2026年广东省广州市高三考前冲刺训练（一）数学试题及答案

2026年普通高中毕业班考前冲刺题(一)

数学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.立德中学举办一次田径运动会，高一(1)班有12名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有

14名同学参赛，两次运动会都参赛的有6人.两次运动会中，这个班参赛的同学共

A.26人B.20人C.IX人D.14人

2.设zwC,则满足IW|z-l|W3的复数在复平面上的对应点构成图形的面积是

A.兀B.4兀C.8兀D.9兀

3.抛物线/=8工的焦点为F,点、P是抛物线上任意一点，则归口的最小值为

A.1B.2C.4D.8

k+厂\AB\_2

4.已知椭圆E：(a>b>0)的上顶点为A,左焦点为8,右顶点为C,且

\BC\~3

则£的离心率为

2132

A.-B.-C.-D.-

5253

5.已知三棱锥容器S-ABC的容积为V,如果它的三条侧棱.1:各有一个小洞。，E,F,经测量知

):DA=SEtEB=CF:FS=3:1,那么这个容器最多可盛水的体枳为

A.—VB.—VC.—VD.—V

64276435

6.若非零向量,石满足B+B卜恸，则

A.|2司>忸+司B.[2司<|22+aC,2b<a+2bD.国冲+2司

7.为调查某地区中学生每天睡眠时间，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现抽取初中生800人，其每

天睡眠时间均值为9小时，方差为1,抽取高中生1200人，其每天睡眠时间均值为8小时，方差为0.5,

则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为

A.0.96B.0.94C.0.79D.0.75

8.设函数/(R)=e'(3x-l)-G+〃，其中若存在唯一的整数%,使得则。的取值范

羽是

一2八八「23、》「23)、「2「

A.—,1B.—C.—D.—,1

e_e4),e4Je,

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知直线/：x+)-4=0,圆。:/+)，2=2,股是/上一点，MA,用8分别是圆0的切线，则

A.圆。上的点到直线/的距高的最大值为3亚

B.圆。上的点到直线/的距离的最小值为V2

C.存在点M,使ZAM3=90°

D.存在点M,使A4M8为等边三角形

10.设3,分上是空间中两两夹角均为彳。《0看卜J三条数轴，片„分别是与工，)'，2轴正方向同向

的单位向最，若OP=E+ye.+z^(.t,y,zeR),则把有序数对(Xy,z)〃叫作向后QP在坐标系Oxyz中

的坐标，则下列命题正确的是

A.若向量>=(2.6.—3%,向吊刃二⑶7.。％,则办石=0

22

B.若向量砺=(L°，°)x,向量丽=(°』，°)一向量沉=(°，°，外,则三锥柱。-ABC的外接球半径为由

3332

C.若向量次=(1,0,(%,向量砺=(0,1,0%,向量区=(0,0,1)。，则而•反=0

D.若向量〉=*,y,0)〃，向量/；=(1,2,0%,则当且仅当x：y=l：2时，a//b

11.已知函数〃力=如(8却一。国(awR),则

A.VowR,f(x)的定义域为•x-/+2E<x<]+2E,此Z'

B.若a〉0/x)在(0卷)上单调递增

C.若/(x)Wln』2+工恒成立，则。的取值范围是[-1,+»)

24

D.存在a>l,使y=/(1)-2兀有且仅有4个零点

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知(x+4)7=4+4工+生工2+…十份7,若7=4+4+/+…则7被6除所得的余数为

13.为估计一林区某种树木的总材积量，随机抽取一批这种树木并收集它们的根部横截面积（单位：

_10

和材积量（单位：nP）的对应数据（如其）（，=1,2,…,10）,并计算得7=0.05,5=04^<=0045*

i=\

1010

=L62,=0-215,则该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数为.

/=1r=l

（参考公式：相关系数，•二/r）

Jz（A；-rz（x-?y

Vi=lJ=1

14,已知△ABC三个内角AH,C的对边分别为a,目』=S'"='-C°SA,则△AAC面积的

b2-cosBcos8

最大值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）

%+1,〃为奇数

已知数列｛%｝满足4=1，a向

为+4,〃为偶数.

⑴记包=%“，写出2,瓦,并求数列｛4｝的通项公式;

（2）求｛%｝的前2〃项和.

16.（15分）

如图，在四棱锥P-ABCD中,已知PA1底而ABCD,平面PAC1平面PC。，且AP=6,AD=3,

BC=\.

