高中数学必修第2册期末测试卷（解析版）

期末测试卷

（满分：150分;时间：120分钟）

一、单项选择题（本大题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出

的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.已知复数z=j3+i（i是虚数单位）,z的共粒复数记作Z则,二（）

A"B.%；

2222

百iV3i

C--~2D--T+i

【答案】A【解析】Z=叵=g—J故选A.

|z|222

2.水平放置的“BC的直观图如图所示，若的面积为

2或,则AB的长为（

A.V2B.2T17C.2D.8

【答案】B【解析】因为而G的面积为2企,

所以2&=11C1xMClxsin450=1x2xBlClx号解得

8G=4,所以5c=8,

易知AC_L8C,AC=4G=2,由勾股定理得声逅守=

V22+82=2g.故选B.

3.已知荏=(2,3),前二(3,/),荏•AC=n,^\\BC\=()

A.V2B.2C.3D.V3

【答案】A【解析】・・♦荏=(2,3),而二(3,/),.,•荏•前=6+3z=12,解得

22

t=2,：.AC=(3,2),：.JC=AC-AB=(1r1)rA|BC|=Jl+(-l)=V2.

4.天气预报说，在未来三天中,每天下雨的概率均为40%,用数字0,1,2,3

表示下雨，数字4,5,678,9表示不下雨，由计算机生成如下20组随机

数977,864,191,925,271,932,812,458,569,683,431,257,394,027,556,488,7

30,113,537,908.

由此估计未来三天中至少有一天下雨的概率为()

A.0.6B.0.7C.0.75D.0.8

【答案】B【解析】代表未来三天都不下雨的随机数有

977,864,458,569,556,488,共6组，记“未来三天中至少有一天下雨”

为事件A,“未来三天都不下雨”为事件5则A与8为对立事件，所

以P(A)=1-P(3)=1-；=5=0.7.故选B.

5.我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有北乡算八千

七百五十八，西乡算七千二百三十六，南乡算八千三百五十六，凡三乡，

发役二百七十八人,欲以算数多少出之,问各几何？”意思是:北乡有8

758人,西乡有7236人,南乡有8356人,现要按人数多少从三乡共征

集378人，问从各乡征集多少人?在上述问题中，需从西乡征集的人数

是()

A.1O2B.U2C.13OD.136

【答案】B【解析】因为北乡有8758人,西乡有7236人,南乡有8

356人，现要按人数多少从三乡共征集378人，所以需从西乡征集的人

数是378x—————之112.

8758+7236+8356

6.设两个单位向量的夹角为则13a（）

A.lB.V13C.V37D.7

【答案】B【解析】・・,两个单位向量4b的夹角为N

3

・••同=1j61cos，——7

32

・・・|3力4〃2=94+16加+243"9+16+24乂（・；）=13,・・・|3升4〃=旧.故选

B.

7.在四面彳本A-BCD中，若A5=CO=8,AC=8O=2,40=30=75,贝IJ直线

A3与CO所成角的余弦值为（）

A.fB.-i

【答案】D【解析】因为四面体的对边分别相等，所以该四面体的顶

点为长方体的不相邻的四个顶点，如图所示，设长方体的长、宽、高分

别为a,b,c,

22

ra+6=5,（a=V3,

则｛Q2+C2=4,解得｛b=&,

U2+c2=3,tc=1.

连接。C交4B于点0,则0cliQC,所以NA0ZT（或其补角）是直线

4?与CO所成的角.

,,

易知AO=DO=-IAD=V2I

2

33

士人4cmHr-+--21

在△AO。HcosNAO。=--------=号后——-

ZxAOxD'O入旦虫3

22

所以直线AB与CD所成角的余弦值为;，故选D.

8.如图，某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为45。,沿倾斜角为

3（）。的斜坡前进若干米后到达D处,又测得山顶的仰角为75。,已知山

的高度BC为1千米,则该登山队从A到。前进了（）

A.近千米B.（V6-鱼）千米

C.1千米D.1.5千米

【答案】C【解析】如图，过。作。交8c于点£。凡LAC交

AC于点F,

B

由题意得N&4C=N45C=45o,NZMC=3（）o,N5DE=75。,则NR4O=15。,/

03E=15WJNA3O=3O。.

