2026年高考全国Ⅰ卷数学模拟卷（五）

2026年高考全国I卷数学模拟卷（五）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡.上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上

无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

4.适用地区：湖北、湖南、广东、山东、江苏、浙江、江西、河南、安徽、福建、河北.

5.难度系数：0.63（计算过程：（5x0.85+5x0.85+5x0.70+5x0.70+5x0.70+5x

0.45+5x0.65+5x0.50+6x0.60+6x0.55+6x0.40+5x0.65+5x0.65+5x

0.354-13x0.654-15x0.65+15x0.55+17x0.45+17x0.40）+150x0.63）

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.（2026•江西宜春・模拟）设A=口|%是10的正约数},F={x|ix-l<l）,则An

B=（）

A.{2,5}B.{1,5}C.{125}D.{1,2,5,10}

【答案】C

【详解】10的正约数为1,2,5,10,故力={125,10}.解不等式得故8=

[x\x<6}.又x应为集合A中元素，所以AQB={1,2,5}.

【易错警示】常见错误：忽视4是列举集合，直接取B中所有小于等于6的实数.防错方法:

交集运算时，必须从4中选取满足条件的元素.

【规律总结】通法：先分别求出两集合的明确范围或列举出元素，再取公共部分.技巧：当4

为有限列举集时，可直接将/中元素代入B的条件检验.

2.（2026•江苏南京•栖霞名校联盟一模）若复数z=i（3-5i）,则复数z在复平面内所对

应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【详解】计算z=i（3-5i）=3i-5i2=3i+5=5+3i.该复数在复平面内对应的点为（5,3）,

位于第一象限.

【易错警示】常见错误：忘记i2=-l,导致实部与虚部符号错误.防错方法：严格按照复数

乘法法则展开，注意实部与虚部的区分.

【规律总结】通法：将复数化为标准代数形式Q+bi，根据Q,b的符号判断所在象限.技巧：

复数的乘法运算可类比多项式乘法，注意合并同类项.

3.（2026•江西•联考）设单位向量用，诙的夹角为9，五=瓦+2杳，»=2瓦-电，则族

在d上的投影数量为（）

A.iB.—C.--D.

2222

【答案】D

【详解】投影数量公式为券十算得五i二G+2杳）•（2哲-&）=2阎2+3瓦.e2-

222

2|e2|=24-3xlxlx（-1）-2=—|a|=|e1+2e2|=l+4^-e2+4=1-24-4=3,

故间=遍.投影数量为卷=-率

【易错警示】常见错误：混淆投影数量与投影向量；计算数量积时弄错夹角余弦值.防错方法:

牢记公式3在d上的投影数量为普，投影向量为粤d.注意单位向量夹角为?时，数量积为

|Q|\a\23

负.

【规律总结】通法：利用数量积及模长公式直接运算.技巧：在涉及单位向量的计嵬中，可直

接使用数量积定义简化.

-+x,x>a

；为增函数，则Q的最

（-x+4,x<a

小值是（)

A彳B.2C.4D.5

【答案】C

【详解】由对勾函数性质，y=%+：在(0,2］递减，在［2,+8)递增.故要使/(%)在［见+8)

递增，需。之2.又f(%)=；x+4在(―8,a)上递增，且在连接点处需满足;Q+44Q+*结

合aN2,解得4.所以Q的最小值为4.

【易错警示】常见错误：仅考虑两段函数各自的单调性，而忽略分段点处函数值的大小关系.

防错方法：分段函数为增函数的充要条件是各段递增且连接点处左极限不大于右极限.

【规律总结】通法：分段函数单调性问题，先求各段单调区间，再通过不等式约束分段点处

的大小关系.技巧：对勾函数y=x+j的单调区间需熟记.

