鲁教版（五四制）七年级数学下册《直角三角形》同步练习题（附答案）

鲁教版（五四制）七年级数学下册《".4直角三角形》同步练习题（附答案）

一、单选题（满分24分）

1.下列命题中，其逆命题是假命题的是（）

A.直角三角形的两个锐角互余B.对顶角相等

C.等边三角形的每个内角都是60。D.全等三角形的对应边相等

2.下列条件中，不能判断△A8C为直角三角形的是（）

A..48=3,BC=4,AC=5B.AB:BC:AC=2:3:4

C.L.A—乙B=zCD.Z.A:Z.C=1:2:3

3.已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为42。，那么这个等腰三角形底角的度数为（）

A.24°B.66°C.66°或24。D.66。或42。

4.如图，在等边△力夙:中，£为4?的中点，过点后作OE于点D,交BC的延长线于点R过点?作FG14C,

交4C的延长线于点G,若AD=2,则4G的长为（）

A.10B.8C.6D.4

5.如图，在四边形48C。中匕A8C=90。，AB=3,BC=4,CD=13,AD=12,四边形力8。0的面积为（）

A.144B.72C.48D.24

6.如图，小杰想测量旗杆的高度力B,他站在点C处，利用无人机在点E处测得ED=EC,当小杰走到点。位置时，

测得“DC=60°,若EC=6米，AD=1米，旗杆4B与地面AC垂直，则旗杆顶端与小杰的初始位置之间的距离8c为

A.8米B.9米C.10米D.11米

7.甲、乙两艘客轮同时离开港II,航行速度都是400m/min,甲客轮用30min到达A处，乙客轮用40min到达3处.若

A,B诙处的直线距离为20000m,甲客轮沿着北偏东30。的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是（）

A.北偏西30。B.南偏西30。C.南偏东60。D.南偏西60。

8.一块木块静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力。的方向竖直向下（OGJ_4O）,支持力N的方向与斜面垂

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直(ONI.A8),摩擦力/的方向与斜面平行(OCIIHB).若摩擦力/与重力G方向的夹角41=120。，则斜面的坡角匕2的

度数是()

A.30°B.35°C.40°D,45°

二、填空题(满分24分)

9.命题“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应边相等”的逆命题是.

10.如图，已知乙4=乙。=90。，若以“HL”判定RtaABC三心△DCB,需添加的条件是

11.如图，已知4c=8D/A8C==90。,44=65°,则408C=

12.如图，在△4BC中，已知48=5,AC=13,边BC上的中线40=6,则△4BC的面积为

13.如图，在3x3的正方形网格中标出了N1和N2,则41+42=

14.如图，在△4BC中8C=25,AC=20,AB=15,与Z/1CB的平分线交于点。，则N/1BD+Z力CD的度数

B

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15.如图，在△ABC中，AC=BCLC=90°。的平分线80交边AC于E且力0J.BO若BE=6则4。=

16.如图在四边形4BCD中AB=ADNB4D=140。481CB于点B4D1CD于点。E尸分别是CB、CD上的点且

Z.EAF=700则下列结论正确的有.

@DC=BC②A/IDF三△力BE③EF=BE+OF④力6平分/FEB.

三解答题（满分72分）

17.（6分）如图在中AB=15AC=17乙4BC>90。点。在4C边上将△48。沿着BO折叠得△E80连接

AECE.

⑴用尺规作出△E80（不写作法保留作图痕迹）

⑵若"IBD=30。CE=8连接BE求/BEC的度数.

18.（6分）如图△力BC是等腰三角形为B=4C点。是上一点过点。作DE1BC交8C于点E交。4的延长线于

点尸.

⑴求证：△4。尸是等腰三角形

⑵若。为48中点AC=10BE=3求DE的长.

19.（8分）如图在△4BC中Z.BAC=90°七为边BC上的点且工口=AE。为线段BE的中点过点石作EF_L4E过

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点人作AF||BC且四、E尸相交于点F.

