二次函数与一元二次方程、不等式 第3课时

2.3二次函数与一元二次方程、不等式

一、选择题

1.不等式9*+6x+lW0的解集是（)

f,1

A.〈xx工——

I3JI33j

C.0D.-x\x=--•

3J

2.下列不等式中，解集是R的是（)

B.G\O

A.f+4x+4>0

D.-A24-1V-1>0

3.不等式ax2+5x+c>0的解集为“|g<x<；},则a,c的值为()

A.a=6,c=lB.a=-6>c=_1C.a=l»c=lD.a=-1,c=-6

4.若0VZV1,则不等式的解集为()

t

,1fI1T

tt

C.1x|x<，或x>/>D.-x|/<x<->

ItJd

5.不等式x2—ax—b<0的解集是{x|2VxV3},则bx?—ax—1>0的解集是()

A.{A:|2<x<3}B.{x|—<x<—}C.{x|-■-<x<——}

3223

D.{x|-3<x<-2}

6.关于x的不等式(1</+1对R恒成立，则实数m的取值范围是

()

(3}

A.(-00,())B.(一8,())U-,+oo

(4

(4]

C.(-00,0]D.(一8,0]UI-y,+00I

二、填空题

7.如果A={MaF-以+1VO}=。，则实数。的取值范围是.

8.如果关于x的方程X?—(m—l)x+2—m=0的两根为正实数，则m的取值范围是.

9.函数/*）=,1的定义域是R，则实数〃的取值范围为

10.若关于x的不等式以2-6x+a2<0的解集为（1,小），则实数m等于.

二、解答题

11.解下列不等式

(I)2A24-7X+3>0；(2)—/+8工一3>0；

12.不等式mx2+l>mx的解集为实数集R,求实数m的取值范围.

13.解关于x的不等式"Rd+2〃tL3Vo(其中小£R).

14.已知/*)=/-2(。-2)x+4,

⑴如果对一切x£R,f(x)>0恒成立，求实数a的取值范围；

⑵如果对x£[-3,1],f(x)>0恒成立，求实数a的取值范围.

15.解下列关于x的不等式(办―l)(x+l)>0；

答案与解析

1.【答案】D

【解析】+6x+1=(3x+1走0

/.x=——»故选D.

3

2.【答案】C

【解析】,:『+4x+4=。+2>却，

A不正确；

IJj?=|x|N0,・・・B不正确；

/1Y/1\

•・•->(),・•・一+1>1>0(xeR),故C正确；

<2J12/

•・・一f+公一1>0

r..v-2.r+l=(x-l)2<0,

・・・D不正确.

3.【答案】B

【解析】由题意可知方程渡+5x+c>0的两根为工=,和x=L由韦达定理得:

23

—x—=—+—=——,求得a=-6,c=-1

23a23a

4.【答案】D

【解析】V0</<hA->1,：.t<-

tt

••(x-/)(x----)<0/<XV-.

tt

5.【答案】C

【解析】由题意得，方程/—ax—b=。的两根为x=2,x=3,由韦达定理得2+3=a,

2x3=—b,求得

a=5,b=-6,从而解得bx2—ax—l>0的解集为{x|—g<x<-g}

6.【答案】C

[解析】原不等式等价于，加+〃氏+〃?-1V0对,veR恒成立,

当m=0时，Of+0«—1<0对R恒成立.

当〃?和时，由题意，得

in<0

m<0m<0

<=><,o4<=>m<0.

A=/w2-4mm-1<03nr-4tn>0m<0或m>—

3

综上，用的取值范围为(-8,0].

7.【答案】[0,4)

a>0

【解析】由题意知<,,.\0<a<4.

A=-a~—4av0

当。=0时，4={.巾<0}=0,符合题意.

8.【答案】{m\-\+2>/2<m<2]

【解析】由题意得：

A>0

-XI+x2>0,解得-1+2\/2<m<2

x{x2>0

4)

9.【答案】0,-

_)/

【解析】由己知大力的定义域是R.

