第11节 函数-【暑假预习】新八年级数学（北师大版）

第十一讲函数

【学习目标】

1.经历从具体实例中抽象出函数概念的过程，进•步感悟抽象的数学思想积累活动经验。

2.初步理解函数的概念，能判断两个变量间的关系，初步形成利用函数的观点认识现实世界的意识

【基础知识】

1.变量与常量

在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。

一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y,如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那

么就说x是自变量，y是x的函数。

2.函数解析式

用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。

使函数有意义的日变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。

3.函数的三种表示法及其优缺点

(1)解析法

两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解

析法。

(2)列表法

把自变最x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。

(3)图像法

用图像表示函数关系的方法叫做图像法。

【考点剖析】

考点一：函数相关概念

例I.(1)一个蓄水池有水50m3,打开放水闸门匀速放水，水池中的水量和放水时间的关系如下表，下

面说法不氐触的是()

放水时间(min)1234•••

2

水池中的水量(m1)48464442•••

A.放水时间是自变鼠，水池中的水鼠是囚变晟B.每分钟放水2nd

C.放水25min后，水池中的水全部放完D.放水lOmin后，水池中还有水28m'

【答案】D

【详解】

解：根据表格数据知：蓄水池原有水50〃咒每分钟水闸排水2〃区

水池剩余水量可以看以时间为自变量的函数故A正确；

•・,每分钟水闸排水2标.故8正确;

•.­2x25=50.故C正确：

放水10分钟,还剩水：50-2x10=30〃也故。错误.

故选:D.

【答案】C

【洋解】解：选项A、B、D,对于每一个x,都有唯一的），值与其对应，故选项A、B、D是函数图象,

选项C,对于一个x有多个y与之对应，故y不是x的函数的图象.

故选：C.

考点二：自变量取值范围

例2.（1）函数y=—一中自变量x的取值范围是（）

x-4

A.x>4B.x<4C.x>4D."4

【答案】D

【详解】

依题意可得了一4。0

，上w4

故选D.

（2）函数y=G，中自变量x的取值范围是（）

A.x>2B.x>2C.x<2D."2

【答案】B

【详解】

解：由题意得，x-2>0,

解得xN2.

故选：B.

1

(3)函数y=卜*一5）一2中自变量x的取值范围是（

，丫一3

A.伫3且#5B.工>3且/5C.xV3且中5D.烂3且©5

【答案】B

【详解】

x-3>0

由题意，「八，解得：x>3且x，5,

x-5^0

故选：B.

考点三：从函数图象中获取信息

例3.（I）某公司接到了一批汽车配件的定单，该工厂把定单任务平均分给了甲乙两车间，两车间每天都

按各自的生产速度同时进行生产，中途因工厂同时对两车间设备进行检修维护，两车间停产4天后又各自按

原来的速度进行生产，该工厂未完成的定单任务量y（件）与生产时间x（天）之间的函数关系如图所示.

下列结论错误的是（）

B.两车间生产速度之差是200件/天；

C.该工厂定单任务是24CXX）件；

D.该工厂32天完成定单任务.

【答案】D

【详解】解：由图象得：甲乙两车间工作12天停产4天，则从第16天至IJ24天生产了12000-4000=8000（件）,

，甲乙两车间每天共生产:8000-（24-16）=1000（件），

・••前12天共生产1000x12=12000（件），

，该工厂定单任务是12000+12000=24000（件），故。正确：

由图象得：生产速度快的车间24天完成生产任务，故A正确；

・•・生产速度快的车间每天生产：12000：（24-4）=600（件），

・•・生产速度慢的车间每天生产：1000-600=400（件），

6（XJ-400=200（件）,故8正确；

生产速度慢的车间完成生产任务需：12000:400+4=34（天），故。错误.

故选:D.

（2）如图是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图象，下列结论错误的是（）

小速度（米秒）

A.乙前4秒行驶的路程为48米

B.在0到8秒内甲的速度每秒增加4米/秒

C.在4至8秒内甲的速度都大于乙的速度

D.两车到第3秒时行驶的路程相等

【答案】D

【详解】解：A、根据图象可得，乙前4秒的速度不变，为12式/秒，则行驶的路程为12x4=48米,故

正确，不符合题意；

B、根据图象得：在。到8秒内甲的速度是一条过原点的直线，即甲的速度从。均匀增加到32米/秒，则每

32

秒增加彳=4米/秒，故正确，不符合题意；

C、在4至8秒内甲的速度图象一直在乙的上方，所以甲的速度都大于乙的速度，故正确，不符合题意；

D、由于甲的图象是过原点的直线，斜率为4,所以可得u=4/（i，、f分别表示速度、时间），将u=12m/s

代人八金得f=3s,则f=3s前，甲的速度小于乙的速度，所以两车到第3秒时行驶的路程不相等，故错

误，符合题意；

故选：D.

