2026年高考数学一轮复习：数列的通项公式 专项训练学生版+解析

第04讲数列的通项公式

目录

01常考题型过关练

题型01累加法官

题型02累乘法目

题型03S”法层

题型04开我口«„+1=P%+q邑

题型05形如%“=p%+

题型06形如%“=/洱+如+b

题型07倒数法

题型。8形如an+2=pan+l+qa,

02核心突破提升练

03真题溯源通关练

01

L01累加法

1.若数列｛an｝满足册=斯-1+号（九二2且"W收），%=：，则。2025=（）

20222024

20232025

2.已知数列即满足%=3,an+i=Qn+：-・，则即=（

A.4+-B.4--C.2+-D.2--

nnnn

3.数列5｝满足的=-1,且即+1=（1+；）每+久九€/），则即2等于（）

A.19B.20C.21D.22

4.若数列｛册｝满足即一=就不（n22,且?iWN*）,%=：,则册=-

5.（1）已知数列｛册｝满足由=-1,4+1=即+卜W，neN\求数列｛斯｝的通项公式.

（2）在数列｛%｝中，a,=1,an=（1-a„_i（n>2）,求数列｛an｝的通项公式.

散型I02累乘法

6.（2025•江西・模拟预测）已知数列｛a｝满足:=2,,令%=

nan+1—c«+2a2+3a3H-----Fnan

限］+〃+2+〃+3'数列｛4｝的刖几项札5'则"2025=()

11111111

ADrn

•82029!*62028!42027),22026!

记为首项为的数列｛&｝的前，项和，且荒

7.Sn1=n2,则S30=()

A60C50.60rx50

A.—B.-C.

2929£D-£

已知为数列｛的前几项和，若，则的值为（）

8.Sna"52=12Sn=nan,Q25

A.23B.24C.25D.26

9.(2025•江西•模拟预测)设数列｛%｝的前■项和为利已知。i=1,每=nSn，则2024!%。25=(

A.2024B.2025C.-2024D.-2025

10.数列｛a,J中,若%=2,即+1=,则2024。2025=-

散型I03S.法

11.（2025•江西新余•模拟预测）己知数列｛册｝的前几项和为9，Qn+l+3Sn・S"i=0,%="

⑴证明：数歹暇｝为等差数歹h

（2）求｛册｝的通项；

12.（2025•宁夏石嘴山•模拟预测）记又为数列｛QN｝的前〃项和，且满足力=1,再；-向=1.

⑴求治;

（2）求品；

13.（2025・湖北恩施•模拟预测）已知正项数列｛即｝的前n项和为国，旦册=2店—1.

⑴证明：数列｛/｝是等差数列；

14.（2025•甘肃白银•模拟预测）记数列｛册｝的前〃项和为右，已知%=9,知一即=九一1.

⑴求数列｛即｝的通项公式：

15.（2025•山西朔州•模拟预测）已知数列｛5｝的前几项和%满足Sn=2"i+1.

⑴求｛Qj的通项公式；

16.（2025•广西南宁•三模）已知正项数列｛的｝的前〃项和为无,且4sn=^+20nmWN*）.

⑴求数列｛册｝的通项公式；

17.已知%是数列｛即｝的前〃项和，+%=£

23n4

⑴求｛aj的通项公式.

散型IL04形如%+i=p〃.+q

18.已知数列｛%J的前〃项和为S”，an+1=3an+2,且S?=6,则下列说法正确的是（）

A.a1=2B.Q3+Q4=69

C.｛斯+1｝是等比数列D.｛册+2｝是等差数列

19.已知数列｛。〃｝满足2a7i+i+4G〃=3,且%=1,则的=（）

259257

A.—B.129C.—D.130

22

20.（多选）已知数列｛册｝的前〃项和为右,首项的=1且满足0n+1=2每+1,则（）.

A.Q3=9.B.数列｛册+1｝为等比数列.

C.an+1>an.D.S10=2037.

21.已知数列｛%J的前〃项和为又，RSn=2an-n,neN*.

⑴求数列｛Qn｝的通项公式；

22.已知数列｛的｝满足的=4,0r+i=3an-2.

⑴求数列｛册｝的通项公式；

2

23.在数列｛a,J中，Qi=1,且涉足册+1=2an+1,数列｛仇J的前几项和为及，且又=n（nGN*）.

