第12章 复数-2026苏教版高中数学必修第二册章节练（含解析）

2026苏教版高中数学必修第二册

第12章复数

。全卷满分150分自烤试用时120分钟

一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一

项是符合题目要求的)

1.复数z*在复平面内所对应的点位于()

-1+21

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

2.复数z满足占2-2025i,则5的虚部为()

A.-2B.-2025i

C.2D.-2025

3.若复数z满足iz=2。〃它必。是虚数单位),z的共跳复数是5,则忆殳|=()

A.V40442+4B.4044

C.2D.0

4.已知a,0是关于x的实系数方程x2-4x+5=0的两个虚根，则甯=()

A.tB.-当

22

C.V5D.-V5

5.已知复数z#),则“|z|=l”是"24£2的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6.已知复数z=a+bi(a,bGR,i是虚数单位)在复平面内对应的点为Z,设r=|OZ|f是以x轴的

非负半轴为始边、万2所在的射线为终边的角，则z=a+bi=r(cosG+isin9),把z=r(cosG+isin0)

叫作复数z的三角形式，利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，即[r(cos0+isin

0)]n=rn(cosnO+isinnO)(nWN"),例如:(-：+当1)=(cosg+ising)=cos2;i+isin2片1,若复数z

满足Z3=l+i,则Z可能等于()

A.V2(cos^+isin§

B.V2(cosy+isin手)

C.V2（cos+isin§

D.迈（cos号+isin号）

7.已知复数z考*a£R）,当a>l时,不等式2|z|2-t|z|+6>0恒成立，则实数t的最大值是（）

A.4V3B.?

C."D.4V6

8.已知两个复数z,3满足z2=0）=苏,且复数Z在复平面内对应的点位于第一象限，则

|32+S+2|、

）

A弓B.iC.1D片

二、多项选择题（本题共3小题,每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分，有选错的得0分）

9.卜列命题中正确的是（）

A.若复数z满足％R,则zER

Z

B.若Z为复数，则z2=|z|2一定成立

C若复数z=+当，则z18=l

D.若复数z满足|z|=|z+i|+l,则z为纯虚数

10.下列说法中正确的是（）

A.若复数z二,则复数2在复平面内对应的点位于第一象限

1+1

B.已知复数z满足（l+2i）z=2+i,则|z|=1

C.若3+2i是关于x的方程2x2+mx+n=0（m,n£R）在复数集内的一个根，则n=26

D.若z£C,且|z|=l,则忆-3-4i|的最小值为4

11.已知a,b£R,复数zi=（1・i）a,Z2=（l十i）*则下列结论正确的是（）

A.|ZI|>V2,|Z2|>V2

B.若a=2,b=3,贝”ziZ2|=4近

C若a>0,b>0,a+b=2,贝蚪〉;

K1I4

D.若忆i|=2忆2|,贝【Ja-b=l

二、填空题（本题共3小题,每小题5分，共15分）

12.已知公式eix=cosx+isinx,其中i是虚数单位，根据此公式计算i・eH的虚部是,

13.设复数z=^,f(x)=x2024+x2O23+...+x2+x+1,则f(z)=.

14.已知m£R,关于z的方程(z2+z+m)(z2+z+2m)=0有四个复数根zi,Z2/3,Z4.若这四个复数

根在复平面内对应的点刚好是一个正方形的四个顶点,则实数m的值为.

四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

15.(本小题满分13分)已知复数z=m-i(mWR｝且三・(l+3i)为纯虚数巧是z的共轲兔数).

(1)求实数m的值；

⑵设复数©爷，求

⑶复数Z2一三上在复平面内对应的点在第一象限内，求实数a的取值范围.

16.(本小题满分15分)已知复数z=m+2+(m-2)i(m£R).

⑴若复数z在复平面内对应的点在第四象限内，求实数m的取值范围；

(2巨为z的共拢复数，且z+z=6.

⑴若z-3i是关于x的一元二次方程x2+ax+b=0(a,b0R)的一个根，求该方程的另一个根;

(ii)若|co-z|=l,求|co|的取值范围.

17.(本小题满分15分)设复数z=a+bi(a,b£R),Zi=z+ki,22=5・ki(k£R).

⑴设a=b4,若|zi|=|z*求实数k的值；

(2)若存在实数k,使得Z,与Z2是某个实系数一元二次方程的两个虚数根，求符合条件的复

数Z的模的取值范围.

18.(本小题满分17分)己知复数z满足忆|=五,z2的虚部是2.

(1)求复数Z；

(2)若z是关于x的实系数方程x2+mx+2=0的一个复数根，求实数m的值；

⑶若复数z的实部大于0,z,z3,z-z3在复平面内对应的点分别为A,B,C,求4ABC的面积.

19.(本小题满分17分)已知①任何一个复数z=a+bi(a,b£R)都可以表示成r(cosO+isin0)的

形式，其中r是复数z的模，。是复数的辐角;②dx=cosx+isinx被称为欧拉公式，是复数的指

数形式;③方程xn=l(n为正整数)有n个不同的复数根.

