2025-2026学年高一数学下学期期中模拟卷02（人教A版范围：必修第二册第六章~第八章第三节）解析版

高一数学下学期期中模拟卷02(人教A版)

全解全析

第I卷(选择题)

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要

求的。

1.(5分)若复数2=罟(i为虚数单位)的共规及数为落则团=()

A.V5B.V6C.3D.V10

【答案】A

【解题思路】由更数除法、共挽复数的概念以及模的计算公式即可求解.

【解答过程】因为z=皆工篙)；二：)=管=一1+2L所以万=一1一2。回=6"=而.

故选:A.

2.(5分)已知向量G=(1,2),b=(2,0),c=(0,1)»若//(』+>),则:=()

A.——B.-C.4D.2

【答案】C

【解题思路】本题可先求出5+祀的坐标，再根据两向量平行的坐标关系列出方程，进而求解而勺值.

【解答过程】己知石=(2,0),2=(0,1),

可得了+祀=(2,0)+(04)=(21).

己知益=(1,2),且2〃(」+说,所以1x4-2x2=0,

即4一4=0,解得义=4.

故选：C.

3.(5分)己知圆锥的底面积为ir,它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的母线长为()

A.273B.V6C.1D.2

【答案】D

【解题思路】先由底面面积求出底面半径，然后由底面周长等于侧面展开图的弧长列方程可求出母线长.

【解答过程】设圆锥的底面半径为r,母线长为I,

因为圆锥的底面枳为n，所以n*=K,得r=1,

因为圆锥的侧面展开图是一个半圆，

1/15

所以记=2nr=2IT,得Z=2,

故选：D.

4.（5分）已知匆:数Zi=l-2i是关于x的方程X2+px+q=。（p,qER）的一个根，则z?=p+qi在复平

面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【解题思路】根据复数的乘法、加法运算化简复数，结合复数相等列方程组得p,q的值，确定复数Z2,由复

数的几何意义确定象限即可.

【解答过程】由题知（1-2i）2+p（l-2i）+q=0,

整理得（p+q-3）—（2p+4）i=0,即解得已:音

所以Z2=p+qi=-2+5i在复平面内的对应点为（-2,5）.位于第二象限.

故选：B.

5.（5分）在△ABC中，若岩=5，则△48C的形状是（）

A.等腰直角三角形B.直角三角形

C.等腰或直角三角形D.等边三角形

【答案】C

【解题思路】用正、余弦定理进行边角互化解题即可.

【解答过程】解：.•・黑=?，可得acos/1=ccosC,

由余弦定理可得a•归萨=C-W萨，整理可得：b2（a2—c2）=（a2—c2）（a2+c2）,即（M一^）

（a2+c2—b2）=0,

所以次—c2=0或小+c2—b2=0,即a=c或M+c2=b2

・•・△48。的形状是等腰或直角三角形.

故选：C.

6.（5分）如图为一个正方体力BCD-ABiCiDi与一个半球01构成的组合体，半球01的底面圆与正方体的

上底面力出1%%的四边相切，球心01与正方形力IBICIDI的中心重合，将此组合体重新置于一个球。中（球

。未画出），使正方体的卜.底面4BCO的顶点均落在球。的表面上，半球。1与球。内切，设切点为P,若球。

的体积为*r，则四棱锥P—A8CD的内切球的表面积为（）

2/15

A.(44+8V10)nB.(44-8\/10)TT

C.(52+8V22)TTD.(52-8x/22)n

【答案】B

【解题思路】根据给定条件，利用球的体积公式求出球。半径，再结合几何体的结构特征求出正方体棱长,

利用等积法求出内切球半径即可得解.