（1）求证：Z-C=Z.BAD

⑵求证：AC=EF

20.（8分）将RSABC与RMOAE按如图所示的方式摆放延长。E交BC于点尸连接4F其中乙1CB=ZOEA=90。

AD=ABBC=BF+EF.

⑴证明:AE=AC

（2）若=5AD=13求C尸长.

21.（8分）如图是某超市购物车的侧面简化示意图.测得支架AC=80cmBC=60cm两轮中心的距离力/?=100cm.

⑴判断支架ACBC是否垂直

⑵求点C到88的距离

22.（8分）渭河是黄河的最大支流流经陕西省关中平原的宝鸡咸阳西安渭南等地.如图渭河一侧有一村庄C河

边原有两个观景台A8其中=现建设美丽乡村决定在渭河边新建一个观景台。（点AOB在同一条直线上）

并新修一条路CO测得力C=3kmCD=2.4kmAD=1.8km.

⑴通过计算说明CD是从村庄C到渭河边最短的路线

⑵求原来的路线BC的长.

23.（8分）某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造•块绿化地（阴影部分）现面向小区居民征集设计方案小

华和小明分别提交了绿化地引水灌溉方案的设计.如图AB=9mBC=12mCD=17mAD=8mCD±.EF两点

为浇灌点.

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小华设计的铺设管道方案：从水源点G处直接铺设管道引水分别到浇灌点EF.

小明设计的铺设管道方案：过点G作。9的垂线垂足为H先从水源点G处铺设管道到点”处再从点H处分别向浇灌

点E尸铺设管道.

社区管理人员在绿化地施工施工人员在只有卷尺的情况下通过测量AC两点之间的距离就确定了N4BC=90。.

⑴施工人员测量出4C两点之间的距离为m

(2)若建造绿化地每平方米的费用为ICO元求建造绿化地的总费用

⑶若乙EGF=90。EF=10mEG=8m管道铺设费用为50元/米请比较小华和小明设计的两种铺设管道方案所需

的费用并求出铺设管道所需的最少铸用.

24.(10分)【探究感悟】

图1图2

(1)如图1△480△4EC都是等边三角形求证：BE=DC.

【迁移应用】

(2)如图2若△48。是等边三角形AB=AM4c平分NORM/-BAM<60°

①求/C的度数

②试判断ANBCBM之间的数量关系并证明.

25.(10分)已知：在Rt△48c中"C8=90。,8。=AC,点O在直线AB上连接CD在CD的右侧作CE_LCD,CE=CD,

连接5E.

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E

①当点。在边上时级段BE和线段40的数量关系是_位置关系是

②线段48BD8E之间的数量关系是；

⑵探究问题：如图2点。在8右侧.上述①②结论是否仍然成立并说明理由.

⑶拓展延伸：如图3乙DCE=乙DBE=90°,CD=CE=⑸BE=1,求线段BC的长.

参考答案

1.解：A.原命题的逆命题为两个锐角G余的三角形是直角三角形该逆命题是真命题故该选项穴符合题意

B.原命题的逆命题为相等的角是对顶角该逆命题是假命题故该选项符合题意

C.原命题的逆命题为每个内角都是60。的三角形是等边三角形该逆命题是真命题故该选项不符合题意

D.原命题的逆命题为对应边相等的三角形是全等三角形该逆命题是真命题故该选项不符合题意.

2.B

【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理和三角形的内角和解题的关键是熟练掌握：如果一个三角形两边的平

方和等于第三边的平方那么这个三角形是直角三角形以及三角形的内角和为180。.

用勾股定理的逆定理即可判断AB根据三角形的内角和即可判断CD.

【详解】解：A032+42=9+16=25=52

团△ABC是直角三角形不符合题意

B设力B=2k,BC=3k,AC=4k

0(2fc)2+(3k)2=13k2*(4k)2

团a/lBC不是直角三角形符合题意

C0//1-/R=/C/A+/B+/C=180°

0Z/1+乙B+NA-NB=180°解得：LA=90°

回△ABC是直角三角形不符合题意

D设zJ=x/B=2x,Z.C=3x则Z■力+Z.B+Z.C=x+2x+3x=180°

解得：x=30。

azc=90°

0△z4BC是直角三角形不符合题意

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故选：B.