所以不等式412+34工+1>0恒成立.

(1)当4=0时、不等式等价于1>0,显然恒成立；

,储>0①>0[a>0f4

(2)当4#0时，则有<<=>5,<=><=><()<〃<—.

A<0[(3tz)-4a<0[々(9"-4)<0|9

4

由(1)(2)知，0<a<-.

9

即所求。的取值范围是0,6).

10.【答案】2

I+m=—

【解析】由题意，得1，m是关于x的方程办2一6)+/=0的两根，则|〃，解

.or

\xin=—

a

得

m=2或m=-3(舍去)

11.【解析】

(1)因为/=72—4X2X3=25>0,

所以方程北+7犬+3=0有两个不等实根内=-3,x,=--.

■2

又二次函数y=2?+7x+3的图象开口向上，

所以原不等式的解集为\x\x>或x<-3:

2

(2)因为/=82—4x(—l)x(—3)=52>0,

所以方程-f+8工-3=0有两个不等实根

X)=4->/13,x,=4+>/13.

又二次函数y=一『+8x—3的图象开口向下，

所以原不等式的解集为{x|4—J万vx<4+JF}.

12.【解析】

当m=0时，不等式即为1>0,满足条件.

fm>0

当mHU时，若不等式的解集为R,则应有〈.,解得U<m<4.

[△=(-m)?-4m<0

综上，m的取值范围是{m|04m<4}.

13.【解析】当〃?=0时，原不等式可化为一3V0,其对一切x£R都成立,

所以原不等式的解集为R.

2

当，#0时，m>0f

由nrx1+2nix—3<0,得(〃犹一1)(〃?x+3)V0,

即kf卜+野心

13

若〃?>0,则，>一己，

intn

所以原不等式的解集为(-:

Imm)

若〃?V0,则*!■<—±,

mm

(|3)

所以原不等式的解集为一，一一.

ImmJ

综上所述，当机=0时，原不等式的解集为R：

当〃?>0时，原不等式的解集为,一；

Imtn

(13、

当〃?<0时，原不等式的解集为一，一二.

ImmJ

14•【解析】

⑴由题意得：△=[2(a—2)]2-]6v0,即0。<4；

(2)由x£[—3,1J,f(K)>0得，有如下两种情况:

2-6ZG[-3,1J

</(-3)>0

/(2-a)>0

/(1)>0

综上所述：—g,4).

15.【解析】

当a=0时,原不等式却为-(x+l)>0,解得x<-l：

当a。。时，原不等式为关于x的一元二次不等式，

方程(ax-D(x+l)=O有两个实数根X|=」和工2=-1.

(1)当王<占，即1,一1<。<0时，

a

函数〃用二(办—l)(x+l)的图象开口向下，与x轴有两个交点,其简图如下:

故不等式(依一l)(x+l)>0的解集为(/,一1)；

([1)当王=工2，即,=一1,〃=一1时，

a

函数/«=(ar-l)(x+1)的图象开口向下，与x轴有一个交点,其简图如下:

故不等式(ar-l)(x+1)>0的解集为空集;

(IH)当西>x>,即一>一1,〃<一1或〃>0,

a

①若。<一1,函数/(x)=(ai—l)(x+l)的图象开口向下，与x轴有两个交点，其简图

(1、

故不等式(以-1)(1+1)>0的解集为一1,一：

<a)

②若a>0,数/(刈=(。a-1)*+1)的图象开口向上，与x轴有两个交点，其简图如下:

故不等-l）（x+l）>0的解集为（fo,T）—,4-aoI；

综上所述,

当a<-l时，不等式的解集为

当a=・l时，不等式的解集为空集；

当-l<a<0时，不等式的解集为(一,-1；

当a=0时，不等式的解集为(-8,-1)；

当a>0时，不等式的解集为.

