直线的倾斜角与斜率【九大题型】-人教A版高中数学选择性必修第一册（原卷版）

专题2.1直线的倾斜角与斜率【九大题型】

【人教A版(2019)]

＞题型梳理

【题型I求直线的倾斜角】......................................................................2

【题型2求直线的斜率】........................................................................2

【题型3已知直线的倾斜角或斜率求参数】.......................................................3

【题型4直线与线段的相交关系求斜率范围】.....................................................3

【题型5两条直线平行的判定】.................................................................4

【题型6己知两直线平行求参数】...............................................................5

【题型7两条直线垂直的判定】.................................................................5

【题型8已知两直线垂直求参数】...............................................................6

【题型9直线平行、垂直的判定在几何中的应用】.................................................7

A举一反三V

【知识点1直线的倾斜角与斜率】

i.直线的倾斜角

(|)倾斜角的定义

①当直线/与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线/向上的方向之间所成的角a叫做直线/

的倾斜角.

②当直线/与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.

(2)直线的倾斜角a的取值范围为0°Wavl80°.

2.直线的斜率

(1)直线的斜率

把一条直线的倾斜角a的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母攵表示，即仁〔ana

(2)斜率与倾斜角的对应关系

y

1

图示邛0

0Xr0x10L

/口n

倾斜角(范围)a=0°0°<«<90°a=90°90°<a<l80°

斜率(范围)%=0Q0不存在K0

(3)过两点的直线的斜率公式

过两点Pi（xi，yi）,P2U2，”Xxi#x2）的直线的斜率公式为&=3二J

X2X1

【注】（1）倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系.

（2）涉及直线与线段有交点问题，常根据数形结合思想，利用斜率公式求解.

【题型1求直线的倾斜角】

【例1】（23-24高二下•浙江•期中）若直线，:y=x-l,则直线/的倾斜角为（）

A.-B.如C.-D.-

4424

【变式I-1J（23-24高一下•北京顺义阶段练习）若直线/过两点（0,0）和（1,一百），则直线/的倾斜角为（）

A.—B.—TTC.—ITD・—

3366

【变式1-2］（2024.江苏南通.模拟预测）直线％・tan'+y-2=0的倾斜角为（）

A.mB.C.VD.?

5ioios

【变式1-3］（23-24高二上.山东青岛.期末）已知直线，的一个方向向量为存=（1,百），则直线，的倾斜角

为（）

A.30。B.45°C.60°D.90°

【题型2求直线的斜率】

【例2】（23-24高二上•湖南益阳・期末）已知点4（1,3）,8（—2,2）,则直线力8的斜率为（）

A.—3B.--C.-D.3

33

【变式2-1］（23-24高二下•河北保定•开学考试）已知直线。的倾斜角比直线"：y=rtan80。的倾斜角大20。,

则乙的斜率为（）

A.-V3B.V3C.--D.—

33

【变式2-2］（2024高二•全国.专题练习）已知直线，的倾斜角为心并且0。工。<120。，直线Z的斜率k的范

围是（）

A.-V3<k<0B.k>-V3

C.1之0或&<一百D.1之0或上<一立

J

【变式2-3］（23-24高二上.山东淄博.阶段练习）直线匕经过两点4（0,0）,8（1,⑹，直线。的倾斜角是直线

%的倾斜角的2倍，则％的斜率为（）

A.—B.—C.V3D.-V3

23

【题型3己知直线的倾斜角或斜率求参数】

【例3】(23-24高一下.重庆.期末)若直线Lx+my+l=0的倾斜角为手则实数m值为()

A.>/3B.-V3C.YD.-y

【变式3-1](23-24高二上•河南.阶段练习)若经过做2,0),8(-出2。一1)两点的直线斜率为1,则实数Q=

()

A.--B.3C.2D.1

2

【变式3-2](23-24高二下.江苏盐城.期末)过两点4(加2+2,^2-3)、8(3-m—m?,2m)的直线，的倾斜

角为45。，则m的值为()

A.一2或一1B.-1C.-D.-2

2

【变式3-3](23-24高一.江苏无锡.期末)已知经过两点(5,m)和(m,8)的直线的斜率大于1,则zn的取值范

围是()

A.(5,8)B.(8,+8)C.(y,8)D.(5谭)

【题型4直线与线段的相交关系求斜率范围】

【例4】(23-24高一下.浙江宁波期末)已知点4(2,3),8(3,-1),若直线[过点P(0,l)且与线段48相交，则

宜线，的斜率k的取值范围是()

A./c<一;或A>1B./c<一:或0<k<1

C.一汰zwo或kN1D.--</c<1

33

【变式4-1](23-24高二上.重庆黔江.阶段练习)已知A(l,2),8(-2,0),过点C(-l,4)的直线2与线段AB不相

交，则直线[斜率k的取值范围是•)

