基本初等函数-高中数学考点分类练

专题2.3基本初等函数

【三年高考】

1.12015高考四川，理8】设“，〃都是不等于1的正数，则“3">3人>3”是“log,QvlogQ”的()

(A)充要条件(B)充分不必要条件(C)必要不充分条件(D)既不充分也不必要条件

2.(2015高考北京，理7】如图，函数f(x)的图象为折线ACB,则不等式/(A)2log2(x+1)的解集是()

A.{x|-1<XW0}B.{x|-iWxWl}C.{.r|-l<x^l}D.{x|-l<x^2)

3.12015高考天津，理7】已知定义在R上的函数/(力=2*叫一1(加为实数)为偶函数，记

a=f(log053),h=/(log25),c=/(2m),则“七c的大小关系为()

(A)a<b<c(B)a<c<b(C)c<a<b(D)c<b<a

4.12015高考四川，理15】已知函数f(x)=2*,g(x)=Y+G•(其中.对于不相等的实数

设加=/⑷-八与),〃=.现有如下命题:

X]-x2J1-x2

(1)对于任意不相等的实数M，W，都有机>0；

(2)对于任意的〃及任意不相等的实数%,与，都有〃>0；

(3)对于任意的小存在不相等的实数使得〃2二〃；

(4)对于任意的小存在不相等的实数内,々，使得加二-〃.

其中的真命题有(写出所有真命题的序号).

5.[2015周考浙江，埋18】已知函数/。)=/+以+伏4/£氏)，记M(。/)是|〃x)|在区间上

的最大值.

(1)证明：当|。|之2时,之2；

(2)当。，b满足M(〃,b)42,求|。|+闻的最大值.

6.12014高考江苏卷第10题】已知函数/(x)=r+如一],若对于任意的工£上耳〃2+1]都有/(x)v0,

则实数/”的取值范围为.

7.12014浙江高考理第7题】在同意直角坐标系中，函数/。）二V（120）送（工）=唾尸的图像可能是

)

ABCD

8.[2014高考福建卷第4题】若函数y=log,x（a>0,且。W1）的图像如右图所示，则下列函数图像正确的

9.12014天津高考理第4题】函数“X)=log,(x2-4)的单调递增区间是

2

()

(A)(0,+¥)(B)(-¥,0)(C)(2,+¥)(D)(-?,2)

10.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）理】函数五4）的图象向右平移•个单位长度，所得

图象与卢关于），轴对称，则fix）=（）

A.et+,B.et_,C.e-x+,D.e-A-1

11.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）】函数f（x）=21nx的图像与函数

g（"=x2—4%+5的图像的交点个数为（）

A.3B.2C.1D.0

12.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）理科】已知函数

/（.r）=x2-2（fl+2）x+fl2,^（A）=-x2+2（6f-2）x-«2+8.设

"1（丫）=01标｛/（犬）常（力｝,”2（力=m11｛/（月超（同｝,（01标｛〃,夕｝）表示〃国中的较大值，min｛PM｝

表示p,g中的较小值，记H1（x）得最小值为A,方其力得最小值为反则A—8=

（A）16（B）-16（C）«2-2«-16（D）/+2。-16

【2016年高考命题预测】

纵观2015各地高考试题，对基本初等函数的考查，大部分是以基本初等函数的性质为依托，结合运算推理

解决问题，高考中一般以选择题和填空的形式考查.幕函数新课标要求较低，只要求掌握幕函数的概念，图

像与简单性质，仅限于几个特殊的基函数，关于哥函数常以5种基函数为载体，考查寻函数的概念、图象

与性质，多以小题形式出现，属容易题.二次函数的图象及性质是近几年高考的热点；用三个“二次”间

的联系解决问题是重点，也是难点.题型以选择题和填空题为主，若与其他知识点交汇，则以解答题的形

式出现.指数函数在历年的高考题，中占据着重要的地位.从近几年的高考形势来看，对指数函数的考杳，大

多以基本函数的性质为依托,，结合运算推理，能运用它们的性质解决具体问题.为此，我们要熟练掌握指数

运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数进行变形处理.高考题目形式多以指数函数为载体的复合函数

来考察函数的性质.同时它们与其它知识点交汇命题，则难度会加大.对数函数在历年的高考题中占据着重

要的地位.从近几年的高考形势来看，对对数函数的考查，大多以基本函数的性质为依托.，结合运算推理，

能运用它们的性质解决具体问题.为此，我们要熟练掌握对数运算法则，明确算理，能对常见的对数型函数

进行变形处理.高考题目形式多以对数函数为载体的复合函数来考察函数的性质.同时它们与其它知识点交

汇命题，则难度会加大.基本初等函数是考察函数、方程、不等式很好的载体，预测2016年会继续加强对

基本初等函数图象和性质的考察.尤其注意以基本初等函数为模型的抽象函数的考察，这种题型只给出定义

域内.满足某些运算性质的法则，往往集定义域、值域、单调性、奇偶性与一身，全面考察学生对函数概念

和性质的理解.