⑴求｛aj和他4｝的通项公式；

散型I[05形如『=/

n

24.设数列｛0｝的前ri项和为Sn=2an-2,M()

A.5a8>4a9B.5cz8<4a9C.5S8>4a9D.5S8<4a9

n

25.己知在数列｛册｝中，%=l,an+1=3an+2,则0n=.

n

26.已知数列｛斯｝的首项由=1,且满足即+1+an=3x2,Ma7=__,

n+1

27.已如数列｛a,J满足的=2,0r+i=2an+3-2

⑴求数列Sn｝的通项公式；

28.已知数列｛册｝的前n项和为S?i，%=1,且3Sn=(n+2)an；数列出J的首项瓦=1»且满足匕+i+%=

3x2n.

⑴求证：｛勾一2"｝是等比数列；

(2)求Sn｝的通项公式;

n

29.已知数列｛即｝满足%=5,且a』=3an-2(neN*).求数列｛每｝的通项公式;

30.已知数列｛Q〃｝满足也+1-2的=3"1(几£N"),%=11.

⑴求数列｛为3的通项公式；

散型[06形如an+[=patl+kn+b

31.设Sn数列｛%｝的前般项和,若%+3=2即+九，则&0=（）

A.3059B.2056C.1033D.520

32.已知数列｛%｝的前n项和为又，其中由=Lan+1=Sn+2n+l,则言；=（）

.101,,53_303_153

A.—B.—C.—D.—

10S2814

33.在数列｛。篦｝中，已知出=3,且Qn+i=4册+6九一5（九€N"）,则％$二（）

A.415-15B.215-29C.215-15D.415-29

34.已知数列｛%J满足4=1,ar+1=2an+〃，则4=（）

A.17B.18C.19D.20

35.数列｛Q/、｛5｝满足：。2=1，«n+i=2an-2n+5（nGN*）,3Sn=bn+2（nGN*）,其中%是数列｛5｝

的前n项和.

⑴求数列｛册｝，｛%｝的通项公式：

36.设数列｛a71｝满足：%=2,ar+1=2an+4n—4.

⑴求数列｛Qn｝的通项公式；

致型I,07倒数法

37.已知数列｛斯｝满足的=1,即+1=/(几WN"),则%。=()

・1021・1022・1023・1024

n=

38.数列｛。丑｝满足⑥=4,an+1=,则Q985•

39.已知数列｛册｝中，%=1,&+1=^(neN)

(1)求册；

40.已知数列｛即｝中，的=1且册+1=

⑴求数列｛斯｝的第2,3,4项；

⑵猜想数列｛即｝的通项公式，并iE明.

41.已知数列—｝满足g=£Qn+i=屏.求｛品｝的通项公式.

42.已知数列｛a｝中，%=4,册+1=念

n“fl

⑴求数歹注上｝的前几项和Sn；

43.己知数列｛即｝满足/=2，2a-a=16aa,则数列Q｝的通项公式为________

ion+1nn+1n

散型I[08形如q+2=P%“+啊

44.已知数列｛册｝满足。3-。2=9,与一4册_1+3a吁2=0（九Z3）,则与一%=（）

nn-1

AA.-3--3Bc.-3n-+-3C-.2r-3rn-6，Dc.-3-----l-

242

45.（多选）已知数列｛an｝的前71项和为%,且满足为=1,a2=3,an+2=3an+1+4an,则以下说法正确

的是（）

A.｛即+1+Q”｝是等比数列B.｛册+1一4册｝是等比数列

_4n+（-l）n_2x4n+1-3（-l）n

rCQn=-s—nD-品c=-

46.已知数列｛a,J中%=1,©=3,且满足an+2+3an=4an+1.设%=an+1-an,nEN*.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

⑵求数列｛a"的通项公式；

02

核心突破提升练J

1.（2025•云南昆明•模拟预测）设6为数列3J的前〃项和，当nN2时,Sn+2=5Sn+1-8Sn+4Sn_1,已

大口（1］—1,0,2=4,。3=12.

（1）证明：数夕认即+i-2斯｝为等比数列；

（2）求数列｛即｝的通项公式；

2.（2025・海南•模拟预测）已知数列｛时｝的前〃项和为1，HSn=2an-n,nWN",

⑴求数列｛an｝的通项公式；

3.（2025•广东广州•三模）已知数列｛册｝满足%=1,%=6,且对任意的n>2,ne/，都有的+i+an-i=

2ar+3.