考点四：函数的三种表示方法

例4.下表记录的是某橘子种植户橘子的销售额（元）随橘子的销量（千克）变化的有关数据.请根据表中

数据回答下列问题：

销量（千克）123456789

销售额（元）24681012141618

（1）表中反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？

（2）当销量是5千克时，销售额是元；

（3）若销量用x（千克）表示，销售额用y（元）表示，则y与x之间的关系式为—.

【答案】（1）橘子的销售额与橘子的销量之间的关系，橘子的隹量是自变量，橘子的销售额是因变量；（2）

10；（3）y=2x.

【详解】

解：（1）表中反映了橘子的销售额与橘子的销品之间的关系，橘子的销展是自变最，橘子的销售额是因变

量；

（2）当销量是5千克时，销售额是10元；

故答案为：10;

（3）依据表格，若销量用x（千克）表示，销售额用y（元）表示，则y与x之间的关系式为y=2x,

故答案为：y=2x.

考点五：动点问题的函数图象

例5.（1）如图1,在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿着NTPTQ—M方向运动至点M处停下，

设点R运动的路程为x,△MNR的面积为y,如果y关于x的函数图象如图2所示，则下列说法不正确的是

（）

A.当户2时，产5B.矩形MNPQ的面积是20

C.当户6时，5=10D.当产孩■时，尸3

【答案】D

【详解】

解；由图2可知：PNWPQ=5.

A.当尸2时，y=LMN・RN=-x5x2=5,故A正确，与要求不符：

22

B.矩形的面积=M7V・PN=4x5=20,故B正确，与要求不符：

C.当.『6时，点R在Q户上，＞gMN・PN=\3故C正确，与要求不符；

D.当广£•时，％=3或x=10,故错误，与要求相符.

故选：D.

（2）如图I,在△人中，点尸从顶点C出发，以"〃?/$的速度沿C—A匀速运动到点4.图2是点P运

动时线段8尸的长度），随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，曲线两端点的高度相同，

则AA8C的面积是（）

图1

A.5B.6C.7D.8

【答案】B

【详解】

解：由题意，当8PJ_AC时，的长度最短，如图,

图1

由图2可知，点M为（3,2）,

:.当点点运动3cm时,则BP=2,

•・•图2中曲线两端点的高度相同,

：.AP=CP=3,

：.AC=2CP=6,

:.z\A8C的面积是-x6x2=6；

2

故选:B.

【真题演练】

I.汽车在行驶中，油箱中有油60升，如果每小时耗油4升，那么油箱中含油量y（升）与行驶时间，（小

时）的函数关系式用图象表示为（）

【答案】B

【详解】

解：根据题意，y=60-4%,

当工=0时，y=60,

当y=O时，60-4x=0,解得x=15,

所以，x的取值范围为0SE15,

函数图象与x轴的交点为（15,0）,与y轴的交点为（0,60）.

故选：B.

2.一个蓄水池有水5011?,打开放水闸门匀速放水，水池中的水量和放水时间的关系如下表，下面说法不

氐颐的是（）

放水时间（min）1234•••

3

水池中的水量（m）48464442•••

A.放水时间是自变量，水池中的水量是因变量B.每分钟放水2m-

C.放水25min后，水池中的水全部放完D.放水lOmin后，水池中还有水28m'

【答案】D

【详解】

解:根据表格数据知：蓄水池原有水50加，每分钟水闸排水2"泡

水池剩余水量可以看以时间为自变量的函数故A正确；

•・.每分钟水闸排水2加.故8正确；

•.-2x25=50.故C正确;

放水10分钟,还剩水：50-2x10=30w3.故。错误.

故选：D.

3.如图所示，货车匀速通过隧道，隧道长大于货车长，从货车进入隧道开始，货车在隧道内的长度y与行

驶的时间x之间的关系用图象描述大致是（）

【答案】A

【详解】

解：根据题意可知货车进入隧道的时间x与货车在隧道内的长度y之间的关系具体可描述为:

当货车开始进入时y逐渐变大，货车完全进入后一段时间内y不变，当货车开始出来时y逐渐变小,

.••反映到图象上应选A.

故选：A.