（1）证明：CO_L平面Q4C：

（2）若底面A3C。为直角梯形，ZBAD=90°，BC//AD.

求二面角8-PC—O的正弦值.

17.（15分）

某便利店计划按月订购一款巴氏鲜奶，每天进货显•相同（单位：组），进货成本每组12元，存价每组18

元,未售出的鲜奶以每组6元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单

位:。C）有关.如果最高气温不低于25,需求量为50红1；如果最高气温位于区间［20,25）,需求昼为30组；

如果最高气温低于20,需求量为20组.为了确定四月份的订购计划,统计了前三年四月份各天的最高气温数

据，得到下面的频数分布表：

最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)

天数41436288

以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.

（1）求四月份这种鲜奶一天的需求量X（单位:组）的分布列；

（2）求四月份连续三天中至少有两大的鲜奶需求量超过20组的概率；

（3）设四月份一天销售这种鲜奶的利润为丫（单位:元），当四月份这种鲜奶一天的进货量”（单位:组）

为多少时，y的数学期望达到最大值？

18.（17分）

已知圆G：d+V+4x+2=0,圆。2：丁+y2-4工+2=0,动圆P与圆C外切并且与圆G内切，

记圆心P的轨迹为曲线E.

（1）求E的方程：

（2）设O为坐标原点，加（.%,%）（先工0）为七上一点，已知直线/:工（/一乂）旷一2=0,Z1:x=-l,

4：工=1,/与。分别交于A8两点.

（i）记直线OA与4交于W点，求证：△8ON的内切圆的圆心在直线OW上；

（S丫

（ii）设AOAM与AOBM的面积分别为S,Sn,求」的取值范围.

19.(17分)

已知函数y=f(")满足足(X)=/(T),/(x)+/(2-.r)=0,r(x)=W(.i+l)(〃?wR),/(0)<2,

八；)=1,/(1)在区间[0,2]上单调递减.

(1)设函数尸(力=3/(力-〃3刈,求证户(")是周期函数并求打工)的最大值;

(2)给定fe(0,2),证明：对WieR,Bke[a-t,a+t],使得/(A)W/(f)：

(3)若3zwR,使得3/(x)—/(3x+〃)/J对DxwR恒成立，求实数c的最小值.

2026年普通高中毕业班考前冲刺题(一)

数学参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正

确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

12345678

BCBBADBD

8.【答案】D

【解析】设g(x)=e'(3x-l),y=a[x-\)t

22

g'(x)=e'(3x+2),当x<-一时，g(t)<0；当-一时，g〈x)>0.

33

所以，函数y=g(x)的最小值为g=-3e

1

又g(O)=T，g~=0^(l)=2e>0.

\J

直线y=or-a恒过定点(1,0)且斜率为a,

由题意知，函数)，=g")在直线>'=⑪-〃下方的图象中只有一个点的横坐标为整数，

42

故—a>g(0)=-l且g(-l)=-->-2a,解得一《〃<1,故选D.

ee

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中，有多项符合题目耍求.全

部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.

9.ABD10.AC11.AD

9.【答案】ABD

【解析】对于A选项,圆心到直线的距离1==2叵>6=r,圆。上的点到直线’的距离的最

大值为4+r=3&，故AiE确；

对于B选项，圆0上的点到直线1的距离的最小值为"一-=&,故B正确;

对于C选项，当OMJJ时，/人MB有最大值60。，故C错误；

对于D选项，当OMJJ时，△AA仍为等边三角形，故D正确.

故选：ABD

10.【答案】AC

【解析】

对于A,若向审"=(263%,向量八(3,1,0%,

22

此时在空间直角坐标系中2/=2x3+6x(-1)=0,故A正确；

对于B,若向量方=(1°叽，向量丽=(°J，°)一向量反=。°，1)一

333

则三棱锥。-八3。是棱长为1的正四面体，这个正四面体与棱长为正的正方体有相同半径的外接球

2

易得，外接球半径为33,故B错误；

对于C,思路一：按照向量的运算规则演算可得而•反=0：

思路二：若向量方二(1,0,0)〃，向量砺=(0,1,0)〃，向量反=(0,0』)”，

则三棱锥O-AAC是侧棱长为I的正三棱锥，如图所示，取A8中点〃，连接

先证ABJL平面OHC,则AB_LOC,即而•反=0，故C正确.

对于D,若向量a=(x,y,0)d=邛+)4，向量1=(1,2向)°=q+2%,

当x:y=l:2时,y=2x,则3=(x,y,0%=的+2飞=*+“，)=坊，当序,

但是，当x=y==。时，〃//B也成立，故D错误；

故选：AC.