【解答过程】令球。的半径为R,由球。的体积为哈T,得泰/?3=*，解得R=*

记A5C0对角线交点为。2,由对称性得夕,。1。。2位于一条直线上，设正方体棱长为。，

在Q/OzP中，OOi=PO-POi=2—1OO2=O1O2-O1O=a-(y-^)=y-y,

L222

2

在RtZlAOzO中,AOl+00l=A0f则(苧a)+(y-y)=(y)，解得a=6,

22

+p。

在4。2P中，AP2=AO22(3V2)+92=99,解得/P=3g,

四棱锥P—48C0是一个底面边长为6,高为9,侧棱长为3al的正四棱锥，斜而

四棱锥P-48C0的表面积S=46・3V10+62=36(710+1),

设四棱锥P-力BCD的内切球半径为八则V=1Sr=^SABCD•P(h，

即36(V15+l)r=62•9,解得r=V1U-l,则MN=-=(44-85/TU)n,

所以四棱锥P-4BCD的内切球的表面积为(44-8V10)n.

故选：B.

3/15

G

7.(5分)已知四边形ABC。中，力。18。,48=8。=工"=2,4；=。/)=2旧，点£>在四边形48。。的四条

边上运动，则丽•丽的最小值是()

A.4B.0D.-4

【答案】C

【解题思路】由题意分析可知四线性4BC。关于直线80对称，且8C_LCD,只需考虑点E在边8&CD上的运

动恃况即可，然后分类讨论求出丽•丽的最小值.

【解答过程】如图所示，因为4CJ_80,且48=8。，所以B。垂直且平分4C,

则△力C0为等腰三角形，又AC=8=20,所以△/CO为等边三角形.

则四边形48CD关于直线BD对称，故点E在四边形ABCD的四条边上运动时，只需考虑点E在边8C,CD上的运

动恃况即可,

因为AB=BC=与=2,易知|8。2+。。2=8。2,即BC1C。，则方•而=0,

①当点E在边BC上运动时，设丽=&曲0<A<1),

则丽=丽+丽=而+而一而=("1)CB+CD,

所以而•前二a而以一1)而+而]=a而Ya-i)丽=4久/1一1),当a=2时，丽•丽的最小值为一1；

②当点E在边CD上运动时，设丽=kCD(O<k<l),

则丽=前十而=前十而一而=(k-1)CD+CB,

所以丽.~ED=[(k-1)CD+CB]kCD=(k-1)而"kCD=12k(k-1),当A=时，丽•丽的最小值为一3；

4/15

AD

B

综上，丽丽的最小值为-3,

故选：C.

8.（5分）在△/4C中，角力，E,C所对的边分别为4,b,C,若sinA+si：8+sinC=与号，边4c上一点。

满足4D=1,b-BD=c-CD,则4c+b的最小值为（）

A.5+^2B.7C.9D.5+272

【答案】C

【解题思路】先由余弦定理和正弦定理结合题设可得4=与，由人80=c-C0可得40为角4的平分线，再

利用等面积法S38C=S△n8。+S△〃力可得3+：=1，进而利用基本不等式求解即可.

【解答过程】由际』=寺

根据正弦定理得，品二手

则(b+c)2—a2=be,即Z?2+c2—a2=—be,

所以cos4=七：丁2=-1

又｛W(0,n),所以4=勺

因为即3=黑，故4。为角A的平分线，且力。=1,

由S38C=S&ABD+S&4C0，贝戏besi喏=1c-i4D-sin|+^b-AD-sinp

故七+c=be,即;+2=1,

DC

所以4c+匕=(4c+b)Q+3=5+左+”5+2=

当且仅当,即b=2c=3时等号成立，

DC

则4c+b的最小值为9.

故选:C.

5/15

BDC

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的

要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分。

9.（6分）设药，豆是平面内的一组基底向量，则下列四组向量中，不能作为基底的是（）

A.万+瓦和万一3*B.无+2变和轲+无

C.3万一4万和6万一8*D.瓦+6雨和瓦+变

【答案】BC

【解题思路】根据向量是否共线，即可结合选项逐一求解.

【解答过程】对于A,假设（药+药）||（无一3专），则使得无+药=久而一3*）=/1无-3/1互，

因为药，英不共线得a=1且1=一3九则;I无解，

故可+运，击一352不共线可作为一组基底：

对于B,因为n+2*=2@药+药），所以（可+2无）11Q药+遂），不能作为基底；

对于C,因为3万-4五=*6万—8a），所以（3万一4灵）II（6五一8五），不能作为基底：

对于D,假设（方+6支）11（n+石），则m/lWR使得无+6药=4（n+逵）=4瓦+/1匹，则因为瓦，而不共线得

A=1且4=6,则/I无解，故药+6药和无+无不共线可作为一组基底.