设AD=x千米，在MB。中,由正弦定理得即BD=2xs\n

sinzABDsinz.BAD

15。,

在△BED中,BE=BDcos15°=2xsin15°-cos150=xsin30°=\z

在“。尸中,QF=CE=xsin30。=%,因为BOI,所以3E+CE=x=l,即该登

2

山队从A到。前进了1千米，故选C.

二、多项选择题（本大题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出

的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的

得2分，有选错的得。分）

9.有5件产品，其中3件正品,2件次品，从中任取2件，则互斥的两个事

件是（）

A.至少有1件次品与至多有1件正品

B.至少有1件次品与2件都是正品

C.至少有1件次品与至少有1件正品

D.恰有1件次品与2件都是正品

【答案】BD【解析】在A中,至少有1件次品与至多有1件正品能

同时发生,不是互斥事件，故A错误;在B中,至少有1件次品与2件都

是正品是对立事件属于互斥事件，故B正确;在C中,至少有1件次品

与至少有1件正品能同时发生,不是互斥事件，故C错误;在D中，恰有

1件次品与2件都是正品不能同时发生，但能同时不发生，是互斥但不

对立的两个事件，故D正确.故选BD.

【解题模板】

对于互斥但不对立的两个事件的判断，解题时要认真审题，对试验的结

果进行适当划分，注意对立事件、互斥事件定义的合理运用.

10.已知甲运动员的投篮命中率是0.7,乙运动员的投篮命中率是0.8,

若甲、乙各投篮一次，则()

A.都命中的概率是().56

B.恰有一人命中的概率是0.42

C.恰有一人没命中的概率是0.38

D.至少有一人命中的概率是0.94

【答案】ACD【解析】对于A,都命中的概率为0.7x0.8=0.56,故A

正确；

对于B,恰有一人命中的概率是0.7x0.2+0.3x0.8=0.38,故B错误；

对于C,恰有一人没命中的概率是0.7x0.2+0.3x0.8=0.38,故C正确；

对于D,至少有一人命中的概率是1・0.3x0.2=0.94,故D正确.故选

ACD.

11.下列条件中能够判定M5c是钝角三角形的是()

A.〃=4/=5,c=6

BAB-BC=2b

c—.-c--b-=----si-n/-1--

a+bsinC+sinB

D.Z?2sin2C+c2sin2B=2/7ccosBcosC

【答案】BC【解析】对于人㈠+代布〉/所以必5c是锐角三角形,

错误；

对于B,AB•BC=-a(^osB=2瓦所以cos改0,所以"BC为钝角三角形，

正确；

对于X==上=/="2+〃+",所以©osC=」,所以C=N所以△

a+bsinC+sinfic+b23

A8C为钝角三角形，正确；

对于D,由/?2sin2C+c2sin2B=2/?ccosBcosC,得Z?2(l-cos2C)+c2(l-

cos2B)=2Z?ccosBcosC,整理得b2+c2=(bcosC+ccos8尸,即〃+/二屋，所

以“3C是直角三角形，错误.故选BC.

12.已知正方体4BCQ.45GO］的棱长为2,点。为AQ］的中点，若以

0为球心，遍为半径的球面与正方体ABCD-AiBiCiDi的棱有四个交

点£F,G,”,则下列结论正确的是()

A.AQ1II平面EFGH

BAC_L平面EFGH

C.A1B1与平面EFGH所成角的大小为45°

D.平面EFGH将正方体ABCD-451GA分成体积比为1：7的两部

分

【答案】ACD【解析】如图，连接04,。£

则OA=y/224-I2=后,

故球面与棱AAi^D^D^AD没有交点，

同理，球面与棱也没有交点.

因为棱4。与棱8C之间的距离为2V2>V6,

所以球面与棱3C没有交点.

所以球面与棱AB,CD,CCM相交,交点分别记为E,F,GtH.

在Rt^AOE电OAMQES,

所以4石=4。£*2・。取=1,

所以E为4?的中点，

同理,£G,”分别为CD,CG,BBi的中点，则EFDHG,

所以四边形EFGH为平行四边形.

因为A1。IIAQE尸IIAD,所以401WEF.

因为AQU平面EFGH,EFu平面EFGH,

所以49II平面EFGH,故A正确.

