高三数学一轮复习课时作业 第三章 第六节 简单的三角恒等变换

课时作业

A组——基础对点练

1.已知cos@-20)=—1则si睚+0)的值等于()

JX-Z

A.eqB.土;

C.-tD.eq

2兀27r27r兀

解析：因为cos1-20)=cos(2。-w)=—cos(2。一亍+兀)=—cos[2(9+d)]

—

771cos[2(0+?)].

=­§，HPcos[2(0+1)]=^,所以sin2(0+奇=-------------=g,所以sin(0+6

=±1,故选B.

答案：B

2.(2018•开封模拟)设a=geos6。一坐sin6°,b=二::3。,c=

1—cos50°rl.

「一，则（)

A.c<b<aB.a<b<c

C.a<c<bD.b<c<a

解析：Va=sin30°cos6°—cos30°sin6°=sin24°,b=tan26°,c=sin25°,

/.a<c<b.

答案：C

3.为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象，可以将函数y=[^cos3x的图

象()

A.向右平移居个单位B.向右平移泠单位

1Z4

C.向左平移居个单位D.向左平移作单位

1Z4

解析：Vy=sin3x+cos3x=^/2cos3x—^=^/2cos3(x—制]

将y=诲cos3x的图象向右平移强个单位即可得到y=，5cos3x—月]的

图象，故选A.

答案：A

4.已知f(x)=2sin2x+2sinxcosx,则f(x)的最小正周期和一个单调递减区

间分别为()

A.2兀,[y,y]B.兀，[y,y]

C.2兀,[-I，韵D.7t,[―I，y]

解析：f(x)=2sin2x+2sinxcosx=1—cos2x+sin2x=^/2sin(2x-4)+1，,T

=年=兀，由与+2k兀W2x—年+2k兀(k£Z)得手+kicWxW等+k兀(k£Z),令k

，，4Zoo

=0得f(x)在曾，昌上单调递减，故选B.

oo

答案：B

5.函数y=cos2x+2sinx的最大值为()

A.eqB.1

C.eqD.2

3

解析:y=cos2x+2sinx=1_2sin2x+2sinx=­2sinx一9十方因为一

I3

iWsinxWl,所以当sinK=1时，函数取最大值，故ymax=].

答案：C

6.已知2cos?x+sin2x=Asin(cox+(p)+b(A〉O),贝ljA=

解析：由于2cos2x+sin2x=l+cos2x+sin2x=，^sin(2x+3+1,所以A

=^/2,b=l.

答案：啦1

2sin(7r-a)+sin2a

7.化简:

7a

cos-2

2sin(7t—a)+sin2a2sina+2sinacosa4sina(l+cosa)

解析:=4sina.

^(1+cosa)1+cosa

8S工

答案：4sina

8.已知函数f(x)=(sinx+cosx)sinx,xER,则f(x)的最小值是

1-cos2x+1sin2x=^sin]：7T

解析:f(x)=sin2x+sinxcosx=2x-+当

24jr

sin(2x一m=—1时,f(x)min=1一小

2

MG]一啦

答案：

7T

9.已知函数f(x)=(a+2cos2x)cos(2x+0)为奇函数，且fQ)=(),其中a£R,

0e(O,71).

(1)求a,。的值;

(2)若f(；)=—|,ae(^,7i),求sin(a+§的值.

解析：(1)因为f(x)=(a+2cos2x)cos(2x+0)是奇函数，而yi=a+2cos2x为偶

函数，所以y2=cos(2x+8)为奇函数,由0E(O,兀)，得0=^,所以f(x)=—sin2x-(a

+2cos2x),

jr

由f(W)=0得一(a+l)=0,即a=-1.

(2)由⑴得f(x)=—1sin4x,

J

24

因为()=-sin即sina=§,

f42a=_5'

兀/.3

又a£(1,兀)，从而cosa=一

所以sin(a+^)=sinacos三+cosasin'

10.已知a=(sinx,—cosx),b=(cosx,A/3COSX),函数f(x)=a-b+方-.

(1)求f(x)的最小正底期，并求其图象对称中心的坐标；

(2)当OWxW典寸，求函数f(x)的值域.

解析:(1)因为f(x)=sinxcosx

1S

=Tsin2x—^-(cos2x+1)

1・G山G.3兀)

=]sin2x_2cos2x=sinl2x—I,

所以f(x)的最小正周期为7T,令sin"x—今=0,

得K_u匹1二7

2x-W=k7T,/.x2兀1~$，k£Z,

故所求对称中心的坐标为(殳o](kez).

(2):04<1，J—界2x—专，

，一坐Wsin2x一与产1,故f(x)的值域为一乎,1.