3.C

【分析】本题考杳了三角形内角和定理的应用三角形的外角的定义及性质等边对等角直角三角形的两个锐角互

余等知识点解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解.

等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹带为42°需分△4BC为锐角三角形和44BC为钝角三角形两种情况讨论分别

计算底角.

【详解】解：设等腰三角形48c中AB=AC作腰AC上的高80垂足为。

则8。1AC乙ADB=90°.

0FD与A8的夹角为42。即418。=42°

团在Rt△48。中乙BAD=90°-N/B。=90°-42°=48°.

当△力BC为锐角三角形时

点D&AC1.LBAD=4力=48°

团底角Z718C=ZC=^(180°-48°)=66°.

当△ABC为钝角三角形时

点。在71C的延长线上乙ABD=42°

团NDAB=90°-/.ABD=48°

团底角乙48c=乙C=\LDAB=24°.

综上底角为66。或24°

故选：C.

4.A

【分析】本题主要考查了等边三角形的性质含30度角的直角三角形的性质等角对等边直角三角形两锐角互余先

由等边三角形的性质得AB=BC=AC,4ACB=NA=zB=60°结合DE1以及直角三角形的两个锐角互余得

/.AED=300乙BFD=30°故4E=2AD=4CE=AE=4,AC=8证明匕CEF=NCFE得至【JCF=4证明4。=

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90°,=30。可得CG=2据此可得答案.

【详解】解：团△力BC是等边三角形

^AB=BC=AC,Z.ACB=/.A=Z.B=60°

WE1AB

^Z-ADE=乙FDB=90°

{^Z-AED=90°-60°=30°乙BFD=90。-60°=30°

^AD=2

0/1F=2AD=4

(3点E为AC的中点

0CE=AE=4,AC=AE+CE=8

[3ZCEF=Z.AED=30°=乙CFE

0CF=CE=4

MG1AC

0zG=90°

团4FCG=/.ACB=60°

回匕CFG=90°-60°=30°

0CG=1CF=2

回力G=AC+CG=10

故选:A.

5.D

【分析】本题考查了勾股定理勾股定理的逆定理掌握直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关

键.

连接4c根据RtzxABC用勾股定理求出AC的长度再用勾股定理的逆定理证△4CD是直角三角形根据四边形

力BCD的面积等于Rt△ACD^Rt△4BC面积之差即可求解.

【详解】解：如图连接4C

C

AC=7AB2+B。=V32+42=5

又•••CD=13,AD=12

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:.CD2=132=52+122=AC2+AD2

.•・△力是直角三角形

•••四边形力BCD的面积为S=S“CD-S“8c=|x5xl2-1x3x4=24.

故选：D.

6.C

【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质30。直角三角形的性质直角三角形的锐角互余解题的关键是熟练掌

握各知识点并灵活运用.

先证明ADCE为等边三角形然后推出28=30。再由30。直角三角形的性质即可求解.

(详解］解：团匕EDC=60°ED=EC

团△OCE为等边三角形

团乙。=4。=60°

团EC=6

0CD=6

^AD=1

(MC=CD-AD=5

胤481AC

团48=90°-ZC=30°

0BC=2/lC=2x5=lO(米)

故选：C.

7.C

【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的应用解此题的关键是求出乙408=90。注意：如果一个三角形的两边ab

的平方和等于斜边c的平方那么这个三角形是直角三角形.

根据速度和时间计算甲乙行驶路程利用勾股定理逆定理判断两路线垂直再根据甲的方向推导乙的可能方向.

【详解】团甲行驶路程：400x30=12000(m)

乙行驶路程：400x40=16000(m)

又团120002+160002=1440000004-256000000=400000000200002=400000000

町20002+160002=200002

团ZiCMB为直角三角形且41。8=90。

团甲航行方向为北偏东30。

团乙航行方向与甲垂直可能为北偏西60。或南偏东60。

选项中南偏东60。对应C

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国乙客轮航行方向可能为南偏东60。.