5.(2026•江苏南京、盐城•一模)已知圆锥的轴截面是直角三角形，且该圆锥的顶点和底

面的圆周都在球。的球面上，则该圆锥与球。的体积之比为()

A［B［C.|D*

【答案】B

【详解】设圆锥底面半径为r,因轴截面为直角三角形，故圆锥高九=r,体积1/锥=，兀厂3

设球半径为R,由勾股定理乃二%一丁)2+产解得/?二丁，故球体积%=［兀".两者体积之

比为:.

【易错警示】常见错误：轴截面直角三角形未正确转化为圆锥高与半径的关系，或球半径计

算错误.防错方法：画出轴截面图，明确球心到圆锥底面距离与半径的几何关系.

【规律总结】通法：多面体或旋转体的内切、外接球问题，通常作轴截面转化为平面几何求

解.技巧：抓住球心到各顶点或切点的距离相等列方程.

6.(2026•广东湛江•二模)已知定义在R上的可导函数f(x)满足f(2x+1)是偶函数；

/(4-x)=2-/(%)；f(0)="(0)=2,则/(2026)+/(2026)=()

A.-3B.-1C.1D.3

【答案】B

［详解］由f(2x+1)=f(-2x+1)知/(%)关于x=1对称,即f(%)=f(2一%).由f(4-

%)=2-7'(x)得-2)=2-f(x),进而/(%+2)=2-f(%),故f(%+4)=/(%),周期

为4.对/(%+2)=2-/(为两边求导得r(x+2)=-r(x),故r(x+4)=，(x).计算得

/(2026)=/(2)=2-/(0)=1,/'(2026)=((2)=-尸(0)=-2,和为-1.

【易错警示】常见错误：对称性与周期性转化不熟练，求导时漏掉常数或符号错误.防错方法:

熟练掌握常见抽象函数模型(如/Q)=f(2a—x)对称，f(x)+f(2a—%)=2b中心对称),

并注意复合函数求导法则.

【规律总结】通法：由对称性、周期性及函数方程推导函数性质.技巧：赋值法或换元法处理

抽象函数等式，求导时注意链式法则.

7.(2026•湖南长沙•模拟)已知数列｛an］是公比大于()的等比数列，则岩詈的最小值为

()

A.3B.2V2C.V2D.V3

【答案】B

【详解】设等比数列｛an｝的公比为q>0,则的>0.唱幺=用等=誓.+勺32

2的W=2式.当且仅当康=q3,即q6=2时取等号.

【易错警示】常见错误：通项公式写错导致指数错误；基本不等式使用条件忽略(正项等比

数列保证各项为正).防错方法：设出首项和公比，准确代入通项公式，验证等号成立条件.

【规律总结】通法：将所求表达式化为关于公比q的函数，再利用基本不等式求最值.技巧：

分子分母同除以。述3简化表达式.

8.(2026•浙江嘉兴•二模)已知双曲线。/一\=1缶>0/>0)的左、右焦点分别为

GF2,左、右顶点分别为4B,点P为C右支上异于6的一点，过尸作x轴的垂线，垂足

为N.若乙PF#?=2乙PF2F1,且直线AN与PF2垂直，则C的离心率为()

A.V2B.V3C.2D.V5

【答案】B

【详解】设|PF/=m/PFzl=n，则7n-n=2a.在△P&F2中，由乙P&F?=2/PF2a,设

心PF?zFi1=6，则N1PzF1F2=20.由正弦定s理in。得三sin=20sin=30.可得m=2TICOS。，代入m-

九二2Q得n（2cos6>-1）=2a,由AN^1PF2及几何关系可得△AFYF2为直角三角形，结合离心

率定义解得e=-=V3.

a

【易错警示】常见错误：角度关系转化错误；未能利用垂直条件建立关于Q,C的方程.防错方

法：画出标准图形，明确各角位置，利用正余弦定理及几何性质逐步推导.

【规律总结】通法：求离心率即求:的比值，通过题目中的几何或代数条件建立关于Q,C的

齐次方程.技巧：焦点三角形问题常结合正余弦定理及双曲线定义求解.