连接43,假设4cL平面EFGH,则A^C^GH,

又GUII8C,所以AC_L8C

因为3cL平面AA山山,43u平面AA\B\B,

所以5。，45,在“出。中，有两个角为90。,矛盾.

故假设不成立，故B错误.

连接A即因为BCJ_平面AA\B\B,EFWBC,

所以后尸，平面A4&8,所以EF上AiB.

在正方形AA山山^,AiB±ABh

因为£”分别为AB乃囱的中点，所以IIA即

所以£”_1_43.因为后开1£：”二£所以4山_1_平面EFGH.

因为48川48,所以4以与平面EFG"所成的角即为AB与平面

石FG"所成的角，

即为N3£”=45。,故C正确.

易知SABEF：SAABB］，

所以SA的亏S多边形AEH81”

所以VBEH-CFG♦以EH81A1-。尸GgOi=l.7,故D正确.故选ACD.

三、填空题（本大题共4小题,每小题5分，共20分.将答案填在题中横

线上）

13.某学校组织学生参加数学测试,成绩的频率分布直方图如下，数据

的分组依次是[20,40）,[40,60）,[60,80）,[80,100],则可估计这次数学测试

成绩的第40百分位数是.

频率

0.020.....................................

0.015..............................................

0.010..........................

0.005——------

020406080100成绩/分

【答案】65【解析】由题图得,成绩在[20,60）内的频率是

（0.005+0.010）x20=0.3,成绩在[20,80）内的频率为0.3+0.020x20=0.7,故

第40百分位数一定位于[60,80）内，

则这次数学测试成绩的第40百分位数为604-^x20=65.

0.4

14.已知向量3,。满足|4=3,|升〃=4,|d-〃=5,则向量d在向量6上的投

影为.

【答案】--【解析】..・|升〃=4,・・.，+加+2£尻16,

・.,|a〃=5,J孑+厅・2ad=25,

:・&2：.向量a在向量6上的投影为竺=

4\b\4

【解题模板】

研究向量3在向量6上的投影有两种方法:一是用定义lacos〃（0为向

量8与向量5的夹角），二是将定义式用夹角公式化为事求解.

15.若复数2+i为一元二次方程/+公+氏0（。力WR）的一个根,则复数

\a+bi\=.

【答案】V41【解析】因为2+i为一元二次方程/+办+公。的根，

所以(2+i)2+o(2+i)+/?=(),

所以(a+4)i+2a+Z?+3=0,又a,bGR,

故。+4=0,2。+/?+3=0,

解得a=-4,b=5.

贝ij|4+〃i|刁-4+5i|=\16+25=V41.

16.三棱锥P-ABC中，顶点P在底面ABC的射影为必5。的内心，三个

侧面的面积分别为12,16,2(),且底面面积为24,则该三棱锥P-ABC的

体积为，它的外接球的表面积为.

【答案】16丹詈【解析】因为P在底面ABC的射影是“BC的

内心，所以三棱锥P-ABC的斜高相等，设为-设三棱锥P-ABC的高为

九底面边长为。力,C(QV〃<C),则a.b•c=12：16:20=3:4:5①，则△

A5C为直角三角形，

所以5乂80=*=24②，由①②得。=6力=8,。=10,因为如2'=12,所以/?-4.

22

△ABC内切圆的半径片"二2,

a+b+c

则h=yjh'2-r2=2^3,

所以VS△ABC•h—16^3.

设三棱锥外接球的半径为ReABC的内心为凡斜边中点为G,则

“6二芯,球心。在过G且与PH平行的直线上，过。作ONIIGH,经计

算知N在PH的延长线上，所以PN-HN=PN-OG=2V3,EPV^5-

Vft^25=2百，所以R2=-,

3

所以外接球的表面积5=4兀汽=吧.

3

四、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过

程或演算步骤)

17.体小题满分10分)如图，在△045中，已知P为线段AB上一

点、丽=xOA+yOB.

⑴若前=而,求实数用)，的值；

(2)若前=3万,|a|二4,|赤|=2,且瓦?与砺的夹角为6()。,求加・南的

值.

