2026年广东省人教版高二数学选修第4章单元测试卷

2026年广东省人教版高二数学选修第4章单元测试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在选修4-4《坐标系与参数方程》中，将参数方程x=2cosθ，y=3sinθ（θ为参数）化为普通方程，正确的结果是（）A．x²/4+y²/9=1B．x²/9+y²/4=1C．x²+y²=1D．x²/4-y²/9=1解析：将参数方程x=2cosθ，y=3sinθ两边平方得x²=4cos²θ，y²=9sin²θ，由三角恒等式cos²θ+sin²θ=1，得x²/4+y²/9=1，故选A。2.在选修4-4《极坐标与参数方程》中，极坐标方程ρ=4sin(θ+π/3)表示的曲线是（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线解析：将ρ=4sin(θ+π/3)展开得ρ=2√3sinθ+2cosθ，平方后转化为普通方程x²+y²=2√3y+2x，整理为(x-1)²+(y-√3)²=4，表示圆，故选A。3.已知点P的极坐标为(3,π/2)，将其转换为直角坐标系的坐标是（）A．(0,3)B．(3,0)C．(-3,0)D．(0,-3)解析：由极坐标与直角坐标转换关系x=ρcosθ，y=ρsinθ，得x=3cos(π/2)=0，y=3sin(π/2)=3，故选A。4.在选修4-4《参数方程与普通方程的互化》中，将参数方程x=t²-1，y=2t（t为参数）化为普通方程，正确的结果是（）A．y²=x+1B．x=y²+1C．y=2x+2D．x=2y²-1解析：由y=2t得t=y/2，代入x=t²-1得x=(y/2)²-1，即x=y²/4-1，整理为y²=x+4，故选B。5.已知曲线C的极坐标方程为ρ=2a(1+cosθ)，则该曲线的形状是（）A．圆B．椭圆C．抛物线D．双曲线解析：ρ=2a(1+cosθ)可化为ρ²=2aρ+2aρcosθ，转化为普通方程ρ²=2aρcosθ+2aρ，即x²+y²=2ax+2ay，整理为(x-a)²+(y-a)²=2a²，表示圆，故选A。6.在选修4-4《参数方程的应用》中，一动点P的参数方程为x=1+2cosθ，y=3+2sinθ（θ为参数），则点P到原点的距离是（）A．1B．2C．3D．√13解析：将参数方程化为普通方程(x-1)²+(y-3)²=4，圆心为(1,3)，半径为2，圆心到原点的距离为√(1²+3²)=√10，点P到原点的最短距离为√10-2，最长距离为√10+2，故选B。7.已知曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，则该曲线的普通方程是（）A．x²+y²=4B．x²+y²=4xC．x²+y²=-4xD．x²+y²=16解析：ρ=4cosθ可化为ρ²=4ρcosθ，转化为普通方程x²+y²=4x，故选B。8.在选修4-4《参数方程与轨迹问题》中，一动点P的参数方程为x=t，y=1/t（t为参数），则点P的轨迹方程是（）A．y=xB．y=-xC．x²+y²=1D．x²-y²=1解析：由x=t，y=1/t得xy=1，即x²-y²=1，故选D。9.已知曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ+4cosθ，则该曲线的普通方程是（）A．x²+y²=2y+4xB．x²+y²=2y-4xC．x²+y²=-2y+4xD．x²+y²=-2y-4x解析：ρ=2sinθ+4cosθ可化为ρ²=2ρsinθ+4ρcosθ，转化为普通方程x²+y²=2y+4x，故选A。10.在选修4-4《极坐标的应用》中，极坐标方程ρ=8sin(θ-π/4)表示的曲线的普通方程是（）A．x²+y²=8√2x-8√2yB．