故答案为：C.

8.A

【分析】本题主要考查了直角三角形的性质延长N。交4D于点E构造直角三角形根据直角三角形的两个锐角互余

找角之词的关系.

【详解】解：如下图所示延长N。交于点E

vON1ABOC\\AB

:.ON1OC

•••Z-COE=90°

•••Z1=120°

•••Z-EOG=zl-乙COE=120°-90°=30°

•••OG1AD

•••乙OGE=90°

/.EOG+LOEG=90°

•••乙OEG=60°

又；ON1AB

z2+Z,OEG=90°

z2=30°.

故选：A.

9.如果两个三角形的对应边相等那么这两个三角形全等

【分析】本题考查命题与定理关键掌握三角形全等的判定定理及性质.将原命题的条件与结论互换即可得到其逆

命题.

【详解】解：回原命题的条件是：如果两个三角形全等

结论是：那么这两个三角形的对应边用等

团其逆命题是：如果两个三角形的对应边相等那么两个三角形全等.

故答案为：如果两个三角形的对应边用等那么这两个三角形全等.

10.AB=OC或4c=DB

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【分析】根据两直角三角形全等的判定定理：即在一对直角三角形中如果斜边和一条直角边分别相等那么这两个

三角形全等.题干已经有公共边一斜边由此即可得出需要添加的条件是直角边对•应相等.

本题考查了根据证明三角形全等掌握判定三角形全等是解题的关键.

【详解】解：根据题意得BC是公共边且为斜边根据“HL”判定三角形全等缺少的是对应相等的直角边

由RtfBC=Rt△DCB

故应该添加的条件是AB=DC或4c=DB

故答案为：AB=DC^AC=DB.

11.25。/25度

【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质.熟练掌握三角形全等的判定和性质直角三角形两说角互余是解题

的关键.

根据直角三角形两锐角互余求出44cB=25。根据已知条件证明△ABCCCB(HL)由三角形全等性质即可得到

答案.

【详解】解：^ABC=90。,乙4=65c

②4AC8=90°一4A=25°.

在RtaABC和RtZkOCB中

(AC=DB

(BC=CB

0Rt△ABC=RtADCJ?(HL).

0ZDBC=Z.ACB=25°.

故答案为：25。.

12.30

【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质勾股定理及其逆定理延长4D到E使=连接BE先运用

SAS证明△ADCw/kEDB得出BE=13.再由勾股定理的逆定理证明=90。即可求解.

【详解】解：延长AD到E使DE=AD连接BE.

在△AZC与AEDB中

AD=DE

Z.ADC=乙EDB

,CD=BD

团△4DC三AEDB(SAS)

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EL4c=BE—13.S^BDE~S^ADC

回=SpBC

在A/IBE中AB=5,AE=12,BE=13

^AB2+AE2=BE2

^BAE=90°.

团SMBC=SAABE=TXAB,AE=30

故答案为：30.

13.45°

【分析】本题考查勾股定理及其逆定理等腰直角三角形的判定和性质.根据题意作出合适的辅助线然后根据勾

股定理的逆定理即可解答本题.

【详解】解：如图所示作力GDE连接BC

则z.1=Z3

设每个小正方形的边长为a

则4B=V5aBC=V5aAC=VlOa

vAB2+BC2=10a2=AC2AB=BC

：・△力8c是等腰直角三角形(ABC=90。

Z.BAC=45°

Z3+Z2=45°

...Z1+Z2=45°

故答案为：45°.

14.450/45度

【分析】本题考查勾股定理的逆定理与角平分线有关的三角形内角和问题由人。2+力”=8。2得到乙1=90。再

根据角平分线得到乙48。+/-ACD=久乙力BC+乙ACB)=45。即可.

【详解】解：团BC=2SAC=20AB=15

^AC2+AB2=152+202=625=252=BC2

团△/BC是直角三角形41=90。

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包乙ABC+LACB=90°

团448C与4力CB的平分线交于点。

团4/CO=-/LACBZ,ABD=-/-ABC

22

^Z-ABD+ZLACD=1(Z,ABC+Z.ACB)=45°

故答案为:45。.