4.如图所示，以恒定的速度向此容器注水，容器内水的高度（万）与注水时间（Q之间的函数关系可用下

列图像大致描述的是（）

【答案】A

【详解】

•••容器是圆柱体，且以恒定的速度向此容器注水,

・••容器内水的高度（〃）随着注水时间（/）的增大而增大，成正比例关系，是一条线段,

当经过一段时间注满水后，高度应保持不变.

故选：A.

5.如图，是一台自动测温记录仪记录的图象，它反映了我市春季某一天气温7（℃）随时间，（时）变化的

关系，观察图象得到下列信息，其中错误的是（)

A.凌晨4时气温最低为-5OC

B.14时气温最高为16℃

C.从0时至14时，气温随时间推移而上升

D.从14时至24时，气温随时间推移而下降

【答案】C

【详解】

解：A、凌晨4时气温最低为-5℃,正确，不合题意；

8、14时气温最高为16℃,正确，不合题意；

C、应为从4时至14时，，气温随时间推移而上升，故此选项错误，符合题意；

。、从14时至24时，气温随时间推移而下降，正确，不合题意；

故选：C.

6.在平面直角坐标系xQy中，下列函数的图象不过点（1』）的是（）

A.y=-B.y=x2C.y=-x+\D.y=x3

X

【答案】c

【详解】解：当时，y=-=|=l,y=L图象过点（1,1）,选项A不合题意；

xIx

当尸1时，），=『=1,图象过点（］』），选项3不合题意；

当户1时，），=-1+1=0,），=一工十1图象不过点（1』），选项。合题意；

当x=l时，y=1'=I,y=V图象过点（1,1）,选项。不合题意；

故选择:C.

7.小强每天从家到学校上学行走的路程为900m,某天他从家去上学时以每分3（）m的速度行走了450m,为

了不迟到他加快了速度，以每分45m的速度行走完剩下的路程，那么小强离学校的路程s（m）与他行走的

时间t（min）之间的函数关系用图象表示正确的是（）

【详解】

解•：小强离学校的路程5（米）应随他行走的时间/（分）的增大而减小，因而选项A、B一定错误；

他从家去上学时以每分30米的速度行走了450米，所用时间应是15分钟，因而选项C错误；

行走了450米，为了不迟到，他加快了速度，后面一段图象陡一些，选项。正确.

故选：

8.如图，一只蚂蚁从。点出发，沿着扇形043的边缘匀速爬行一周，当蚂蚁运动的时间为/时，蚂蚁与。

点的距离为s，则5关于，的函数图像大致是（）

【答案】B

【详解】

解：一只蚂蚁从。点出发，沿着扇形OA8的边缘匀速爬行，在开始时经过半径OA这一段，蚂蚁到。点的

距离随运动时间/的增大而增大；

到A8这一段，蚂蚁到。点的距离S不变，图象是与x轴平行的线段；

走另一条半径08时，S随f的增大而减小；

故选:B.

9.如图，AABC已知BC=16,高AD=10,动点C由点C沿CB向点B移动（不与点B重合）.设CC

的长为x,AABC的面积为S,则S与x之间的函数关系式为（）

RD

A.S=80-5xB.S=5xC.S=10xD.S=5x+80

【答案】A

【解析】

试题解析：设CC的长为％，可得的长为（16-%）,

所以S与x之间的函数关系式为S=gxlOx（16-x）=8O-5乂

故选A.

10.已知函数/（力=>/有，那么〃10）=.

【答案】2

【详解】

解：（x）=J.-6，

・，•/（10）=J10-6=2，

故答案为：2.

11.在市区内，我市乘坐出租车的价格）'（元）与路程立5?）的函数关系图像如图所示.出差归来的小李从火

车站乘坐出租车回家用了18元，火车站到小李家的路程为km.

J'（元）

【详解】

解：由题意可知，当烂3时，出租车收费为6元，超出3km时，每千米收费为：（7-6）：（4-3尸1（元），

所以火车站到小李家的路程为：3+（18-6Rl=15（km）.

故答案为：15.

12.如图表示的是某种摩托车的油箱中剩余量），（升）与摩托车行驶路程X（千米）之间的关系.由图象可

知，摩托车最多装_升油，可供摩托车行驶一千米，每行驶100千米耗油一升.

【详解】

解：由图象可知，摩托车最多装10升油，可供摩托车行驶500千米，每行驶100千米耗油2升.

故答案为：10,500,2.

