江苏徐州市2025-2026学年高一第二学期期中考试数学（解析版）

2025〜2026学年度高一第二学期期中考试

数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选

项是符合题目要求的.

1.已知复数z=l+F°",则z的虚部为()

A.-lB.1C.2D.0

【答案】D

【解析】

【分析】解题的关键在于先根据i的塞次规律化简z,最后根据虚部的定义确定z的虚部.

【详解】i4=l，tti2026=i4x506+2=i2=-l，故z=l-l=O,虚部为0.

In

2.)

12

6-瓜

~T~

瓜_叵

~1~~1~

【答案】A

【解

y/3y/2-46

7n/兀兀、n兀.兀.兀A/21x/2=

【详解】cos—=cos(—+—)=cos—cos——sin—sin—=——?O-

1243434322

3.在VA3C中，A=45°,a=yfl,则--------------:------=()

sirbA+sinB+sinc

A.gB.72C.2D.V6

【答案】C

【解析】

【分析】借助正弦定理计算即可得.

【详解】由正弦定理可得，_=/_=」—=X-=2，

sinAsinBsinCsin45°

a+b+c2sinA+2sinB+2sinC

故2.

sinA+sinB+sinCsinA+sinO+sinC

4.在AABC中,tanA+lan8+G=6tanAtan8,则角C等于

7154

B.—D.

3V

【答案】B

【解析】

【分析】

tanA+tanB

由两角和公式可得lan（A+B）=以及诱导公式可知Uin（A+B）=tan（^-C）=-tanC,

1-tanAtanB

可得tanA+tanB+tanC=tanAtan3tanC,据此即可求出结果.

tanA+tan3

【详解】由两角和公式可得tan（A+B）

1-tanAtanB

tanA+tan5

由诱导公式可知tan(A+3)=lan("—C)=-tanC,所以=-tanC可知

1-tantanB

tan+tan+tanC=tan>4tantanC.又lanA+lanB+G=GianAlanB，所以lanC=6，又

。£（0,4），所以。二工.故选：R.

【点睛】本题主要考查了三角函数的两角和的正切公式以及诱导公式的应用，属于基础题.

5.若sin(a+夕=,则sin(a—4)=()

3tana7

13

D.

30

【答案】B

【解析】

7

夕

-一

sin«cos

【分析】利用正弦和角公式及切化弦解得《30再利用正弦差角公式计算.

夕

13一

cosasin-

30

2一

【详解】解：sin(cr+=sincrcos/?+cos«sinp@,

3

tan夕_cosasin夕_13②

tanasin«cosp

sinacos=—

中)

由①②解得J；；

coscrsin0=—

30

713_1

/.sin(«-y7)=sin«cos/y-cos«sinfi=

3030--5

6.函数/(x)=cos2x-2sinx+l的值域是()

A.[—3,2]B.[1>3]C.[—2,3]D.-2,7

【答案】D

【解析】

【详解】/(jf)=l-2sin2x-2sinx+l=-2sin2x-2sinx+2=-2sinx+—+—，

由于sinx£(-l,l],故-2,1.

7.设点A的坐标为(。力)，0是坐标原点，向量Q4绕着。点顺时针旋转6后得到0次，则A的坐标为

()

A.(acos0-〃sinaasinO+〃cos。)B.(acos0+〃sin。，〃cosO-asin0

C.(〃sin，+Z?cosaacos，-bsin。)D.(bcos0-tzsin<9,〃sin夕+〃8S，)

【答案】B

【解析】

【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义、两角和差的一:角公式，求得4的坐标.

【详解】根据题意，设|OA|=r,向量04与x轴正方向的夹角为。，

又由点A的坐标为(〃，〃)，则a=〃cosa,Z?=rsina,

向量OA绕着。点顺时针旋转。后得到。V，则A'(rcos(a-0),rsin(a-0)).

而rcos(«-Z2)=rcosacos^+rsin«sin^=6zcos^+/?sin/9,

rsin((z-0)=rsinacos0-rcossin=Z?cos0-as\nG,

故A!的坐标为(acose+〃sina/?cose-asine),

故选：B

【点睛】关键点点点睛：注意旋转前与旋转后角的变化，利用模不变，两角差的正余弦公式求解即可，属

于中档题.

|12

8.已知VA8c的内角A,8,C的对边分别为a/,c,满足c+灰:osA=0,且——十——=——，则

tan/ltanCtan^

A=()

A.60°B.120C.135D.150

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意，由余弦定理的边角互化可得。2=/一3°2,2b2=a2+c2^即可得到的关系式,

再利用余弦定理求出cosA的值，即可求得4.