15.3

【分析】本题主要考查了直角三角形的两个锐角互余的性质以及全等三角形的判定和性质等知识点熟练掌握以上

知识点并能正确添加辅助线是解决此题的关键.延长A。、BC交于点尸由BD1力。月.80平分ZABC证得

BEC可得力。=FD再根据乙尸为。+LAED=90°Z.CBE+乙CEB=90°乙CEB=Z.AED证得=乙CBE进一

步证明△AFCBEC则可得力F=EE从而得到AD=^BE=3.

【详解】解：如图延长40、BC交于点、F

vBD=BD

:AADB三△FOB(ASA)

AD=FD

•••匕FAC+/,AED=90°乙CBE+乙CEB=90°乙CEB=Z-AED

•••Z.FAC=乙CBE

在△4尸。和仆BEC中

("AC=乙CBE

AC=BC

UFCA=乙ECB=90°

AFC=△BEC(ASA)

:.AF=BE

11

AD=-AF=-BE=3

22

故答案为：3.

16.①③④

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【分析】本题主要考查了垂线的性质全等三角形的判定与性质添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键.

连接力C由ABLCBAD1CD可得乙ABC=/.ADC=900进而可证得△ABC三4ADC于是可得。。=BC故结论

①正确根据己知条件不能推出△40F三△48E故结论②错误延长E8到G使8G=。/连接4G利用SAS可证得

△ADF=△ABG于是可得A/7=AGZ.DFA=Z-BGAZ-DAF=4BAG根据角的和差关系可得乙E4F=Z-EAG=70°

进而可证得△EAF=△EAG于是可得=EG=BE+BG=BE+DF故结论③正确可得N4EF=Z-AEG即/IE

平分乙FEB故结论④正确综上所述即可得出答案.

【详解】解：如图连接4c

0/4Z?±CDAD±CD

国乙ABC=Z.ADC=90°

在RtAABC和Rt△力DC中

(AB=AD

lAC=AC

0Rt△ABC=RtA71DC(HL)

WC=BC故结论①正确

根据已知条件不能推出△力。尸三△ABE故结论②错误

如图延长E8到G使8G=0尸连接力G

团48LCBAD1CD

0Z/1DF=4ABG=90°

在△4。尸和△ABG中

\AADF=^ABG

(DF=BG

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0AADF三△ABG(SAS)

BAF=AGLDFA=LBGAZ.DAF=/.BAG

^Z-EAF=70°乙BAD=140°

0ZD/1F+Z.EAB=乙BAD-Z.EAF=140°-70°=70°

^Z.EAG=Z-EAB+匕BAG=Z-EAB+LDAF=70°

^Z.EAF=Z.EAG=70°

在△£■"和△EAG中

AF=AG

LEAF=LEAG

AE=AE

EAF=△E4G（SAS）

AEF=EG=BE+BG=BE+DF故结论③正确

EAFEAG

[3Z71EF=4AEG

国AE平分乙FEB故结论④正确

综上所述正确的结论有①③④

故答案为：①③④.

17.⑴图见解析

（2）NBEC=30°.

【分析】本题考查作图一作三角形等边三角形的判定和性质勾股定理的逆定理翻折变换解题的关键是掌握相关

知识解决问题.

（1）分别以。8为圆心AD8A为半径作弧两弧交于点E连接DEBEAE即可

（2）正明△48E是等边三角形求得Z4EB=6O。AB=AE利用勾股定理的逆定理证明△力EC是直角三角形得

Zi4FC=90°根据NBEC=Z-AEC-N/E8即可求解.

【详解】（1）解：如图△E8Q即为所求

(2)孤4BD沿着BD折叠得△EBD

0AABD=△EBD

^Z.ABD=乙EBDAB=BE

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回乙ABD=30°

圆4力BE=乙ABD+乙EBD=60°

团△48E是等边三角形

团44EB=60°AB=AE=15

团4E=15AC=17CE=8

AE2=225AC2=289CE2=64

0225+64=289

^AE2+CE2=AC2

团△力EC是直角三角形Z.AEC=90°

^Z-BEC=jAEC-Z-AEB=30°.