故选:BC.

10.（6分）“阿基米德多面体”又称“半正多面体”，与正多面体类似，它们也都是凸多面体，每个面都是正

多边形，并且所有棱长也都相等，但不同之处在于阿基米德多面体的每个面的形状不全相同.有几种阿基

米德多面体可由正多面体进行“截角”得到，如图，正八面体E—ABC。一F的棱长为3,取各条棱的三等分点,

截去六个角后得到一种阿基米德多面体，则该阿基米德多面体（）

6/15

A.共有18个顶

B.共有36条棱

C.表面积为6+8百

D.与正八面体E-48。。-F的体积之比为8:9

【答案】BD

【解题思路】根据正八面体的几何性质，结合题意，利用正方形与正六边形的面积公式以及正四棱锥的体

积公式，可得答案.

【解答过程】由图可知该多面体有24个顶点，36条棱，故A错误，B正确；

该多面体的棱长为1,且表面由6个正方形和8个正六边形组成，

故该多面体的表面积为6xl+8x6x|xlxlxsin60°=6+1273,故C错误；

正八面体E—ABCD一户可分为两个全等的正四棱锥，其棱长为3,

过E作E01平面A8C0于。，连接如下图：

因为E01平面4BCC,且04u平面ABCD,所以E0104

正方形中，由边长为3,则对角线长为3企，则。4=乎，

在RtZXAOE中，0E=（力。2一］。2=乎,则EF=2OE=3&,

正八面体E-ABCD-F的体积为:x32x3V2=9&，

切割掉6个棱长均为1的正四棱锥，减少的体积为6xgxl2x孚=企，

所以该阿基米德多面体的体积为9日一遮=8V2,

所以该阿基米德多面体的体积与正八面体E-ABCD-"的体积之比为8:9,故D正确.

故选:BD.

11.（6分）已知锐角△48C三个内角4B,C的对应边分别为a,b,c,月=*c=2,则下列结论正

确的是（）

A.乙。的取侑范围为0$）B.△48C外接圆半径的范围为（1,竽）

7/15

C.△AB。的面积最小值为hD.△48C的周长范围为（遍+326+2）

【答案】ABD

【解题思路】对A：根据三角形是锐角三角形，则每个角均为锐角，列出不等式组，求解即可：对B：根据

正弦定理可得：氏=白，结合。的范围，求得函数值域，即可求得R范围；对C：根据正弦定理，求得三角

形面积关于C的函数，也即S=Jx$7+等,再求该函数值域，却可求得面积的范围；对D：求得三角形周

/lallU乙

长关于C的函数，也即，=2+百+自，再求该函数值域，即可求得周长范围.

fO<zC<0<<；

【解答过程】对A:因为△ABC为锐角三角形，故可得：也即c/5n,解得

u<Z./1<770<-7T—ZC<-

2,62

Z-CG&,］），故A正确；

对B：设△力BC外接圆半径为R,由正弦定理可得：2/?=就=去，也即R=熹，

由A可知:ZCG（或妙故sink（冬1）,故H€（l,争,故B正确；

对c：由正弦定理就=熹=高，也即刖膜-C）=竟=高可得:。="空空，

.nz'AAiTK?4：itc'1'r>1、，r、，2sin仁”一。）、，1sine7T-C）1cosC+空sinC1、，1、M

故的面枳S=产csmB=5x2x'x石=三1Z=—=7x—+T，

由A可知：Z.CG信6），故tanC6（国,+8）,故展工€（。寺）,故SE（冬冬泠，S没有最小值，故C错误；

对D:由C可知：Q=2s1n"=）,b_三十=熹，

sinCsinCs】nC

设△力8c的周长为［，则Z=Q+b+c=2+2sin（D+-i-=2+8sinc+：sc+l=2+^+当1

smCsmcsmcsinC

也即l=2+百+2；；£；=2+百+六,由A可知：CWg，9,故如职），则ta畤6（苧,1）,

则总£（1,百），故，£（3+VI2+2百），故D正确；

故选：ABD.