B组——能力提升练

1.(2018•石家庄质检)若函数f(x)=45sin(2x+O)+cos(2x+O)(O<0<兀)的图

象关于专0)对称，则函数f(x)在[一?寿上的最小值是()

A.-1B.-y]3

C.D.一堂

解析：f(x)=4§sin(2x+8)+cos(2x+e)=2sin(2x+e+奇，则由题意，知f(今

TT57r7t

=2sin(7c+9+%)=0,又0<6<兀，所以0=?~,所以f(x)=-2sin2x,f(x)在[一『

节上是减函数，所以函数f(x)在［常电上的最小值为啮=-2sig=一黄，故

选B.

答案：B

2.函数f(x)=1(l+cos2x)・sir?x(x£R^()

A.最小正周期为兀的奇函数

B.最小正周期为百的奇函数

C.最小正周期为兀的偶函数

D.最小正周期为釉偶函数

解析：f(x)=4(l+cos2x)(1—cos2x)=T('—cos22x)=Tsin22x=^(1—cos

444o

|TT

4x),f(—x)=77(1—cos4x)=f(x),因此函数f(x)是最小正周期为5的偶函数，选

OZ

D.

答案：D

3.设a,。£[0,TI],且满足sinacos。一cosasin。=1,则sin(2a—[3)+sin(a

—20)的取值范围为()

A.[一g，1]B.[-1,y[2]

C.[-1,1]D.[1,业

解析：•「sinacos0—cosasinp=l=sin(a—。)=1,a,[0,n],/.a—p

.•「OWoC,0W°=a—5W兀

.•・sin(2a—B)+sin(a-2B)=sin(2a-a+)+sin(a-2a+m=sina4-cosa=

也sin(a+"

♦•.•3兀v।兀-5

•2a7i9••4a■)44兀,

-1〈娘sin(a+jk1,

即取值范围是[—1,1],故选C.

答案：C

乙2sin20+sin20八兀…公兀

4.已知一।—=k,0<9<T，则sin0—7的值为()

1十tannv4I4/

A.随着k的增大而增大

B.有时随着k的增大而增大，有时随着k的增大而减小

C.随着k的增大而减小

D.是与k无关的常数

Zsi/B+sin262sin8(sinB+cos9)兀

解析:=2sin0cos0=sin20,vo<e<4,

1+tan0sin0+cos0

cos0

:.0<sin0<2<cos9<1,O<20<^,:.k=sin2。£(0』)，(sin0—cos0)2=1—sin20,

sin0—cos0=—yj1—sin20=1—k,故sin0—=^(sin0—cos0)=—

吁瓦，其值随着k的增大而增大，故选A.

答案：A

/7F)

5.函数f(x)=4cosx-sin[x+wj—l(xWR)的最大值为

解析：•.•f(x)=4cosKsin(x+之一1

j

=4cosx2sinx+,cosx-1=2小sinxcosx+2cos2x-1=A/§sin2x+cos

兀

2x=2sin[2x+《>

••f(X)max—2.

答案：2

6.已知函数f(x)=Acos2®x+(p)+l(A>0,a)>0,0<

修习的最大值为3,f(x)的图象与y轴的交点坐标为(0,2),其相邻两条对称

轴间的距离为2,则f(l)+f(2)+-+f(2016)-.

AAT

解析：f(x)=9cos(23x+2(p)+9+l.由相邻两条对称轴间的距离为2,知5=

27rjr

2,得T=4=五，.・.3=不由f(x)的最大值为3,得A=2.又f(x)的图象过点(0,2),

•«cos2(p—0,

兀JTTT7T

，2(p=k兀+5(k£Z),即(p=-y+7(k^Z),又0<(p<5，/.(p=T,/.f(x)=

兀」_兀TTY

cos0十/+2=-sin^-+2.Af(l)+f(2)+-+f(2016)=(—1+2)+(0+2)十(1+

2)+(0+2)+(-1+2)4----2(0+2)=2X2016=4032.

答案：4032

71

7.已知函数f(x)=sin(3x+4).

(1)求f(x)的单调递增区间；

(2)若a是第二象限角，靖)=,cos(a+；)cos2a,求cosa—sina的值.

TT7T

解析：(1)因为函数丫=$由x的单调递增区间为［―5+2k兀，弓+21＜兀］,kez.

由-5+2k7iW3x+?wS+2k7r,k£Z,得一'+^k£Z.

A■"4J1JD

所以函数f(x)的单调递增区间为［―，+华，强+竽1，k£Z.

(2)由已知，有sin(a+》=5cos(a+3(cos2(x—sin%),所以sinacos^+cosasin

兀兀..兀、/、

4=T4(cosacos4―sinasm4)-(cos2a-sin.-2a),

即sina+cosa=,(cosa—sina)2(sina+cosa).

3jr

当sina+cosa=()时，由a是第二象限角，知。=彳+21<兀，k£Z.此时，cos

a-sina=一也.

当sina+cosa20时,