2026年高考数学一轮备考练习（新高考）指对同构问题（学生版+解析）

第三章一元函数的导数及其应用

§3.5指对同构问题

【考情分析•探规律】

考点三年考情（2021-2024）命题趋势

2024•全国甲卷

掌握基本函数的

2023•全国甲卷

导数求解，会导数的基本

2022•全国新n卷

计算，会求切线方程，会

考点1求切线方程及其应用2022•全国新I卷

公切线的拓展，切线内容

2021.全国甲卷

是新高考的命题热点，要

2021•全国新II卷

熟练掌握。

2021•全国新I卷

考点2公切线问题2024•全国新I卷

帚/熊丁迪二不辱冥最褐世面s藐厂桎》若诲逅雷拓「眩王凫荃诵商「而迹菌:

数，利用函数的单调性进行处理，找到这个函数模型的方法就是同构法.同构法主要解决;

含有指数、对数混合的等式或不等式问题.

【必练核心题型】

题型一双变量地位同等同构

【典例】1.若对0<5<2<4都有In仔）一<2x2—Zvi成立，则。的最大值为（）

A.lB.2C.eD.2e

【变式训练】

1.若()a,则下列不等式正确的是()

AMnxiW21nx2B.xilnxi>X21nxi

C/21nxi<x/nX2D.X21nx)>xilnxi

题型二指对同构法的理解

指对同构的常用形式

⑴积型：，一般有三种同构方式：

①同左构造形式：,构造函数«0=把、；

②同右构造形式：ealne"W/?lnb,构造函数/(x)=，dn%;

③取对构造形式:a+lnaWln/?4-ln(lnb)(a>0,b>\),构造函数/U)=x+lnx.

(2)商型：竺W片,一般有三种同构方式：

uInb

①同左构造形式：卷，构造函数；

②同右构造形式：焉w高,构造函数4x)=^；

③取对构造形式:a-\na^\nb~\n[\nb)(a>0⑥>1),构造函数段)=xTnx.

(3)和、差型：e'±^>Z?±lnb,一般有两种同构方式：

①同左构造形式：e^>elnft±lnb,构造函数凡0=F打；

②同右构造形式：eu±lne^Zj+lnh,构造函数y(x)=x±lnx.

,・・■・■・・•・・■・■・■・■■・■・■•・•・•・・■・・・■・■・・•■・・・・・・・・・・・■・・・・■■・■・■・・•・•■・・・・・■・・•・・・・■・■•・•・•■・・・・•・・・•■・・・・・・・・・■・■・・•■・■・■・・•■・■・・・■・・・・•・・・

【典例】1.侈选)若e"+a>Z?+ln，〃为变量)成立，则下列选项正确的是()

A.«>lnbB.a<lnb

C.ea>bD.ea<b

【典例】2.(2025・宜春模拟)在数学中，我们把仅有变量不同，而结构、形式相同的两

个式子称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式.若关

于a的方程aea2=e4和关于b的方程Z?(ln/?-2)=ej;'(^>0,">/)可化为同构方程，

则ab的值为.

【变式训练】

变式1.(多选)对不等式ax+eG>lnSx)+加:进行指对同构时，可以构造的函数是()

A於)=Inx+xB於)=x\nx

C.J(x)=x+eD«v)=2

题型三同构法的应用

【典例】I.设实数Q0,对于任意的Q1,不等式恒成立，则A的最小值

为.

2-m

【典例】2.（2025•衡阳模拟）已知/"是方程W?+（e—l）lnx=2的一个根，贝卜古+

（e—l）lnm等于（）

A.lB.2C.3D.5

【变式训练】

变式1.（2024•吕梁模拟）若关于x的不等式对▼汇£（0,I）恒成立，则实

数。的取值范围为（）

A.（-0°,01B.f-1,01

C.[-l,+8）D.[0,4-oo）

变式2.已知。为自然对数的底数〃力均为大于1的实数若优川十反/加8贝4（）

A.ZbB.Z?>ea+,

C.ab<eD.ab>e

【限时训练】[限时:45分钟]

一、单项选择题（每小题5分，共10分）

1设r>0,y>0,若e*+l”>x+y,则下列选项正确的是（）

A..x>yB.x>lny

C.x<yD.x<lny

2.若关于x的不等式e'+x+ln^mx+\nm恒成立，则实数m的最大值为（）

A.2B.eC.3D.e2

二、多项选择题（每小题6分，共12分）

3.（2025・邯郸模拟）已知。X）,,e是自然对数的底数，若%+e"=a+lna,则。一人

的值可以是（）

A.-lB.lC.2D.3

4.若不等式av-e'lna<0在x£[2,+8）上恒成立，则实数。的值可以为（）

A.3eB.2eC.eD.2

三、填空题（每小题5分，共10分）

5.（2025♦长春模拟）不等式xe'+臂20m<0）对,+8）恒成立，则实数。的取值范

围是.

