集合的概念【九大题型】-人教A版高中数学必修第一册（原卷版）

专题1.1集合的概念【九大题型】

【人教A版(2019)]

>题型梳理

【题型I对集合概念的理解】....................................................................1

【题型2判断是否为同一集合】.................................................................2

【题型3集合中元素特性的求参问题】............................................................3

【题型4判断元素与集合的关系】...............................................................3

【题型5根据元素与集合的关系求参数】.........................................................4

【题型6集合中的元素个数问题】...............................................................4

【题型7列举法表示集合】......................................................................5

【题型8描述法表示集合】......................................................................6

【题型9集合中的新定义问题】.................................................................7

A举一反三

【知识点1集合的概念】

i.元素与集合的概念及表示

(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母，，h,C,…表示.

(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A,B,C,…表示.

(3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的.

2.元素的特性

(1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的.也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不

在这个集合中就确定了.简记为“确定性”.

(2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的.也就是说，集合中的元素是不重复出现的.简记为

“互异性”.

(3)无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的.简记为“无序性”.

【题型1对集合概念的理解】

[例1](23-24高一上•重庆•期中)下列叙述能组成集合的是()

A.接近。的数B.数学成绩好的同学

C.中国古代四大发明D.跑得快的运动员

【变式1-1](23-24高一上•天津南开•期中)下列给出的对象能构成集合的有()

①某校2023年入学的全体高一年级新牛.；②VI的所有近似值；

③某个班级中学习成绩较好的所有学生；④不等式3x-10<0的所有正整数解

A.1个R.2个C.3个D.4个

【变式1-2］（23-24高一上•山西临汾•阶段练习）下列对象不能组成集合的是（）

A.不超过20的质数

B.软的近似值

C.方程的实数根

D.函数y=%,%eR的最小值

【变式1・3】（23-24高二上.河北张家口.阶段练习）下列对象能构成集合的是（）

①裕华中学高一所有个子高的学生②方程产+6%-7=0的实根

③所有小于20的自然数④百的近似值

A.®®B.®®C.①④D.③④

【题型2判断是否为同一集合】

【例2】（23-24高三上•河北保定•阶段练习）下列集合中表示同一集合的是（）

A.M—{（3,2）},N—{（2,3）}D.M—{（A：,y）|x4-y=1}»N—{y\x+y=1）

C.M={1,2},N={（1,2）}D.M={y|y=/+3},N={X|y=

【变式2-1］（23-24高一上.上海浦东新•期末）设Q是有理数，集合X={xK=Q+b«,Q”6Q,xH0},

在下列集合中；

（1）{y\y=2x,xEX}：（2）{y\y=^=,xeX}；（3）{y|y=px6X］；（4）（y\y=x2,xE.¥）：与X相同

的集合有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

【变式2-2］（23-24高一上•辽宁沈阳•阶段练习）下列关于集合相等的说法正确的有（）

①W+l=0}山{黑4言0：

®{y\y=2x2+1］={x\y=2x2+1）；

③卜x==GN］={x|-l<X<2,XGN}；

④{（X，y）|y=Vx-1+Vi-%}={0,1}

A.0个B.1个C.2个D.3个

【变式2-3］（23-24高一上.河北.阶段练习）已知集合知={（1,0）},则下列与M相等的集合个数为（）

②{（%,y）Iy=Vx-1+Vi-x］

③卜IX=（-1『,九WN}

®{x|-l<x<2,xeN}

A.0B.1C.2D.3

【题型3集合中元素特性的求参问题】

【例3】（23・24高一上•山东烟上期中）若集合A={1,2m,源-m},且0",则〃?的值为（）

A.UB.1C.U或ID.U或-1

【变式3-1]（23-24高一上.四川成都.期中）集合{2Q,Q2}中实数Q的取值范围是（）

A.{Q|Q=0,或Q=2}B.{Q|Q=0,且Q=2}

C.{a|a*0,或a*2）D.{a|a00,且aH2}

【变式3-2]（23-24高一•全国•课后作业）由〃,2一匹4组成一个集合A,且A中含有3个元素，则实数a

的取值可以是（）

A.1B.-2C.-1D.2

【变式3-3]（23-24高三上•重庆沙坪坝•开学考试）若屹2,0,-1}={见40},则协的值是（）

A.0B.IC.-1D.±1

【知识点2元素与集合的关系】

1.元素与集合的关系

（1）属于：如果a是集合4的元素，就说。属于集合A,记作

⑵不属于：如果〃不是集合A的元素，就说"不属于集合人，记作而人

【注】符号和▼”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方

向性，左右两边不能互换.

2.常用的数集及其记法

集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集

符号NN（或NDZQR

【题型4判断元素与集合的关系】

【例4】（23-24高一上•湖南株洲•阶段练习）卜列兀素与集合的关系中，止确的是（）

A.-3GN-B.V5GRC.-2€ZD.0CN

【变式4-1]（23-24高一上•河南南阳•阶段练习）已知集合4中的元素%满足%—1>2,则下列选项正确的

是（）

A.5£4,且一4W4B.564,且一464

C.5c4且一4cAD.5CA,且一4"

【变式4-2]（23-24高一上•四川凉山•期中）下列关系中，正确的有（）.

