高三数学讲义：正、余弦定理的综合应用

4.7正、余弦定理的综合应用

'考试要求

1.会利用正、余弦定理及三角恒等变换解决三角形中的最值、范围问题.

2.会利用正、余弦定理求解平面多边形、三角形的中线、高线、角平分线等问题.

块键能力提升互动悚究•考点精讲「

考点1多边形中的解三角形问题

[例1]如图，四边形A8C。为梯形，A8=2CO=6/LtanA=乎,cos乙4。8

=3'

D.____

ajC

(1)求cosN8QC的值；

(2)求BC的长.

【解】⑴因为tan4=兴4=乎，且siiFA+cos24=1,解得sinA=坐,cosA=华而

COS/i/。。

cos，所以sinNADB=71—cos2/AD8=-^-,所以cos/AB£>=cos(n-A-ZADB)

=­cos{A+Z.ADB)=—(cosAcossinAsin/ADB)=十=书,因

JJJJy

为AB//CD,所以NBOC=NA8。，所以cosZBDC=cosNABD=*.

(2)在△ABO中，由正弦定理得悠=应普丽，因为所以月。=岩温=

3小.在△C8D中，由余弦定理得BC2=BD2+CD2-213D-CDcosN8OC=27+18—2义3小

X3，5x坐=33,所以

」规律总结

平面几何中解三角形问题的求解思路

(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理

求解.

(2)寻找各个三角形之司的联系，交叉使用公共条件，求出结果.

【对点训练1】如图所示，在平行四边形A8C。中，有4。8$/847=(2从8—80

cosZABC.

(1)求NA8C的大小：

(2)若BC=3,4C=小，求平行四边形ABC。的面积.

解：(1)由题意得ACcosZBAC=(2AB—BC)cosNABC,

由正弦定理得2sinNAC8cosNABC=sinZBACcosN48C+sinZABCcos/BAC、

/.2sinZ.ACBcosNABC=sin（NB4C+NA8C）=sin（几一NAC8）=sin/ACB,

又•・・NACB£（0,兀）,

sinNACBWO,/.cosZABC=^t

VZ/lBCe(0,n),AZABC=^.

(2)在平行四边形A4CD中，ZABC=1,BC=3,AC=币,

在△ABC中，由余弦定理得，AC2=AB2-iBC2-2ABXBCcosZABC,即7=八4+9—

2XABX3x1,

解得AB=1或AB=2,

当AB=\时，平行四边形ABCD的面积为S=2S&ABC=2X：ABXBCsin^=2x1

X1X3X芈=挈；

当AB=2时，平行四边形ABCD的面积为S=2S^ABC=2X^ABXBCsin^=2x1

X2X3X乎=3小.

故平行四边形ABCD的面积为:秒或3小.

考点2三角形中的最值、范围问题

【例2】(2024•河北衡水一模)在△ABC中，N6AC,ZABC,NAC8所对的边分别

是。，b,c,三角形面积为S,若。为AC边上一点，满足八B_L8。，BD—2,旦/一一邛飞

-\~abcosNACB.

(1)求4BC；

91

(2)求病+为的取值范围.

【解】⑴cosNAC8,

•*.cr=—^~absinZ.ACB-\-abcosZ.ACBy

即。=—苧。sinNACB+bcosZACB,

由正弦定理得，

sinN3AC=-*sinAABCsin/AC8+sinZABCcosZACB,

・・・sin(NABC+NAC8)=一率inZABCsinNACB+sinNABCcosNACB,

cosZ.ABCsinZ.ACB=—^sinZ.ABCsinNAC8,

••,sinNACBWO,AUnZABC=-yf3,

由OVNABC<TC,得/,48。=用.