⑴设原=即+1即，求证：数列［砥］是等差数列，并求出其的通项公式；

⑵求数列｛册｝的通项公式；

4.（2025•广东揭阳三模）记Sn为数列｛斯｝的前n项和，已知的=1,Sn=712aH.

⑴求。3；

⑵求｛册｝的通项公式；

5.（2025•山西忻州•模拟预测）已知数列｛即｝的前〃项和又满足％=2n+1+1.

⑴求｛an｝的通项公式；

03

2

1.（2025•天津•高考真题）Sn=-n+8n，则数列｛|an|｝的前12项和为（）

A.112B.48C.80D.64

2.（2024•全国甲卷•高考真题）记现为数列｛斯｝的前几项和，己知4sH=3^+4.

⑴求｛册｝的通项公式；

3.（2023•全国甲卷•高考真题）设Sn为数列S”｝的前〃项和，已知a2=l，2Sn=Wn.

⑴求｛an｝的通项公式：

4.（2023•新课标I卷•高考真题）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续

投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮的命

中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.

⑴求第2次投篮的人是乙的概率：

⑵求第i次投篮的人是甲的概率；

5.（2021•全国乙卷•高考真题）记立为数列｛即｝的前〃项和，与为数列｛Sn｝的前〃项积，已知：+==2.

（1）证明：数列出〃｝是等差数列；

（2）求｛%｝的通项公式.

第04讲数列的通项公式

目录

01常考题型过关练

题型01累加法医

题型02累乘法目

题型035〃法宜

题型04形如%=P4+4国

题型05形如%=pq,+q"

题型06形如％产/%“+也+/?

题型07倒数法

题型08形如〃2=川+张〃

02核心突破提升练

03真题溯源通关练

01

L01累加法

1.若数列｛an｝满足即=匍-1+念(n>2且nWN+)，=1,则即025=()

2022202320242025

2023202420252026

【答案】D

【详解】由an=«n-l+品；=即一«n-l=^-W，可得:

12025

»累计可得：。2025=1______

2026—2026’

_1[

、。202502024—ZQ252026

故选：D.

2.已知数列即满足%=3,。几+1=Qn+；—则得二（

A.4+-B.4--C.2+-D.2--

nnnn

【答案】B

【详解】因为“+1=an+所以Qn+1一册=:一W，

所以当2时，a2-«!=1-p«3-«2=^-P...»Q“一0-1=]^7-2（八22），

累加可得-«1=（。2-«1）+（。3-«2）+…+（即-«n-l）=l-7+；-；+-+-77-^=l-；（n>

44nflA•I•*

2），

因为m=3,所以即=1一：+3=4-;（八之2）,当n=l时，%=3,满足上式，

所以册=4一：，

故选：B.

3.数列｛an｝满足%=-1,且an+i=（1+9即+（（几£/），则的2等于（）

A.19B.20C.21D.22

【答案】B

【详解】因为0n+L（1+；）0n+施3），常吟+扁，鬻-合高=2（占总，

所以鳄若=2（1-）母心=2（»3,卜—），…,四一怒=2七-3也之2）.

累加得攀一中=2（1-3）（nN2）,又由二一1,

所以早二1一久几二2）,即即=71—2（九N2）.

当英=1时，«1=1-2=-1符合上式，所以册=n-2（"6N）

则ci22=22-2=20.

故选：B.

4.若数列｛6｝满足品一。时1=嬴扃（〃之2,且"EN*）,%=：,则册=

2n+l

【答案】

2n+2

【详解】因为斯-%1=而显=退-总（心2,且n£N*）,

所以%=（册-an-i）+（an-i-4.2）+…+（。2-Qi）+Qi=1[Q-去）+（去一；）+…+G一?+

（---）]4--=^^：

\23/J42n+2

经验证，几=1时，段符合条件.

故答案为：篇.

5.（1）已知数列｛%｝满足=-1，an+l=an+^-^Y»neN#,求数列｛%J的通项公式.

（2）在数列｛册｝中，=1，=（1一，）册_式兀＞2）,求数列｛册｝的通项公式.