13.司机小王开车从A地出发去6地送信，其行驶路$与行驶时间，之间的关系如图所示，当汽车行驶若干

小时到达C地时，汽车发生了故障，需停车检修，修理了几小时后，为了按时赶到6地，汽车加快了速度，

结果正好按时赶到，根据题意结合图I可答下列问题：

（1）上述问题中反映的是哪两个变最之间的关系？指出自变最和因变显.

（2）汽车从A地到C地用了儿小时？平均每小时行驶多少千米？

（3）汽车停车检修了多长时间？车修好后每小时走多少千米？

【答案】（I）路程与时间之间的关系；自变量是时间，因变量是路程；（2）3小时；5（）千米/小时；（3）

检修了1小时，修后的速度为75千米/小时

（2）根据图象可知汽车从A地到C地行驶的时间与路程，即可求出速度.

（3）根据图象可知停车检修了1小时，汽车从C地到3地共行驶2小时，且路程为150千米，即可求出其

速度.

【详解】

（1）根据图象可知横坐标表示时间，纵坐标表示路程.即上述问题中反映的是路程与时间两个变量之间的

关系，且自变量为时间和因变量为路程.

（2）根据图象可知汽车从4地到C地用了3小时，平均每小时行驶15（）+3=5（加力/〃.

(3)汽车停车检修了4-3=1小时，车修好后的速度为：-------=75km/h.

6-4

14.已知动点P以每秒\cm的速度沿图甲的边框按从BnCnDnEnFnA的路径移动，相应的A/WP的面积

S与时间/之间的关系如图乙中的图象表示.若AB=3cm,试回答下列问题

图甲图乙

(1)图甲中的BC长是多少？

(2)图乙中的。是多少？

(3)图甲中的图形面积是多少？

(4)图乙中的〃是多少？

【答案】(l)4cm；(2)6cm2；(3)15cw2；(4)17秒

【详解】

解：(1)动点尸在8C上运动时，对应的时间为0到4秒，易得：8c=3〃/秒x4秒=4G〃；

故图甲中的8c长是

(2)由(1)可得，BC=4cm,则：a=LxBCx4B=6(加：

2

图乙中的。是6cm2.

(3)由图可得：CD=2x\=2cm,DE=1x3=3c/??,

则A产=BC+QE=7c»i,又由人8=3cm,

则甲图的面积为4BxA八CDxDE=3x7-2x3=15c〃落

图甲中的图形面积为15sp.

(4)根据题意，动点?共运动了3OC0iZ)EiER/^=4i2i3ili7=17c,〃，

17

其速度是3加秒，则〃=丁=17秒，

图乙中的〃是17秒.

【过关检测】

1.函数)，=277石的自变量x的取值范围是()

A.x>5B.X>10C.x..5D.x.10

【答案】C

【详解】

解：•・•函数），=2G5,

x—5..0,

/.X.5,

故选：C.

2.当实数x的取值使得J7T5有意义时，函数），=x+l中），的取值范围是（）

A.y>-3B.y>-\C.y>-lD.y<-3

【答案】B

【详解】

解；:+2有意义,

・・」+2对，即后-2,

*.*函数y=x+1化为x=>--1,

，）Th2,

解得比-1.

故选:B.

【答案】A

【详解】

解：A、当x取x>（）—值时，y有两个值与它对应，》不是工的函数，故选项A符合题意；

B、当工任取一值时，）‘有唯一与它对应的值，y是工的函数，故选项8不合题意；

。.当x任取一值时，y有唯一与它对应的值，y是x的函数，故选项。不合题意；

D、当刀任取一值时，y有唯一与它对应的值，y是％的函数，故选项。不合题意；

故选择：A.

4.王亮家与姥姥家相距25km,王亮早上提前从家出发，骑自行车（匀速）去姥姥家，妈妈随后从家出发,

乘车沿相同路线去姥姥家，王亮和妈妈的行车路程5(km)与王亮的行进时间/(h)之间的函数关系式的

图像如图所示，则下列说法正确的是()

A.王亮骑自行车的速度是12.5km/hB.王亮比妈妈提前0.5小时出发

C.妈妈比王亮先到姥姥家D.妈妈从家到姥姥家共用了2h

【答案】A

【详解】

解：由图象可知，

王亮骑自行车的速度是：254-2=12.5km/h,故选项A正确；

王亮比妈妈提前lh出发，故选项B错误；

妈妈和王亮同时到姥姥家，故选项C错误；

妈妈从家到姥姥家用了lh,故选项D错误；

故选：A.