(2)由(1)知，ZABC=Y，•••A8_L3。，

J

717l

，NA8D=7，/DBC=Z,

Zo

在中，由正弦定理得sin矢BC=sin吸CB'

c•兀

2sin7,

______6]

即℃=sinN4CB=sinNAW

在Rt/XABD中，

但-BD:_2_

sinZBAC~sin/BAC

2I2I

.,.•77^+777：=------z------+---------:----=sinZBAC+sinZACB,

sin^BACsinNACB

VZ4«C=y,AZBAC+ZACB=5,

/.~^+'^=sinNBAC+sinNACB=sin(1一NAC8)+sinZACB=s\n^cosNACB

-cospinZACB+sinZACB=sin(/AC8+；),VO<Z/\CB<J,/.ZACB4-1

£像纵,sin(NACB+瓢除I,

下+志的取值范围为(坐，1]

-------------------------------------------------------1

1.三角形中的最值、范围问题的解题策略

(1)定基本量：根据题意画出图形，找出三角形中的边、角，利用正弦、余弦定理求出相

关的边、角，并选择边、角作为基本量，确定基本量的范围.

(2)构建函数：根据正弦、余弦定理或三角恒等变换，将所求范围的变量表示成函数形式.

(3)求最值：利用基本不等式或函数的单调性等求最值.

2.求解三角形中的最值、范围问题的注意点

(1)涉及求范围的问题，一定要搞清楚变量的范围，若已知边的范围，求角的范围可以利

用余弦定理进行转化.

(2)注意题目中的隐含条件，如A+3+C=m0<A<n,\b-c\<ci<b^c,三角形中大边对大

角等.

【对点训练2】在AABC中，ABAC,ZABC,NAC8所对的边分别是a,b,c,已知

向量〃i=(a+〃，sinZACB),〃=(a—c,sinZBAC—sinAABC),满足〃?〃〃.

(1)求48。；

(2)若N/WC的平分线交边AC于点/5,8/)=2,求AABC面积的最小值.

解：(1)，，(a+O).(sinNB4C—sinNA8C)=(a—c>sinNAC凡

222122

；・(a+b)(a—〃)=《4-c),a—b=ac—c>/.a-^-c—b=ac>

2accos/ABC=ac,cosNA8C=；,

VZABCE((),7t),AZABC=J.

(2)由题意得S^Asc=2acsi11NA3C=噂aj

5，MBD=1x2XcXsinSAC/?o=1X2X«Xsin|=SAABC=S.\ABD4-SACBD,

近r-

・苦一>,即号ae=a+c22A/ac,

斗^,则acN竽，当且仅当”=。=斗^时取等号,

:・S"Wac,16W3

3.

4s

即XABC面积的鼓小值为半.

考点3三角形中的中线、高线、角平分线

命题角度I中线

【例3】(2024•山东潍坊一模)在△A8C中，ZBAC,NABC,NAC8的对边分别为

a,b,c,已知a(sin/4BC+cosZ.ABC)=c.

(l)^ZBAC；

(2)若。=/，a=小，。为3c的中点，求AO的长.

【解】(l)・・Z(sin/人BC+cosZABC)=cy

sinZBAC(sinNABC+cosNABC)=sinNACB,

在中,sinZACB=sin(NZMC+NABC),则有sinZBAC(sinZABC-t-cosZABC)

=sin(NAAC+NABC),

.*.sinZBACsinNABC+sinABACcosZABC

=sinZBACcosZABC+cosZ13ACsinZ.ABC,

AsinZBACsinZABC=cosZBACsinZABC,又NABgO,n),工sinNA80(),

/.sinZBAC=cosZBAC,tan/BAC=1,

又N8AC£(0,7t),，N8AC=；.

(2)根据余弦定理有a2=b2-\-cz—2bccosZBAC,

则有5=〃+2—2"解得2=3或人=一1(舍去),

如图，•・•。为BC的中点,

.,.A5=1(矗+危),

/.Ab2=1(而+/2+2病比)=1x

・・・丹。=乎.

规律总结'

中线的相关结论

如图，在ZXASC'中，。是6c■的中点，/6AC,ZABC,/AC6所对的边分别为a,b,

(1)向量形式：(记忆核心技巧，结论不用记忆)

核心技巧：2Ab=Q+/；

结论：AD2=1(Z?2+C24-2/7CCOS^BAC).