【答案】（1）斯=一%（2）%=：.

【详解】⑴"*1一即二：一W，

11111111/、C、

a2-«1=；_7a3-@2=；一鼻，。4一@3=三一】…，斯-«n-l=---（^2）,

JL44JD!!IJL11

将以上?I—1个式子相加，得-。1）+（。3—a2）+（。4—a3）+…+Sn—%1-1）

=(D+(*)+(—)+…+后一)，

t'Pan-%=1-(n>2,n6().

斯=%+1一;=-1+1一;=一;(7122,71WN)

又当？1=1时，%=—1也符合上式，

故数列｛5｝的通项公式为即=eN）

（2）因为%=1,Qn=（1-;）即-1（九22）,所以含■=?，

所以即='•吧•吐.....%.幺.%=0・匕・二.....£.2=1

an-ian_2fln-3。2叼，nn-1n-232n

又因为当n=l时，%=1,符合上式，

所以数列｛Qn｝的通项公式为册=-（neN）

鼓型I102累乘法

6.(2025•江西•模拟预测)已知数列｛aj满足：%=2,an+1=aA+2a2+3a34-4-nan,令bn=

71+3

，数列｛匕｝的前几项和Sn，则S2025)

an+i+an+2+an+3n

111

A.-C-.....—

82029!"42027!22026!

【答案】B

【详解】因为数列｛即｝满足：1=2,an+1=czj+2a2+3a3++nan,

当r=1时，&=Qi=2,

当?1>2时，由。葡+1=%+2a2+3a3■1----bnctnnJ得+2a2+3a3+•••+(n-l)Qn-i，

两个等式作差得即+1-即="M，所以即+1=（九+1）册，可得="+1，

当代之3时，=%•子•黑…f-=2x1x3x…x"=九!，a?=2满足册=汨，

aia2«n-i

故当n>2时，an=n!,

71+3?i+3_n+3

所以以=

0n+l+On+z+^n+S(n+l)!+(n+2)!+(n+3)!一[l+(n+2)+(n+2)(n+3)](n+l)!

_n+3_]_n+2_(n+3)-l___1_______1_

一(n+3)2(n+l)!―(n+3)(n+l)!一(n+3)!―(n+3)!―(n+2)!(n+3)!’

因此，52屿=（言一看）+6-—3+—+（寂一焉）11

6—2028!

故选:B.

7.记5„为首项为1的数列｛&｝的前九项和，且针=M，则530=()

A60C50_60c50

A.—B.—C.—D.—

29293131

【答案】c

【详解】易得S〃+i=(九+1)2册+1，故%+i-S八=5+1)20计1一？12。“，

2

化简得(M+2n)an+1=nan>即(九+2)an+1=nan,

由%=1知品工0,故管1=毒，

累乘可得父11…-----X-X-,

示刁v"寸ann+243'

即Gn+1=7--7=7---Z---7»故Q[t=~~r(n>2),

1n+1(n+l)(n+2)(n+l)(n+2)"nn(n+l)v7

2

当朴=1时，也符合上式，故又=nan=W，故S30=当

故选：c.

8.已知5n为数列｛a"的前几项和，若*=1，2Sn=nan,贝必25的值为()

A.23B.24C.25D.26

【答案】B

【详解】当几=1时，2sl=Qin2%=Qin%=0,

由$2=Qi+=1==1，

由2Sn=ZlQn，得2S“+1=(九+1)%+1，

两式相减得，2Sn+i-2S=(n+l)ai-na=2a=(n+1)每+1-几许=乎=三，

nn+nn+1un〃一人

所以。25=-'--=1x-x-x•••x—=24,

八八252。2a3。241223

故选：B

9.(2025•江西•模拟预测)设数列&｝的前几项和为%,已知%=1,即="Sn，则2024!。2025=()

A.2024B.2025C.-2024D.-2025

【答案】B

【详解】由即=l,an=nSn可得S”-Sn_!=nSntn>2,

即(1—n)S=Sjt.i，因此守■i

nwi;

因此又=皆~•然•泞，Si=六•六•六…T•1=((：)),

可得(n-l)!Sn=(-l)n-】,

2024

所以2024!a2Q25=2025x2024!£025=2025x(-1)=2025.

故选:B

10.数列｛%｝中,若4=2"n+i=嬴7。7-则2024a2025=.

