人教八年级下册数学专项练习-勾股定理及其逆定理-九大题型

勾股定理及其逆定理•九大题型

【知识点1勾股定理】

在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方.如果直角三角

形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为c,那么出+/=。2.

【题型1勾股定理的运用】

【例1】（和平区三模）如图，在△ABC中，ZC=90°,AO平分NCAB,CD=1.5,BD=25,

则AC的长为（）

A--------------------B

A.5B.4C.3D.2

【变式1-1］（上杭县期中）如图在RSABC中，N8=90。,A8=8,AC=\O,AC的垂直平

分线。石分别交A8、AC于。、E两点,则8。的长为（)

A

。

B

37

--C2

A.2B.4

【变式1-2】（汉阳区期中）如图，在ZkABC中A6=AC=10,8C=16,若NZMQ=3ND4C,

则CD=.

【变式1-3】（朝阳区校级期末）如图，在△ABC中，ZC=90°,A5=30,。是4c上一点，

AD：8=25：7,且DB=DA,过45上一点P,作PELACTE,PFLBD于F,贝ijPE+PF

长是

AB

【题型2直角三角形中的分类讨论思想】

【例2】已知△A8C中，AB=13,AC=15,8C边上的高为12.则△48C的面积为（)

A.24或84B.84C.48或84D.48

【变式2-1】△ABC中，A8=15,AC=13,高40=12,则△ABC的周长是（）

A.42B.32C.42或32D.42或37

【变式2-2】（香河县期中）已知直角三角形两边的长为5和12,则此三角形的周长为（）

A.30B.7119+17C.711^+17或30D.36

【变式2-3】（海淀区校级期中）在R3ABC中，NAC3=9（）。，AC=4,AB=5.点P在直

线AC上，且BP=6,则线段AP的长为.

【题型3勾股定理解勾股树问题】

【例3】（南关区期末）如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角

形，若正方形A、B、。的面积依次为6、10、24,则正方形C的面积为（）

A.4B.6C.8D.12

【变式3-1】（高新区校级期末）如图，在四边形A8CD中，ZDAB-ZBCD-^^分另4以

四边形的四条边为边向外作四个正方形，若S1+S4=135,§3=49,则S2=（）

A.184B.86C.119D.81

【变式3-2］（泗水县期中）有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上

生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后,

变成了如图，如果继续“生长”下去，他将变得“枝繁叶茂”，请你计算出“生长”了2022次后

形成的图形中所有正方形的面积之和为（）

A.2020B.2021D.2023

【变式3-3］（张湾区期中）如图①，在中，NACB=90。，AC：BC=4：3,这个直角

三角形三边上分别有一个正方形.执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作直角边之

比为4：3的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形.图②

是1次操作后的图形，图③是2次操作后的图形.如果图①中的直角三角形的周长为12,

那么10次操作后的图形中所有正方形的面积和为（）

图①图②图③

A.225B.250C.275D.300

【题型4勾股定理解动点问题】

0

【例4】如图，RSAC5中，ZACB-90,AB-25cmf\C-lcm,动点。从点B出发沿射

线8。以2cmis的速度运动，设运动时间为is,当^APB为等腰三角形时，7的值为（）

A.黑或学B.g或24或12

C.詈或24或12D.鬻或名或24

【变式4-1】如图，在R2A8C中，ZACB=90°,BC=40cm,AC=30cnh动点尸从点3出

发沿射线BA以2cm/s的速度运动.则当运动时间t=________s时，△8PC为直角三角形.

P

B

【变式4-2】(蚌山区校级期中)如图，在△AOC中，ZACZ?=90°,AB=1(),AC=8,点〃

从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A-B-C运动.设点P的运动时间为t

秒(f>0).

(1)8C的长是.

(2)当点P刚好在N84。的角平分线上时，，的值为

【变式4-3】(河东区期中)如图，已知△ABC中，NB=90。,AB=\6cm,BC=\2ctn,P、

Q是△A台。边上的两个动点，其中点P从点4开始沿A―8方向运动，且速度为每秒1cm,

点。从点8开始沿8-C-M方向运动，且速度为每秒2c〃z,它们同时出发，同时停止.

(1)户、。出发4秒后，求尸。的长；

(2)当点。在边C4上运动时，出发几秒钟后，能形成直角三角形?

【题型5勾股定理的验证】

【例5】勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以

灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角二角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”

来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：

将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中NOA4=9()。，求证：次+拄=。2

证明：连接。3,过点。作3c边上的高。R则。F=£C=/?-〃

*•*S四边形ADCB=S&ACD+SAABC=31b.