(2)角形式:

NAQ8+NAOC=7t=cosZADB+cosZADC=().

DA2+DB2-AB2

在△AOB中，cos^ADB=

2DAXDB

D42+DC2-AC2

在△AQC中，cosZADC=

2DAXDC

命题角度2高线

【例4】(2024•山东枣庄一模)在△A8C中，N3AC,ZABC,N4C8的对边分别为

口aNACB

a,b,c,且五=sinN84Ctan5

(1)求/八。8；

⑵若。=8,b=5,C”是边A8上的高，且C"=〃?C4+〃CB,求手.

【解】(1)因为聂=sinZBAGtan4手，由正弦定理和同角三角函数的基本关系，得

/C/

八,«「sinZB/lC-sin7

sin/BAC_______________2,…sinZ.BAC

2sinNACB=ZACB由倍角公式得NACB~ZACB二

COS-------4sin-z—cos—z—

ZACB

sinNBACsin——

NACB

COS-------------

又因为N84C,ZACB为△ABC的内角，所以N8AC£(0,n),——w(0,所以

ZACB

sinNB4CW0,cos—-WO.

/ACBZACBZ.ACBnn

所以sin---2-=,则有-2-=6»所以N4C8=?

TT一>>>

(2)如图，由题意知。=8,b=5,NAC4=彳，CACli=\CA\\CB\cos,ZACB=abcosZACB

J

2222

=5X8Xcos鼻=20,CA=b=25yCB=a=64,

由题意知C〃_LAB,所以①府=0,即(wCA+nCfe)•(CB-CA)=(〃?一〃)(ch-CA)

一mCA2+nCB2=20(zn-〃)一25〃？+64〃=0.

in44

所以5/〃=44〃，所以7"=彳.

」规律总结

高线的相关结论

(1)高的性质：hi,力2,加分别为△43C边〃，b,c上的高，则hi：h2:%3=:：|：!=

1.1.1

sinA'sinB'sinC'

(2)求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边长度.

命题角度3角平分线

【例5】(2024•山东淄博一模)如图，在△A8C中，NB4C=专，NB4C的平分线交

3c于点P,AP=2.

A

BPC

(1)若8C=8,求△ABC的面积：

(2)若CP=4,求8P的长.

【解】(1)Z\A8C中，设N8AC,ZABC,

NAC8的对边分别为a,b,c,

在△48C中，由余弦定理得8c2=AB2+AC2-2AB.4CCOS/CAB,

即64=c2+b2+h-c®.

因为S△八8C=SAA8P+S"CP,所以与坐=守•坐+挚幸，整理得力Y=2/?+2@,

由①②解得"c=2+2V记，

1^3+7195

所以S:\ABC=~=}bcsinNBAC=-------------.

(2)因为AP=2,CP=4,ZMC=1,所以在△APC中，由余弦定理，可得。尸2=乂尸2+

AC2-2APACCOSZCAP,

所以16=4+4。2-24。，解得4c=1+行,

j\PPC

由正弦定理得sin/ACB=sinNC4P'

____________加

即sinCAC厂去解得,访ZAC5=4，所以cosZ.ACB=-\l1—sin2Z/lCS=^—,

2

sinZAZ?C=sin(ZZ?AC4-ZACB)=sinZBACcosN4C4+cosZBACsinZACB

V39-V3

=~8~，

ACBC

在“BC中，由正弦定理得sinZBACy

1+xTHBCI4+2J13

则再二百二百，解得BC=-3—

8-2

14+2^132+2回

所以BP=BC-PC=-4=-3-

规律总结L

角平分线的相关结论

如图，在△ABC中，A。平分N84C,ZBAC,ZABC,

NAC8所对的边分别为a,b,

，，、4八用占in；48AC.ABBD

(1)内角平分线定理；SD=pC^AC=DC-

(2)等面积法:

11NBAC1

S△八BC=SMM+S△八Dc=>5A3XACXsinZBAC=^ABXADXsin—z—+zACXADXsin

/BAC

~~2-*

(3)角形式：

NAQ8+NAOC=TI=COSZADB+COSZADC=0.