A级必备知识基础练

1」探究点一(角度2)］不等式分20的解集为()

A.{x卜64W1)

B.{x|x21,或xW-6}

C.{肝6Wx<l}

D.{x［x>l,或xW-6}

2.［探究点一(角度1)］若集合A=3(2A+I)(X-3)<0}.B={X£N*|XW5},则AC8等于）

A.{1,2,3}

C.{4,5}D.{1,234,5}

3」探究点一（角度1）]不等式P2r-5>2r的解集是（）

A.{x|%25,或}

B.{x[x>5,或A<-1}

C.{x|-l<x<5}

D.3-KW5}

4,探究点二］若不等式ax2+/?x+6>0的解集为{加<-3或/>-2},则（）

A..a=\,b=-5B.〃=-l/=5

C.a=-\,b=-5D.a=\,b=5

5.［探究点一（角度2）］不等式的解集是（）

X-1

A.{x|x<l}B.{x|Q2}

C.{川1WXW2}D.{x|l<x<2}

6」探究点二2）24江苏连云港高一期中］（多选题）设a,〃,c为实数，不等式加+队+。>0的解集是

{x\x<\或x>3},则下列说法正确的是（）

A.£7<0

B.〃0<0

C.ac>0

D.a：b：c=\：（-4）：3

7」探究点二］（多选题）不等式aF+版+c20的解集是3-lWxW2},对于系数。力了,下列结论正

确的是（）

Aa+A=0B.a+b+c>0

C.c>0D.ZJ<9

8.［探究点二］二次函数产加^十c（xER）的部分对应值如下表:

V-3-2-101234

V60-4-6-6-406

则关于x的不等式以2+必+”0的解集是.

9」探究点三］某产品的总成本），（单位:万元）与产量M单位:台）之间的函数关系是）=3

000+2040.1/0令<240）,若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本（销售收入不小于总成

本）时的最低产量是台.

10.［探究点一（角度1）］求下列不等式的解集：

⑴2?-13/20>0:

（2）7A-2+5X+1<0;

（3）4『4+lW0.

B级关键能力提升练

11.在R上定义运算"=（必+2。+〃,则满足xO（“2）vO的实数x的取值范围为（）

A.{A|0<X<2}B.{X|-2<X<I}

C.{x［x<-2或X>1}D.{x|-1<x<2}

12.“关于x的不等式f-2依+a>0的解集为R”的一个必要不充分条件是（）

3

C.OWaWlD.aO或应

13.已知。>0力>0,贝IJ不等式功<§<。等价于（）

A.x<」或x>7

ab

Ba<4^«v>-

ba

C.-<A<0或0<X<7

ab

D.--<X<0或0<x<-

ba

14.(2024河北唐山高一期中](多选题)已知关于x的不等式4『+Z?x+c>0的解集为{“曰<%<

1},则下列结论正确的是()

A.a>0

B.c<0

C.a+b>0

D.关于x的不等式cr2+云+〃>0的解集为3-3<x<-l}

15.已知不等式ax2-3x+6>4的解集为{加<1,或x>〃}.

⑴求a,b的值；

(2)解不等式ajr-(ac+b)x+bc<0.

16.已知集合A={x*-4x+3W0}出=.若匕£4”是匕仁昭的必要不充分条件,给出如

下三个条件:①WxWa},②{x|a0Wa+2},③3点或入£荷+3}.请从中任选一个补充到

横线上.若问题中的。存在，求出〃的取值范围.

C级学科素养创新练

17.在R上定义运算：°b=〃-/".若不等式Q-221的解集为R,则实数a的最大值

cda4-lx

为.

18.已知关于x的不等式侬/_4)(工一4)>0的解集为A,其中RER.

(1)若5WA,求实数k的取值范围.

⑵求不等式的解集A.

⑶是否存在实数&，使得上述不等式的解集A中只有有限个整数?若存在，求出使得A中整数个

数最少的k的值;若不存在,请说明理由.

答案：

1.C不等式分20等价于佟::忖①­支解得-6Wxvl.故解集为1}.

2.B2(2x+l)(x-3)<0,2]<x<3.