5.在地球某地，地表以下岩层的温度y(℃)与所处深度x(km)之间的关系可以近似地用表达式y=35x+20

来表示，当自变量x每增加1km时，因变量y的变化情况是()

A.减少35丁B.增加350CC.减少550CD.增加55。©

【答案】B

【详解】

解：x=0时，y=20

杷代入y=35x+20中得：y=35+20=55,

即每增加1km时，因变量增加了35℃,

故选:B.

6.下列说法不正确的是()

A.长方形的长一定时，其面积y是宽x的函数

B.圆的周长公式C=2口中，兀和r都是自变量

C.高速公路上匀速行驶的汽车，其行驶的路程y是行驶的时间x的函数

D.等腰三角形的周长一定时，腰长y是底边长x的函数

【答案】B

【详解】

解：A.长方形的长一定时，对于宽x的每一个取值，其面积y都有唯一确定的值与其对应，，其面积y是

宽x的函数，此选项不符合题意;

B.圆的周长公式C=2口中，2兀是常数，r是自变量，此选项符合题意;

C.高速公路上匀速行驶的汽车，对于行驶的时间x的每一个取值，其行驶的路程y都有唯一确定的值与其

对应，，其行驶的路程y是行驶的时间x的函数，此选项不符合题意:

D.等腰三角形的周长一定时，对于底边长x的每一个取值，其腰长y都有唯一确定的值与其对应，，腰长

y是底边长x的函数，此选项不符合题意:

故选：B

7.第一次“龟兔赛跑”，兔子因为在途中睡觉而输掉比赛，很不服气，决定与乌龟再比一次，并且自信地对

乌龟说：这次我让你先跑一段距离我再去追.这次兔子认真比赛，终于夺冠.则下列函数图象可以体现这

【详解】

解：由于乌龟比兔子早出发，而晚到终点;

故C选项正确;

故选：C.

8.已知A、B两地相距810千米，甲车从A地匀速前往B地，到达B地后停止.甲车出发1小时后，乙

车从B地沿同一公路匀速前往A地，到达A地后停止.设甲乙两车之间的距离为y（千米），甲车出发的

时间为x（小时），y与x的关系如图所示，对于以下说法：①乙车的速度为90千米/时；②点F的坐标为

（10,540）；③图中a的值是13.5；④当甲乙两车相遇时，两车相遇地距A地的距离为360千米.其中正

确的结论是（）

A.①②③④B.①@③C.®©®D.①©④

【答案】D

【详解】

解：由图象可得：甲车先出发1小时所行使的路程为60千米，相遇时间为5小时，

.♦・甲车的速度为60千米/小时，

，乙车的速度为：750-5-60=90（千米/小时）,故①正确;

工甲乙两车相遇时，两车距离A地的距离为：60x6=360（千米），故④正确；

・•・甲乙两车相遇后，乙车到达终点A还需的时间为：36（"90=4（小时），

，乙车到达终点时，甲车所行使的时间为：6+4=10（小时），则有甲乙两车相距的路程为：10x60=600（千

米），

・•・点尸的坐标为（10,600）,故②不正确;

・••甲车距离终点还需的时间为：（810—600）+60=3.5（小时），

.•.4=10+3.5=13.5（小时），故③正确；

・•・正确的结论有①@④；

故选D.

9.二名快递员某天的工作情况如图所示，其中点A,Az,As的横、纵坐标分别表示甲、乙、丙二名快递

员上午派送快递所用的时间和件数；点S,B2,B3的横、纵坐标分别表示甲、乙、丙三名快递员下午派送

快递所用的时间和件数.

有如下四个结论：

①上午派送快递所用时间最短的是甲；

②下午派送快递件数最多的是丙；

③在这一天中派送所用时间最长的是乙；

④在这一天中派送快递总件数最多的是乙.

上述结论中，所有正确结论的序号是()

件数/件中

50

40

30

20

10

°123456时间/小时

A.①④B.①③©D.①②③④

【答案】B

【详解】

解：从图可知以下信息：

上午送时间最短的是甲，①正确；

下午送件最多的是乙，②不正确；

在这一天中派送所用时间最长的是乙，③正确；

在这一天中派送快递总件数最多的是乙，④正确.

・•・正确结论的序号是①③④.

故选：B.

3r+1

10.在函数,，=二中，自变量X的取值范围是

2x+3

3

【答案】x#-.

【详解】

解：根据分式有意义的条件得：2x+3,0.

3

解得：x六二.

2

3

故答案为：x齐二.

11.黑龙江省某企业用货车向乡镇运送农用物