6.（2025・渭南模拟）已知实数,即满足=g,lnx2=^,则工成=.

四、解答题（共13分）

7.（13分）（2024.咸阳模拟汜知函数於）=及。一乂

（1）讨论儿0的单调性；（5分）

（2）若/U）+x+ln421nx,求实数a的取值范围.（8分）

第三章一元函数的导数及其应用

§3.5指对同构问题

【考情分析•探规律】

考点三年考情（202L2024）命题趋势

2024•全国甲卷

掌握基本函数的

2023•全国甲卷

导数求解，会导数的基本

2022•全国新II卷

计算，会求切线方程，会

考点1求切线方程及其应用2022•全国新I卷

公切线的拓展，切线内容

2021•全国甲卷

是新高考的命题热点，要

2021•全国新n卷

熟练掌握。

2021•全国新I卷

考点2公切线问题2024•全国新I卷

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把一个等式或不等式通过变形，使左右两边结构、形式完全相同，构造函

数，利用函数的单调性进行处理，找到这个函数模型的方法就是同构法.同构法主要解决

含有指数、对数混合的等式或不等式问题.

【必练核心题型】

题型一双变量地位同等同构

【典例】1.若对0<¥|<%2<4都有In仔）'2<2丫2-2x1成立，则。的最大值为（）

A.lB.2C.eD.2e

【答案】B

zr\XiX2

【解析】由喷）<2X2~2XI,0W2<。,

得》iX2（lnx2—lnxi）<2x2—2x1,

X22Xl

则\nx2-\nx]<~,

即InX2-Inx\<-----,

Mx2

#InX2+-^-<lnxi+-,

必

令./U)=lnx+3QO),则/U2)4M,

所以人1)=［一委=养>

令/(X)〉0=Q2,令八x)<0n0«<2,

所以函数./U)的单调递增区间为(2,+8),单调递减区间为(0,2),

所以当0<Vi<X2<2时，加2)<於|)恒成立，

所以0<〃<2,故a的最大值为2.

【解JH技巧】含有地位同等的两个变量莺，即或x,y或。，力的等式或不等式，如果进

行整理(即同构)后，等式或不等式两边具有结构的一致性，往往暗示应构造函数，应用

函数单调性解决.

【变式训练】

1.若0<X］<X2〈l,则下列不等式正确的是()

A.x』nxVRnxzB..rilnjr)>X21nxi

CJQIUxi<¥ilnX2D.X2I11.ri>X|lnX2

【答案】C

［解析］令兀0=Xlnx,则八x)=1+Inx,

当Owl时，/V)的正负不能确定，故国Inxi与X21n12的大小不能确定，故选项A,B

错误；

令g(x)=?，则8'(幻=4广，

当04<1时，8。)二等>。，则g。)在(0,1)上单调递增，

因为0<Xi<X2<l,

所以gS)vg(X2),即电也三，即©In.ri<r,ln力，故选项C正确，选项D错误.

xlx2

题型二指对同构法的理解

指对同构的常用形式

⑴积型：aeYblnb,一般有三种同构方式：

①同左构造形式：oe"Wln加"，构造函数凡0=把、；

②同右构造形式：ertlne"Wblnb,构造函数/(x)=xlnx;

③取对构造形式:a+lnaWlnZ?+ln(lnb)(a>0,/?>1),构造函数府)=x+lnx.

⑵商型：竺WR,一般有三种同构方式：

aInb

①同左构造形式：卷,构造函数火工)=三;

②同右构造形式：高端,构造函数；

③取对构造形式：f/—Ina^\n/?—ln(lnh)(a>0,b>\),构造函数y(x)=x—Inx.

(3)和、差型：e“3>b±ln〃，一般有两种同构方式：

①同左构造形式：eu±«>eln/?±lnb,构造函数/U)=e'±i；

②同右构造形式：ett±lnca>b±\nb,构造函数外)=在仙x.

【典例】1.(多选)若e"+a>〃+ln〃为变量)成立，则下列选项正确的是()

A.a>lnbB.a<lnb

COD.ea<b

【答案】AC

【解析】方法一由e"+〃>Z?+lnb,

可得ea+a>e,nh4-lnb,

令_/(x)=e'+x,则人a)/ln»,

因为/(")在R上是增函数，

所以a>\nb,即ea>h.

方法二由e"+aM+lnA,

可得e"+lnQa>b-i\nb,

令g(x)=x+lnx,贝iJg(c")>gS),

因为g(x)在(0,+8)上是增函数，

所以ea>b,即«>lnb.