【答案】黑

【详解】若为=2,an+1=j则a-0且等=」n+1

—。2•a1=71———1x71———2x71———31xc2=2",

所以…e；黄素a,nn-1n-22n

所以2024a2025=2024x瘾=翳.

故答案为：瑞。

散型।：03S.法

11.（2025•江西新余•模拟预测）己知数列｛册｝的前〃项和为9,Qn+i+3Sn.Sn+i=0,%=g.

⑴证明：数歹lj｛1｝为等差数列；

（2）求｛册｝的通项；

【答案】（1）证明见解析；

=1

（2）an=1、；

~3n（n-l）,n-

【详解】（1）因为即+1=Sn+1-S”，所以Sn-Sn+i=3Sn+lSn，故S---T-=

又（=2=3,所以｛2｝是以3为首项，3为公差的等差数列•

（2）由（1）知己=3+（九一1）-3=3九=Sn=塌，

当心2时，«n=-3-（^~）=-^^，

而n=1时，an=:不满足题意，

-（3，n=1

所以即=4二.

1一赤T?71之2

12.（2025•宁夏石嘴山•模拟预测）记％为数列｛时｝的前〃项和，且满足0=1,反；一房=1.

⑴求品；

⑵求即；

【答案】(l)Sn=M

(2)an=2n-1

【详解】(1)由氏；一代=1可知数列｛图是首项为1,公差为1的等差数列，

故=l+n-l=n,即=n2.

(2)当n>2时，On=Sn-Sn-1=2n-1,

又因为%=1满足上式，故an=2n-1；

13.(2025•湖北恩施•模拟预测)已知正项数列｛0｝的前n项和为又，月.斯二2疯一1.

(1)证明:数列｛%｝是等差数列;

【答案】(1)证明见解析

【详解】(1)据题可得：(Qn+l)2=4Sn,当nN2时，(an_i+l)2=4S“T，

两式子作差可得：

a'n-Q，1+2an-2an_r=4an=W--2(an+即_。=0=>(an+an_i)(an-an_x-2)=0,

又品十^n-i丰0，所以an-an-i-2=0=>an-an.x=2,

当n=1时，a[=2yfs[—1=%-2Vs7+1=0=(V^i—I)2=0=a1=1,

所以，数列｛&｝是以1为首项，2为公差的等差数列：

14.(2025•甘肃白银•模拟预测)记数列｛册｝的前〃项和为右，已知%=9,^-an=n-l.

⑴求数列｛a3的通项公式；

【答案】⑴0n=11-2n：

【详解】—得S”=ria”+九？一n,

2

当?i>2时,有Sn_i=(n-1)册-1+(n-I)-(n-1),

22

得/=Sn_S“_i=nan+n-n-[(n-+(n-l)-(n-1)]，

化简可得(n-l)an=(n-1)0n--2(n-1),

因为所以5—1),0,所以an=册_1-2,

所以数列｛Qn｝是以%=9为首项，d=-2为公差的等差数列，

所以Qn=11-2n；

15.(2025•山西朔州•模拟预测)己知数列｛对｝的前几项和多满足S,=2"】十1.

⑴求｛斯｝的通项公式；

【答案】⑴如=梭：二；

n+1nn

【详解】(1)在数列｛an｝中，Sn=2"1+1,当九工2时，an=^n-Vi=2-2=2,

而%=Si=5,不满足上式，

所以数列｛即｝的通项公式为即=膈.

16.(2025•广西南宁•三模)已知止项数列｛册｝的前〃项和为又，且45〃=6^+2。式九€▽).

⑴求数列｛a“｝的通项公式;

［答案］⑴%=2n；

【详解】（1）当九二1时，4s1=。：+2。1，得嫌一2。1=0,即＞0,所以%=2.

当林>2时4Sn_i=W-i+2dn-i，

联立4S〃=+2%,两式相减可得：

4Q「=W-WT+2an-2a〃_1，化简得(册-an^-2)(a„+=0,

因为即+an_t>0,所以即-an_i=2,

故数列｛an｝是以的=2,公差d=2的等差数列，所以即=2n；

17.已知%是数列｛册｝的前〃项和，%+?+与+...+%=正”.

23n4

⑴求｛&J的通项公式.