18.⑴见解析

（2）DE=4

【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质直角三角形的性质以及勾股定理的应用解题的关键是熟练运用相关

性质与勾股定理.

（1）利用等腰三角形的性质和直角三角形两锐角互余证明乙尸=乙4。尸

（2）利用勾股定理在RtZiBOE中求解先求出80的长度再计算DE.

【详解】（1）证明：AB=AC

0=zC.

DEIBC

0乙DEB=乙DEC=90°.

在Rt△3DE中心B+乙BDE=90°

在Rt△FEC中zC+ZF=90°.

团Z.B=Z.C

0乙BDE=乙F.

又回/EDE=/ADF（对顶角相等）

0Z.ADF=ZF

AD=AF

团△力。尸是等腰三角形.

（2）解：AB=AC=10。为43中点

0BD=-AB=5

2

在Rt△8DE中BD=5BE=3

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由勾股定理得：DE=y/BD2-BE2

=V52-32=V25-9=716=4.

答：DE的长为4.

19.⑴见解析

（2）见解析

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质等腰三角形的性质熟练运用全等三角形的判定是本题的关键.

（1）由等腰三角形的性质可得力。13。由余角的性质可得4c

（2）由"ASA"可证△4BC三可得4C=EE

【详解】（1）证明：团/18=4E

团Zi/IBE是等腰三角形

乂况）为BE的中点

^AD1BE（等腰三角形三线合一）

在Rt△ABC和Rt△DBA中^BAC=^BDA=90°

0ZC=乙BAD=90°-乙B.

（2）证明：^AF||BC

^LEAF=LAEB

口48=AE

BZ.ABE=Z-AEB

^Z.EAF=Z.ABC

0FF1AE

^Z.BAC=Z.AEF=乙90°

a48=AE

0ABAC三△4Er（ASA）

EL4c=EF.

20.⑴见解析

⑵三

【分析】本题考查全等三角形的判定与性质勾股定理熟练掌握全等三角形的性质是解答的关键.

（1）利用HL证明△4£1"三△/!（：?然后利用全等三角形的对应边相等可证得结论

（2）先利用勾股定理求得DE=12证明△AE。三△ACB（HL）得到8C=DE=12

设CF=x在RtZkBEF中利用勾股定理列方程求解即可.

【详解】（1）证明：0SC=BF+EFBC=BF+CF

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国EF=CF又AF=AFZ.AEF=乙AED=^ACF=90°

0AAEFACF(HL)

团4E=AC

(2)解：在Rt△ADE^AE=5AD=13

国DE=y/AD2-AE2=12

固4B=AD=13

^BE=AB-AE=8

回/力ED=Z.ACB=90°AD=ABAE=AC

0AAEDACB(HL)

团BC=DE=12

设CF=x则EF=CF=xBF=BC-CF=12-x

在Rt△BEF中BE2+EF2=BF2

则8?+/=(12-x)2

解得x=J

13c尸的长为弓.

21.(I)ACIBC理由见解析

(2)48cm

【分析】本题考查了勾股定理逆定理熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键.

(1)利用勾股定理逆定理进行求解即可

(2)过C作CD1ABTD利用等面积法进行计算即可.

【详解】(1)解：AC1BC

理由：SAC=80cmCB=60cmAB=100cm

团AC?+BC2=802+6()2=10000=10000

^AC2-^-BC2=AB2

SCB=90°

团△ABC是直角三角形

EL4C1BC.

(2)解：如图过。作CD148于。

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0SA/1BC=^X.ACXBC=ABXCD

080x60=100xCD解得CO=48cm

即点C到的距离为48cm.

22.⑴见解析

⑵原来的路线BC的长为2.5km

【分析】本题考查了勾股定理逆定理勾股定理熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键.