x²+y²=8√2x+8√2yC．x²+y²=-8√2x+8√2yD．x²+y²=-8√2x-8√2y解析：ρ=8sin(θ-π/4)展开得ρ=4√2sinθ-4√2cosθ，平方后转化为普通方程x²+y²=4√2x-4√2y，故选A。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.将参数方程x=1-2t，y=3+4t（t为参数）化为普通方程为__________。参考答案：2x+y-5=0解析：由x=1-2t得t=(1-x)/2，代入y=3+4t得y=3+4(1-x)/2，整理为2x+y-5=0。2.极坐标方程ρ=3cosθ-4sinθ表示的曲线的普通方程是__________。参考答案：(x+2)²+(y-1)²=5解析：ρ=3cosθ-4sinθ可化为ρ²=3ρcosθ-4ρsinθ，转化为普通方程x²+y²=3x-4y，整理为(x-3/2)²+(y+2)²=25/4，即(x+2)²+(y-1)²=5。3.参数方程x=2cosθ+1，y=2sinθ-1（θ为参数）表示的曲线的普通方程是__________。参考答案：(x-1)²+(y+1)²=4解析：由x=2cosθ+1得cosθ=(x-1)/2，由y=2sinθ-1得sinθ=(y+1)/2，由cos²θ+sin²θ=1得(x-1)²+(y+1)²=4。4.极坐标方程ρ=2/(1-2cosθ)表示的曲线的普通方程是__________。参考答案：y²=4x解析：将ρ=2/(1-2cosθ)变形为1-2cosθ=2/ρ，平方后得1-4cosθ+4cos²θ=4/ρ²，转化为普通方程y²=4x。5.参数方程x=t²-2t，y=t²+2t（t为参数）表示的曲线的普通方程是__________。参考答案：y=x+4解析：由x=t²-2t得t²=2t+x，代入y=t²+2t得y=2t+x+2t，整理为y=x+4。6.极坐标方程ρ=4sin²θ表示的曲线的普通方程是__________。参考答案：x²=4y解析：ρ=4sin²θ可化为ρ=2ρsinθ，转化为普通方程x²=4y。7.参数方程x=2secθ，y=3tanθ（θ为参数）表示的曲线的普通方程是__________。参考答案：9x²-4y²=36解析：由x=2secθ得secθ=x/2，由y=3tanθ得tanθ=y/3，由sec²θ-tan²θ=1得x²/4-y²/9=1，整理为9x²-4y²=36。8.极坐标方程ρ=2cosθ+3sinθ表示的曲线的普通方程是__________。参考答案：(x-3/5)²+(y+4/5)²=25/25解析：ρ=2cosθ+3sinθ可化为ρ²=2ρcosθ+3ρsinθ，转化为普通方程x²+y²=2x+3y，整理为(x-3/5)²+(y+4/5)²=1。9.参数方程x=1+cosθ，y=tanθ（θ为参数）表示的曲线的普通方程是__________。参考答案：y=(x-1)tan²θ解析：由x=1+cosθ得cosθ=x-1，由y=tanθ得sinθ=ycosθ，由sin²θ+cos²θ=1得y²cos²θ+(x-1)²=1，整理为y=(x-1)tan²θ。10.极坐标方程ρ=1+2cosθ表示的曲线的普通方程是__________。参考答案：(x+1)²+y²=4解析：ρ=1+2cosθ可化为ρ²=ρ+2ρcosθ，转化为普通方程x²+y²=x+2y，整理为(x+1)²+(y-1)²=4。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.参数方程x=2t+1，y=3t-2（t为参数）与普通方程3x-2y-7=0是等价的。（）参考答案：正确解析：由x=2t+1得t=(x-1)/2，代入y=3t-2得y=3(x-1)/2-2，整理为3x-2y-7=0。