【解析】（1）・・•丽=可，

A504-0?=P0+M

即2而=函+砺，（2分）

：.0P=-0A+-0B5Px=-y=-.（4分）

222f2f

（2）VBP=3PAf.\B0-l-OP=3P0+3对即40?=OB4-30A,（6

分）

：.0P=^OA+^OB,（8分）

：.0P-AB=（^OA+-0^4）

=-0B2--0A2+-0A-OB

442

=ix22--x42+-x4x2xi=-9.（10分）

4422

18.体小题满分12分）已知4,瓦c分别为必3。三个内角48,C的对

边，且a=V7,c=l,A=^.

⑴求〃及的面积S；

⑵若D为BC边上一点，且，求N4QB的正弦值.

从①4。二1,②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中，并

6

作答.

【解析】⑴•••。二夕1=1,4=9・・・由余弦定理得（夕尸=加+卜-

2bx1xcosg,整理得〃+/?-6=0,（3分）

解得b=2或匕=3（舍去）,

/.S=-bcsin/l=-x2xlx—=—.（6分）

2222

⑵选①，如图所示：

,2TT_

在MBC中，由正弦定理得工=4,，sin8二经王=—/（9分）

sinBBC7

在△48£>^；：AD=AB=\,

：.AADB=B,：.sinz4DB=sinB=—.（12分）

7

.2n_

选②，在△ABC中，由正弦定理得伫=与"'sin0=竺％=画，

sinCsin—BC14

易知。为锐角,，cosC=Vl-sin2C=;—,（9分）

14

.#•sinZADB=sin（C4--）=—sinC+-cosC=—x—+-x—=—.

\6/222142147

（12分）

19.体小题满分12分）6月17日是联合国确定的“世界防治荒漠化

和干旱日”，为增强全社会对防治荒漠化的认识与关注，聚焦联合国

2030可持续发展目标一一实现全球土地退化零增长.自2004年以来,

我国荒漠化和沙化状况呈现整体遏制、持续缩减、功能增强、成效

明显的良好态势.治理沙漠离不开优质的树苗，现从苗圃中随机地抽测

了200株树苗的高度（单位:cm）,得到以下频率分布直方图.

⑴求图中。的值及数据的众数、中位数；

⑵估计苗圃中树苗的平均高度；

⑶在样本中从205cm及以上的树苗中采用分层随机抽样的方法抽出

5株,再从这5株中抽出2株树苗，求其中含有215cm及以上树苗的

概率.

【解析】(1)由频率分布直方图中所有矩形的面积之和为1可得

(0.0015+0.011+0.0225+().()3+Q+0.()08+0.()02)X10=L解得。=0.025.(2

分)

众数为—二19().(4分)

设中位数为％因为(0.0015+0.011+0.0225)xl()=().35<().5,

(0.0015+0.011+0.0225+0.03)xl0=0.65>0.5,所以185v<195,

由0.35+0.03x(x-185)=0.5,解得下190.(6分)

(2)x=160x0.015+170x0.11+180x0.225+190x0.3+200x0.25+210x0.08+2

20x0.02=189.8(cm).

因此估计苗圃中树苗的平均高度为189.8cm.(8分)

⑶从［205,215)内抽取5x-^_=4(株)，分别设为外处。3,。4,从［215,225］

0.08+0.02

内抽取5x」^=l(株),设为，(10分)

0.08+0.02

从这5株树苗中抽出2株有

4|〃20。3必。4,。必,。2〃3,〃2〃4,〃24。3"4,〃3历44瓦共10种情况，其中含有215

cm及以上树苗的有4种，故所求概率P=^=(12分)

20.(本小题满分12分)如图，在棱长为2的正方体中，

已知点M在正方形ABGOi内部

⑴经过点M在平面AIBICIPI内作一条直线与CM垂直(说明作法及

理由);

⑵求直线CM与平面BDDB所成角的余弦值.

【解析】⑴当点M为4G,8。的交点时,8。为所求作的直线.（2

分）理由如下：

连接GM在正方体ABCD-Ai田G9中,CGJ■平面ABGOi,

又GM8SU平面43GQ1,所以CG_LGMCC8。］,

所以GM7cM2（弓=VX易知4G=2式,

则4G=4M+GM所以M为4G的中点.（4分）

因为四边形AIBICIDI为正方形，所以M为BQ的中点，

易知6iO_L/G,因为"GnCG=G,"G,CGu平面CMG,所以BQ

_L平面CMG,又CMu平面CMG,所以BiDi±CA/.（6分）

⑵由⑴知M故ME平面BOD山

连接AG设ACnBZAO,连接OM,易知OMu平面BDDB.