【2016年高考考点定位】

高考对基本初等函数的考查有三种主要形式：一是比较大小；二是基本初等函数的图象和性质：三是基本

初等函数的综合应用，其中经常以分段函数为载体考察函数、方程、不等式等知识的相联系.

【考点11指数值、对数值的比较大小

【备考知识梳理】

指数函数），="（。>0,。工1）,当a>l时，指数函数在切单调递增；当Ovavl时，指数函数在

（-CO,4-CO）单调递减.

对数函数y=k）g“x（Q>O,awl）,当a>l.时，对数函数在（0,+8）单调递增；当Ova<l时，对数函数在

（0,+8）单调递减.

寻函数），二%〃图象永远过（1,1）,且当a>（）时，在xe（0,48）时，单调递增；当二<0时，在x£（0,+oo）

时，单调递减.

【规律方法技巧】

指数值和对数值较大小，若指数值有底数相同或指数相同，可以考虑构造指数函数和累函数和对数函数，

通过考虑单调性，进而比较函数值的大小；其次还可以借助函数图象比较大小.若底数和指数不相同时，可

考虑选取中间变量，指数值往往和1比较；对数值往往和0、1比较.

【考点针对训练】

1?4

1.【2015届广东省汕头市潮南区高三5月模拟】,设。=log1一/=logI—,c=log3—,则a,b,c的大小

32533

关系是（）

A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a

2.【2015届黑龙江省哈尔滨六中高三卜学期第四次模拟文科】设x<0,且则（）

A.0<Z?<«<1B.0<a<b<\C.\<b<aD.1<a<b

【考点2】指数函数的图象和性质

【备考知识梳理】

y=aa>\(XXI

图像____y=i.….米。=1

定义域R

值域(0,+8)

当x>0时，0<Xl;*0时，

性质当x>0时，包；A<0时，（Ky<l

包

过定点（0,1）在（一8,+8）上是增函数在（-8,+8）上是减函数

【规律方法技巧】

1、研究指数函数性质时，一定要首先考虑底数。的范围，分a>l和Ovavl两种情况讨论，因为两种情

况单调性不同，相应地图象也不同.

2、与指数函数有关的函数的图像的研究，往往利用相应指数函数的图像，通过平移、对称变换得到其图像.

3、一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图像数形结合求解.

【考点针对训练】

1.（全国百强校吉林省实验中学2015届高三上学期第三次模拟）.在同一个坐标系中，画出函数=优,

y二sinar的部分图像，其中。>0且。

则卜.列所给图像可能正确的是

2.【福建省度门双十中学2015届高三上学期期中考试】已知函数f（x）=（x—a）（x—b）（其中a>b）的图像如

下图所示，则函数&（1）="+/?的图象是（）

【考点3】对数的运算性质和对数函数的图象和性质

【备考知识梳理】

1.对数的定义

如果优=N(a>0且awl),那么数x叫做以。为底N的对数，记作x=/og“N其中〃叫做对数的底数，N

叫做真数.

2.对数的性质与运算及换底公式

(D对数的性质(。>0且。。1)：

①/og“l=0；②log“a=l；③产&N=N

(2)对数的换底公式

基本公式log,/=g&2(a。均大于0且不，等于1,扮0).

(3)对数的运算法则：

如果3>0且。wl),M>0,N>0,那么

①/〃取(M-N)=/og〃M+/因N.

M

②log0飞=log,MTog.N,

③log“Mn=Mog"M(〃£R).

定义域((),+8)

值域R

定点过点(1,0)

单调性在(0,+8)上是增函数在(0,+8。上是减函数

函数值当0<水1,y<0当x>l时，y>0；

正负当0<水1时，y>0当时，y<0；

【规律方法技巧】

1、研究对数函数性质时，一定要首先考虑底数。的范围，分a>l和0<a<l两种情况讨论，因为两种情

况单调性不同，相应地图象也不同，同时要注意定义域.

2、对一些可通过平移、对称变换作出其图像的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零

点时，常利用数形结合思想.

3、一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解.

【考点针对训练】

1.若。>2,b>2,且,log,(。+b)+log2—=-log^—+log,二，则log,(。-2)+log,S-2)=

2~a2a+b~

()

A.0B.-C.1I).2

2

2.【2015届广东省华南师大附中高三5月三模】函数f(x)=|log2(x+1)|的图象大致是()

【考点4］二次函数的图象和性质

【备考知识梳理】

二次函数的图象和性质

解析式f(x)=ax+〃x+c(a>0)f{x}=aV+Z;x+c(水0)

%44

图象

定义域(-8,H-OO)(-8,4-OO)

~4ac—b'.、(4ac一片

值域[8，4a_|

在X仁(一8,一/上单调递在―/，+8)上单调递

单调性减；在片£一卷，+8)上单减在)£(一8,一尚上单调

调递增递增

函数的图象关于户一/对称

对称性

【规律方法技巧】

1、分析二次函数的图象，主要有两个要点：一个是看二次项系数的符号，它确定二次函数图象.的开口方向;

二是看对称轴和最值，它确定二次函数的具体位置.对于函数图象判断类似题要会根据图象上的一些特殊

点进行判断，如函数图象与正半轴的交点，函数图象的最高点与最低点等.