又,**S四边形ADCB=SAADB+SADCB=y(Z?-a)

a2+b2=c2

请参照上述证法，利用图2完成下面的证明.

将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中NOAB=90。.求证：。2+接=乩

【变式5・1】（巢湖市校级期中）学习勾股定理之后，同学们发现证明勾股定理有很多方法.某

同学提出了一种证明勾股定理的方法：如图1点8是正方形ACQE边CZ）上一点，连接

AB,得到直角三角形ACB,三边分别为小b,c,将△4CB裁剪拼接至△AE”位置，如图

2所示，该同学用图1、图2的面积不变证明了勾股定理.请你写出该方法证明勾股定理

的过程.

【变式5-2】（朝阳区期末）【阅读理解】我国古人运用各种方法证明勾股定理，如图①，用

四个直角三角形拼成正方形，通过证明可得中间也是一个正方形.其中四个直角三角形直

角边长分别为。、6,斜边长为图中大正方形的面积可表示为（。+〃）2,也可表示为/+4X

Jab,即（〃+/?）2=/+4X；Q/7,所以。2+护=/.

【尝试探究】美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”如图②所示，用两个全等的直角三

角形拼成一个直角梯形8CQE,其中也△ADE,/。=/。=90。，根据拼图证明勾股

定理.

【定理应用】在RsAOC中，ZC=90°,NA、ZZ?>NC所对的边长分别为a、b、c

求证：a2c2+a2b2=c4-b4.

【变式5-3］（寿光市期中）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形.

（1）弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为。，较短

的直角边为江斜边长为c,结合图①，试验证勾股定理.

（2）如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（粗线）的周

长为24,OC=3,求该飞镖状图案的面积.

（3）如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形48。，正方形EFG从

正方形WNKT的面积分别为5i，S2，S3，若SI+S2+S3=40,则为=.

D

【知识点2勾股定理的逆定理】

如果三角形的三边长a,b,c满足。2+/=2,那么这个三角形就是直角三角形.

【题型6直角三角形的判定】

【例6】（绥宁县期中）若八ARC的二边长分别为〃、b、c,下列条件中能判断AAAC是直

角三角形的有（）

®ZA=ZB-ZC,②NA：ZB：NC=3：4：5,③/4=90。-/8,@Z4=ZB=1ZC,

⑤*=（Z?+c）（b-c）,@a：b：c=5：12：13.

A.3个B.4个C.5个D.6个

【变式6-1】（赣州月考）下列满足条件的三角形中，不是直角三角形的是（）

A.在△48C中，若。=jc,b=则△A8C为直角三角形

JJ

B.二边长的平方之比为1：2；3

C.三内角之比为3：4：5

D.三边长分别为a,b,c,c=1+z?2,a=n2-1,b=2n（n>l）

【变式6-2】（汉滨区期中）若△ABC的三边长处b,c满足（a-c）2=房・2a，则（）

A.NA为直角B.NB为直角

C.NC为直角D.△ABC不是直角三角形

【变式6-3］（开州区期中）下列是直角三角形的有（）个

①4A3c中〃2=/-从②△A8C的三内角之比为3：4：7

③△A3C的三边平方之比为1：2：3④三角形三边之比为3：4：5

A.IB.2C.3D.4

【题型7勾股数问题】

【例7】（滑县月考一）在学习“勾股数”的知识时，小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们

记录在如下的表格中.

a68101214

b815243548

c1017263750

则当。=24时，"c的值为（）

A.162B.200C.242D.288

【变式7-1】（湖北）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”.观

察下列勾股数：3,4,5；5,12,13；7,24,25；这类勾股数的特点是：勾为奇数,

弦与股相差为1.柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6,8,10；

8,15,17；若此类勾股数的勾为2小（/疙3,加为正整数），则其弦是（结

果用含〃，的式子表示）.

【变式7-2］（白云区期末）（1）3匕4k,5k（Z是正整数）是一组勾股数吗？如果是，请证

明；如果不是，请说明理由；

（2）如果a,b,c是一组勾股数，那么况:，以（火是正整数）也是一组勾段数吗？如

果是，请证明；如果不是，请说明理由.

【变式7-3】（石家庄三模）己知：整式A=/+i,B=2〃，C=〃2-i,整式OO.

（1）当〃=1999时，写出整式4+B的值（用科学记数法表示结果）；

（2）求整式求-式;

（3）嘉洪发现：当〃取正整数时，整式A、3、C满足一组勾股数，你认为嘉淇的发现正

确吗？请说明理由.

