第五章《分式与分式方程》单元测试-2025-2026学年北师大版八年级数学下册

第五章分式与分式方程

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的.

,31,x2+2x+1m+«.八人助口/、

1.在一，一，.r-1,——--,-------中，分式的个数是（）

mx5m-n

A.2B.3C.4D.5

2.下列方程中是分式方程的是（）

1X.c-

A.-+—=1B.2x=5-xC.A-2+I=0D.2+-=x

32X

3.下列各式中的变形，错误的是（）

22口口+3c口3匚n-口口

A，-30-3口“口―0+3C万二记D・-20-20

4.下列分式中，是最简分式的是（）

口+口3D"口口+1

A.E。RB.6dUr口.3n

5.若要分式先有意义，则x的值应满足（

LJ-Z）

A.口*1B.0^2C.口*7且£7=2D.aKJ值为一切实数

6.若分式上1的值为0,则/的值为（

）

X-1

A.1或-1B.0C.-ID.I

7.若分式胃=2则心里=（）

1C3-1c2

AA.-B.-C—

32J3D-5

8.若山=3,则上的值为（）

XX

A.!B.2C.1D.4

24

9.解分式方程一二-2=]=时，去分母正确的是（）

x-22-x

A.l-2（x-2）=l+xB.1-2（A-2）=-14-X

C.1—2（x—2）=-1—xD.-1+2|、2—x）=1+x

10.《九章算术》记载了中国古代的“运粟之法”，其大意是：今有一批公粮，需运往距出发

地420km的储粮站，若运输这批公粮比原计划每日多行10km,则提前I日到达储粮站.设

运输这批公粮原计划每口行Mm,则根据题意列出方程（）

420.420c420420,

A.——+1=----B.一=----+1

xx+10xx+10

「420420n420420,

C.——=----+1D.——+----=1

xx-10xx+10

二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.

H.对急器进行约分，结果为.

12.计算：会+士=

a+3a+3

'、-2

r

13.计算:（结果不含负指数累）.

11

14.分式Y-4和3x-6的最简公分母为

(0-2n+

15.若关于x的一元一次不等式组方<7至少有2个整数解，且关于y的分式方程

£7+D<3

分+7=-力的解是丰负整数，则满足条件的整数m的和是,

三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分.

16.化简:

f-4x-2

x5

17.解方程：三一1二目

18.先化简，再求值：（7-2）・炉一”+7,其中x=2.

四、解答题(二)：本大题共3小题，每小题9分，共27分.

19.已知关于x的分式方程第一,=1.

(I)若x=2是分式方程的坞根，求a的值；

(2)当a=4时,解分式方程;

(3)若该分式方程无解，求a的值.

20.“四书”“五经”是我国传统文化的重要组成部分，是儒家思想的经典著作.某学校计划

购买《孟子》和《论语》两种书籍供学生阅读.已知《孟子》与《论语》的单价之和为40元，

用90元购进《孟子》的本数与用150元购进《论语》的本数相同.

(I)问《孟子》和《论语》的单价分别是多少元？

(2)该学校计划购进《孟子》和《论语》共100本，但花费总额不超过I800元，问最少

购进《孟子》多少本？

21.阅读材料：

①方程X++；的解为07=2

②方程的解为。7=口2="

xmu

③方程X-3・机-3的解为。7=口2=7

xm口

【归纳】（1）方程x+?=〃+"的解为。7=,口2=.

【应用】（2）利用（1）中的结论，直接解关于x的方程：x+^-«fl+^-.

X-1Q-1

五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分.

22.随着DeepSeek的AI技术开发，更大地激活了智能机器人应用市场.为了更方便地服务

广大读者，某图书馆准备引进智能机器人.若要购进甲、乙两种型号的机器人，已知甲种型

号的机器人单价比乙种型号的机器人多3万元，经过调研发现，130万购买的甲种型号的机

器人的数量和100万购买乙种型号的机器人的数量一样.

（1）求甲、乙两种型号的机器人的单价是多少万元.