【典例】2.(2025・宜春模拟)在数学中，我们把仅有变量不同，而结构、形式相同的两

个式子称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式.若关

于。的方程ae"-2=e，和关于的方程伏in2)=e"r(a>0，/?>e?)可化为同构方程,

则时的值为.

【答案】c8

【解析】对小“一2=°4两边取自然对数，

得lna+〃=6,①

对伙In〃-2)=e3，r两边取自然对数，

得如力+ln(lnb-2)=34—1,

即In/?-2+ln(ln2)=32一3,②

因为方程①②为两个同构方程，

所以32—3=6,解得2=3,

设F(x)=lnx+x且A>0,贝ijF'(x)=3+>0,

所以尸(工)在(0,+8)上当调递增，故F(x)=6的解只有一个，

所以a=\x\b-2,

则ab=b(\n/?-2)=e3X3-l=es.

・爆题技巧】利用恒等式二;和一二赢，通过幕转指或幕转对进行等价变形，构造

函数，然后由构造的函数的单调性进行研究.

【变式训练】

变式1.(多选)对不等式at+e丝>h[Sx)+/»进行指对同构时，可以构造的函数是()

AJ(x)=lnx+xB7(x)=jdnx

C«t)=x+e'DA)=F

【答案】AC

【解析】由恒等式x=hie，可得0¥=111*,

所以ov+eat>ln(/?x)+/?x可变形为

Ineax+eax>\n(bx)+bx,

构造函数/U)=lnx+x,

可得M*).

同理,由恒等式％可得版,

所以办+泮>lnSx)+加:可变形为ax+em>lnSx)+eg),

构造函数./U)=x+e"可得./(ar)MlnSx)).

题型三同构法的应用

【典例】I.设实数Q0,对于任意的QI,不等式依日，lnx恒成立，则々的最小值

为.

【答案】工

e

【解析】由x得履x,

即米卢2*rJnx,

令危)=圮，则八日)2*nx).

因为八x)=(x+l)e"

所以/U)在(-1,+8)上单调递增，

因为心>0,Inx>0,

所以履21nx,即心竽，

令以外=争Ql),贝lj,

当xe(l,e)时,5。)>0,依)单调递增;

当xe(e,+8)时，/?")<o,心)单调递减，

所以〃(X)max=〃(e)=£,即k22,

所以攵的最小值为士

e

2-m

【典例】2.(2025•衡阳模拟)已知〃7是方程Hev?+(e—l)lnx=2的一个根,则eKi"十

(e—l)ln/〃等于()

A.lB.2C.3D.5

【答案】B

【解析】^er-2+(e-I)lnx=2«ednt+t-2+elnx+.r-2=x+lnx=e,nA+lnx,

设刖=e+,则/(f)=e+l>0恒成立，故加单调递增，

由/(elnx+x—2)=y(lnx)得elnjv+x—2=lnx,即(e—l)lnx=2—%.

因为m是方程./eL2+(e-l)lnx=2的一个根，

所以(e—l)ln〃z=2—〃？,

2-m

所以/??=eci,

2-m

所以e=T+(e—l)ln/n=/.»i+(e—l)lnm=m+2-m=2.

【解题技巧】常见的同构函数有：①/U尸等；@fix)=x\nx；③向)=心，；®fix)=^.

其中①④可以借助?=盘=5，②③可以借助xer=(lneV=dnt)t=t\nt进行指对互

化.

【变式训练】

变式1.(2024•吕梁模拟)若关于工的不等式e"Rnx<W+aT对Vx£(0,I)恒成立，则实

数。的取值范围为()

A.(—8,0]B.[-l,0]

C.[-l,+8)D.[0,+8)

【答案】C

【解析】由在(0,1)上恒成立，

可得吟龈在(0,1)上恒成立，

即盘<黑在(°，D上恒成立，

当心。时，捺<0,黑>0,

不等式捺<靠在(°，1)上显然成立；

当时，令府)="，

则/nx)勺3+x)在(0,1)上恒成立,

人工)=宗，当工£(一8,1)时，八幻>0,所以./U)在(一8,1)上单调递增，

又当xe(0,1)时，lnxG(-oo,()),。+工£(-8,i),

所以只需hixva+x在(()，1)上恒成立，

即“>lnx-x在(0,1)上恒成立.

令^(x)=lnx~x,0<v<l,

则^U)=—>0,

X

即g(x)在(0,1)上单调递增,

其中g(l)=ln1—1=—1,故a2g(l)=-1,

所以一IWUVO.

综上，4力一1.