222

人入./DA-1-DB-AB

在△AOB中，cosZADB=—；

£L)/\AL)l5

,,DA2+DC2-AC2

在△AQC中，cosZADC=——

ZU/\AZ7C

【对点训练3】(2024•黑龙江哈尔滨二模)在△ABC中，ZBAC,/ABC,NACB的

a、,八口工,,2bcosZABC,八।sinN8AC

对边分别为小b,c,已知b=4,----------------=cosZBAC+--777G.

ctanNACB

(1)求/48。的大小；

(2)已知4。为NAAC的平分线，且与AC交十点。，若以)=平,求△ABC的周长.

⑺,csinZBAC

解：(1)由已知，cosZABC=ccosZ.BAC-\-'-----,,

lanz/ix/iCr/Dj

sinNACBsinNR4C

根据正弦定理，得2sinZABCcosNA4C=sinZACBcosZBAC+

tanZ.ACB

即2sinZABCcos,ZABC=sin/BACcosZACB

4-cosABACsinZACB,

即2sinZABCcos乙48C=sin(N8AC+ZACT)=sinN44C,

由于OVNAACVTT,所以sinN46O0,所以cosNABC=*所以NA8C=?

⑵因为S^ABC=S^ABD+SABCD,

所以JocsinZABC=7BDcsinZAI3D-i^BDas\nNCBD,

因为8。为/ABC的平分线，所以48。=/圆。=；乙48。=去

所以44cx坐则小ac=^^(a+c),即ac=^^(a+c),

由余弦定理得/=/+/—2accosNA8C,Kp16=c2+c2—tzc,

、、2#r--4加

所以16=(a+c)~—3ac=(a+c)-—(a+c),解得a+c=2*\/6或a+c=-―(舍),

故△ABC的周长为2、后+4.

课时作业31

/亚基础巩固.

1.(16分)(2024•四川成都三模)在△A8C中，BC=5,AC=6,cosZABC=1.

(1)求4B的长;

(2)求4c边上的高.

解：(1)设NBAC,ZABC,NACB的对边分别为a,b,。，则4=5,b=6,cosZABC

1|25+?-36

=由余弦定理得解得即

"oo,oR=ZTAT3T(7?yc=4,A8=4.

(2)在△ABC中，cosZABC=g,

所以sinNA4C=¥^,设AC边上的高为h,则!〃?=!℃sinZABC,即6〃=5X4x¥^,

oZZo

5s

解得力=

4

所以AC边上的高为

2.(16分)(2024•北京东城区一模)在△A8C中，/B4C,NABC,/ACB所对的边分

别为a,b,c,满足acosN4CB+ccosNB4c=^^/，cosN48c.

(1)求NA8C；

(2)若以=12,。为4c边的中点，且4。=3,求〃.

解：(1)因为acosNAC3+ccoscos/A8G所以sinNZMCcosN4C8+

oA

sinZ.ACBcosZBAC=_^~sinZ.ABCcosNA8C,

2s

所以sin(ZHAC+N/C6)=-^sinNAAC'cosZAHCt

2\[3

所以sinZ/\BC=,=^_sinZABCcosNABC,

又因为sin/4BCH0：所以1=¥cos/ABC,解得cos/ABC=乎，又因为/ABC£(0,

J4

n),所以NABC=器.

(2)如图，因为。为8c边的中点，。=12,所以8。=。。=6,在△A3。中，由正弦定理

_BD_______A/)

可%nABAD=sinNABD'

即sin/8AD=1=6,解得sinN8/W=l,又因为NH4O£((),n),所以/84。=与，

2

2222

在Rt/XABD中，AB=ylBD-AD=yj6-3=3^y

在△ABC中，A3=3®BC=\2,/43C=去

由余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2ABACcosNABC=27+144-2X3小X12乂乎=

63,

所以AC=3币，即力=3币.