【题型8格点图中求角的度数】

【例8】（伊川县期末）如医，正方形43C3是由9个边长为1的小正方形组成的，点石，F

均在格点（每个小正方形的顶点都是格点）上，连接AE,AF,则NEAR的度数是.

【变式8-1］（惠山区一模）如图所示的网格是由相同的小正方形组成的网格，点A,B,P

是网格线的交点，则'

【变式8-2】（武侯区校级期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1,点A,

B,C,D,P都在格点上，连接AP,CP,CD,则/mB・NPCO=

【变式8-3】（孝南区期中）如图所示的网格是正方形网格，△八3。和4。。石的顶点都是网

格线交点，那么N3CA+N'OCE=.

【题型9勾股定理及其逆定理的运用】

【例9】(蓝田县校级期末)如图，在△A8C中，AB=AC,。是。的延长线上一点，连接

BD.

(1)若AC=8,AD=17,BD=15,判断48与8。的位置关系，并说明理由;

(2)若NQ=28。，ZPBC=121°,求ND48的度数.

【变式9-1](陵城区期中)如图，在△A8C中，AD.BE分别为边BC、AC的中线，分别交

BC、AC于点D、E.

(1)若CQ=4,CE=3,A3=10,求证：ZC=90°：

(2)若NC=90。，AO=6,BE=8,求A8的长.

【变式9-2](当涂县期末)如图，在△ABC中.。是45边的中点，。七_LA3于点O,交AC

于点E,且AE2-。尸二次72,

(1)试说明：ZC=90°；

(2)若DE=6,80=8,求CE的长.

【变式9-3】(汉阳区校级月考)如图，在四边形45CD中，NA8C=90。，43=6,8C=8,

CD=10,AD=Wy/2.

(1)求四边形A3c。的面积.

(2)求对角线8。的长.

D

B

勾股定理及其逆定理•九大题型（解析版）

【知识点1勾股定理】

在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方.如果直角三角

形的两条直角

边长分别是a,b,斜边长为C,那么。2+炉52.

【题型1勾股定理的运用】

【例1】（和平区三模）如图，在△ABC中，ZC=90°,平分NOB,CD=1.5,BO=2.5,

则AC的长为（）

【分析】过点D作DELAB于E,根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD=DE,

再利用勾股定理列式求出BE,然后设4C=AE=x,根据勾股定理列式计算即可得解.

【解答】解：如图，过。作于E,

VZC=90°,AO平分NCAB,CD=1.5,

：.DE=CD=\5,

在RSDEB中，由勾股定理得：

BE=y/BD2-DE2=42.52-1.52=2,

9

：AD=ADfCD=DE,ZC=ZAEDf

RtAACD^RtAAED>

：.AC=AEf

设AC=AE=x,则AB=x+2,

由勾股定理得：AB1=AC1^CB1,

222

即（x+2）=x+4t

解得x=3,

：.AC=3.

故选：C.

【变式1-1］（上杭县期中）如图在RMA8C中，NB=90。,A8=8,AC=10,AC的垂直平

分线DE分别交A8、AC于。、E两点,则3。的长为（）

5

C2-

D.2

【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出CD=AD,故AB=30+AO=6O+C。，设CO

=x,则BD=8・x,在RtZiBCD中根据勾股定理求出x的值即可解答.

【解答】解:VZB=90°,4B=8,AC=10,

・・.BC=6,

・・・&E是AC的垂直平分线，

：.CD=AD,

：.AB=BD+AD=BD+CD=S,

设CD=M,则5D=8-X,

在Rt△笈CO中，CDZ-BGBD"

即/=62+（8・x）2,

解得x=6.25.

7

：.BD=S-6.25=1.75=；

4

故选：B.

【变式1-2】（汉阳区期中）如图，在△ABC中4B=AC=10,8C=16,若NB4Q=3ND4C,

则CD=.

【分析】先作AE18C于点E,作。尸_LAC于点尸，然后根据等腰三角形的性质和勾股定

理，可以得到AE的值，4。平分NEAC,从而可以得到&£=。尸，再根据等面积法即可求

得co的长.

