2026年福建省北师大版高一数学必修第二册第8章数列同步练习题

2026年福建省北师大版高一数学必修第二册第8章数列同步练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_3=7，a_7=15，则该数列的通项公式a_n等于（）A.2n+1B.3n-2C.4n-5D.5n-10解析：由等差数列性质a_7=a_3+4d，代入a_3=7，a_7=15得4d=8，即d=2。通项公式a_n=a_1+(n-1)d，又a_1=a_3-2d=3，故a_n=3+2(n-1)=2n+1。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=3^n-1，则b_5的值为（）A.242B.243C.244D.245解析：当n≥2时，b_n=S_n-S_{n-1}=3^n-1-(3^{n-1}-1)=2×3^{n-1}。验证n=1时S_1=2符合，故b_5=2×3^4=162。3.若数列{c_n}满足c_1=1，c_{n+1}=c_n+2n，则c_6的值为（）A.21B.22C.23D.24解析：由递推关系c_{n+1}=c_n+2n，逐项展开c_2=c_1+2，c_3=c_2+4，…，c_6=c_1+2+4+6+8+10=1+30=31。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，则该数列的公比q等于（）A.3B.2C.-3D.-2解析：由等比数列性质d_4=d_2q^2，代入d_2=6，d_4=54得q^2=9，解得q=±3。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n，则e_4等于（）A.20B.21C.22D.23解析：当n≥2时，e_n=T_n-T_{n-1}=n^2+n-[(n-1)^2+(n-1)]=2n-1。验证n=1时T_1=2符合，故e_4=2×4-1=7。6.若数列{f_n}满足f_1=2，f_{n+1}=f_n+log_2(n+1)，则f_5等于（）A.15B.16C.17D.18解析：由递推关系f_{n+1}=f_n+log_2(n+1)，逐项展开f_2=f_1+log_2(2)，f_3=f_2+log_2(3)，…，f_5=f_1+log_2(2)+log_2(3)+…+log_2(5)=2+1+1.585+2+2.322=9.907≈10。7.在等差数列{g_n}中，若a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=25，则a_3的值为（）A.5B.6C.7D.8解析：由等差数列性质a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=5a_3=25，解得a_3=5。8.已知数列{h_n}的前n项和U_n=2^n-1，则h_6等于（）A.32B.33C.34D.35解析：当n≥2时，h_n=U_n-U_{n-1}=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}。验证n=1时U_1=1符合，故h_6=2^5=32。9.若数列{i_n}满足i_1=3，i_{n+1}=i_n+n，则i_4等于（）A.18B.19C.20D.21解析：由递推关系i_{n+1}=i_n+n，逐项展开i_2=i_1+1，i_3=i_2+2，i_4=i_3+3=3+1+2+3=9。10.在等比数列{j_n}中，若j_1=1，j_3=8，则j_5等于（）A.32B.40C.48D.64解析：由等比数列性质j_3=j_1q^2，代入j_1=1，j_3=8得q^2=8，解得q=±√8。故j_5=j_1q^4=1×(±√8)^4=40。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若等差数列{a_n}中，a_5=10，a_10=25，则该数列的公差d=______。参考答案：3解析：由等差数列性质a_10=a_5+5d，代入a_5=10，a_10=25得5d=15，解得d=3。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=5n^2-3n，则b_3=______。参考答案：30解析：当n≥2时，b_n=S_n-S_{n-1}=5n^2-3n-[5(n-1)^2-3(n-1)]=10n-8。验证n=1时S_1=2符合，故b_3=10×3-8=30。3.若数列{c_n}满足c_1=2，c_{n+1}=c_n+3n，则c_6=______。参考答案：55解析：由递推关系c_{n+1}=c_n+3n，逐项展开c_2=c_1+3，c_3=c_2+6，…，c_6=c_1+3+6+9+12+15=2+45=47。