【答案】⑴即=9

【详解】（1）设（=%+&+%+…+%=z.

n123n4

当九=1R寸，%=K]=

1142

当九22时，治―除_】=色=小一空但空2

nn1n44

化简得：血=史上过二空32二三=工故品=贮.

n442Tl2

验证〃=1时，«!=-=-＞符合条件.

122

因此，通项公式为册=9.

茎型I＞04形如〃川二网+4

18.已知数列｛Q7J的前〃项和为国，an+i=3an+2,且S?=6,则下列说法正确的是（）

A.%=2B.%+。4=69

C.｛斯+1｝是等比数列D.｛g+2｝是等差数列

【答案】C

【详解】数列｛。71｝中，。1+。2=$2=6,由即+1=3%+2，得。2=3。1+2,解得%=1.

因为即+i=3ati+2,所以g+i+1=3（an+1）,

因为%+1=2,所以数列｛%,+"是首项为2,公比为3的等比数列，

所以即+1=2x3-1,故册=2x3nt-1.

对于A,%=1,A错误；

2x3213

对于B,a3=-=",4=2X3-1=53,故%+a4=70,B错误；

对干3｛Q〃+1｝是等比数列，（:正确；

n

对于D,an+2=2x3t+1»而即+2=3,。2+2=7,%+2=19不成等比数列，

所以｛0.4+2）不是等差数列.D错误.

故选：c.

19.已知数列｛Q?J满足2册+1+4G〃=3,且臼=1,则。9=（）

2S92S7

A.—B.129C.—D.130

22

【答案】C

【详解】因为2ati+1+4即=3,所以卅+1=-2册十|，

则加+】7=一2（小一3,所以数列区一斗是首项为也公比为一2的等比数列,

则册Wx（-2厂】，即即二|x（一2厂】+：,

所以的=：X（一2）8+；等.

故选：C.

20.（多选）已知数列｛%｝的前〃项和为%,首项3=1且满足册+i=20n+1,则（）.

A.%=9.B.数列｛册+1｝为等比数列.

C.an+1>an.D.S10=2037.

【答案】BC

【详解】构造等比数列，两边加1得:0n+i+1=2（an+1）,

所以数列｛斯+1｝是首项为%+1=2,公比为2的等比数歹ij,

2(l-2n)

由等比数列通项公式得：即+1=2x2n-1=2n,a=2n-l,S=-ln=(2n+1-2)-n,

nn1-2

由每+1=2即+1，首项％=1得。3=7,选项A错误；

由4+i+1=2(an+1)可知｛Qn+1｝是公比为2的等比数列，选项B正确；

n

an+1-an=2>0,选项C正确；

n11

510=Sili(2-1)=(2-2)-10=2048-12=2036*2037,选项D错误;

故选：BC.

21.已知数列｛Q,J的前〃项和为S”，且=2an-n,neN*.

⑴求数列｛5｝的通项公式；

【答案】⑴册=2"-1.

【详解】(1)因为Sn=2an—n,

取九=1可得Si=2al—1,又Si=

所以％=2al—1,解得4=1,

当九Z2,n£/时，用九一1替换"可得%-1=2a计1一九+1,

所以的=2an-2an_t-1,

即即=2an_1+1,

所以%+1=2册-1+1+1=2(an_i+1),乂%+1=2,

。+1

即=2,

*1+1

所以数列｛Qn+1｝是以2为首项，2为公比的等比数列，

所以即+1=2x2叱1=23

即册=2n—1.

Q

22.已知数列｛,J满足的=4,ar+1=3an-2.

⑴求数列｛为J的通项公式：

【答案】⑴M=3'+1；

【详解】(1)an+1=3an-2,故每+i-1=3(斯-1),

%=4,故%-1=3,所以｛即-1｝为首项为3,公比为3的等比数列，

所以册-1=3-3n-1=3n,所以%,=3n+1；

2

23.在数列｛%］中，的=1,且满足。沱+1=2an+1,数列｛bn｝的前几项和为右，且Sn=n(nejq,)-

⑴求｛6｝和他高的通项公式;

+

【答案】⑴即=2"-1,bn=2n-l(neN)