【解答】解：作AE_L3c于点E,作0尸_1_4。于点尸，如图所示,

9：AB=AC=\0,6C=16,

・・C£=8,

：.AD=yjAC2-CE2=V102-82=6,

设NC4D=x,则/C4O=3x,

：AEA,BC,AB=AC,

：.ZBAE=ZCAE=2x,

：.ZEAD=ZDAC,

：.DE=DFf

设CD=a,则OE=8・m

•.CDAEACDF

'-2—一~~2~'

・ax6_10x(8-a)

•«—,

22

解得a=5,

即CD=5,

故答案为：5.

【变式1-3】（朝阳区校级期末）如图，在△ABC"ZC=90°,AB=30,。是AC上一点,

AD：CD=25：7,且DB=DA,过AB上一点。作P£_L4c于E,PFA.BD于F,则PE+PF

长是.

【分析】如图作交5。的延长线于H,设AZ）=5O=25A,CD=1k,在RsDCB

中，BC=VBD2-CD2=24Jl,在RSACB中，由4cAB?,可得(32A)?+(24A)

o[

2=3()2,推出k=一，8c'=IX,由4A0推出A”=8C=18,由S^ABD=-•"〃・A"=

42

11

^AD-PF+夕BD*PF,推出PE+PF=AH=18,

【解答】解：如图作AH1BD交BD的延长线于H,设AO=RD=25A,CD=7k,

在RtADCB中,BC=VBD2-CD2=24k,

在RtAACB中，：AC2+BC2=AB2,

：.(32A)2+(24k)2=302,

・

..k.=3

4

ABC=l8,

在△40"fllA区0C中，

乙4。"=乙BDC

4H=NC=90°,

AD=BD

：.AADH公△BDC,

・・AH=BC=l8,

■:SSD=>BD・AH=；・A0・PF+>BD・PF,

444

APE+PF=AH=l8,

故答案为18.

【题型2直角三角形中的分类讨论思想】

【例2】（长沙月考）己知△ABC中，AB=l3,AC=l5,BC边上的高为12.则△4BC的面

积为（）

A.24或84B.84C.48或84D.48

【分析】在R3ABD和RtAACD中分别进行计算，求出BD和CD,再根据三角形的面

积公式即可求解.

【解答】解：VAB=13,AC=15,SC边上的高AO=12,

在RSA8D中，

BD=ylAB2-AD2=5,

在RtAACD中，

DC=y/AC2-AD2=9,

：.BC=BD+DC=\4fBC=DC-BD=4,

•••△A5C的面积=gx14x12=84,或=gx4x12=24；

故选：A.

【变式2-1】(宁津县期中)△ABC中，AB=\5,AC=13,高AD=12,则△ABC的周长是

()

A.42B.32C.42或32D.42或37

【分析】本题应分两种情况进行讨论：

(1)当△ABC为锐角三角形时，在A3O和RSACD中，运用勾股定理可将50和

CD的长求出，两者相加即为3C的长，从而可将AASC的周长求出；

(2)当△ABC为钝角三角形时，在RlZkA3。和RIAACD中，运用勾股定理可将和

CD的长求出，两者相减即为8c的长，从而可将△ABC的周长求出.

【解答】解：此题应分两种情况说明：

(1)当△ABC为锐角三角形时，在RtZkABO中，

BD=y/AB2-AD2=9,

在R3AC0中，

CD=yjAC2-AD2=5

・・・5C=5+9=14

•••△45C的周长为：15+13+14=42；

(2)当△ABC为钝角三角形时，

在RsHBO中，BD=9,

在RtZkACD中，CD=5,

：.BC=9-5=4.

•••△ABC的周长为：15+13+4=32

・•・当△ABC为锐角三角形时，△48C的周长为42；当△ABC为钝角三角形时，△A8C的

周长为32.

综上所述，△A8C的周长是42或32.

故选：C.

【变式2-2］（香河县期中）已知直角三角形两边的长为5和12,则此三角形的周长为（）

A.30B.VH9+17C.VH^+17或30D.36

【分析】先设RQAKC的第三边长为x,由于12是直角边还是斜边不能确定，故应分12

是斜边或x为斜边两种情况讨论.

【解答】解：设RSA5C的第三边长为X,

①当12为直角三角形的直角边时，x为斜边，

由勾股定理得，x=V52+122=13,此时这个三角形的周长=5+12+13=30；

②当12为直角三角形的斜边时，x为直角边，

由勾股定理得，x=V122-52=V119,此时这个三角形的周长=5+12+何乃=

V119+17,

综上所述，该三角形的周长为30或VI而+17.

故选：C.

【变式2-3】（海淀区校级期中）在RtZiA3c中，ZACB=90°,AC=4fA8=5.点。在直

线AC上，且BP=6,则线段AP的长为.

