-、、用.上述结论中，正确结论的序号有—.

三、解答题：本题共10小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.（本小题6分）

求值：sin300+tan450+tan60°•cos30°.

16.（本小题6分）

今年寒假，老师布置了两个实践任务：4制作“冰雪+体育”手抄报；8.制作“冰雪+非遗”手抄报，并让学

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生们随机抽取两个任务中的一个进行组队.用画树状图（或列表）的方法，求小冰和小雪这两位同学都抽到

任务B的概率.

17.（本小题6分）

通过广州国际汽车展览会调研，某汽车公司计划加大“油电混”汽车的生产量.该公司计划这种“油电混”

汽车的月生产量由明年一月份的4000辆增加到三月份的4840辆.求该“油电混”汽车这两个月生产量的平

均月增长率.

18.体小题7分）

在平面直角坐标系中，抛物线尸#+6x+c与y轴的交点坐标为（0,-3）,抛物线的对称轴为直线x=-l.

（I）求该抛物线对应的函数表达式；

（2）该抛物线的顶点坐标为；

（3）当yVO时，直接写出工的取值范围.

19.（本小题7分）

作图并填空：

（I）在图中，利用尺规作图，作出已知。。的内接正六边形；

（不写作法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑）

（2）若已知。。的半径为2,则这个内接正六边形的面积为.

20.（本小题7分）

如图，在Q△44c中，4C=90°,。是边4〃上一点，以点。为圆心、08长为半径作。O,。。与力。相切

于点。，连结4。.

（1）求证：UBXBD；

（2）若08=2,:,则8c的长为____.

*I

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D

AB

21.（本小题8分）

某物理兴趣小组对一款饮水机的工作电路展开研究，将变阻器R的滑片从一端滑到另一端，绘制出变阻器R

消耗的电功率P随电流/变化关系的图象如图所示，该图象是经过原点的•条抛物线的•部分.结合图象信

息，解答下列问题.

（1）求P与/之间的函数关系式：

（2）当2.54时,求尸的值;

（3）当/=4时，P取得最大值为W.

22.（本小题9分）

如图，在^力台。中，乙4c8=90°,BC=6,4C=8.点。是边的中点，动点尸在边48上且与点。不重合,

作射线尸。，使乙。〃。=45°,交边4C或边8C于点0.

（1）tanJ=_____,4。的长为______；

（2）当/10=3时，求△4P0的面积：

（3）连结。0,若DQL4B,直接写出尸的长.

23.（本小题10分）

数学活动：探究相似扇形.

提示：在本活动中涉及的扇形都用三个大写字母表示，第一个和第三个字母为弧的两个端点，第二个字母

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为圆心.例如圆心为0,弧的端点为小8的扇形，记作扇形408.

【定义】圆心角相等的两个扇形称为相似扇形，其半径的比叫做相似比.

【性质探索】可以类比相似三角形的性质，得到相似扇形的性质如下：

关于弧长：两个相似扇形的相似匕为女,则弧长之比为______；

关于面积：两个相似扇形的相似匕为女,则面积之比为.

【判定探索】根据定义，探索相似扇形的判定，得到如下结论：

半径和弧长对应成比例的两个扇形是相似扇形.

/一〜

为说明这一结论正确，分析如下：如图①，已知扇形408与扇形力‘O'B',察-丝哒，设

"G的长

LAOB=n,乙TO'B'=m；只要说明〃=见即可判断扇形水加与扇形TO'B1是相似扇形.

请你结合以上思路，写出完整的推理过程.

【拓展应用】如图②，已知扇形84。，点尸是半径48上的一点，扇形4cp与扇形8力。相似，FI.点。在半

径,4C的垂直平分线上.若病的长为a,则病的长为（用含。的代数式表示）.

BKD

24.（本小题12分）

在平面直角坐标系中，点0是坐标原点，抛物线y=/+bx-3（〃是常数）经过点4（3,0）,点8在该抛物

线上，其横坐标为〃？（加工0）,过点8作8C||x轴，点。的横坐标为-2丸

（1）求该抛物线对应的函数表达式和顶点坐标；

（2）当点。在抛物线上时，求。的坐标；

（3）作点C关于坐标原点O的对称点。，连结A。、CD.

①点。的坐标为（用含血的代数式表示）；

②当点8在y轴右侧时，若此抛物线在△8C。内部的点的纵坐标y随x的增大而减小时，则，〃的取值范围

为：

③当抛物线的顶点落在△8。边上时，直接写出巾的值.

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1.【答案】A

2.【答案】。

3.【答案】C

4.【答案】A

5.【答案】A

6.【答案】B

7.【答案】C

8.【答案】B

9.【答案】-6

10.【答案】4

II.【答案】7

12.【答案】x2+10x

13.【答案】为=1,必=3

14.【答案】

15.【答案】3.

16.【答案】1.

I

17.【答案】10%.

18.【答案】尸必+2x-3(-1,-4)-3<x<l

19.【答案】如图，正六边形48CDM即为所求；£

20.【答案】连接。力,

•MC为