2、抛物线的开口，对称轴位置定义区间三者相互制约，常见的题型中这三者有两定•不定，要注意分类讨

论.

【考点针对训练】

1.12015届福建省龙岩市高中毕业班5月教学质量检查】若不等式(x—ap+Cr—In。)？〉”?对任意

X£R,4£(O,+8)恒成立，则实数机的取值范围是()

2.(2015届山西省太原市五中高三5月】已知/(x)=ax2+bx(a=0),若一1«/(-I)<2,2</(I)<4,

且ac?+Z^c=0(a,b,CG/?),则实数c的取值范围是.

【考点5】幕函数的图象和性质

【备考知识梳理】

(1)定义：形如的函数称为某函数，其中x是自变量，。是常数.

(2)幕函数的图象比较

(3)存函数的性质比较

特征\

\函数\_

尸V

y=xy=xy=x2

WWR旦

定义域RRR[0,+8)

xWO}

{y|y£R旦

值域R[0,+8)R[0,+8)

斤0}

非奇非偶

奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数

函数

回0,+8）（0,+8）

时，增：时，减；

单调性增增

（―8,0]（—8,0）

时，减时，减

【规律方法技巧】

1.寻函数），=v（。£氏），其中&为常数，其本质特征是以基的底工为自变量，指数。为常数，这是判断

一个函数是否是辱函数的重要依据和唯一标准.

2.在（0,1）上，新函数中指数越大，函数图象越靠近x轴（简记为“指大图低”），在（1,+8）上，客函数

中指数越大，函数图象越远离x轴.暴函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，

至于是否出现在第二、二象限内，要看函数的奇偶性：幕困数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如

果需函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.

【考点针对训练】

1.12015届上海市普陀区高三三模调研】已知累函数），=/（x）图像过点（2,后），则该事函数的值域是

2.（湖北省黄凶巾2015届高三上学期兀月调研考试数学）.设暴函数的图象经过点g，¥）,则

k+a=.

【两年模拟详解析】

1.(河南省信阳市2015届高中毕业班第二次调研检测数学文试题4).已知

113

<3¥3，3口<3V4

a=-,b=\-,c=-，则。，仇c的大小关系是()

⑸⑸⑵

(A).c<a<b(S)a<b<c©b<a<c(D)c<b<a

X，xv0

2.【2015届甘肃省天水市•中高三第五次高考模拟考试文科】己知函数f(x)=4'一，若

ln(x+1),x>0

f(2-x2)>f(x),则实数x的取值范围是()

A.(-00,-1)u(2,+oo)B.(-8,-2)U(1,+8)c.(-1,2)D.(-2,1)

3.【2015届海南•省高三5月模拟文科】已知函数/(x)=log2J-21og2(x+c),其中c>0.若对于任意的

xe(0,+co),都有/(x)W1,则c的取值范围是()

A.(0,-]B.[—.+8)C.(0,—]D.[-,4-oo)

4884

(2-a)x+3a.x<1

4.【2015届江西省临川•中高三5月模拟试题理科】已知函数/")=《的值域为R,则

log,x,x>1

实数。的取值范围是

A.(―1,2)B.[―1,2)C.(—oo,—l]D.{—1}

5.12015届江苏省扬州市高三第四次调研】已.知函数/(x)=?(xwR),

且⑴=一甲+〃.2x+,+/+a_i(qeR),若A={x|/(g(x))>e}=R,则a的取值范围是.

6.【2015届浙江省嘉兴市高三下学期教学测试一文科】设x,y,z>0,满足x)，z+/+z?=8,则

log4x+log2y+log2Z的最大值是

7.【无锡市2014年秋学期高三期中考试试卷】已知函数/(犬)=/一办+1一。在区间(0/)上有两个零点,

则实数。的取值范围为.

8.12015届江西省鹰潭市高三第一次模拟考试理科】设函数F(x)=J2，X-°，若对任意给定的

log2x,x>0

1£(1,+8),都存在唯一的满足/(/(初=2入2+“，则无娈数〃的最小值是()

A.2.B.—C.—D.—

248

9.【2015届河南省南阳市一中高三下学期第三次模拟】函数)，=/(x),(x$R)为奇函数，当xe(-oo,0)

时，xf(x)<f(-x),若a=45-/(>/3),b=(1g3)./(1g3),c=(log21)•/(log21),则a,b,c的大小

顺序为()

A.a<b<cB.c>b>aC.c<a<bD.c>a>b

10.【北京市朝阳区2014-2015学年度高三年级第一学期期中】己知函数/(尤)二犬2-2公-1+。，aeR.

(I)若。=2,试求函数)，二1区(x>0)的最小值；

x

(H)对于任意的XE[0,2],不等式./(幻工。成立，试求。的双值范围.

11.12014福建三明一模】已知耗函数/(x)=K的图像过点(4,2),若/(6)=3,则实数的值为()

A.6B.±V3C.±9D.9

12.[2014安徽涡阳蒙城一模】函数,/(x)=-%2+2(。-1»+2在(—8,4)上是增函数，则实数a的范围是

()

J\.B.425C.D.〃W-5

13.【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷】函数y=2'+