(1)由勾股定理逆定理得出△4CD是直角三角形即即可得出结果

(2)设48=BC=xkm则在Rt△8co中BC=xkmFD=(x-1.8)kmCD=2.4km最后结合勾股定理计算即可

得出结果.

【详解】(1)解：在△4CD中AC=3kmCD=2.4kmAD=1.8km

2222

ACD+AD=2.4+1.8=9心=32=9

^CD2-¥AD2=AC2

・•.△ACD是直角三角形即CO1AB

CO是从村庄C到渭河边的最短路线

(2)解：设48=BC=xkm

在Rt△BCD中BC=xkmBD=(x—1.8)kmCD=2.4km

由勾股定理得BC?=BD2+CD2即/=(x-1.8)2+2.42

解这个方程得x=2.5

回原来的路线8c的长为2.5km.

23.(1)15

⑵11400元

⑶小华设计的方案所需费用较少且铺设管道所需的最少费用为700元

【分析】(1)运用勾股逆定理进行列式计算即可作答.

(2)运用勾股逆定理进行列式计算可得乙D4c=90。再计算出总面积即可求解

(3)先计算出FG=6m则可计算出小华的方法费用为(6+8)x50=700(元)利用等面积法计算出GH=gm则

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可计算出小明的方法费用为(10+g)x50=740(元)可得小华设计的方案所需费用较少为700元.

【详解】(1)解：当测量71c=15m时AB2+BC2=92+122=81+144=225=152=AC2

团44BC=90°.

(2)解：如图连接力。

后

I222222

I________期?____•••AD+AC=8+15=289=17=DC

:.Z.DAC=90°

•-S^AC=1ADAC=1X8X15=60(m2)S*CB=1x9x12=54(m2)

四边形4BC。的面积=60+54=114(m2)

;建造绿化地的总费用为100x114=11400(元).

(3)解：•••Z-EGF=90°EF=10mEG=8m

FG=y/EF2-EG2=V102-82=6(m)

•••GH1EF

,FEGF=2EG.FG=2EF・GH

EGFG8X624/、

•r••uGH=----=——=——(m)

EF105'"

•••小华设计的铺设管道方案所需的费用为(6+8)x50=700(元)小明设计的铺设管道方案所需的费用为

(10+y)X50=740(元)

0700<740.

答：小华设计的方案所需费用较少且铺设管道所需的最少费用为700元.

24.(1)见解析(2)①60。②3BC+BM=2AN证明见解析

【分析】本题主要考查了等边三角形的性质等腰三角形的判定和性质三角形全等的判定和性质直角三角形的性

质解题的关键是作出辅助线熟练掌握相关的判定和性质.

(1)利用边角边易证A/IBE三△4DC

(2)①设4=a则〃MM=60。+a再求HU84c=30。一)，乙48M=90。一为利用外角性质即可得解

②连接DC过。作DE1CM交其延长线于点E易证AC1CMDN=MN分别证Rt△ADN空RtABDE(HL)Rt△

CDE三Rt△CDN(HL)可得AN=BECE=CN再根据30。直角三角形性质求解即可.

【详解】解：(1)证明：田△48。与△4EC是等边三角形

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^AD=ABAC=AELDAB=LEAC=60°

团匕。A8+ABAC=乙EAC+Z.BAC

即N04C=/.BAE

在^BAE^WLEMC中

AB=AD

乙BAE=ADAC

AE=AC

0ABAE=△DACHAS）

ME=DC

（2）①设，8/M=a

团A/IBD是等边三角形

^Z.DAB=60°则4ZZ4M=60°+a

胤4c平分N/Z4M

^CAM=:乙DAM=竺J=30°+:a

44，

又见4B=AM

iao°—a1

团4力=/-AMB==90°--a

22

又回NC48=Z.CAM-4BAM=30°4-；a-a=30°-^a

22

团乙C=乙力8M—LCAB=90°-ia-（300-ia）=60°

@3BC+BM=ZAN

证明：如图连接DC过。作DEICM交其延长线于点E

D

图2

团△48。是等边三角形

048=AD

凡48=AM

团40=AM