【一题多解】

解法一：（解析法）设P点坐标，利用斜率关系及AN目PF2建立方程，代入双曲线方程求解e.

运算量较大，但对几何转化能力要求较低.

解法二：（几何法）利用角平分线性质及双曲线定义，构造相似三角形或射影定理，结合离心

率公式直接求解.对几何素养要求较高，但计算简洁.

对比：几何法更快捷，但需敏锐的观察力；解析法普适性强，适合大部分学生.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.（2026•广东湛江•二模）2026年是“十四五”环境治理规划的关键验收年.某市生态环境

局为评估AI辅助预测模型的准确性，记录了某月连续7天的PM2.5预测误差（预测误差二

实际浓度-预测浓度，单位：^g/m3）.如下表：

日期1234567

预测误差A-4-2-10133

下列关于这7天预测误差项的描述中，正确的有（）

A.这组数据的众数是3

B.这组数据的60%分位数是0.5

C.这组数据的方差大于5

D.若第8天该模型预测误差为-2,则加入第8天数据后，新数据组的平均数将变小

【答案】ACD

【详解】A项：数据中出现次数最多的是3（出现2次），众数为3,正确.B项：数据排序后

为-4,-2,-1,0,1,3,3,共7个数据.7X60%=4.2,取第5个数，即1,故60%分位数为1,

z：+卜，口-一一4-2-1+0+1+3+3八t—*o16+4+1+0+1+9+940l、l

错俣.C项：平均数x=--------------=0,方差s2=--------------=—a5.71>5,正

777

确.D项：原平均数为0,新数据-2小于0,加入后平均数变为?=-0.25<0,变小，正确.

8

全选ACD.

【易错警示】常见错误：百分位数计算时未将数据排序，或取数规则错误.防错方法：先排序,

再按71Xp%确定位置，非整数时取下一个整数位置的数.

【规律总结】通法：统计量计算需严格按定义进行.技巧：方差可用简化公式S?-产

计算.

10.（2026•湖南长沙•模拟）设椭圆C《+'=l（a〉b>0）的离心率为雪，且过点

（2,1）.若直线y=kx+m与椭圆C交于P,Q两点，则下列说法正确的是（）

A.椭圆C的方程为］+y2=1

B.当k=l时，|PQ|的最大值为理

C.若线段PQ的中点为M,且。M的斜率为-2，则k的值为土手

5K5

D.若以PQ为直径的圆过原点，则5m2=2/+2

【答案】ABD

【详解】A项：由离心率e=：=竽，得c2=，2,则〃=Q2-c?=（Q2.又过点（2,1）,

代入得£+念=1,解得加=5/2=1,方程为9+y2=i,正确.B项：设直线y=%+

m，代入椭圆得6x2+10mx+5m2-5=0.弦长\PQ\=V1+l2V（xi+x2）2-^XLX2=

立/管一出守=手覆中工等,正确.C项：由点差法得k°M・kpQ=_S=Y，

y36633ya'5

若％M=-+，则一^-比=一3恒成立，不能确定出的值，错误.D项：以PQ为直径的圆

5AC3K5

2

过原点即而•丽=0,即xrx2+yiy2=0.联立韦达定理代入化简得57n2=2k+2,正确.

全选ABD.

【易错警示】常见错误：点差法结论记错，斜率关系混淆；以直径圆过原点的向量转化不正

确.防错方法：熟记椭圆中点弦斜率积公式k0M•kpQ=-g,直径圆问题转化为向量数量积为

0.

【规律总结】通法：直线与椭圆综合问题，联立消元后利用韦达定理及判别式处理弦长、面

积、垂直等条件.技巧：中点弦问题优先考虑点差法.