【详解】因为c+AosA=0,所以c+J+c~~=0,所以从+3。2—/=0,整理可得

2bc

b2=a2-3c2®^

又」一+=；二二一,可得

tanAtanCtanB

cosA+cosC_sinCcosA+siivAcosC_sin(A+C)_sinB_2cos8

sinAsinCsirtAsinCsinAsinCsirtAsinCsinB

er-i.insin-Bb~ci"+c'—b"*nzr.*,?■)2G

所以cosB-------------=----=-----------,解得2b~=a"+c?②,

2sinAsinC2ac2ac

rh①②可得〃=3c,b=2c,

所以8sA=空+_-2c2_1

~2-2cc~~2

WJA=120°.

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知Z],Z2是复数，则下列说法正确的是（）

A.若z2=4,则Z[—z2£R

2

B.若4=Z],则z（z2=|zj

2

C.若㈤=肉|,则z；=z2

D.若一eR,则Z]eR

zi

【答案】BD

【解析】

【详解】对于A选项，令4=1+2，，则有z?=l-2i,4-z：=4i纪R,故A选项错误；

对干B选项，由于Z2=z「故可设Z]=〃+历，a,bwR,则Z2=〃-/?i,

则马Z2=（。+药）・（々-历）=/+〃，|z/=/+〃2,故B选项正确；

对干C选项，取马=1,z2=i,z；=l,z；=-l,二者不相等，C选项错误；

一，c1ab

对于D选项，设Z1=4+小，a,beR,则一二F~TT、—

z,c厂+Zra~+b~

V-€R,一~上7T=。，所以人=（），即Z1£R,故D选项正确.

Za~+b~

10.下列说法正确的是（）

、1-tan1222.5°41

1+tan222.5°2

B.若sirfA+si^BvsidC，则VA6C是钝角三角形

C.在VA3c中，若acosA=bcosB,则VABC是等腰三角形

D.sin40°（tanl（）°->/3）=-l

【答案】ABD

【解析】

【分析】借助同角三角函数基本关系及二倍角公式计算可得A：借助正弦定理将角化为边后，利用余弦定理

即可得B：借助正弦定理将边化为角后，利用二倍角公式计算即可得C：借助三角恒等变换公式计算即可得

D.

,、¥痴八小人,i-tan26>cos?夕一sin?9

【详解】对A：由h-------=——--------7—=cos26?,

l+tan26>cos2<9+sin2（9

2

1-tan22.5°.,ox/2..

故------------=cos45=—，故A正确；

1+tan222.5。2

对B：若si/A+si/Bvsin^C，由正弦定理可得q?+从〈天,

2122

McosC=67~C<（）>故。为钝角，故VABC是钝角三角形，故B正确；

2ab

sin2Asin2B

对C：若t^cosA=bcosB,可得sinAcosA=sin8cosB,即

2-2

7t

即sin2A=sin2B,则2A=28或2A+2B=7t,即4=8或4+8=一,

2

若A=B，则VA8C是等腰三角形；

7TTT

若A+B=一，则C二一，则V45C是直角三角形，

22

故VA8c是等腰或直角三角形，故C错误；

对D：sin40。tanlO。—班"40。（喘阴

0

54。。网°。一限°,叫-sinlO-—cos10°

=2sin40°22

cos10°cos10°

=2sin4QQSin300sinl00-COS30°CQS100=2sin40o.-cos(10°+30°)

Icos10°)cos10°

-24n40。cos40。_ring。。-cos10°

=-l»故D正确.

cos10°cos10°cos10°

11.已知函数/（x）=Gsinx—cosx,若不«-兀,兀），且/⑴工/伍），则下列说法正确的是（）

A.函数/（X-A））为偶函数

B.函数/（工+/）为偶函数

C.函数/（工）在工一与一九处取得最小值

D.函数/（x）在区间（0,天））上单调递增

【答案】BCD

【解析】

【分析】借助辅助角公式可将原函数化为正弦型函数，再利用正弦型函数性质计算可得与；计算出

/（X一4）可得A；计算出〃）十内））可得B；计算出/（七）一兀）可得C；求出入e（0,3°）时的人一?■范围,

6

再利用正弦函数单调性判断即可得D.

【详解】/（x）=-73sinx-cosA=2sinx——,

I6J

由/(x)4/(%),则％-2=1+2E(Z£Z),

62

解得不)=亭+2版(AeZ),又”(兀,兀)，故布=勺

对A：/(X7o)=/(x_g)=2sin=2sin^x-^,

故函数/(不一天)不为偶函数，故A错误;

/(x+x0)=/^+y^=2sinx+y

对B：

故函数/(%+七)为偶函数，故B正确;

=2sin(——=-2</(x),

\乙)

故函数/(x)在工=须)一九处取得最小值，故c正确;

n兀、

对D:当工€(。,毛)，即xe0,时,X——€

62J

由函数y=sinx在上单调递增,

故函数/(外在区间(。田)上单调递增，故D正确.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.在复数范围内分解因式：X2-2X+3=.