II.【答案】AD

【解析】对于A,令cosx>0,解得一1+2E<x<：+2EMeZ,

则/(x)的定义域为上一]+2E<x<]+2E/eZ、故A正确；

Z\

对于B,〃>0,当xe0彳时，得到/'(x)=ln(coM-aj

则/'(x)=Tanx—。，此时/'(力<0,得到/("在(。身上单调递减，故B错误;

对于C,易知/(X)为偶函数，则先考虑x>0的情况,

jr

当白=一1,令/'（x）=-ianx+l=O,yiijx=—+ku（&之o）,

易知/（2]=lnY2+2,显然其他极值大于E也+色，所以C错误；

UJ2424

对于D,令111（8"）-。卜|+2%=0，则ln（8Sx）=aM<"，数形结合，当。=1时，可知有6个零点.

当。增大，丁二。卜|一2万的开口越来越小，所以存在a,使得有4个零点，故D正确.

故选：AD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分,共15分.

4

12,513.0.7514.一

3

4

14.【答案】-

,十廿…rm，nSinAcosA

r【解析】由正弦定理得-----=---------,

sinB2-cosB

则2sinA=sinAcosB+cosAsinB=sin（A+i?）=sinC,即c=2a.

由，=a_得@cosB-\-bcosA-ab,贝lj———---十"''------ab,即c=ab,则〃=2,

hcosB2c2c

4

由c=2a,可知点B的在半径为一的圆上运动（除去A,B,C三点共线的情况），

3

144

所以三角形面枳最大值为一x2x—=一.

233

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）

解：（1）依题意，4=%=%+1=2,4=6=6+1=4+5=4+6=7,...2分

由题可知=%〃+2=%〃+漳=七向+1=%〃+5，因此="+5，……4分

所以数列｛4｝是等差数列，其首项为2,公差为5,4=5〃-3.……6分

（2）由题意知数列｛可｝满足q=1,生“二生”马+1，％向=%+4,

所以4田=%”+4=生”7+5.

所以数列｛%｝的奇数项是以1为首项，5为公差的等差数列；……8分

同埋，由a2“+2=%”+i+l=a2"+5知数列｛4｝的偶数项是以2为首项，b为公差的等差数列.……10分

从而数列｛%｝的前2n项和为：

S,=(%+。3+〃5。2”-1)+(/+。4+。6+,,,+42n)=〃■1---------------x5+2〃4------------------x5=5〃"一2〃.

2)22

……13分

16.(15分)

(I)证明：过点A作AE_LPC,垂足为点E.……1分

因为平面PACJ.平面PCD,平面PACc平面P8=PC,AEu平面Q4C,

所以AE平面PCD，则AEJ.CD,……3分

又可为PA_L底面ABCQ,则……4分

且4七口以=4,所以COJL平面PAC.……6分

(2)解法一：因为尸A_L底面A5CO,ZBAD=9Of以A为坐标原点，AB，AC,4尸所在直线分

别为x,)，，z轴建立空间直角坐标系，如图所示：……7分

设A5=，0>0)，4(0,0,0),8(7,0,0),C(r,l,O),0(0,3,0),

而=(T,2,0),C4=(-r,-l,0),……8分

由⑴的结论可知COJLAC,则无次=0,即“一2=0,

解得，=&，……9分

由(1)已证AE_L平面PCD,则AE=是平面PC。的一个法向量……11分

可知丽=卜>/10,6)BC=(0,1,0),

一/、m.BP=0-yj2x+6z=0

设平面8PC的法向量为加=(x,y,z),则〈______,即〈，……12分

[fnBC=0[>=0

令X=，则z=，〃Z=(石，°，，13分

_m-AE26

cos<tn,AE>==

m5，14分

2

所以，二面角8—0C—O的正弦值等于15分

解法二：在平面A8CD内，使用勾股定理求AB长度，略；建系同上。

解法三：在直角梯形中，设由（1）知COJ_AC,

因为ABAC+/CAD=90，ZCDA+ZCAD=90°,所以ZBAC=ZCDA，

得△ABC〜△DC4,有77=77；，GV=8C・A£)，即『+1=1x3，解得，，

C-/1/\u

所以48=血•建系同上.