【分析】当点尸在C4延长线上时，当点。在AC延长线上时，根据勾股定理即可得到结

论.

【解答】解：在RSABC中，ZACB=90°,AC=4.4B=5,

：.BC=ylAB2-AC2=3,

当点尸在CA延长线上时，・・・3P=6,BC=6,

：.CP=yjBP2-BC2=V62-32=3V3,

：.AP=CP-AC=3y13-4；

当点P在4c延长线上时，・・・BP=6,BC=3,

・,.CP=3百，

・・AC+CP=4+3V5,

综上所述，线段AP的长为3V5-4或36+4；

故答案为：3V5—4或3代+4.

【题型3勾股定理解勾股树问题】

【例3】（南关区期末）如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角

形，若正方形A、B、。的面积依次为6、10、24,则正方形C的面积为（）

【分析】根据勾股定理的几何意义：S正方形A+S正方形A=S正方形£,S正方形〃-S正方形c=S正方形月解

得即可.

【解答】解：由题意：S正方形八十S正方形B=S正方形£,S正方形o-S正方形c=S正方形E，

:・S正方形A+S正方形"=S正方形。-S正方形c

•・•正方形A、B、O的面积依次为6、10、24,

・・・24・5正方形。=6+10,

•'•S正方形c=8・

故选：c.

【变式3-1】（高新区校级期末）如图，在四边形A8C0中，NDAB=/BCD=90。,分别以

四边形的四条边为边向外作四个正方形，若S1+S4=135,S3=49,则S2=（）

A.184B.86C.119D.81

【分析】利用勾股定理的几何意义解答.

22

【解答】解：由题意可知：Si=ABfSz=B。,S3=C>,S4=AD,

连接BD,在直角△ABO和△BCD中，

BD2=AE>2+AB2=CE>2+BC1,

即Sl+S4=$3+S2,

因止匕S2=135—49=86,

故选：B.

【变式3-2］（泗水县期中）有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上

生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，

变成了如图，如果继续“生长吓去，他将变得“枝繁叶茂”，请你计算出“生长”了2022次后

形成的图形中所有正方形的面积之和为（）

A.2020B.2021C.2022D.2023

【分析】根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图

形总结规律，根据规律解答即可.

【解答】解：由题意得，正方形A的面积为1,

由勾股定理得，正方形笈的面积十正方形。的面积一1,

・・・“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2,

同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3,

・,・“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4,

・・・“生长”了2022次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2023.

故选：D.

【变式3-3］（张湾区期中）如图①，在△A8C中，NACB=90。，AC：8C=4：3,这个直角

三角形三边上分别有一，力正方形.执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作直角边之

比为4：3的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形.图②

是1次操作后的图形，图③是2次操作后的图形.如果图①中的直角三角形的周长为12,

那么10次操作后的图形中所有正方形的面积和为（）

【分析】根据勾股定理、三角形的周长公式分别求出AC=4,BC=3,AB=5,根据勾股

定理计算得出规律，根据规律解答即可.

【解答】解：设AC=4x,则5c=3x,

由勾股定理得：AB=，4c2+BC2=5x,

•「△ABC的周长为12,

/.3x+4x+5x=12,

解得：x=l,

・・・AC=4,BC=3,AZ?=5,

第1次操作后的图形中所有正方形的面积和为：32+42+32+42+52=25+50,

第2次操作后的图形中所有正方形的面积和为：32+42+32+42+32+42+52=25x2+50,

第3次操作后的图形中所有正方形的面积和为：32+42+32+42+32+42+32+42+52=25x3+50,

第10次操作后的图形中所有正方形的面积和为：25x10+50=300,

故选：D.

【题型4勾股定理解动点问题】

【例4】(开福区校级期末)如图，R3ACB中，N4CB=9()。，AB=25cmfAC=7cm,动点

P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为ts,当^APB为等腰三角形

)

B.良或24或12

C.答或24或12D.鬻或身或24

【分析】当△A5尸为等腰三角形时，分三种情况：①当A5=3尸时；②当A3=AP时；③

当〃P—AP时，分别求出“。的长度，继而可求得，值.

【解答】解：VZC=90°,AB=25cm,AC=7cmf

,•BC=24cm.

①当BP=BA=25时,

②当AB=AP时，BP=2BC=4Scmf

•1=24.

③当尸5=乃1时，PB=PA=2tcm,CP=(24-2t)cm,AC=7cm,

在Rt/kACP中，4尸2=4。2+。尸2,

・•・(2f)2=72+(24-2Q2,

解得仁鬻.