【答案】(x-l+&i)(x—l—6i)

【解析】

【分析】配方后利用复数性质及平方差公式计算即可得.

［详解］x2-2x+3=(x-l)2+2=(x-l)2-(>/2i)2=(x-l+^i)(x-l->/2i).

_..n.f.3、与mii.兀)

13.已知sina+—+sincz=--,则sin2a--=__________.

I3)4I

【答案】1##0.125.

8

【解析】

/\/\

【分析】先求出sinex+-的值，再用二倍角公式，求出sin1a——的值.

7t।J

所以sinot+-=-,

I6J4

#2si斗+1

故sin2a--=-cos2a+-l=2x—-1=1

I6；I168

14.记VABC的内角A,3,C的对边分别为4ac,已知$104+25出&0$。=0,6=1,当角A最大时,

VABC的面积是.

【答案】2

4

【解析】

—I

【分析】借助正弦定理及余弦定理可得/再利用余弦定理表示出cosA,利用基本不等式可求出

2

角A最大值及此时c的值，再利用面积公式计算即可得.

【详解】由正弦定理可得〃+却cosC=0,BPcosC=~—,

2b

,A.-ZR-cT+-c~+/r-c-a

由余弦定理可得cosC=--------------,故-----------=——，

lab2ab2b

化简得24+〃2-2_0,乂b=L则/=£__1

2

I、r-1____

从+/_/_l+c^-_3+<2_31C,2回£_曲,

~2lx'—-2c4c-4^+4-V4?4-V

3-,即c=G时，等号成立，故cosAN立,

当且仅当不北

2

当角A最大时，cosA取最小，即角A最大值为色，此时c=JJ,

6

gxlxGxg邛.

则S”=­besinA=

2

四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知复数z=a-3i(〃£R)(i为虚数单位).

(1)若(l—i)z是纯虚数，求z；

(2)若复数三在复平面内对应的点位于第四象限，求〃的取值范围.

1+1

【答案】(1)3-3Z

(2)a>3

【解析】

【分析】(1)借助复数乘法运算及纯虚数定义计算即可得；

(2)借助复数运算法则及其几何意义计算即可得.

【小问1详解】

(l-i)z=(l-i)(a-3i)=d-3i-oi-3=(<7-3)-(a+3)i,

..[a-3=0

由1T)Z是纯虚数，则《、八，解得々=3,故z=3—3i；

)。+3工0

【小问2详解】

z_67-3i_(6/-3i)(l-i)_a-3i-ai-3_a-3-4-3.

-

7+I1+i-(l+i)(l-i)-2~~2~2：

7

由复数一一在复平面内对应的点位于第四象限，

1+1

—>0

2

则<“，解得。>3.

“3<o

<2

16.已知a为锐角，a-Be一^,。)，且tana=3,sin(a-，)=-W

\J5

（1）求cos2a和tan（a-尸）值;

(2)求2。一厂的值.

41

【答案】（1）cos2a=——，tan（cr-/?）=——

5

【解析】

【分析】(1)借助二倍角公式与同角三角函数基本关系计算即可得：

(2)借助两角和的正切公式结合(1)中所得可求出tan(2。—0),再结合2a-6范围即可得解.

【小问1详解】

ccos2acos2a-sin2a1-tan2a\-324

cos2a=­彳---------；—=—彳-----------彳—=—;--------=——=—；

sin-«4-cos~asin~a+cos~atarra+13~+15

由=。一夕£(一^,。，

5I2)

故cos(a-/?)=Jl-sin'a一夕)=j-=~^''

石

c、s\n(a-B]c1

则〔an(za-,)=-------------=—p—；

'7cos(a—⑶2V52

5

【小问2详解】

3_1

(切Ll切」l-tana-tan(a-m

由a—--,0I,。为锐角，故2a-/?c（一不彳,则2。一尸二工.

12；122；4

17.如图，为了测量两山顶M,N间的距离，飞机沿水平方向在A,3两点进行测量，A3,M,N在同一个

错垂平面内.已知AB两点间的水平距离为V6km，在A处测得M的俯角为75。,N的俯角为30。，在4处

测得知的俯角为45。,N的俯角为60。.

U---------------g

（1）计算AM,AN的长度：

（2）计算两山顶M,N之间的距离.

【答案】（1）AM=2rAN=3G

⑵M

【解析】

【分析】（I）由题意可求出各角度，在，.A5V/中，利用正弦定理可求出AM,在&AZW中，利用正弦定

理可求出AN；

（2）求出/MAN后，利用余弦定理计算即可得.