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=4，d_4=16，则该数列的公比q=______。参考答案：±2解析：由等比数列性质d_4=d_2q^2，代入d_2=4，d_4=16得q^2=4，解得q=±2。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^3-n，则e_4=______。参考答案：64解析：当n≥2时，e_n=T_n-T_{n-1}=n^3-n-[（n-1）^3-(n-1)]=3n^2-3n+2。验证n=1时T_1=0符合，故e_4=3×16-12+2=64。6.若数列{f_n}满足f_1=5，f_{n+1}=f_n+log_3(n+1)，则f_5=______。参考答案：25解析：由递推关系f_{n+1}=f_n+log_3(n+1)，逐项展开f_2=f_1+log_3(2)，f_3=f_2+log_3(3)，…，f_5=f_1+log_3(2)+log_3(3)+log_3(4)+log_3(5)=5+1+1+1.262+1.464=10.726≈11。7.在等差数列{g_n}中，若a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=36，则a_4=______。参考答案：6解析：由等差数列性质a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=6a_4=36，解得a_4=6。8.已知数列{h_n}的前n项和U_n=3^n-1，则h_5=______。参考答案：242解析：当n≥2时，h_n=U_n-U_{n-1}=3^n-1-(3^{n-1}-1)=2×3^{n-1}。验证n=1时U_1=2符合，故h_5=2×3^4=162。9.若数列{i_n}满足i_1=4，i_{n+1}=i_n+n+1，则i_7=______。参考答案：50解析：由递推关系i_{n+1}=i_n+n+1，逐项展开i_2=i_1+2，i_3=i_2+3，…，i_7=i_1+2+3+…+7=4+28=32。10.在等比数列{j_n}中，若j_1=2，j_4=32，则j_6=______。参考答案：256解析：由等比数列性质j_4=j_1q^3，代入j_1=2，j_4=32得q^3=16，解得q=2。故j_6=j_1q^5=2×32=64。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和S_n=2n^2+3n，则该数列是等差数列。（）参考答案：正确解析：当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=2n^2+3n-[2(n-1)^2+3(n-1)]=4n+1，且a_1=S_1=5符合，故{a_n}是等差数列。2.在等比数列{b_n}中，若b_1=1，b_3=8，则b_5=64。（）参考答案：正确解析：由等比数列性质b_3=b_1q^2，代入b_1=1，b_3=8得q^2=8，解得q=±√8。故b_5=b_1q^4=1×(±√8)^4=64。3.若数列{c_n}满足c_1=1，c_{n+1}=2c_n+n，则c_4=15。（）参考答案：错误解析：由递推关系c_{n+1}=2c_n+n，逐项展开c_2=2，c_3=5，c_4=12，故c_4=12≠15。4.在等差数列{d_n}中，若a_1+a_2+a_3=12，则3a_2=12。（）参考答案：正确解析：由等差数列性质a_1+a_2+a_3=3a_2=12，解得3a_2=12。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n，则e_n=2n-1。（）参考答案：错误解析：当n≥2时，e_n=T_n-T_{n-1}=2n-1，但n=1时T_1=2≠1，故{e_n}的通项公式为e_n=2n-1（n≥2）。6.若数列{f_n}满足f_1=3，f_{n+1}=f_n+2n，则f_5=35。（）参考答案：正确解析：由递推关系f_{n+1}=f_n+2n，逐项展开f_2=5，f_3=9，f_4=15，f_5=23，故f_5=35。7.在等比数列{g_n}中，若g_2=6，g_4=54，则g_6=486。（）参考答案：正确解析：由等比数列性质g_4=g_2q^2，代入g_2=6，g_4=54得q^2=9，解得q=3。故g_6=g_2q^4=6×81=486。8.已知数列{h_n}的前n项和U_n=2^n-1，则h_n=2^{n-1}。（）参考答案：错误解析：当n≥2时，h_n=U_n-U_{n-1}=2^{n-1}，但n=1时U_1=1≠0，故{h_n}的通项公式为h_n=2^{n-1}（n≥2）。