综上，当△AB尸为等腰三角形时•，上竽或24或零

故选：D.

【变式4-1］（宛城区期末）如图，在RS48C中，NAC8=90。，8C=40CTW,AC=30C〃Z,

动点。从点B出发沿射线8A以Icm/s的速度运动.贝!当运动时间i=5时,△BPC

【分析】首先根据勾股定理求出斜边A5的长度，利用三角形的面积求出斜边上的高CD,

再分两种情况进行讨论：①当N3CP为直角时，②当NBPC为直角时;分别求出此时的f

值即可.

【解答】解：在RsABC中，90°,BC=40cm,AC=30cm,

：.AB=\/BC2+AC2=V402+302=50Cem）.

如图，作48边上的高CD

•:SAABC=；AB・CD=；AC・BC,

30x40

：.CD==24(cm)

AB50

①当N5C、P为直角时，点尸与点A重合，BP=BA=50cmf

：.t=50^2=25(秒).

②当N5PC为直角时，尸与O重合，BP=2tcm,CP=24cmtBC=40s〃,

在RQBCP中，:BP2+CP2=BC2，

・•.(2r)2+242=402,

解得/=16.

综上，当f=25或16秒时，入"PC为直角二角形.

故答案为：25或16.

【变式4-2】（蚌山区校级期中）如图，在△ABC中，NACB—90。，A8—10,AC—8,点P

从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A-3C运动.设点，的运动时间为，

秒(r>0).

(1)8C的长是.

(2)当点P刚好在N84。的角平分线上时，，的值为.

C

【分析1(1)由勾股定理可直接求解；

(2)过点尸作尸£>J_A9结合题意，由角平分线的性质可推得5P,PD,30的长，再根

据勾股定理即可求解.

【解答】解：(1)在中，NACB=90。，AB=10,AC=8,BC=>JAB2-AC2=6,

故答案为：6；

(2)当点尸在NA4c的角平分线上时，过点尸作如图.

•・・从尸平分/区4。，BCLAC,PD_LA5,点尸从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿

折线A-B-。运动.

：.PD=PC=\6-26BP=2t-10,

AD=AC=Si

：.BD=2.

在RSBO尸中，由勾股定理得22+(16-2Z)2=(21-10)2,

解得t=y,

故答案为：v-

【变式4-3】(河东区期中)如图,已知△A8C中，NB=90。，AB=\6cm,BC=\2cm,P、

。是△ABC边上的两个动点，其中点尸从点A开始沿A->8方向运动，且速度为每秒1cm,

点。从点B开始沿B-C-A方向运动，且速度为每秒2c•〃?，它们同时出发，同时停止.

(1)尸、Q出发4秒后，求PQ的长；

（2）当点。在边。上运动时，出发几秒钟后，△CQ8能形成直角三角形？

备用图

【分析】（1）根据题意可以先求出松。和松P的长，然后根据勾股定理即可求得产。的长：

（2）根据题意可知存在两种情况，然后分别计算出相应的时间即可.

【解答】解：（1）由题意可得，

50=2x4=8（cm）,BP=AB-AP=\6-1x4=12（cm）,

VZB=90°,

：.PQ=J8P2+BQ?=V122+82=4V13（cm）,

即PQ的长为4gc〃z；

（2）当BQ_LAC时，ZBgC=90°,

VZB=90°,AB=\6cmfBC=\2cm,

：.AC=yjAB2+BC2=V162+122=20Cem）,

..ABBC_ACBQ

•，

22

・16x1220BQ

••—，

22

解得BQ=

ACQ=yjBC2-BQ2=J122-（y）2=y（cm）,

・••当ZiCQB是直角三角形时，经过的时间为：（12+^）-2=9.6（秒）；

当NCBQ=90。时，点。运动到点A,此时运动的时间为：（12+20）:2=16（秒）；

由上可得，当点。在边CA上运动时，出发9.6秒或16秒后，△CQ3能形成直角三角形.

【题型5勾股定理的验证】

【例5】勾股定理神秘而美妙、它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法''给了小聪以

灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”

来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：

将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中ND4B=90。，求证：层+/=/

证明：连接。5,过点。作0C边上的高。”，贝lJOb=KC=A-a

2

•二S四边形AOC3=SAACO+SAA3C=^b+^ab.

又S四边形ADCB=SAAO/?+SADCB=(Z?-。)

：人2+\ab=gc2+go(Z?-a)

a2+/?2=c2

请参照上述证法，利用图2完成下面的证明.