变式2.已知e为自然对数的底数夕》均为大于I的实数若ae2+OGln〃贝1](

A力ve"1B.b>ett+i

C.ab<eD.ab>e

【答案】B

【解析】由,可得ae"「<〃ln%—b=〃(lnb—l)=Z?ln2,即e"lne"<»n，,

eee

设/U)=xlnx,可得.饮")勺(J,

因为a>\,可得e“>e,

又因为b(\nZ?-1)>0,b>\,所以In/?>!,即b>e,所以当>1,

易知当Q1时J(x)=lnx+l>0,可得函数4x)在(1,+8)上单调递增，

所以ea<-,即后e/L

e

【限时训练】［限时：45分钟］

一、单项选择题(每小题5分，共1()分)

1.设x>(),y>(),若ex+lny>x+y,则下列选项正确的是()

A.x>vB^r>lny

C.x<yD^r<lny

【答案】B

【解析】不等式ex+ln)>x+y等价于

er—r>y—Iny,

令/)=e"r,

则川n)，)=泗>一My=y—Iny,

.,・不等式e'-A>y-lny等价于公)川"),

•・W)=e'—l,

・♦•当XE(O,十8)时，/(#>(),犬刈在区间(()，+8)上单调递增，

・,・若)，£(1,+8),则lny£(0,+8),

由./U)次”)有x>lny；

若y£(0,1],则ln)W0,

由x>0,有x>lny.

综上所述，x>lny.

2.若关于工的不等式e'+x+ln/〃恒成立，则实数小的最大值为()

A.2B.eC.3D.e2

【答案】B

【解析】由题意得,/?/>0,x>0,

不等式等价于。，+工2〃n+111(〃坟)恒成立，

即e'+lne》〃u+lnO7ix)恒成立，

令兀0二1+也工，

则不等式转化为犬3)2«，7M,

因为八x)=l+9O,

所以函数yu)在(0,+8)上单调递增，

所以e>mx,则竺2m.

X

令g(x)=?,入>0,

则8'3=华3.

则当0<v<1时，g”)<0,g(x)单调递减；当Q1时，g'(x)>0,g(x)单调递增，

所以当x=1时，g(x)有最小值，

即g(x)min=g(l)=e,则“We,

则m的最大值为e.

二、多项选择题(每小题6分，共12分)

3.(2025・邯郸模拟)已知a>0"WR,e是自然对数的底数，若/?+e〃=a+lna,贝U。一人

的值可以是()

A.-1B.1C.2D.3

【答案】BCD

【解析】设函数1)=%+。］

则大工)在R上是增函数，

所以b+eh—(a+\na)=b-\-eh—(\na+elna)=fib)—/Ina)=0,

所以〃=lna,即a=eh,所以a—b=eh—b,

令ga)=e，一x,则gQ)=eJ1,

当x<0时，g")<0,g(x)单调递减；当x>0时，gU)>0,g(x)单调递增,

所以g(x)2g(0)=l,从而。一匕21,结合选项，选项BCD符合题意.

4.若不等式ar-e'lna<0在x£［2,+8)上恒成立，则实数。的值可以为()

A.3eB.2eC.eD.2

【答案】BCD

【解析】由题意得X),

由ar—cvlna<0得呵=黑，

exaeina

设段)=*，则八x)=/，

当x<\时,f(x)>0，火X)单调递增；当x>\时，F(x)<0,次x)单调递减，

又寅0)=0,,A1)=;,当Q0时，府)=卷>0恒成立，

所以段)二卷的图象如图所示，

春黑，即危)/lna),在2,

对于A,当。=3e时，lntf=ln3+1>2,根据图象可得yU)<7(ln〃)在［2,+8)上不恒成

立，A错误；

对于B,当a=2c时，lna=ln2+l£(l,2),根据图象可得危)勺(h】a)在［2,+8)上恒

成立，B正确；

对于C,当〃=€时,\na=\,根据图象可得,")勺(Ina)在［2,+8)上恒成立，C正确；

对于D,当a=2时，Ina=ln2,

又4n2)=提=［n2,j2)=q,

因为3xgn2—3X~^=In2>/2—,

且2V2>e,e2>6,

即ln2V2>l,^<1,

所以3X扣2-3X总=ln2V2-^>0,

即加)2)/2),

根据图象可得./U)勺(Ina)在［2,+8)上恒成立，D正确.

三、填空题(每小题5分，共10分)

5.(2025・长春模拟)不等式xe、+譬20m<0)对,+8)恒成立，则实数。的取值范

围是.

【答案】［-e,0)

【解析】由疣'+华20可得

xa

2―/=_-如*

令/U)=xe'(x>0),则/(x)=(x+l)e'>0,

故外)在(0,+8)上单调递增,

因为a<0,x£(l,+°°),则一alnx>0,

则alnx),可得alnx,

即