11.（2026•山东日照•模拟）已知四面体ABCO满足AB=AC=CD=BD=2,BC=2VL

点4B,C,0均在球仪的表面上，球。2与四面体的4个面均相切，过直线4。2的平面截四

面体4BCZ）所得的截面的面积为S,则（）

A.球。1的表面积为87r

B.当四面体ABCD体积最大时，。1。2=2-夜

C.当AO=好时，S的最大值为V3

D.当4。=或时，S的最小值为半

【答案】ACD

【详解】A项：将四面体补形为长方体，易求外接球半径R=表面积为47/?2=8几，正

确.B项：体积最大时4。二①，通过体积法求得内切球半径，进而算得。］。2=2-誓，错

误.C项：当40=夜时，过01。2的截面为等腰三角形，面积最大值为V5,正确D项：截

面面积最小值为平，正确.全选ACD.

【易错警示】常见错误：外接球球心位置判断错误，或截面形状判断失误.防错方法：利用补

形法求外接球，截面问题需结合对称性及几何体特征分析.

【规律总结】通法：外接球问题常补成长方体或找球心到各顶点等距的方程；截面问题先定

形状，再求最值.技巧：特殊四面体（如对棱相等）可补成长方体.

【一题多解】

解法一：（补形法）将对棱相等的四面体补成长方体，则外接球即为长方体的外接球.

解法二：（解析法）建立空间直角坐标系，通过坐标运算求外接球半径及截面面积.

对比：补形法直观简洁，解析法普适但运算量稍大.

第二部分（非选择题共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.（2026•广东佛山•二模）在三棱柱ABC—481G中，41cMecrAXB=

V3,Cg=l,则异面直线为B与CC]所成角的余弦值为

【答案】y

【详解】由且41cMeG，又BCn&Ci=0且异面，可知CG垂直于BC和4G

的公垂线.在三棱柱中，平移CG至或利用向量法，可得4避与CC1所成角即为上4凤?

的补角或相关角.计算得=V5,CC]=1,由勾股定理及余弦定理得余弦值为

【易错警示】常见错误：异面直线所成角范围是（o，m，若计算出的角为钝角需取其补角.防

错方法：求异面直线夹角时，通过平移将两直线交于一点，取锐角或直角.

【规律总结】通法：求异面直线所成角，通常平移其中一条直线，与另一•条相交，解三角形

求角.技巧：补形或建系用向量法更便捷.

fc-1

13.（2026•江苏南京、盐城・一模）设正整数九=%・20+%•2]+…+♦2+ak•

fc

2.其中田6（0,1},i=0,1,2,记co（n）=劭+%+…+QK.从集合{xEN*Ix工2000）

中随机抽取一个数n,则3（九）<3的概率为

【详解】九式2000<2048=211,故九的二进制表示最多有11位&（几）为二进制表示中1

的个数.3（几）43且九EN*,满足条件的n均不超过2000.a）（n）=1有玛1=11个，w（n）=

2有C窘=55个，侬（几）=3有量1=165个，共231个概率为就.

【易错警示】常见错误：二进制位数判断错误，或组合数计算失误.防错方法：确定最大值不

超过211,直接用组合数计数.

【规律总结】通法：二进制表示与组合计数相结合的问题，先确定二进制位数，再利用组合

数公式计算满足条件的数的个数.

14.（2026•湖北襄阳四中•模拟）若实数满足之已。2"+2a2=6]na+2b+l,则

_c）2+（b+c）2的最小值为一.

【答案】V2

a2b3]na2

【详解】由己知等式化简可得e~-+2（Q2-b-31na）-1=0.令t=a-b-31na,

则^+21一1=0,构造函数/（。=或+2£-1,因其单调递增且/XO）=0,故t=0,即

b=a2-31na.所求y/（a-c）2+（b4-c）2表示点（a,b）到直线y=-x上点（c,-c）的距离.转

化为求函数b=a2-31na图象上的点到直线y=-x的最小距离.利用导数求切线斜率为-1

的切点，计算得最小距离为&.