第n卷（非选择题）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.（5分）已知复数Q+bi=i（l+i）（其中a,匕ER,i是虚数理位），则a+2b的值为.

【答案】1

【解题思路】根据题意，化简得到Q+bi=i（l+i）=-l+i,求得Q力的值，即可求解.

8/15

【解答过程】由复数a+历=i（l+i）=-1+i,可得a=-1力=1,所以a+2匕=1.

故答案为：1.

13.（5分）如图，在直三楂柱48C-&BiCi中，E是AB的三等分点（靠近点力），。是4公的中点，则三

棱锥。一々的£的体枳与三棱柱48C-4&C1的体积之比是.

B

【答案】2:9

【解题思路】根据DE=S矩形48fMi-S&4i8i。­S4ADE-S梃BB、，求得S^o/孙=gS△/L418l，再根据三棱

锥的换底性可得匕；1-71&81=^A-AiB^Cx-^ABC-AiBiCe由此可得答案.

【解答过程】DE=S矩形/I88M1一-S^ADE—S^EBBI，

五是4?的三等分点（靠近点力），。是4Al的中点，

1122

•*•S^AIBID=5s“AiBi，S^ADE=N444B1，S^EBB、=5s科犯=卢加必，

又：5男工形/1881/1]=2s△4/iiBi，

112

•*•S&B\DE=2s-5S3&81-茨/^44跖—尹少/访=必，

=X

•*•^Ci-DEBi=§VCL/148I=A-AxByCx3ABC-AyBxCx~81G.

•••三棱锥0—%C1E的体积与三棱柱力8。-4&的的体积之比为2:9.

故答案为：2:9.

14.（5分）在△48C中，点E、F满足而=，而，而=〃而（/1>0,">0）,点D满足丽=g瓦，G为4D的

Q1

中点，且E、尸、G三点共线，则:+==_________.

4r*

【答案】8

【解题思路】根据平面向量的线性运算和平面向量基本定理，使用基地表示出各向量，根据向量关系列出

参数的方程，求出参数关系.

【解答过程】因为丽=河，所以而=萍，则而一而=；（前一万），

9/15

所以，AD=^AB+

因为G为的中点，故而=^AD=弟而+:前)=翔+翔.

又因为E、F、G三点共线，则前〃而，

所以，存在m€R,使得说=m而，即万一族=m(而一荏)，

所以4G=(1—m)AE+mAF=(1—m)AAB+m(iAC,

又因为正!而，且前、无不共线，所以卜-7nMi=3

88mu=-

8

所以，号+卷=(l-m)+m=L故弓+(=8.

故答案为：8.

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。

15.(13分)己知狂数zi=a?+2ai(aeR),狂数z?在夏平面内对应的向量为a=(-1,2).

(1)若z1Z2为纯虚数，求Q的值；

(2)若z1i—Z2在复平面内对应的点在第四象限，求a的取值范围.

【答案】⑴-4

⑵(一役)

【解题思路】(1)根据条件，利用复数的几何意义得Z2=-l+2i,再利用复数的运算，得到

(2a2-2a*0,即可求解；

(2)利用复数的运算，结合条件有即可求解.

【解答过程】(1)因为复数Z2在更平面内对应的向量为万5=(-1,2),则Z2=-l+2i,

又21=a2+2ai,则z/2=(a2+2ai)(—1+2i)=—a2—4a+(2a2—2a)i,

由题有｛渡，2%；0°,解得。=一4，

所以a的值为-4.

(2)因为zd-Z2=(a2+2ai)i-(-1+2i)=1-2a+(a2-2)i,

由题有｛:二3%：,解得-迎va4

所以Q的取值范围为(一四,

16.(15分)已知向量H=(1,2),b=(2,-1),c=(m,2),mER.

10/15

(1)当(五+1)1Qd—刃)时,求实数a的值；

(2)当力/G+。时，求向量五与2的夹角的余弦值.

【答案】(i)i：

⑵-晋

【解题思路】(1)由垂直关系的向量坐标表示可解；

(2)由向量平行的坐标表示求出血，再代入向量央角公式可得.