4

又x£N”且xW5,则产1,2.即4nB={1,2}.

3.B由>2x,得^-4x-5>0,因为方程W-4x-5=()的两根为-1,5,所以不等式』-4心5>0的解

集为3入<-1,或x>5}.

4.D因为不等式加+/状+6>0的解集为{x|.v<-3或x>-2},所以-3和-2为方程ar2+力x+6=0的

两根，即9a・3/?+6=0,4a-2〃-6=0,解得a=l#=5,故选D.

5.D不等式会与2可化为2-220,即,N0,等价于‘°,解得1vxW2,

所以不等式的解集为{x|l<xW2}.故选D.

6.BCD•;a,b,c为实数，不等式cvr+bx+c>0的解集是{小vl或x>3>0,1和3是方程

,[1+3=--,

ar+Z?x+c=O的两个根，・iab=-4a<(),c=3a>(),ab<(),ac>(\a:b:c=\：(-4):3.

11x3=r-,

\a'

故选BCD.

7.ABC由不等式ax2+bx+c^O的解集是{工卜1WxW2}可得〃<0,且方程ax2+bx+c=O的两个

根为12,所以上=・1+2=1乂),所以/尸七力>0,故A正确,D错误;由£=2则。>0,故C正确;依题意

aa

二次函数的图象开口向下，且二次函数的图象与x轴的两个交点横坐标是-1,2,因

此当x=\时,y=〃+〃+c>(),故B正确.故选ABC.

8.｛小<-2,或x>3]根据表格可以画出二次函数+瓜R)的图象如图.

由图象得关于％的不等式a?+Z?A+c>0的解集是｛x|x<2或x>3｝.

9.150依题意得25x23000+20M).整理得?+50x-3C'00020,解得xN150或xW

-200(舍去).因为0<工<240,所以150Wx<24()抑生产者不亏本时的最低产量是150台.

10.解⑴原不等式对应的方程为2AT-13x+20=0J=(-13)2-4X2X20=9>0,

所以该方程的两根为X]:空^二4b2=生^=

442

画出函数产2^-13.什20的大致图象，如图，函数图象与x轴的交点为(4,0),(*0).所以不等式

2?-13x+20>0的解集为卜卜>4或工〈卦.

⑵原不等式对应的方程为7/+5x+l=0/=52-4x7xl=-3v0,所以方程无解.画出函数

_y=7A2+5x+i的大致图象，如图，图象与x轴无交点.所以不等式7『+5x+l<0的解集为。.

(3)4/-4.r+lW0可化为(2v-1)?W0,所以2x-l=0,

所以画出函数)=4X2-4X+1的大致图象，如图，函数图窠与x轴只有一个交点(2,()).

22

所以不等式4?-4x+1W0的解集为[卜=

11.B根据给出的定义得hO(x-2)=Mx-2)+2x+(x-2)=f+x-2=(x+2)a-l).

又xO(x-2)vO,则。+2)(41)<0,故X的取值范围是｛斗24rv".

12.C因为不等式P2or-〃>0的解集为R,所以/=(-2。2-44=4〃3-1)<0,解得0<。<1.选择的

必要不充分条件的范围，应该大于0<〃<1包含的范围，显然只有C项满足.故选C.

fl>.b

13.B因为所以解｝>»,即1+〃=等>0,即(1+/u〃>0,因为/A0,所以得x〈微或

%>0;解即即(I-GX)XVO,因为。>0,所以得,v<0或x>,.

综上或x>~.

ba

故选B.

14.BC因为不等式加+瓜+。>0的解集为{%<x<1},所以1和1是方程ax2+/?A-i-c=O的两

个根.由根与系数的关系可得.3'解得a=3c力=4(〃<0),故A错误,B正确;a+b=-c>0,

I/*，

故C正确;不等式cf+Zu+a〉。变为cf~4cx+3c>0=f-4戈+3<(),解得{川I<戈<3},故D错误,故选

BC.

15.解(1)因为不等式加-3x+6>4的解集为{小v