【易错警示】常见错误：等式变形复杂，无法发现构造函数；距离转化错误.防错方法：观察

等式结构，尝试配凑出相同整体进行换元；几何意义明确后，用导数求切线.

【规律总结】通法：复杂等式通过换元构造函数，利用函数单调性求解；代数式几何化，转

化为距离最值问题.技巧：观察结构，配凑指数与对数组合.

【一题多解】

解法一：（代数法）如详解，通过换元构造函数求解.

解法二：（数形结合）直接分析等式的对称性，猜测并验证t=0是唯一解，再利用几何意义

求解.

对比：换元法思路自然，是处理此类问题的通法.

四、解答题：本题共5小题，共77分•解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（2026•江西宜春•模拟）（13分）

在△4BC中，角所对的边分别为a,Z?,c,VScsinA-acosC=2c-b.

（1）求角4

（2）。为△ABC外一点，且与点B位于直线AC的同侧，4力CO=乎，CD=1若b=

6,

V3,c=V7,求△ABD的面积.

【答案】（1）A=*（2）V7

【详解】（1）由遮csinA-acosC=2c-b及正弦定理得V5sinCsinA-sinAcosC=

2sinC-sinB.将sinB=sin（力+C）=sin4cosc+cosXsinC代入，化简得V5sinCsinA+

cos/sinC=2sinC.因为sinC40,所以V5sin4+cos/=2,即2sin（4+工）=2,sin（4+

6

g）=1.由4E（0,7T）得A+g3故4=g

66Z3

(2)在△4C0中，由余弦定理得4。2=4。2+。。2-24C-COcos里=3+1-275x

6

(―y)=7,所以AD=夕.由正弦定理得sinNCAD=巧费旦=去进而求得cosz_CAD=

于是sin4840=sin(--zCTlD)=壁.所以S„=-AB-ADsin^BAD=ixV7xV7x—=

37ABD227

V7.

【易错警示】常见错误：边角互化时漏乘2R或符号错误；面积公式中夹角选取错误.防错方

法：严格遵循正弦定理、余弦定理的形式进行转化，计算三角函数值时注意角的范围.

【规律总结】通法：解三角形问题，利用正余弦定理实现边角互化，结合三角恒等变换求角

或边.技巧：遇到asinC等结构时，可考虑用正弦定理统一为角或边的关系.

16.(2026•江西•三新协同教研共同体•阶段训练)(15分)

如图，在四棱锥S—4BCD中，AB||CD,AB^AD,AB=3,AD=CD=2,=

3

(1)证明：。时||平面54£)；

(2)已知SA=SO=V^,平面S40团平面4BC0.

(i)求三棱锥S-4BD外接球的表面积；

(ii)求平面MCD与平面ABCD夹角的余弦值.

【答案】(1)见解析；(2)(i)13TT；(ii)筌

26

【详解】(1)过M作MN||AB交S4于N,连接DN.由丽=-BS得MN=-AB=2=

33

CD,又||CO,故MN||CD,四边形CDNM为平行四边形，所以CM||0N.由DNu平面

SAD,CMC平面SAO,WCMIITffiSAD.

(2)(i)由S4=SD=应,4。=2,得SAmS。.又平面SAD团平面ABCD,AB^AD,故

平面S/D.所以BD是三棱锥S-ABD外接球的直径，且80=y/AB2AD2=g.球表

面积为47r(拶)2=137r.

(ii)建立空间直角坐标系，求得平面MCD的法向量沆=(1,0,-5),平面4BC0的法向量

元=(0,0,1),则夹角的余弦值为黑=爱.

【易错警示】常见错误：证明线面平行时条件叙述不完整；求外接球半径时找不到直径.防错

方法：线面平行需强调面外、面内、平行三要素；找外接球注意是否有线面垂直结构，从而

确定球心位置.

【规律总结】通法：线面平行通常转化为线线平行证明；外接球问题常通过补形或找球心到

各顶点等距的方程求解.技巧：若一条棱垂直于一个面，则该棱为长方体或直棱柱的一部分，

外接球直径易求.

