八年级数学下册《平行四边形》四种常考必会模型

八下数学平行四边形四种常考必会模型

一、对角互补模型

(1)如图1,四边形ABCD中，NADC=NB=90'，DE_LAB,垂足为B且AD=CD,

DE=5,求四边形ABCD的面积.可作如下思考：过点D作DFJ_BC,交BC的

延长线于点F,则有4ADE/ACDF,由此可证DE=DF,进一步得出四边形

DEBF的形状为，最后得出四边形ABCD的面积为

订

线

••

料

⑵如图2,四边形ABCD中，ZADC=ZABC=90°,AD=CD,BD=6,求四边形

ABCD的面积.

二、“半角”全等模型

如图，在正方形ABCD中，点E在BC上，点F在CD上，连接AE、AF、EF,Z

EAF=45°.

(1)求证：DF+BE=EF.

(2)过点A作AHJ_EF,垂足为H,求证：AH=AD.

三、“十字架”模型

【问题】如图，四边形ABCD是一个正方形花园，E、F是它的两个门，且DE=CF,

要修建两条路BE和AF,请证明BE=AF,BE1AF.

I)

【探究】去掉"DE二CF”这一条件.

⑴若已知BE=AF,则BE_LAF吗?请说明理由.

⑵若已知BE_LAF,则BE=AF吗?请说明理由.

四、含60。角的菱形

如图，在菱形ABCD中，NA=60。，点E、F分别为AD、DC上的动点，NEBF=60°,

点E从点A向点D运动的过程中，AE+CF的长度（）

A.逐渐增加

B.逐渐减小

C.始终与EF的长度相等

D.保持不变且与AB的长度相等

八下数学平行四边形四种常考必会模型

一、对角互补模型

(1)如图1,四边形ABCD中，NADC=NB=90'，DE_LAB,垂足为B且AD=CD,

DE=5,求四边形ABCD的面积.可作如下思考：过点D作DFJ_BC,交BC的

延长线于点F,则有4ADE/ACDF,由此可证DE=DF,进一步得出四边形

••DEBF的形状为正方形,最后得出四边形ABCD的面积为25.

中

外

图1图2

解：由题可知，ZF=ZB=ZDEB=90°,

•・•四边形DEBF是矩形，

订.\ZEDF=90°.

：VZADC=90°,

：AZADC=ZEDF,

：AZADE=ZCDF,

:VZAED=ZF,AD=CD,

线

；.-.△ADE^ACDF(AAS),

：・・・DE=DF,

••四边形DEBF是正方形，

；••・四边形ABCD的面积等于正方形DEBF的面积，

••

料：工四边形ABCD的面积为52=25

：(2)如图2,四边形ABCD中，ZADC=ZABC=90°,AD=CD,BD=6,求四边形

：ABCD的面积.

解：如图，过点D作DF_LBD,交BC的延长线于F,则NBDF=90°,

:.ZBDF=ZADC,

/.ZADB=ZCDF.

VZADC=ZABC=90°,

AZA+ZBCD=180°,

VZBCD+ZDCF=180°,

JZA=ZDCF,

又・..AD=CD,

AAADB^ACDF(ASA),

ABD=DF=6,S八ADR=S/\CDF,

•e*S四边形ABCD=SABDF.

VBD=DF=6,ZBDF=90°,

AS^BDF^X6X6=18,

，S四边形ABCD=18,即四边形ABCD的面积为18.

二、“半角”全等模型

如图，在正方形ABCD中，点E在BC上，点F在CDE,连接AE、AF、EF,Z

EAF=45°.

⑴求证：DF+BE=EF.

证明：如图，延长CB至点G,使BG=DF,连接AG.

•••四边形ABCD是正方形，

AAD=AB,ZD=ZABE=90°,

(AB=AD,

:.ZABG=90°,在AAISG和△ADF中，\ZABG=ZD=90°,

(GB=DF,

/.△ABG^AADF(SAS),

AAG=AF,ZGAB=ZDAF.

VZEAF=45°,

AZGAE=ZBAE+ZGAB=ZBAE+ZDAF=45°,

(AG=AF,

・••ZEAF=ZGAE.在aAEG和aAEF中，jZEAG=NEAF,

(AE=AE,

.•.△AEG^AAEF(SAS),

/.GE=EF,

ADF+BE=BG+BE=GE=EF.

(2)过点A作AHJ_EF,垂足为H,求证：AH=AD.

解：补全图形后，如图，由(1)得△AEG^^AEF,

AEG=EF,SAAEG=SAAEF9]D

・•亭E•AB4EF-AH,/\

...LAH,/—

VAB=AD,GEc

・・・AH=AD.

三、“十字架”模型

【问题】如图，四边形ABCD是一个正方形花园，E、F是它的两个门，且DE=CF,

要修建两条路BE和AF,请证明BE=AF,BE1AF.

证明：:四边形ABCD是正方形，

AZBAE=ZD=90°,AB=AD=CD,

VDE=CF,

AAE=DF,

AABAE^AADF,

ABE=AF,ZABE=ZFAD.

VZABE+ZAEB=90°,

/.ZFAD+ZAEB=90°,

AZA0E=90°,

ABE1AF.

【探究】去掉"DE二CF”这一条件.

⑴若已知BE=AF,则BE_LAF吗?请说明理由.

BE1AF,理由如下：

•••四边形ABCD是正方形，

/.ZBAE=ZD=90°,AB=AD,

VBE=AF,

.•.RtABAE^RtAADF(HL),

:.ZABE=ZFAD.

VZABE+ZAEB-900,

•••NFAD+NAEB=90°,

AZA0E=90°,

⑵若已知BE_LAF,则BE=AF吗?请说明理由.

BE=AF,理由如下：

•・•四边形ABCD是正方形，ZBAE=ZD=90°,AB=AD,

VBE±AF,AZA0E=90°,AZFAD+ZAEB=90°,

VZABE+ZAEB=90°,/.ZABE=ZFAD,

.-.△BAE^AADF(ASA),

ABE=AF.

四、含60。角的菱形

如图，在菱形ABCD中，NA=60。，点E、F分别为AD、DC上的动点，NEBF=60°,

点E从点A向点D运动的过程中，AE+CF的长度（D）

A.逐渐增加

B.逐渐减小

C.始终与EF的长度相等

D.保持不变且与AB的长度相等

解：如图，连接BD,•・•四边形ABCD是菱形，

AAB=AD=CD,AB〃CD,VZA=60°,

•••△ABD是等边三角形，，AB=BD,ZABD=60°.

VDC/7A