在正方体ABCQ-4BiGQi中，易知88」平面ABCD,

因为COu平面4BCQ,所以CO工BBi,

在正方形A8CO中，易知CO工BD,又BBCBD二平面

80。山］，所以CO_L平面8。。即所以CO.LOM.

所以NCMO为直线CM与平面BDDB所成的角.（9分）

在△COM中,8=/遥，所以sinzC/14（9=^=p

则coszCMO=y/l-sin2ACMO=-,

3

即直线与平面8。2所所成角的余弦值为生（12分）

21.（本小题满分12分）202（）年是我国5G网络建设的加速之年.截至

202（）年年底，中国已建成全球最大的5G网络.为了切实推动移动网络

质量提升，不断改善用户体验，中国信通院受工信部委托，定期在全国

范围内开展重点场所移动网络质量专项测汜其中一项测评内容是在

每座受测城市中任意挑选一条典型路段进行测评，以评估当地5G网

络发展水平，其中5座受测城市的5G综合下载速率（单位:Mbps）数据

如表：

城市路段5G嫁台下栽速率（单位:Mbps）

福州五四路708.92

广州大学城^卜心曲环817.13

哈尔滨红军街630.34

杭州环城东路882.60

成都二环高架916.02

⑴从这5座城市中随机选取2座城市进行分析，求选取的2座城市

5G综合下载速率都大于800Mbps的概率；

⑵甲、乙两家5G网络运营商分别从以上5座城市中随机选取1座

城市考察（甲、乙的选取互不影响），求甲、乙两家运营商中恰有一家

选取的城市5G综合下载速率大于800Mbps的概率.

【解析】(1)这5座城市中5G综合下载速率大于800Mbps的有3

座，设为4,4,4,

5G综合下载速率不大于800Mbps的有2座，设为员,民.(2分)

随机选取2座城市的所有可能为

(4,4),(44),(4,㈤,(4,助(4,4),(4㈤,(4,㈤,(4,3),(4良),

(员，㈤，共10个,

其中2座城市5G综合下载速率都大于800Mbps的有

(4/2),(44),(44),共3个.(4分)

设“选取的2座城市5G综合下载速率都大于800Mbps”为事件

M,

所以(6分)

(2)设“甲选取的城市5G综合下载速率大于800Mbps”为事件C

“乙选取的城市5G综合下载速率大于800Mbps”为事件D,

“甲、乙两家运营商中恰有一家选取的城市5G综合下载速率大于

800Mbps"为事件/V.

易得HC二8。三，(9分)

所以代2=巴而^^=巴而)+晦切

二a0氏方)+氏0h0=4(1-3+(1・汴：亭(12分)

22.（本小题满分12分）如图甲，在矩形"CD中方是CD的中

点,AB=2,BC=&，以AE,BE为折痕将MOE与△33折起，使D.C重合

（仍记为0,如图乙（以△28。所在平面为底面）.

（1）探索折叠形成的几何体中直线的几何性质并证明（写出一条即

可，不含DElDADElDB］；

（2）求翻折后几何体后/8。外接球的体积.

【解析】Q）性质1:O£_L平面ABD.（1分）

证明如下：

翻折前,。£LDA.CEA.8c翻折后垂直关系不变，则DEVDA,DElDB.

又。41。8二。所以。£1平面力8。（4分）

性质2:O£L/8.（1分）

证明如下：

与性质1证明方法用同，得到。工L平面ABD,又/8u平面所以

函_/8.（4分）

性质3:。£与平面ABD内任一直线都垂直.（1分）

证明如下:

与性质1证明方法用同，得到平面力6,从而。旧与平面ABD

内任一直线都垂直,（4分）

性质4:直线与平面/花所成的角等于（1分）

证明如下：

如图，取43的中点F,连接DF.EF,

不«

由DA=DB,得DFLAB,

与性质2证明方法相同，得DE±AB,DE±DF,

因为OECIO/二。所以平面因为4?u平面ABE,所以平面

。£凡1_平面48H

作DHA.EF于"，则Q〃_L平面ABE,所以NDEF即为直线DE与平面

ABE所成的角，

易知DE=1,EF=所以cosNDEF号;=京='所以NDEF三.（4分）

写出其中一条即可.