A.-1<Zc<4B.-4</c<1

C.k>1或&<-4D.k>4或k<-1

【变式4-2](2024高二・江苏・专题练习)已知直线，:(m+2)x+(m-l)y+m-1=0,若直线1与连接

力(1,一2),8(2,1)两点的线段总有公共点，则直线，的倾斜角范恒为()

B.序句

D•[唱暗,口)

【变式4-3](23-24高二上•云南曲靖・期末)经过点P(-2,0)作直线1,若直线/与连接力(3,1),8(-1,-2)两点

的线段总有公共点，则直线，的斜率上的取值范围为()

A.(-00,-2]UB.(-co,-1]U[2.+00)

。[-?2]D.[—2,7

【知识点2两条直线平行的判定】

1.两条直线(不重合)平行的判定

【题型5两条直线平行的判定】

[例5](23-24高二上•浙江绍兴•期末)下列直线中，与直线％+2y+1=0平行的是()

A.2x+y+1=0B.2x+4y4-1=0

C.2x-y4-1=0D.2x—4y4-1=0

【变式5-1](23-24高二上•全国•课后作业)过点力(1,2)和点8(-1,2)的直线与直线y=3的位置关系是()

A.相交B.平行C.重合D.以上都不对

【变式5-2](24-25高一上•全国,假期作业)下列各对直线互相平行的是()

A.直线。经过点力(0,1),3(1,0),直线12经过点河(一1,3),'(2,0)

B.直线。经过点4(-1,—2),8(1,2),直线，2经过点M(—2,—1),N(0,—2)

C.直线11经过点4(1,2),直1,3),直线月经过点C(l,-1),。(1,4)

D.直线11经过点4(3,2),B(3,—l),直线。经过点M(1,-1),N(3,2)

【变式5-3](23-24高二・江西•课后作业)满足下列条件的直线匕与，2,其中2"/。的是()

①0的斜率为2,%过点斜1，2)，8(4,8)；

②"经过点P(3,3),Q(-5,3),。平行于“轴，但不经过P点;

③，1经过点M(-1,O),N(-5,-2),%经过点R(—4,3),5(0,5).

A.①②B.②③

C.①③D.©@③

【题型6己知两直线平行求参数】

【例6】（23-24高二上•广东深圳•期中）若直线2x+（m+l）y+4=0与直线％：mx+3y-2=0平行,

则m的值为（）

A.2B.-3C.2或一3D.一2或一3

【变式6-1］（23-24高二上•陕西西安・期末）已知直线，1：ax-2y-2=0与直线，2：%-（a+l）y+2=0平

行，则实数a的所有取值之和为（）

A.-2B.-1C.1D.2

【变式6-2］（23-24高二下.河南阶段练习）已知直线(a-2)x4-5y-3=0,l2"(a-2)x+ay—5=0,

则乜〃，2"是“a=2”的（）

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【变式6-31（23-24高二上•河南驻马店•期末）已知两条不重合的电线匕:ax+2y-l=0和，十（«十l）y一

l=0,aGR.若I"%，则实数a的值为（）

A.B.-2C.1D.-2或1

【知识点3两条直线垂直的判定】

1.两条直线垂直的判定

【注】判断两条直线是否垂直时：

在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于-1即可，但应注意有一条直线与

工轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直.

【题型7两条直线垂直的判定】

【例7】（23-24高二上.湖南邵阳.阶段练习）若直线1的倾斜角为4上,直线!2经过点P（-2,-1）,（?（3,

-6）,则直线。与％的位置关系是（）

A.垂直B.平行C.重合D.平行或重合

【变式7-1］（23-24高二下•山东疥南•期末）直线Zi：ax+y-l=0与直线G：%-ay-l=0的位置关系是

A.垂直B.相交且不垂直C.平行D.平行或重合

【变式7-2]（23-24高二上•山东潍坊•期末）已知两直线I1,%的斜率分别为心,心，且心，心是方程42+%-1=0

的两根，则。与，2的位置关系为（）

A.平行B.相交且垂直C.重合D.相交且不垂直

【变式7・3】（23-24高二下.上海杨浦•期中）下列各组直线中，互相垂直的一组是（）

A.2%—3y—5=0与4%—6y—5=0B.2x—3y—5=0与4x+6y-5=0

C.2%-3y-5=。与3x-2y-5=0D.2x-3y-5=0与6x+4y—5=0

【题型8已知两直线垂直求参数】

【例8】（2024•陕西西安•二模）已知点M（m,-1）,N（4,rri）,且直线MN与直线2%-y+3=0垂直，则m=

（）

A.-6B.-C.-D.9

33

【变式8-1]（23-24高二上•安徽马鞍山•期末）"a=1”是"直线"：QX-y+1=0与直线-1=0垂

直”的（）

A.充分不必要条件B.必要