（2）图书馆经过统筹安排，准备用不低于114万的资金购进甲、乙两种型号的机器人共10套

（两种型号均有），则有几种购买方案？购买乙种型号的机器人多少套时所花资金最少？

23.第二十届文博会在深圳举行.南头古城某商铺购进A,B两种文创饰品，采购A种饰

品花了1400元，采购B种饰品花了630元，其中A种数量是B种数量的2倍，A种的进

价比B种的进价每件多1元.

(DA,B两种饰品每件的进价分别为多少元？

(2)该商铺计划购进A,B两种饰品共600件,购进B种的件数不低于390件，且不超过A

种件数的4倍，现采购A种饰品有优惠政策,若一次性采购A种超过150件，A种超过的

部分按进价打6折.如果购进的这两种饰品均以每件15元全部售出，设购进A种饰品m件,

那么m为何值时，能使本次销售的利润最大，并求出最大利润.

参考答案

x十

三、解答题(一)：本大题共3小题，每小题7分，共21分.

2x12x-(x+2)_x-2

x2-4~x-2(x+2)(x-2)(x+2)(x-2)

上-二3

17.解：x-2x~-4

去分母得，出+2H44)=5

1

解得“一5

x=—(x+2)(x-2)=0

检验：将2代入八4

•••原方程的解为“一2

18解.序式=生二(口-N=七.(5/)(2/)=也

以野.际队口-(£7+/)(£7-/)U(O-M0，

当X=2时，原式二平=习

四、解答题(二)：木大题共3小题，每小题9分，共27分.

19.(1)解：方程两边都乘x(x-2),得x(x+a)—5(x—2)=x(x—2).

Vx=2是分式方程的增根，，把x=2代入x(x+a)-5(x-2)=x(x-2),

得4+2a=0.，a=-2.

(2)当a=4时，x(x+4)—5(x—2)=x(x—2).

解得x=-10.经检验，x=-10是原分式方程的解.

(3)化简整式方程，得(a-3)x=-10.

当a-3=0时，该方程无解，此时a=3.

当a—3升时，要使原方程无解，则原方程有增根.

由⑴，得a=-2.

综上所述，a的值为3或一2.

20.解：(I)设《孟子》的单价是x元，则《论语》的单价是(40-x)元,

依题意，得招二塔%解得x=15,

经检验，x=15是原方程的解，且符合题意,

,\40-x=40-15=25.

答：《孟子》的单价是15元，《论语》的单价是25元.

(2)设购进《孟子》m本，则购进《论语》(100-m)本,

依题意，得15m+25(100-m)<1800,解得m170.

答：最少购进《孟子》70本.

D

21.(1)D—

222

解：(2)方程可变形为x—1+——・・・4-l=a-l,口2一\=——

x-1a-\a-\

=21a+\

••□7=a,□2=------+1=------

a-1a-\

五、解答题(三)：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分.

22.解：(1)设甲种型号的机器人的单价是x万元，则乙种型号的机器人的单价是(x-3)万元.

依题意，得剪=。"，解得x=13.经检验，x=13是原方程的解，且符合题意.

xx-3

Ax-3=13-3=1O.

答：甲种型号的机器人的单价是13万元，乙种型号的机器人的单价是10万元.

解•：(2)设购买乙种型号的机器人m套，则购买甲种型号的机器人(10-m)套.

依题意,得13(10-m)+10碓114,解得mJ.

又Tm,10-m均为正整数，可以为1,2,3,4,5.，有5种购买方案.

设购买甲、乙两种型号的机器人共花费w万元，则w=13(10-m)+10m,即w=-3m+13O.

V—3<0,.*.w随m的增大而减小.，当m=5时，w取得最小值.

答：有5种购买方案，购买乙种智能机器人5套时所花资金最少.

23.解：⑴设A种饰品每件的进价为a元，则B种饰品每件的进价为(a—1)元.

由题意，得1400/a=630/a-l*2.解得a=10.

经检验，a=10是所列方程的解，且符合题意.・・・a-l=9