（2）角军法一:易知4力二片力=a//?=2,贝1]44=4。2+片加2,所以4/4/?。是等

腰直角三角形，如图，取48的中点P,连接DP,

h

p

则P是48力的外心，（6分）

设几何体E-ABD外接球的球心是。，则OPJ•平面ABD.（8分）

作OMLDE于M,则M是OE的中点，易得四边形OPDM是矩

形,OP=DM上,DP二AB=1,

22

何体E-ABD的夕卜接球半径R=70P2+PD2=/-+1=（10

V42

分）则外接球的体积V=-nR3=—a.（12分）

36

解法二:易知DA.DB.DE两两垂直,外接球就是以DA.DB.DE为相令3的

棱的长方体的外接球，（7分）

设外接球的半径为R,则（2/?）2=。屋+。中+。/=2+2+1=5,解得R#,

（10分）

故外接球的体积=吗.（12分）

36

综合测评

一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分在每小题给出的四个

选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知a=（l,-2）,b=（-2,M,若a_L（a+2b）,则实数m的值为（）

AtB.lC.lD.2

42

2.若|z・l|=|z+l|,则复数z在复平面内对应的点在（）

A.实轴上B.虚轴上

C.第一象限D.第二象限

3.如图，在三棱锥D-ABC中且分别是棱DC,AB

的中点，则E尸和4C所成的角等于（）

R

A.300B.45°

C.60°D.90°

4.已知平面向量方,而满足|可|二|而|=1,巨5•丽二-；.若|阮|=1,则|尼|

的最大值为（）

A.V2-1B.V3-1

C.V2+1D.V3+1

5.某射箭运动员进行射箭训练，射箭60次，统计结果如表：

环数012345678910

击中的次数0()12446101213S

则估计他击中的环数不小于8的概率为（）

A.0.46B.0.55

C.0.57D.0.63

6.甲、乙两人玩“石头、剪刀、布”游戏（石头赢剪刀，剪刀赢布,布赢石

头）,现两人同时随机出拳，则游戏只进行一回合就分出胜负的概率是

（）

A.-B.-C.-D.-

3236

7.国际上通用的茶叶分类法，是按发酵程度把茶叶分为不发酵茶（如:龙

井、碧螺春）和发酵茶（如:茉莉花茶、铁观音、乌龙茶、普洱茶）两大

类，现有6个完全相同的纸盒,里面分别装有龙井、碧螺春、茉莉花

茶、铁观音、乌龙茶和普洱茶,从中任取一盒，判断下列两个事件既是

互斥事件又是对立事件的是（）

A.“取出碧螺春”和“取出茉莉花茶”

B“取出不发酵茶”和“取出龙井”

C.“取出乌龙茶”和“取出铁观音”

D.“取出不发酵茶”和“取出发酵茶”

8.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正

四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面

三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比

值为（）

A.旦B.空

42

C.因D.旦

42

二、选择题:本题共4小题,每小题5分共20分.在每小题给出的选项

中,有多项符合题目要求全部选对的得5分,部分选对的得2分，有选

错的得0分.

9.设P是△ABC所在平面内的一点，肉+尼=3万，则（）

AJ1+丽=0B.而+&0

C.P1+荏=丽D.R4+而+PC=0

10.下列说法中，正确的是（）

A.概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值

B.做n次随机试验，事件发生m次,则事件发生的频率上n就是事件的概

率

C.频率是不能脱离〃次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依赖

于试验次数的理论值

D.任意事件A发生的概率P（A）总满足0<P（A）<]

11.下列说法正确的是（）

A.1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的第60百分位数是6

B.已知一组数据2,3,5工8的平均数为5,则这组数据的方差是5.2

C.用分层随机抽样时，个体数最多的层里的个体被抽到的概率最大

D.若闲泪,…㈤o的标准差为2,则3xi+l,3x2+1,...,3xio+l的标准差是6

12.如图，正方体ABCQ-A必CO的棱长为1,E是。。的中点，则

A.直线〃平面A山。

C.三棱锥Ci-BiCE的体积为1

3

D.异面直线BiC与BD所成的角为90°

三、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分.