3.(17分)在△ABC中，/B4C,NA8C,N4CB的对边分别是a,b,c,满足3+8

+c)(a+b—c)=ab.

⑴求NAC3：

(2)若点。在48上，CD=2,ZBCD=90°,求△ABC面积的最小值.

解：(1)由(a+/+c)(a+b—c)=而,可得/+〃一/=一〃力，

cr+lr-c2ab12n

AcosZ.ACB==~2^b=-2»又NAC8£(0,兀),，NAC8=丁.

(2)*.*SA4BC=SMCD+SLXACD,

sin苧一/X2a+、X2$in

乎a匕=a+；入272Gb,

•二a心苧，当且仅当6=2a,即力=理^时取等号,

8、Q

・•・△ABC面积的最小值为年.

4.（17分）如图，在凸四边形ABCD中，对角线AC,BD交于点E,且BE=ED,AE

=2EC,A8=4,AD=2小.

⑴若EC=I,求N84。的余弦值;

(2)若乙48。=：,求边8c的长.

解：（1）因为EC=1,所以4E=2EC=2,AC=3y设BE=ED=x,

心+5一人不（2市）2+（2。2—42/一2

在△AB。中，cosNADB=-WED—=诟=而]

AE^+ED^AE2（2啦尸+『一22』十4

在△AEO中，cosZADB=_2AD.ED-==~^^，

F-2F+4

所以大石=不国'解得'=2小‘所以""=4/,

AB2-^-AD1-BD2

在△A3。中，cosN84。=---2ABAD

4?+(2的2-一也f_小

2X4X2m=-4*

⑵在△ABO中，由正弦定理得忑*而，

所以sinZADB=^in/八月。=壶sinI,又/ADB为三角形的内角，所以/人所

=看所以BO=A£>=2吸，I3E=ED=y[2,且AE=y/AD2+ED?：®,

所以cosZAED=cosN8EC=^^=W，EC=TAE=^4^,

ZB乙乙

在△BCE中，«C2=«E2+EC2-2«E-ECCOSZBEC=2+1-2XV2X^X^=1,所以

BC碧

5.（17分）（2024•山东济南二模）如图，已知平面四边形4BC7）中，AB=BC=2"CD

=2,AD=4.

（1）若A,B,C,。四点共圆，求边AC的长：

（2）求四边形ABCZ）面积的最大值.

解：（1）在△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+8C2—2A8-8CCOSNA8C=8+8—

2X8XcosNABC=16-16cosNABC®,

在△AC。中，由余弦定理得4C2=AD2+CD2-2AD・C。cosZADC=16+4-2X8cos

ZADC=20-I6cosZADC®,

因为A,B,C,。四点共圆，所以NABC+NAOC=TI,因此COSN4DC=-COSNABC,

因此①十②，得2Ad=36,所以AC=36（负值已舍去）.

(2)由(1)得16-16cosN4BC=20—16cosZADC,

化简得cosZADC-cosZABC=^,

则cos2ZADC—2cosZADCcosZ/\BC+cos2

四边形ABCD的面积S=588CsinNA8C+14/>CZ)sinZADC=^X2y[2X

2恒in/4BC+^X4X2sin/AOC=4(sin乙4/)C+sinZABC),

s

整理得sinZADC+sinZABC=^y

则sin2Z4DC4-2sinZADCsinZ^«C4-sin2Z4^C=-^®,

1+S2

③+④得2-2(cosZXDCcosZABC-sinZADCsinNABC)=­

1+52

即2—2cos(NAOC+ZABC)=—

由于Ov/ADCQt,0</48。<兀，所以当且仅当N4DC+N48C=兀时，cos(NADC+

NA3C)取得最小值一1,

|+§2

此时四边形ABCD的面积最大，由一比一=4,解得5=3币，

故四边形ABCD面积的最大值为35.

.且素养提升「、

6.（17分）已知锐角AABC中，ZBAC,NABC,NACB所对