2.极坐标方程ρ=5sinθ表示的曲线是一个圆。（）参考答案：正确解析：ρ=5sinθ可化为ρ²=5ρsinθ，转化为普通方程x²+y²=5y，即(x-0)²+(y-5/2)²=25/4，表示圆。3.参数方程x=t²，y=2t（t为参数）表示的曲线是一条直线。（）参考答案：错误解析：由x=t²得t=±√x，代入y=2t得y=±2√x，表示抛物线。4.极坐标方程ρ=3cosθ-4sinθ表示的曲线是一个椭圆。（）参考答案：正确解析：ρ=3cosθ-4sinθ可化为ρ²=3ρcosθ-4ρsinθ，转化为普通方程x²+y²=3x-4y，整理为(x-3/2)²+(y+2)²=25/4，表示椭圆。5.参数方程x=cosθ，y=sinθ（θ为参数）表示的曲线是一个单位圆。（）参考答案：正确解析：由x=cosθ，y=sinθ得x²+y²=1，表示单位圆。6.极坐标方程ρ=2/(1-sinθ)表示的曲线是一个抛物线。（）参考答案：错误解析：ρ=2/(1-sinθ)可化为1-sinθ=2/ρ，平方后得1-2sinθ+sin²θ=4/ρ²，转化为普通方程y²=4x，表示抛物线。7.参数方程x=t+1，y=t²（t为参数）表示的曲线是一条抛物线。（）参考答案：正确解析：由x=t+1得t=x-1，代入y=t²得y=(x-1)²，表示抛物线。8.极坐标方程ρ=4cos(θ+π/4)表示的曲线是一个圆。（）参考答案：正确解析：ρ=4cos(θ+π/4)展开得ρ=2√2cosθ-2√2sinθ，平方后转化为普通方程x²+y²=2√2x-2√2y，整理为(x-√2)²+(y+√2)²=4，表示圆。9.参数方程x=2cosθ，y=3sinθ（θ为参数）表示的曲线是一个椭圆。（）参考答案：正确解析：由x=2cosθ，y=3sinθ得x²/4+y²/9=1，表示椭圆。10.极坐标方程ρ=1+cosθ表示的曲线是一个抛物线。（）参考答案：错误解析：ρ=1+cosθ可化为ρ²=ρ+2ρcosθ，转化为普通方程x²+y²=x+2y，整理为(x-1/2)²+(y-1)²=5/4，表示圆。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.将参数方程x=3-2t，y=4+5t（t为参数）化为普通方程，并说明该曲线的形状。参考答案：5x+2y-22=0，表示直线解析：由x=3-2t得t=(3-x)/2，代入y=4+5t得y=4+5(3-x)/2，整理为5x+2y-22=0，表示直线。2.极坐标方程ρ=6sin(θ-π/3)表示的曲线是什么形状？请写出其普通方程。参考答案：圆，(x-3√3/2)²+(y-3)²=27/4解析：ρ=6sin(θ-π/3)展开得ρ=3√3sinθ-3cosθ，平方后转化为普通方程x²+y²=3√3y-3x，整理为(x-3√3/2)²+(y-3)²=27/4。3.参数方程x=1+t²，y=2t（t为参数）表示的曲线是什么形状？请写出其普通方程。参考答案：抛物线，y²=4x-4解析：由x=1+t²得t=±√(x-1)，代入y=2t得y=±2√(x-1)，表示抛物线。普通方程为y²=4x-4。4.极坐标方程ρ=2cosθ+4sinθ表示的曲线是什么形状？请写出其普通方程。参考答案：圆，(x-2)²+(y+2)²=20解析：ρ=2cosθ+4sinθ可化为ρ²=2ρcosθ+4ρsinθ，转化为普通方程x²+y²=2x+4y，整理为(x-1)²+(y+2)²=5，即(x-2)²+(y+2)²=20。5.参数方程x=t+1/t，y=t-1/t（t为参数）表示的曲线是什么形状？请写出其普通方程。参考答案：双曲线，x²-y²=4解析：由x=t+1/t，y=t-1/t得x²-y²=4，表示双曲线。6.极坐标方程ρ=1/(1+cosθ)表示的曲线是什么形状？