13.复数z=l-i（其中i为虚数单位），则|z+3i|=

14.有下列数据：

1.53.25.25.65.67.18.79.2

10.011.213.213.713.814.515.215.716.518.819.2

23.9272728.928.933.133.834.8

40.641.650.1

这组数据的第70百分位数是.

15.在水流速度为4km/h的河流中，有一艘船沿与水流垂直的方向以8

km/h的速度(船在静水中的速度)航行，则船实际航行的速度的大小为一

km/h.

16.如图是某个闭合电路的一部分，每个元件的可靠性是:，则从A到B

这部分电路畅通的概率为_________.

A--B

四、解答题:本题共6小题，共7()分.解答应写出文字说明、证明过程

或演算步骤.

17.(10分)已知复数z满足z+4为纯虚数，且(为实数.若复数(z+疝了在

复平面上对应的点位于第四象限,求实数m而取值范围.

18.(12分)已知平面上点A(4,1)1(3,6)/(2,0),且近=AD.

⑴求I福；

⑵若点M的坐标为(14),用基底｛荏，而｝表示前.

19.(12分)为了了解学生参加体育活动的情况，学校对学生进行随机抽

样调查，其中一个问题是“你平均每天参加体育活动的时间是多少?”，

共有4个选项:A.L5小时以上,B.1~L5小时,C.0.5〜1小时,D.0.5小时

以下,图①②是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图，请你根据统

计图提供的信息，解答以下问题：

(1)本次一共调查了多少名学生？

(2)在图①中将B对应的部分补充完整.

⑶若该校有3000名学生，估计全校有多少名学生平均每天参加体育

活动的时间在0.5小时以下.

20.（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本

每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格

当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单

位:℃）有关.如果最高气温不低于25℃,需求量为500瓶;如果最高气

温位于区间［20,25）内，需求量为300瓶;如柒最高气温低于20℃,需求

量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的

最高气温数据，得下面的频数分布表：

国司

(10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)(35,40)

气温

天数216362574

以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.

（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；

（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为丫（单位:元），当六月份这种酸

奶一天的进货量为450瓶时，写出y的所有可能值，并估计y大于零的

概率.

21.（12分）在三棱锥P-ABC^,PA=PB=PC=AC=2V2,BA=BC=2,O是

线段AC的中点,M是线段8C的中点.

(1)求证:PO_L平面同BC;

(2)求直线PM与平面PBO所成角的正弦值.

22.(12分)如图,四边形ABCD是矩形,平面ABE,SL

AE=2®EB=BC=2.F为CE上一点，且B/，平面ACE.

(1)求三棱锥A-DBE的体积;

(2)求二面角D-BE-A的大小.

参考答案

综合测评

l.AVa=(l,-2),b=(-2,/n),.e.a-b=-2-277L5la±(a+2b),.\a-(a+2b)=a2+2a-b=5-4-4w=0,M

得，〃二•故选A.

4

2.B由于|z-l|=|z+l|,故复数z在复平面内对应的点到(-1,0)的距离等于它到(1,0)的距离,

故复数z对应的点在虚轴上.故选B.

3.B

如图所示，取BC的中点C,连接FG,EG.

•・・E,F分别为CQ/B的中点，

:.FG〃AC,EG〃BD、

且FG=^AC.EG=^BD.

,:AC=BD,；.FG=EG、

・•・NE/G(或其补角)为E尸与AC所成的礼

*：ACLBD,；・FGLEG,:.ZFGE=90°,

:.4EFG为等腰直角三角形.

・•・NE/G=45。,即EF与AC所成的角为45°.

4.DV|^4|=|PS|=1,M-P'ScosZAPB=^r^r=-^：.ZAPB=^TI.

1111,2\PA\\PB\2，3

由余弦定理，得AB2=PA2+PB2-2PAPBCOSZAPB=\+\+\=3.

・・・A8=V5,则函=V1

・•・当福与前同向共线时,|彳？|有最大值国+1.

故选D.

5.B根据题意,该运动员击中的环数不小于8的频率为二方+8=055,因此估计相应概率

6。

为0.55.