【小问1详解】

由题意可得AB=痣、/BAM=75°、/BAN=30°、

ZABM=45。、Z64B^=180°-60°=I20°,

则/LAMB=180°-75°-45°=60。，ZANB=180°-120°-30°=30°,

ARA/3

则在,.ASM中，山正弦定理可得../…，J

sinZ.AMBsinZABM

....AM=-------sinZABM=-sin45°=-^-x—

=2

即sinZAMBsin60°629

2

ABAN

在LABN中,由正弦定理可得

sin4ANBsin/ABN

AN---------sin/ABN--sin1200-

即sin^ANBsin30°

2

即AM=2，AN=3日

【小问2详解】

/MAN=NBAM-/BAN=75°-30°=45

在LAMN中，由余弦定理可得MN2=AM2+AN1-2AMAN-cosZMAN，

即A/N='2?+卜人J-2x2x3及x等二=丽.

18.在VABC中,角AB,C对应边分别为a,瓦c,满足sin（C-A）+JisinA=sinB.

（1）求角C的大小；

（2）若c=6,力在直线AB上，1CDA.AB,求C。的最大值：

（3）延长C4至点N,使得GCA=AN，连接3N,使得NA5N=60。，求“ABC的大小.

【答案】（1）C=^

6

（2）6+35/3

,、兀-5兀

(3)——或一

1212

【解析】

【分析】(I)借助两角和与差的正弦公式计算即可得:

(2)借助等面积法可表示出CZ),再利用余弦定理与基本不等式计算即可得;

(3)设NA3C=6,然后在VABC与_A3N中利用正弦定理计算可得sin26=L,结合。范围即可得解.

2

【小问1详解】

由sin(C-A)+GsinA=sinB,

则sinCeos4-sinAcosC+gsinA=sin(A+C)=sinCcosA+sinAcosC,

即有sinA=2sinAcosC，又AE(0,7T),故sinAwO,

则cosC=5,又C«(U),故C=F；

【小问2详解】

「八ab-sinC3abab

由题意得SgBe=—abs\nC=—cCD,故

22CD=-----------=------=——

c612

由余弦定理可得cosC=="2十"2-36=立，

2ahlab2

故/+/??—36=sl3cib，则36=er+b2—#)ab>2&i~b~—#)ab=(2—>/3)ab

3636(2+@

即ab<-----『=7------LV7-------=36(2+x/3),

2-V3(2-⑹(2+@

当且仅当。=〃时，等号成立，故CQ=或W叫上9=6+36,

12~12

即CD的最大值为6+3如；

【小问3详解】

设Z48c=e,则N5AC=7T—=一。二决

0,

66

5K

则々BAN=K-0=—+0,NN=it—W二P，

676

则有色—e>（）,即o，S,

2\2J

An

在VA8C中，由正弦定理可得——=---------

sinCsin/.ABC

即ACsinC4csin%AC

sinZ.ABCsin。2sin。

ArtAN

在乙ABN中，由正弦定理可得——=----------

sinNsinZABN

.-G/ACsin仔-01

即AB=WsmN=------------[2__2=2ACCOS0，

MBNsinn

3

ACII

故------=2ACcos0,即2sin6cose=—,即sin2。=一,

2sin<922

由丘，故28=4或26=四，即”工或。=三,

I2)661212

即/A3C可能为工或

1212

19.在平面直角坐标系中，设点P是以。为圆心，。为半径的圆上一动点，Q是以尸为圆心，8为半径的

圆上的动点，记OP=(4COWsinx),PQ=(/?cos(x+0),bsin(/+0)),OQ=(/(x),g(x))

(1)若4=1,匕==,求〃力与g(x)的解析式：

(2)若〃=2,。=1,中=],设G(x)=/(x>g(入)，旦G(x)WM对任意的R恒成立，求M的最

小值;

(3)若4(1,1),且O,Q,A三点不共线，求乙。。4面枳的最大值(用〃力,。表示).

【答案】(1)/(x)=cosx-sinx,g(x)=sinx+cosx

(3)十2cos?

【解析】

【分析】(1)借助向最坐标运算可得/(x)=acosx+Z?cos(x+0),g(x)=〃sinx+/?sin(x+e),代入

71

0=1/=1,8=5计算即可得;

(2)结合(1)中所得，可表示出G"),再利用三角恒等变换公式可将该函数变化为正弦型函数，从而可

求出G(x)的最大值，即可得M的最小值;

(3)借助三角形面积公式及平面向量数量积公式计算可得S」,(')一，⑸,再利用辅助角公式可求

2

出|/(司-g(x)|最大值，即可得-。。4面积的最大值.

【小问1详解】

由。Q=O尸+PQ,

故/(x)=acosx+〃cos(x+0),g(x)=asinx+/?sin(x+。),

若a=l,b=l,(p=W,则/(x)=cosx+cosx+cosJV-sinx,

•.(n

#(x)=smx+sinIx+一2J=sinx+cos%；

【小问2详解】

若。=2,b=i,e=]

_/兀)cI