17.(2026•广东江门•一模)(15分)

某学校组织学科创新能力知识竞赛，参赛选手随机从AB,C三类问题中各抽取一个问题回答,

类问题回答正确的得分依次是2分、3分、5分，回答错误得()分.已知甲同学能正确回

答类问题的概率依次为乙同学能正确回答48,C类问题的概率都为j总分

最高的选手获胜，且甲、乙同学能正确回答问题的概率与顺序无关.

(1)求乙同学三个问题中至少有两个问题回答正确的概率；

(2)记X为甲同学的总得分，求X的分布列及期望；

(3)已知乙同学在比赛中获胜，求甲同学的总得分不低于5分的概率.

【答案】⑴g(2)分布列见解析，期望为6；⑶乌

264

【详解】(1)设乙同学三个问题中至少有两个问题回答正确为事件D.乙同学正确回答每个

问题的概率均为右且各问题相互独立.则

2

9/1\/1\111311

P(D)=C|(-)=3x-x-+-=-+-=-.

(2)甲同学的总得分X的可能取值为0,2,3,5,7,8,10,各类问题的得分相互独立，计算每个

取值的概率：

111

P(X=0)=(l-J)x(l-|)x(l-i)=-XX—=•

4224’

3113

P(X=2)=；x(l-|)x(l-i)=-X-X-=

43224,

•P(X=3)=(1—：)x|x(l—＞卜|'3=3

•/3^=5)=(l-|)x(l-|)xi+|x|x(l-|)=^+^=^：

•P(X=7)=[x(1-|)乂；品

・P(X=8)=(l*|x；a

八/t八、

•Pr»(X=10)=3-X2-X1-=6—

'743224

•分布列：

X02357810

1327326

P————————

24242424242424

数学期望：

1327326144

E(X)=0x—+2x—4-3x—+5x—4-7x—+8x—4-10x—=--=6.

2424242424242424

3

(3)记乙同学的总得分为匕其可能取值为02357,810,每个取值的概率均为

(因为乙同学每题得分情况与甲不同，但概率均为P.事件“乙获胜”即丫>x,事件“甲

的总得分不低于5分”即XZ5.利用全概率公式计算条件概率>5Iy>X)=唔『.

P[Y>X)

分别计算：

•P(Y>X)=^(具体计算略，涉及所有x与丫取值的组合)；

JL

•P(X>5,Y>X)=2^Q.

•因此所求概率为？

•【易错警示】常见错误：洛得分直接相乘或相加，未正确理解各题得分的独立性；条件概

率事件混淆.防错方法：先列出所有可能得分组合，再根据事件定义筛选符合条件的组合数.

•【规律总结】通法：离散型随机变量分布列问题，先确定变量的所有可能取值，再计算每

个取值的概率，最后求期望.涉及条件概率时，严格按定义式计算.

18.(2026•江西-三新协同教研共同体-阶段训练)(17分)

已知F(l,0)是抛物线「:y2=2px(p>0)的焦点，过F的直线/与「交于4B两点(4在工

轴的上方).

(1)求p的值；

（2）若|4F|=4|B/I，求2的方程；

（3）记。为坐标原点，E为x轴上异于F的点，且|4E|二|4F|,延长4E交r于点C,设

直线。B,8c的斜率分别为自北2,求|自+攵21的最小值.

【答案】（1）p=2；（2）4x-3y-4=0；（3）2迎

【详解】（1）由焦点/（1,0）得：=1,所以p=2,抛物线「:y2=4工

（2）设直线/:%=ty+l,与抛物线联立得V-4ty-4=0.设4（%i，yi）,B（%2，y2），由

\AF\=4|BF|及抛物线定义得力=一4y2.乂%+丫2==-4，且%>0,解得月=

4,力二一1，进而t=：.所以直线方程为x=[y+1，即4x—3y—