ER；②夜CQ；③3|EN；@|-V5|6Q.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【变式4-3]（23-24高三上•重庆渝中•阶段练习）已知集合4={x\x=4k,kEZ\,B=[x]x=4m+l,m£Z},

C=\x\x=4n+2,nEZ\,D={x|x=4t4-3,tGZ},若aWB,bEC.则下列说法正确的是（）

A.a-^-bEAB.a+be8C.a+dGCD.a+bED

【题型5根据元素与集合的关系求参数】

[例5]（23-24高一上•湖南长沙,阶段练习）已知集合力={xeR|x2-a<0},且2€A,则实数a的取值范

围是（）

A.{a|a<-4}B.[a\a>—4}

C.{a\a<4}D.{a\a>4}

【变式5-1]（23-24高一上•河南郑州•期中）设集合4={x|4x—2<m},若2£A且3c4则实数加的取

值范围是（）

A.6Vm<10B.6<m<10C.6<m<10D.6<m<10

【变式5-2]（23-24高一上•山东临沂・期中）已知集合。有三个元素-l,2a+1,Q2-1.若0€P,则实数a的

值为（）

A.一：B.IC.或1D.0或I

2

【变式5-31（23-24高一上•陕西安康•阶段练习）已知集合力={2,0,1,9},B={k\kGR,k-2eAfk-2A}f

则集合8中所有的元素之和为（）

A.0B.2C.-1D.-2

【题型6集合中的元素个数问题】

[例6]（23-24高三上•山东泰安•期中）已知集合4={1,2,3},B={3,5},则C={x\x=2a+btaEA,beB}

中的元索个数为（）

A.3B.4C.5D.6

【变式6-1]（23-24高一上.广西.假期作业）已知关于x的方程/一m3+血2-3=0的解集只有一个元素,

则利的值为（）

A.2B.-2C.±2D.2或3

2

【变式6-2]（23-24高一上•全国,课后作业）已知集合力={-3,-2,-1,0,1,2},B=[y\y=x-lfxEA）,

则集合8中所有元素之和是()

A.10B.13C.14D.15

【变式6-3](23-24高一上.山西朔州.阶段练习)已知集合4=-3%+2=0,xeR}.若集合A中至

多有一个元素，则实数。的取值范围是()

A.a>-B.a>=0C.a>=0D.aV：或1=0

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【知识点3集合的表示法】

1,列举法

把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.

注意：(1)元素与元素之间必须用隔开.

(2)集合中的元素必须是明确的.

(3)集合中的元素不能重复.

(4)集合中的元素可以是任何事物.

2.描述法

(1)定义：一般地，设A表示一个集合，把集合4中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示

为{x£A|P(x)},这种表示集合的方法称为描述法.有时也用冒号或分号代替竖线.

(2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在

竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.

3.图示法

图示法，又称韦恩图法、韦氏图法，是一种利用二维平面上的点集表示集合的方法.一般用平面上的矩

形或圆形表示一个集合，是集合的一种直观的图形表示法.

【题型7列举法表示集合】

【例7】(23-24高一•全国・随堂练习)用列举法表示下列集合：

(1M={x|(x-1)2(%+1)=0}

(2)B=1eN医CN}.

【变式7-1](2024高一上•全国.专题练习)用列举法表示下列集合

(1)11以内非负偶数的集合；

(2)方程(x+1)(/-4)=0的所有实数根组成的集合；

(3)一次函数y=2%与y=%+1的图象的交点组成的集合.

【变式7-2](23-24高一上•全国裸后作业)用列举法表示下列集合.

⑴不大于10的非负偶数组成的集合4

(2)小于8的质数组成的集合法

⑶方程2/-％-3=0的实数根纽成的集合C；

(4)一次函数y=x+3与y=-2%+6的图象的交点组成的集合D.

【变式7-3](23-24高一上.海南三亚.阶段练习)用列举法表示下列集合:

(1)小于10的所有自然数组成的集合力；

(2)方程/=%的所有实数根组成的集合员

(3)方程/-4=0的所有实数根组成的集合.

【题型8描述法表示集合】

【例8】(23-24高一上.新疆•期中)用描述法表示下列集合;

(1)不等式3X-6N0的解集.

(2)所有的偶数组成的集合.

【变式8・1】(23-24高一上•全国,课后作业)用描述法表示下列集合.

(1)所有不在第一、三象限的点组成的集合：

(2)所有被3除余1的整数组成的集合；

(3)使y=一有意义的实数x组成的集合.

(4)方程(％-2尸+(y+3产=U的解集.

【变式8-2](23-24高一・全国•课堂例题)用描述法表示下列集合:

⑴昵，然3

(2)偶数集；

(3)被3除余2的正整数组成的集合；

⑷{1,22,32,42,..}

【变式8-3](23-24高一・江苏,课后作业)用描述法表示下列集合，并思考能否用列举法表示该集合

(1)所有能被3整除的自然数

(2)不等式产+2%-3<0的解集

(3)X2+2X-3=0