请写出其普通方程。参考答案：抛物线，y²=4x解析：将ρ=1/(1+cosθ)变形为1+cosθ=1/ρ，平方后得1+2cosθ+cos²θ=1/ρ²，转化为普通方程y²=4x。7.参数方程x=2cosθ，y=3sinθ（θ为参数）表示的曲线是什么形状？请写出其普通方程。参考答案：椭圆，x²/4+y²/9=1解析：由x=2cosθ，y=3sinθ得x²/4+y²/9=1，表示椭圆。8.极坐标方程ρ=3cos(θ+π/6)表示的曲线是什么形状？请写出其普通方程。参考答案：圆，(x-3√3/4)²+(y-3/4)²=27/16解析：ρ=3cos(θ+π/6)展开得ρ=3√3/2cosθ-3/2sinθ，平方后转化为普通方程x²+y²=3√3x-3y，整理为(x-3√3/4)²+(y-3/4)²=27/16。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知一动点P的参数方程为x=2+4cosθ，y=1+3sinθ（θ为参数），求点P到原点的最短距离和最长距离。参考答案：最短距离为√5-5，最长距离为√5+5解析：将参数方程化为普通方程(x-2)²+(y-1)²=25，圆心为(2,1)，半径为5，圆心到原点的距离为√(2²+1²)=√5，点P到原点的最短距离为√5-5，最长距离为√5+5。2.极坐标方程ρ=4sin(θ+π/4)表示的曲线是什么形状？请写出其普通方程，并求该曲线上的点到原点的最短距离。参考答案：圆，(x-√2)²+(y-√2)²=8，最短距离为2√2-4解析：ρ=4sin(θ+π/4)展开得ρ=2√2sinθ+2√2cosθ，平方后转化为普通方程x²+y²=2√2x+2√2y，整理为(x-√2)²+(y-√2)²=8，圆心为(√2,√2)，半径为2√2，最短距离为2√2-4。3.参数方程x=1+2cosθ，y=3+2sinθ（θ为参数）表示的曲线是什么形状？请写出其普通方程，并求该曲线上的点到直线x-y-2=0的距离的最小值。参考答案：圆，(x-1)²+(y-3)²=4，最小距离为1解析：将参数方程化为普通方程(x-1)²+(y-3)²=4，圆心为(1,3)，半径为2，圆心到直线x-y-2=0的距离为|1-3-2|/√2=2√2，最小距离为2√2-2=1。4.极坐标方程ρ=2cosθ+3sinθ表示的曲线是什么形状？请写出其普通方程，并求该曲线上的点到直线3x-4y+5=0的距离的最大值。参考答案：圆，(x-3/5)²+(y+4/5)²=25/25，最大距离为√10+1解析：ρ=2cosθ+3sinθ可化为ρ²=2ρcosθ+3ρsinθ，转化为普通方程x²+y²=2x+3y，整理为(x-3/5)²+(y+4/5)²=1，圆心为(3/5,-4/5)，半径为1，圆心到直线3x-4y+5=0的距离为|3×3/5-4×(-4/5)+5|/√(3²+4²)=√10，最大距离为√10+1。5.参数方程x=t²-2t，y=t²+2t（t为参数）表示的曲线是什么形状？请写出其普通方程，并求该曲线上的点到原点的最短距离。参考答案：抛物线，y=x+4，最短距离为√2解析：由x=t²-2t得t=1±√(x+1)，代入y=t²+2t得y=(1±√(x+1))²+2(1±√(x+1))，整理为y=x+4，表示抛物线，最短距离为√2。6.极坐标方程ρ=1+2cosθ表示的曲线是什么形状？请写出其普通方程，并求该曲线上的点到直线x+y-1=0的距离的最小值。参考答案：圆，(x+1)²+y²=4，最小距离为1解析：ρ=1+2cosθ可化为ρ²=ρ+2ρcosθ，转化为普通方程x²+y²=x+2y，整理为(x+1)²+(y-1)²=4，圆心为(-1,1)，半径为2，圆心到直线x+y-1=0的距离为|-1+1-1|/√2=√2/2，最小距离为√2-1=1。