9.若数列{i_n}满足i_1=2，i_{n+1}=i_n+n，则i_6=21。（）参考答案：错误解析：由递推关系i_{n+1}=i_n+n，逐项展开i_2=4，i_3=7，i_4=10，i_5=13，i_6=16，故i_6=21。10.在等差数列{j_n}中，若j_1=5，j_3=11，则j_5=17。（）参考答案：正确解析：由等差数列性质j_3=j_1+2d，代入j_1=5，j_3=11得2d=6，解得d=3。故j_5=j_1+4d=5+12=17。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知等差数列{a_n}中，a_1=3，a_5=9，求该数列的通项公式a_n。解答：由等差数列性质a_5=a_1+4d，代入a_1=3，a_5=9得4d=6，解得d=1.5。通项公式a_n=a_1+(n-1)d=3+(n-1)×1.5=1.5n+1.5。2.若数列{b_n}的前n项和S_n=n^2+n，求b_4的值。解答：当n≥2时，b_n=S_n-S_{n-1}=n^2+n-[（n-1）^2+(n-1)]=2n。验证n=1时S_1=2符合，故b_4=2×4=8。3.在等比数列{c_n}中，若c_2=4，c_4=16，求该数列的公比q。解答：由等比数列性质c_4=c_2q^2，代入c_2=4，c_4=16得q^2=4，解得q=±2。4.已知数列{d_n}满足d_1=2，d_{n+1}=d_n+3n，求d_5的值。解答：由递推关系d_{n+1}=d_n+3n，逐项展开d_2=5，d_3=9，d_4=15，d_5=23，故d_5=23。5.在等差数列{e_n}中，若a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=25，求a_3的值。解答：由等差数列性质a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=5a_3=25，解得a_3=5。6.已知数列{f_n}的前n项和T_n=2^n-1，求f_3的值。解答：当n≥2时，f_n=T_n-T_{n-1}=2^{n-1}。验证n=1时T_1=2符合，故f_3=2^2=4。7.若数列{g_n}满足g_1=1，g_{n+1}=g_n+2n，求g_6的值。解答：由递推关系g_{n+1}=g_n+2n，逐项展开g_2=3，g_3=6，g_4=10，g_5=15，g_6=21，故g_6=21。8.在等比数列{j_n}中，若j_1=3，j_3=27，求j_5的值。解答：由等比数列性质j_3=j_1q^2，代入j_1=3，j_3=27得q^2=9，解得q=3。故j_5=j_1q^4=3×81=243。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.某工厂计划每年比上一年增加生产设备数量，已知第一年增加10台，第二年增加12台，第三年增加14台，以此类推。求第10年增加的设备数量。解答：由递推关系a_{n+1}=a_n+2，逐项展开a_2=12，a_3=14，…，a_{10}=22，故第10年增加的设备数量为22台。2.某城市人口增长呈等比数列，已知第一年人口为10万人，第三年人口为18万人，求第五年的人口数量。解答：由等比数列性质a_3=a_1q^2，代入a_1=10，a_3=18得q^2=1.8，解得q=√1.8。故a_5=a_1q^4=10×(√1.8)^4≈25.98万人。3.某企业员工工资每年上涨，已知第一年工资为5000元，以后每年比上一年增加300元，求第8年的工资。解答：由等差数列性质a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=5000，d=300得a_8=5000+7×300=7100元。4.某投资账户初始金额为10000元，每年收益率为10%，求第5年的账户金额。解答：由等比数列性质a_n=a_1q^{n-1}，代入a_1=10000，q=1.1得a_5=10000×1.1^4≈16105.1元。5.某学校图书馆藏书量每年增加，已知第一年增加200本，第二年增加220本，第三年增加240本，以此类推。求第12年增加的图书数量。解答：由递推关系a_{n+1}=a_n+20，逐项展开a_2=220，a_3=240，…，a_{12}=460，故第12年增加的图书数量为460本。6.某产品销量呈等比数列增长，已知第一个月销量为100件，第三个月销量为400件，求第六个月的销量。解答：由等比数列性质a_3=a_1q^2，代入a_1=100，a_3=400得q^2=4，解得q=2。故a_6=a_1q^5=100×2^5=3200件