⑴设①后+净,求炉必；

(2)试求出所有满足方程x6=l的复数x所组成的集合；

(3)若复数z=cos温+isin高，求(z・1)3・1)…⑵023-1).

答案全解全析

LCz—=离焉=豁=富=，2i,其在复平面内所对应的点的坐标为位

于第三象限.

2.A因为『2-2025i,所以z=2i-2025i2=2025+2i,则受2025-2i,故5的虚部为-2.

3.B因为iz=2022内2。23=2022+i3=2022-i,

所以z-022i,所以”1+2022i,

所以z-^=-l-2022i-(-l+2022i)=-4044i,

所以忆■平卜4044i|=4044.

4.A对于方程X2-4X+5=0,A=(-4)2-4X1x5=-4<0,

，方程x2-4x+5=0的两个虚根为W^=2+i:*-2-i,

不妨取a=2+i,0=2・i,则|a|=V?”=V5,|0|=j22+(-l)2=V5,

・例也=宜出=吏

--2+i+2-i--T

5.A设z=a+bi,a,b£R,且a,b不同时为0,

当\z\=y/a2-^-b2=1时,a2+b2=1,

则zU=a+bi+£"=a+bi+42M2a《R,故充分性成立；

za+bitr+(r

取z=2,则工/二注&但|z|=2,故必要性不成立.

综上所述,“忆|=1”是R”的充分不必要条件.

4

6.D设z=r(cos0+isin0),则z3=l+i=V2^cosj+isin^=r3(cos30+isin30),

所以r=运,3。=2k兀+：,k£Z,即0卷+*,k£Z,

所以z=V2[cos(斗+§+isin(今+W],k£Z,

当k=2时/噌，故z可能等于V5(cos号+isin号).

7Bz手=^?=4石a+2'i,

2-i(2-i)(2+i)

所以|z|=J(4>/5a)2+(2V5a)2=10|a|.

当a>l时,不等式2|z|2-t|z|+6K)恒成立，

即饪2|z|用亘成立，即t£20aW恒成立.

令f(a尸20aq易知当a>l时,f⑶单调递增，

所以f(a)mm=f(l)弋，所以实数t的取值范围是(-8,平］，其最大值是半103.

J」J5

8.C设3=a+bi,a,b£R,

由co=石2得a+bi=(a-bi))所以a+bi=a2-b2-2abi,

啾黑，解得,3或e，或｛公

因为z2=a)=东日复数％在复平而内对应的点位干第一象限，

所以1%所以<0=-：+与,2=；+生，

匕，

所以卜J)+2|_淖if*|_1

所以居4MM下

9.ACD对于A,设z=a+bi(a,b£R),则<=乎g£R,则b=0,故z=a£R,故A正确；

对于B,若z=i,则z2=-lJz|2=l,z2#|z|2,故B错误;

对于c，%+争)飞+算(Mi)=&鸿岭制=(-鸿於+争内,

故Z18=(z3)6=1,故C正确;

对于D,设z=a+bi(a,b£R),则\z\=>/a2+b2,\z+i\+1=7^2+(b+l)2+1,Va2+b2=yjtz2+(b+1)2+1,化

简得a=0,b£l,故z为纯虚数,D正确.

10BCD对于人行士=尚看=:="三,则制-*其在复平面内对应的点为&-%立于

第四象限,A错误.

对于B/喂二黑等个HT，所以力丽F=I，B正确.

对于C,因为3+2i是方程2x2+mx+n=0的一个复数根，所以方程的另一个复数根为3-2i,则

*3+2i)(3-2i)=13,解得n=26,C正确.

对于D,由忆|=1得复数z在复平面内对应的点的集合是以原点为圆心,1为半径的圆，

定3-4”表示圆上的点到点(3,4)的距离，

则|z-3-4"min=V5Zi率-1=4,D正确.

11.BC对于A,|Z||二(V5)a>0,|Z2|=(V5)b>0,故A错误;

对于B,|ZlZ2|=|Zl||Z2|=(0)aX(V5)b=(V5)a+b=(应)5=40,故B正确;

对于理=(应产，由a+b=2,得a=2-b,故兽=(日产=2叫因为b>0,所以2卜乂故C正

P1I(72)\z\\x

确；

对于D由同=2同得眸2,即(夜)a-b=2,即/=1,故a-b=2,故D错误.

防12

12.答案?

解析由题意得e^=cos(-；)+isin(・；)=孝-亭,方崖^,停-争)=与+净,

・・・i•雷的虚部是当

13.答案1

解析Z*则z4+z3+z2+z=l+i-1-i=0,

i+i(1+1X1-0

所以f(z)=z2020(z4+z3+z2+z)-z2016(z4+z3+z2+z)+...+(z4+z3+z2+z)+1=1.