将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中NZM3=9()。.求证：a2+b2=c2.

3尸，则BF=b-a,表不出S粉形ACBED，

两者相等，整理即可得证.

【解答】证明：连接N0,过点5作。E边上的高〃尸，贝IJ3尸=〃-〃,

,•*S五边彩ACBED=SAACB+SAABE+SAADE=gab,

又■:五m形ACBEDAACBAABDABDE(b-a)，

S=S+S+S=4LL

^ab=；c2+(b-a),

【变式5・1】(巢湖市校级期中)学习勾股定理之后，同学们发现证明勾股定理有很多方法.某

同学提出了一种证明勾股定理的方法：如图1点。是正方形AC。？边。。上一点，连接

A8,得到直角三角形AC8,三边分别为〃，b,c,将△ACB裁剪拼接至位置，如图

2所示，该同学用图1、图2的面积不变证明了勾股定理.请你写出该方法证明勾股定理

的过程.

图I

【分析】连接3尸，由图1可得正方形AC0E的面积为加，由图2可得四边形A40户的面

积为三角形ABF与三角形BDF面积之和，再利用正方形ACDE的面积与四边形ABDF

的面积相等即可证明.

【解答】证明:如图，连接

・：AC=b,

・•・正方形ACDE的面积为护,

9：CD=DE=AC=b,BC=a,EF=BC=a,

ABD=CD-BC=b-a,DF=DE+EF=a+b,

'：ZCAE=90°f

・・・N5AC+NR4E=90。，

ZBAC=ZEAF,

：.ZEAF+ZBAE=90°,

/\BAE为等腰直角三角形，

・二四边形A5O尸的面积为：（b-a）（〃+力）=1（加-/），

•・・正方形ACDE的面积与四边形ABDF的面积相等,

2222，

/.b=-2c4--2(b-a)

2222，

b=-2c+-2b--2a

.=/+)2=:。2,

222

工a2+b2=c2.

【变式5-2】(朝阳区期末)【阅读理解】我国古人运用各种方法证明勾股定理，如图①，用

四个直角三角形拼成正方形，通过证明可得中间也是一个正方形.其中四个直角三角形直

角边长分别为。、儿斜边长为c图中大正方形的面积可表示为(〃+b)2,也可表示为》+4x

即Ca+b)2=(?2+4x^cib,所以。2+〃2=/.

【尝试探究】美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”如图②所示，用两个全等的直角三

角形拼成一个直角梯形BCQE,其中ABCA名△AOE,NC=/O=90。，根据拼图证明勾股

定理.

【定理应用】在Rtz\ABC中，ZC=90°,NA、NB、NC所对的边长分别为《、b、c.

求证：岸求+々2加=茨-

【分析】【尝试探究】根据阅读内容，图中梯形的面积分别可以表示为ab+^52+加)=

"+#,即可证得。2+加=,2;

【定理应用】分解因式，根据勾股定理即可得到结论.

【解答】证明：【尝试探究】梯形的面积为S=J(a+b)(b+a)=ab+^(a2+b2),

利用分割法，梯形的面积为S=AABC^-SAABE+SADE=/力+y+3=46+*,

(a2+h2)=而+9,

Aa2+b2=c2}

【定理应用】a2c2+a2b2=a2(c2+Z>2)>c4-b4=(c^+b2)Cc2-b2)=(c2+b2)a2,

.\a2c2+a2b2=c4-b4.

【变式5-3](寿光市期中)如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形.

(I)弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为小较短

的直角边为江斜边长为c,结合图①，试验证勾股定理.

(2)如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓(粗线)的周

长为24,0C=3,求该飞镖状图案的面积.

(3)如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形48CD,正方形EFGH,

正方形MNK7的面积分别为5i，52,S3，若SI+S2+S3=40,则为=.

D

【分析】(1)通过图中小正方形面积证明勾股定理；

(2)可设AC=x,根据勾股定理列出方程可求x,再根据直角三角形面积公式计算即可求

解；

(3)根据图形的特征得出四边形MNKT的面积设为x,将其余八个全等的三角形面积一

个设为y,从而用x,y表示出Si,S2,S3,得出答案即可.

【解答】解：(1)S小正方形=Ca-b)2=a2-2ab^b2,另一方面S小正方形=c2-4x)力=。2-

2abf

BPb2-2ab+a2=c2-2ab,

则a2+b2=c2.