6.C甲、乙两人同时随机出拳一次的可能结果共有9种，其中游戏只进行一回合就分出

胜负的可能结果共有6种,故所求概率为P=l=I

7.D对于A,事件“取出碧螺春”和事件“取出茉莉花茶.'不可能同时发生，也有可能都不发

生，所以是互斥事件而不是对立事件，故A错误；

对于B,事件“取出不发酵茶''和事件"取出龙井”不是互斥事件，因为“取出龙井''时，事件

“取出不发酵茶''也发生了，故B错误；

对于C,事件“取出乌龙茶和事件“取出铁观音''不可能同时发生，也有可能都不发生，所以

是互斥事件而不是对立事件，故C错误；

对于D,事件“取出不发酵茶''和事件”取出发酵茶''不可能同时发生，但必有一个发生，所以

既是互斥事件又是对立事件，故D正确.

8.C设正四棱锥的高为小底面边长为0侧面三角形底边上的高为忙则依题意有

(h2=-ah\0”正，£(a)21-4(〃)2r(h')Ich'遮+1(久/去-百+1人J)乂

<c"因此有犷・\J2=k〃=4\一八-21—/-1=0=-=—；—\负值一--舍去，.故

[h2=h,2-(-)2,22aaa44

选C.

9.CD因为而+而=3而，所以而-PA+PC-PA-3AP=Q^PA+PB+m=0,故D正

确,A,B错误;易知C正确,故选CD.

10.AC根据题意,依次分析选项:对于A,由概率与频率的关系,A正确；

对于R,概率是频率的稳定俏,R错误；

对于C,由概率与频率的关系,C正确；

对于D,任意事件4发生的概率P(A)总满足0<P(A)<l,D错误.

11.BD•・•10x60%=6,・・.123,4,5,6,7,8910的第60百分位数为第六位和第七位的平均

数，即等=6.5,故A选项错误；

•・•数据2,3,5占8的平均数为5,；・2+3+5+x+8=5x5,即产7,；・数据2,3,5,7,8的方差是

约业也答“境直=52故B选项正确；

用分层随机抽样时，每层的个体被抽到的概率相同，故C选项错误；

•.♦汨幽,…因。的标准差为2,方差为4,A3xi+1,3X2+1,...,3xio+l的方差为32x4=36,即标准

差为6.故D选项正确.

12.AB选项A,如图，连接A|£)A8,8D,在正方体ABC6481cl。中，易得AB与平

行且相等，所以四边形A\B\CD为平行四边形，有又8CQ平面平面

A山。，所以直线8c〃平而Ai8。,故选项A正确；

选项B,如图，连接8G/0i,因为四边形BBiGC为正方形，所以8C_L8G,因为正方体

A8CO-4囱GOi,所以AB_L平面BBCC,"8<u平面B8CC,所以AB_L8C,

又所以BC_L平面ABC,Dh

又〃DiU平面A8G。,所以SC_L4。,故选项B正确；

选项C,因为正方体ABCD-A18cl。1的棱长为1,

所以8G_L平而CGDM,且SG=1,

xSXB]C

又%CQE=》lxl=；,所以三棱锥Bi-CC.E的体积物gE=1/\CC1E^

即三棱锥Ci-fiiCE的体积为&故选项C错误；

6

选项D,如图，连接

由选项A的解析可知/Q〃%C,

所以异面直线8C与8。所成的角为N4O8或其补凭，

因为正方体A8CQ-A山IGOI,易得△A08为等边三角杉，所以/4。8=60。,故选项D错

•D

沃.

故选AB.

13.V5Vz=l-i,.\z+3i=l-i+3i=l+2i,

M|z+3i|=|1+2i|=Vl2+22=V5.

14.27因为70%x30=21,所以这组数据的第70百分位数是二卫二27.

15.4后由题意，如图,57表示水流速度，破表示船在静水中的速度，则泥表示船的实际

速度.

则I丽=4,1函=8,N408=90。，

・•・|OC|=V42+82=4V5,

，实际速度的大小为4akm/h.

16.2因为每个元件的可靠性是*斤以从A到B这部分电路不畅通的概率为京匕X(1-

山!)+|、卜；+拉拉；」4,故从A到8这部分电路畅通的概率为=

33/5333336ol