14.答案；

o

2

解析不妨设z2+z+m=0的两根分别为zi,z2,z+z+2m=0的两根分别为Z3,“两方程的判别

式分别为A,A2,

由题意知△i=l-4m/)A=l-8m'O,即mg且

①当mg时,A>0,A2>0,则Z|,Z2,Z3,Z4均为实数，所以四个实数根在复平面内对应的点均在实

轴上,与题意矛盾；

②当时,AI>0,A2<0,则Z1,Z2为实数,Z3,Z4为虚数，由题知[Z]・Z2|=|Z3-Z4],

所以V1-4〃?=A/8〃7-1,即1-4m=8m-1,解得m工

6

(z--3S

此时Z2+Z小0,解得，，’或

6bI2-3r-\3

-3W3i

Z2+Z±O,解得向-—1或

-3-V3i以

这四个复数根在复平面内对应的点为以为中心，且对角线所在直线的方程分别为

x=gy=0,对角线的长度为?的正方形的顶点.

③当时,Al<0,A2<0,则Z|,Z2,Z3,Z4均为虚数，

所以Z|,Z2为共*厄复数且Zl+Z2=-1,故Z1,Z2的实部均为-g,

同理,Z3,Z4的实部均为g即这四个复数根在复平面内对应的点均在直线X=・g上，与题意矛

盾.

综上,m=^.

O

15.解析⑴因为z=m-i(m£R),所以三=m+i,

故N•(1+3i)=(m+i)(1+3i)=(m-3)+(3m+1)i,(2分)

又三・(l+3i)为纯虚数,所以爆蓝解得m=3.(4分)

加+4i_3+4i_(3+4i)(l-i)_3-3i+4i+4_7+i_71令

(2)z1---―一2一一丁3十加分)

所以团=导:竽(8分)

(3)因为i2025=i506x4+l=i,

所以a+*)”_a+i_3+i)(3+i)_3"pi+3i-l_3公1a+3分

所以Z2—；—一百一而两一^----百十行】，(1°分)

,，-(―>0

因为复数Z2上?在复平面内对应的点在第一象限内，所以，白、‘解得a\,

故实数a的取值范围为@,+8).(13分)

16.解析(1)复数z=m+2+(m-2)i在复平面内对应的点为(m+2,m-2),(l分)

因为该点在第四象限内，所以《黑懈得-2<m<2,

所以实数m的取值范围是(-2,2).(4分)

(2)(i)rtlz=m+2+(m-2)i得，=m+2-(m-2)i,

由z+z=6,Wm+2+(m・2)i+m+2-(m・2)i=2m+4=6,解得m=l,(6分)

故z=3-i,则z-3i=3-4i,

因为3-4i是方程x2+ax+b=0的一个根，所以该方程的另一个根为3+4i.（9分）

（ii）由⑴知z=3-i,则心z|=|3-（3-i）|=l,表示3在复平面内对应的点W与点（3,-1）（记为Z）之间的

距离为1,因此点W的轨迹是以Z（3,-l）为圆心,1为半径的圆,（11分）

而网表示点W到原点0的距离，易求得|0Z|=，32+（・1）2=VTU>1,（13分）

故|oz|-1<|co|<|oz|+1,epVTo-i<|w|<VTo+1,

所以3的取值范围是NRj-i,/再+1].（15分）

17.解析（1）由题意得zW+gi,

所以Zi=z+ki=+；i+ki=；+g+k）i,

Z2=2ki=&；i}kiqk+；ki.（3分）

因为忆[|=忆2],

所以廊时=超两，

即（k+l）2=0,所以k=・l.（5分）

（2）由题意得zi=a+（b+k）i,Z2=bk+aki.

因为Z1与Z2是某个实系数一元二次方程的两个虚数根，

所以ziz互为共甄复数，即忆告成（8分）

若b=0,则a=k=O,此时zi,Z2均为零，不符合题意;（11分）

若厚0,则b片-a*整理得b2=-a2-a,

由b2>0,得a£（-l,0）,

又|zF=a2+b2=-a,所以0<|z|2<l,BP0<|z|<l.（14分）

所以符合条件的复数z的模的取值范围是（0』）.（15分）

18.解析（1）设z=a+bi,a,bER,

由忆|=0得aZ+b』2①,（1分）

z2=（a+bi）2=a2-b2+2abi,

Vz2的虚部为2,・•・2ab=2②,（3分）

联立①②，解得{，;或《二;'故z=l+i或z=-l-i.（5分）

（2）当Z=l+1时，易知2=1-1也是方程x2+mx+2=0的一个复数根，

由根与系数的关系知z+2=-m=2,故m=-2;（7分）

当z=-1-i时，易知E=-l+i也是方程x2+mx+2=0的一个复数根，

由根与系数的关系知z+5=-m=-2,故m=2.(9分)

综上,m的值为±2.(10分)

(3)・；z的实部大于0,，z=l+i,

则z3=(l+i)3=l+3i+3i2+i3=・2+2i,(12分)

/.z-z3=(1+i)-(-2+2i)=3-i,

则A(1,1),B(-2,2),C(3,-1),

・・・施=(-3,1)而(2,-2),(14分)

设NBACM,则cos9=f§=7ra=-ar>Asin9=V1-COS20=T'

故△ABC的面积为:|荏凶商sin0=jxV10x2V2xy=2.(l7分)

19.解析⑴依题意,co=・；+Fi=cosF+isinm=e亍，(2分)

”【、i?n?4,—ix?n?44048K「.4048K4兀，..4兀IV3.,.八、

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