7.参数方程x=2cosθ，y=3sinθ（θ为参数）表示的曲线是什么形状？请写出其普通方程，并求该曲线上的点到直线4x-3y+5=0的距离的最大值。参考答案：椭圆，x²/4+y²/9=1，最大距离为5+5√7解析：由x=2cosθ，y=3sinθ得x²/4+y²/9=1，表示椭圆，圆心到直线4x-3y+5=0的距离为|4×0-3×0+5|/√(4²+3²)=5/5=1，最大距离为5+5√7。8.极坐标方程ρ=3cos(θ+π/3)表示的曲线是什么形状？请写出其普通方程，并求该曲线上的点到直线x-y+1=0的距离的最小值。参考答案：圆，(x-3√3/4)²+(y-3/4)²=27/16，最小距离为√3-1解析：ρ=3cos(θ+π/3)展开得ρ=3/2cosθ-3√3/2sinθ，平方后转化为普通方程x²+y²=3/2x-3√3y，整理为(x-3√3/4)²+(y-3/4)²=27/16，圆心为(3√3/4,3/4)，半径为3/4，圆心到直线x-y+1=0的距离为|3√3/4-3/4+1|/√2=√3-1，最小距离为√3-1。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.A3.A4.B5.A6.B7.B8.D9.A10.A二、填空题1.2x+y-5=02.(x-3/2)²+(y+2)²=53.(x-1)²+(y+1)²=44.y²=4x2.y=x+46.x²=4y7.9x²-4y²=368.(x-3/5)²+(y+4/5)²=13.y=(x-1)tan²θ10.(x+1)²+y²=4三、判断题1.√2.√3.×4.√5.√6.×7.√8.√9.√10.×四、简答题1.5x+2y-22=0，表示直线解析：由x=3-2t得t=(3-x)/2，代入y=4+5t得y=4+5(3-x)/2，整理为5x+2y-22=0，表示直线。2.圆，(x-3√3/2)²+(y-3)²=27/4解析：ρ=6sin(θ-π/3)展开得ρ=3√3sinθ-3cosθ，平方后转化为普通方程x²+y²=3√3y-3x，整理为(x-3√3/2)²+(y-3)²=27/4。3.抛物线，y²=4x-4解析：由x=1+t²得t=±√(x-1)，代入y=2t得y=±2√(x-1)，表示抛物线。普通方程为y²=4x-4。4.圆，(x-2)²+(y+2)²=20解析：ρ=2cosθ+4sinθ可化为ρ²=2ρcosθ+4ρsinθ，转化为普通方程x²+y²=2x+4y，整理为(x-1)²+(y+2)²=5，即(x-2)²+(y+2)²=20。5.双曲线，x²-y²=4解析：由x=t+1/t，y=t-1/t得x²-y²=4，表示双曲线。6.抛物线，y²=4x解析：将ρ=1/(1+cosθ)变形为1+cosθ=1/ρ，平方后得1+2cosθ+cos²θ=1/ρ²，转化为普通方程y²=4x。7.椭圆，x²/4+y²/9=1解析：由x=2cosθ，y=3sinθ得x²/4+y²/9=1，表示椭圆。8.圆，(x-3√3/4)²+(y-3/4)²=27/16解析：ρ=3cos(θ+π/6)展开得ρ=3√3/2cosθ-3/2sinθ，平方后转化为普通方程x²+y²=3√3x-3y，整理为(x-3√3/4)²+(y-3/4)²=27/16。五、应用题1.最短距离为√5-5，最长距离为√5+5解析：将参数方程化为普通方程(x-2)²+(y-1)²=25，圆心为(2,1)，半径为5，圆心到原点的距离为√(2²+1²)=√5，点P到原点的最短距离为√5-5，最长距离为√5+5。2.圆，(x-√2)²+(y-√2)²=8，最短距离为2√2-4解析：ρ=4sin(θ+π/4)展开得ρ=2√2sinθ+2√2cosθ，平方后转化为普通方程x²+y²=2√2x+2√2y，整理为(x-√2)²