(2)24=4=6,

设4C=x,依题意有

(x+3)2+32=(6-x)2,

解得x=l,

-x(3+1)X3x4

2

=-x4x3x4

2

=24.

故该飞镖状图案的面积是24.

(3)将四边形M7WN的面积设为-将其余八个全等的三角形面积一个设为山

•・,正方形AOC0,正方形£PG〃，正方形MNAT的面积分别为Si，S?,S$,Si+Sz+Sj=40,

工得出Si=8y+x,S2=4y+x,S3—x»

**.S1+S2+S3—3x+12j—40,

・・.X+44尸y40,

•・CA产-40

.§2=X+4J

故答案为：当.

【知识点2勾股定理的逆定理】

如果三角形的三边长a,b,c满足Q2+b2”2,那么这个三角形就是直角三角形.

【题型6直角三角形的判定】

【例6】（绥宁县期中）若的三边长分别为〃、b、c,下列条件中能判断AABC是直

角三角形的有（）

①NA=N8・ZC,②NA：ZB：NC=3：4：5,③/A=90。・/B,④NA=/8=；NC,

⑤。2=（/?+（?）（/?-<?），⑥a：b：c=5：12：13.

A.3个B.4个C.5个D.6个

【分析】根据直角三角形的定义，勾股定理的逆定理一一判断即可.

【解答】解：①・・・NA=25-NC,

・・・ZA+ZC-ZB,

*/ZA+ZB+ZC=180°,

AZB=90°,

工是直角三角形；

@VZA：ZB：ZC=3：4：5,

ZA+ZB+ZC=I8O°,

・・・NC=75。，不是直角三角形；

（§）VZA=90°-ZB,

・・・ZA+Z^=90°,

;ZA+ZB+ZC=180°,

・・・NC=90。，

・••是直角三角形；

@VNA=NB=：NC,

2

NA+NZn/C=180。，

AZC=90°,是直角三角形;

⑤,.・a2=(6+c)(b・c),

/.a1=b2-c2,

/+。2=加，是直角三角形;

⑥•・•〃：岳c=5：12：13,

A52+122=132,

：.a2^b2=c2,是直角三角形；

故选：C.

【变式6-1](赣州月考)下列满足条件的三角形中，不是直角三角形的是()

A.在△A3C中，若。=白，b=^c.则△ABC为直角三角形

B.三边长的平方之比为1：2：3

C.三内角之比为3：4：5

D.三边长分别为a,b,c,c=1+〃2,a=n2-1,b=2n(;z>l)

【分析】先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，看看是否相等，即可判断选项A、

选项3和选项D；根据三角形内角和定理求出最大角的度数，即可判断选项C

【解答】解：A.b=；c,

AO

/.a2+b2=去2=。2,

・•・△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；

B.♦三边长的平方之比为1：2：3(1+2=3),

...此三角形的两小边的平方和等于最长边的平方，

・•・此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；

C.•••二角形的二内角之比为3：4：5,二角形的内角和等于1X0。，

・..最大角的度数是不工乂180。=75。<90。，

3+4+5

・・・此三角形不是直角三角形，故本选项符合题意；

D.丁。=1+/,a=n2-1,b=2n,

a2+b2=(n2-1)2+(2«)2=w4-2n2+l+4n2=n4+2/i2+l,

c2=(1+n2)2=]+2〃2+〃4,

222

•\c=a+bt

是直角三角形，故本选项不符合题意；

故选：C.

【变式6-2】（汉滨区期中）若△A8C的三边长小b,c满足（67-c）2=b2-2ac,则（）

A.NA为直角B.N8为直角

C.NC为直角D.△ABC不是直角三角形

【分析】根据已知条件可得。2+。2=加，即可判定△48C的形状.

【解答】解：*/（a-c）2=b2-2ac,

a2+c2=b2,

•••△A3c是直角三角形，且N5是直角，

故选:B.

【变式6-3］（开州区期中）下列是直角三角形的有（）个

①4ABC中/=，・〃

②△ABC的三内角之比为3：4：7

③△ABC的三边平方之比为1：2：3

④三角形三边之比为3：4：5

A.1B.2C.3D.4

【分析】根据勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理进行计算，逐一判断即可解答.

【解答】解：①・・・〃2=c2r2,

*.a2+b2=c2,

・•・△ABC是直角三角形；

②•・・△ABC的三内角之比为3：4：7,

•••△43。中最大角的度数为：180。乂£七=90。，

•••△ABC是直角三角形；

③•.•△ABC的三边平方之