【详解】(1)an+1=2an+1,/.an+1+1=2(an4-1),

•••(anI1｝是首项为2,公比为2的等比数列，即加=2n1；

22

由&二九2(九£N*),当九二2时，bn=Sn-Sn_i=n-(n-l)=2n-1,

当黄=1时，仄=Si=1,；比=1=2x1—1也满足匕几=2九一1,

•••bn=2n-l(ne/)，

散型I*5形如〃川二P%+d

n

24.设数列｛的｝的前n项和为%,Sn=2an-2,则()

A.5a8>4a9B.5a8<4a9C.5S8>4a9D.5S8<4a9

【答案】B

[详解】因为数列｛%｝的前几项和为Sn，Sn=2an-2”,

当九=1,时，Qi=1=2al—2,解得%=2,

n

当汽>2时,由又=2an-2n可得Sn_i=2an_1-2-\

上述两个等式作差可得为=2册-2aAi-2〃T，整理可得册-2%_]=2"T,

等式a”一2an_1=2时】两边同时除以2n可得黑-器=g

所以，数列偿｝是首项为£=1,公差为前勺等差数列，

故黑=1+3=等，所以册=5+1)・2，1,

7787

故5a8=5x9x2=45x2,4a9=4x10x2=80x2»故5a&<4a9，A错B对;

nnnn

由题意可得％=2a1x-2=(n+1)-2-2=n-2,

所以5s8=5x8x28=80x27=4a9,CD都错.

故选：B.

n

25.已知在数列｛%J中，%=l,an+1=3an+2,则.

【答案】3n-2n

【详解】•••册+1=3册+2%两边同时除以2"，得*=|・$+右

令心二聚，则&+1='%+打bn+l+1='(%+1)也+1=微+1=｝

则m+1｝是首项为|,公比为|的等比数列.

・•・瓦+1=(|)"，即聚+1=(|)，则即=3"-2n.

nnnn

方法一：，两边同时加上2计1,则即+i+2+i=3an+2+2-2=3(an+2),

n

令bn=n+2,则41+1=3bn,b]=01+21=3,

则｛bn｝是首项为3公比为3的等比数列..・.%=3%则斯=3厂2n.

方法二：•••%】=3册+2%两过同时除以3"i,得器=^+^=^+3(),

令%=T，则%+i_心=：♦(§二瓦=£■=£

故当nN2时，儿一41T=3G)，儿_1-b吁2=；.(1)，…也一与="电出-儿="(》,

累加得几-瓦=：◎1+G)"2+…+$+|]"•加-瓦=：_⑶，

二/)“=1—◎(n>2)>当九=1时，也符合此式，

则an=3n也=3二2”.

故答案为:3n-2n.

26.已知数列3J的首项由=1,且满足即+1+即=3x2*1,贝3=_.

【答案】127

nn+1n

【详解】因为每+1+(1n=3X2t所以“+1—2=—(on—2)>

则%W二=一1,所以｛即-29是首项为由—2=1-2=-1,公比为一1的等比数列，

an-z

nn1n

an-2=-l-(-l)-=(-1)\所以册=(-l)+2\

所以％=(-1)7+27=-1+128=127.

故答案为：127.

n+1

27.已知数列｛斯｝满足4=2,an+1=2an+3-2

⑴求数列｛a"的通项公式：

【答案】⑴0n=(3n-2)・2n

【详解】(1)由0n+i=20n+3,2"1,得舞1一.=3,

因此数歹U既｝是以费=1为首项，3为公差的等差数列，^=l+(n-l)-3=3n-2,

所以数列｛%｝的通项公式为=(3n-2)-2n.

28.已知数列｛%｝的前"项和为%,%=1,且3Sn=(n+2)册；数列｛b｝的首项瓦=1,且满足卸+i+%=

3x2”.

(1)求证:｛为一2一是等比数列;

(2)求｛an｝的通项公式：

【答案】(1)证明见解析

(2)an=^p

【详解】(1)因为4i+i+b“=3x2",

nnn

所以6八+1—2+i=~bn+2=~(bn—2)>

乂bi=1,则瓦-21=1-2=-1^0,故丁=-1,

所以｛%-2■是首项与公比都为-1的等比数列.

(2)依题意，3Sn=(n+2)an,

当n>2时，3Sn_x=(n+l)a„,1(

两式相减,得3册=(n+2)an-(n+l)an_1,

整理得5-1)即=5+i)a…即悬=岩，