【解答过程】(1)由题意可得五+6=(3,1)・五一加=(A,2A)-(2,-1)=(A-2,22+1),

因为G+励1(北一励，所以3(2-2)+(2/1+1)=0=/1=1.

(2)a+c=(1+TH,4),

因为0/(&+c).所以8+m4-1=0=>m=-9,

所以1=(-9,2),

所以cos^Q=品=京;=一普，

即问最d与而勺夹角的余弦值为一耳.

17.(15分)某工厂生产出一种机械零件，如图所示，零件的几何结构为圆台。1。2，在轴截面ABCD中,

AB=AD=BC=4cm,CD=2AB.

⑴求圆台。1。2的高;

(2)求圆台0。2轴截面的面积:

(3)若一只蚂蚁从点。沿着该圆台的侧面爬行到力。的中点，求所经过的最短路程.

【答案】(l)2V3cm；

(2)12每1哈

(3)10cm.

【解题思路】(1)作8E1CD交CD于E,利用勾股定理求解即可；

(2)利用梯形的面积公式求解；

(3)把空间图形展开为平面图形，先求出圆心角，再利用两点间的距离最短即可■求解.

【解答过程】(1)如图1,作BE_LCO交C。于巴

11/15

则0山2=BE=742-22=2vlem,则圆台的高为26cm.

(2)圆台的轴截面面枳为：1X(4+8)x2\/3=12V3cm2.

(3)把圆台补成圆锥可得大圆锥的母线长为8cm,底面半径为4cm,

圆锥侧面展开图的圆心角为。二等二h，

设的中点为P,连接CP(如图2),

图2

可得4C0P=^,0C=8cm,OP=44-2=6(cm),

则CP=V62+82=10cm,

所以沿着该圆台表面从点C到AD中点的最短距离为10cm.

18.(17分)在△4BC中，角4B,C的对边分别为Q,b,c,己知2c—b=2acosB.

(1)求角4

(2)若〃一十十。2一3。=0,且边BC的中线4。的长为季，求△ABC的面积；

(3)若△力BC是锐角三角形，求卑的范围.

【答案】(哨

(2殍

⑶(*2+V3)

【解题思路】(I)根据正弦定理边角互化，结合三角恒等变换可得cosA=T得解；

(2)根据余弦定理可得b=3,利用向量的中线公式及数量税的运算，可得|何|=2,再利用面积公式，即

12/15

可求解;

（3）根据正弦定理边角化以及三角恒等变换可得呼=^x谨再根据角的范围，结合三角函数的性

质即可求解.

【解答过程】（1）因为2c—b=2acosB,由正弦定理可得2sinC—sin8=2sin4cos8,

所以2sin（4+B）—sinF=2sinAcosB+2cosAs\nB—sinB=2s\nAcosB,

得到28sAsinB—sinB=0,即sin8（2cos/l-1）=0,

又B€（0,TT）,sinB0,所以cos4=；,

又因为AW（0E）,可得力=（

（2）因为从—+c2—3c=0,且Q=

J

所以由〃+c2—十=2bccos4,可得3c=2bccos4=%，解得力=3,

由题意而=；（而+而）,

两边平方,可得I祠2=X而2+而2+2通.砌=；（|词2+3|画+9）,

因为|而1=浮，所以I而『+3|西+9=19,解得|函=2或I砌二一5（舍），

则△4"的面积为S=^bcsinA弓x2x3x^二嘤

（/3.）、因3“为a丁+b二丁sin/41+sinS《in（c智）4•苧_六inf?4■竽苧

sinCsint?

0<C<?"/\

由题知,ov>c<?解得”（$>

因为tan逅=tan（1一个）=2—V3,

所以ta吟£（2—h,1）,可得涓p（1,2+国），

可得当x六+尔等',2+V3）,

所以警,2+怖）.

19.（17分）对任意两个非零向量而，亢，定义新运算：沆㊉元=嗤史，其中。为前与另的夹角.

⑴若非零向量获满足同=2|瓶口G㊉八冬求B㊉2的取值范围：

13/15

（2）若向量五=（t,4）,b=（2工），且五㊉b=1,求正数