17.(15分)

解:Cl）由题意知.X的所有的可能取值为20,30,50.……1分

由表格数据知P（X=2（））=昔9=:，P（X=3（））=盛=£,P（X=5O）=2^=£,..・4分

因此4的分布列为

X203050

22

p

555

5分

14

（2）由（1）可知，一天的鲜奶需求量超过20组的概率为1-彳=1，设四月份连续三天中至少有两天的

鲜奶需求量超过20组为事件4

4112

则P(4)=C+7分

5J125

（3）由题意知,这种鲜奶的需求量至多为50组，至少为20组,

所以，只需考虑20工〃W50,

①当30W〃W50时，

若最高气温不低于25,则Y=18/1-12/1=6/z；

当最高气温介于区间［20,25),贝iJY=18x30+6(〃-30)-12〃=360-6〃；

当最高气温低于20,则V=18x2。+6(/?-20)-12〃=240-6n；

1歼以E(y)=6〃x=+(360—6〃)X4+(240-6〃)X^=192—2〃....10分

②当204〃<30时，

若最高气温不低于20,则Y==6〃；

当最高气温低于20,则卜=18X20+6(〃-20)-12〃=240-6〃；

(22、11g

所以E(y)=6〃x_+_+(240-6/?)x-=48+—77.……13分

155,55

所以当〃=30时，V的数学期望达到最大值，最大值为156元.……15分

18.(17分)

解：⑴圆C：f+y2+4x+2=0整理得：(x+2)2+y2=2,所以G(一2,0),半径为

圆G：/十9一4工+2=0整理得：(工一2『十丁=2,所以6(2,0),半径为血，……2分

设动圆P半径为厂，由动圆P与圆G外切,与圆G内切，得:

|PCj=r+V2

所以|明卜归。2|=2及V|C£|=4,4分

\PC2\=r-yf2

所以圆心尸的轨迹是以G、G为焦点的双曲线的右支，

设E的方程为W-"=l(x>0)

由邈可知〃=yla2+b2=2»则〃2=2

22

所以E的方程为、一'=1(工＞0).……6分

(2)(i)

要证△BON的内切圆的圆心在直线OM上，等价于论证直线OM平分/BON.……7分

/---2、(_2、

解法一：将直线I：玉)工一为)'-2=0与4:x=-】，/,:x=1联立得：A—1,-----,B1,-...

I先JI)J

x+2

直线。4:)，二’~^匹即(x0+2)x—%)，=()……9分

)0

2

|(x0+2)x0-y0|2x0+2|r-

八―//小2,=仄I,e=J2，同理可得=血……11分

\1(%+2)+%y/2xy/(x0+l)

因此，点M在NBON的平分线上，即直线OW平分NBON,……12分

所以A8ON的内切圆的圆心在直线OM上.

一/2

解法二：将直线/：/工-%丁-2=()44:x=-1,4：尤=1联立得：A-1,

先

丽=&,%),丽=1,工^,砺二-砺二1,2甘，

INoJI>o)

ONOM

设,4NOM=a,/BOM=0,cosa=^^=^t……9分

又两丽=2%+2,

|0N|=|0川=卜^1?=卜弋41+4代入%2=32・2

则阿二端产所以“用

同理可得cos尸=11分

\0M\

所以cosa=cos//,

则。=〃，即直线OM平分N8ON……12分

所以ABON的内切圆的圆心在直线OM上.

⑴)解法一：用；

S[=^\OA\xdM_OA,S2=gx|Oxd,s13分

由(i)解法1知,dM_OA=dM_OB=5/2»

所以S,才\局OA\

14分

城+$2+4%+4

，代入%2=7：-2

>,o2

则10Al=母甲1,同理可得|0B上回T

Po|

\OA\/+U

则画="|15分

\2/「«

5c_%+1

所以

(S"

因为天,JL尸‘工="二单调递减，所以士工41，2加+3),……16分

7

七一1x0-l%T'

圉'罔卜"叫‘

(q丫

所以、的取值范围为(1/7+12后).

17分

a」

解法二：H=：XMMX4_AM，S2=1X|BM|X<AW,……13分

工二酬二区刊……

气\BM\%—j1

所以、S

㈤

因为丁=」=二1+二单调递减，所以上与w(L2拒+3),……16分

7

七一1x0-l%-1、

与+1]

e(l,17+12@,

七一"

所以之■的取值范围为(1,17+12&).……17分

3)

19.解：⑴由/(x)=〃T),可得函数f(x)是偶函数,其图像关于y轴对称,

又因为/(X)+〃2T)=0,即/㈤=-〃27),可得/(x)的图像关于点(1,0)对称,……1分

由/(%)=二八2-力