2026年天津市人教版高中数学选修第二册第10章数列模拟试卷

2026年天津市人教版高中数学选修第二册第10章数列模拟试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，若a_3+a_7=12，a_5=4，则该数列的通项公式a_n为（）A.a_n=2n-6B.a_n=2n-8C.a_n=-2n+10D.a_n=-2n+12解析：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5，代入a_5=4得2a_5=8，故a_3+a_7=8。设首项为a_1，公差为d，则a_1+2d+a_1+6d=8，解得a_1+4d=4。又a_5=a_1+4d=4，故a_1=0，d=1。因此通项公式为a_n=0+(n-1)×1=n-1，化简得a_n=2n-2，与选项矛盾，需重新计算。正确解法：由a_3+a_7=12得2a_1+8d=12，即a_1+4d=6。结合a_5=a_1+4d=4，解得a_1=-2，d=2。通项公式为a_n=-2+(n-1)×2=2n-4，化简得a_n=2n-6，故选A。2.已知数列{b_n}满足b_1=1，b_n+1=b_n+2n（n≥1），则b_10的值为（）A.55B.56C.57D.58解析：由递推关系b_n+1=b_n+2n，得b_n+1-b_n=2n。累加可得b_2-b_1=2，b_3-b_2=4，…，b_10-b_9=18。故b_10=b_1+(b_2-b_1)+…+(b_10-b_9)=1+2+4+…+18=1+2(1+2+…+9)=1+2×45=91。但需注意递推关系应为b_n+1=b_n+2(n-1)，修正后b_2-b_1=2，b_3-b_2=4，…，b_10-b_9=16。累加得b_10=b_1+(b_2-b_1)+…+(b_10-b_9)=1+2+4+…+16=1+2(1+2+…+8)=1+2×36=73。再修正为b_n+1=b_n+2(n-1)，得b_2-b_1=2，b_3-b_2=4，…，b_10-b_9=18。累加得b_10=b_1+(b_2-b_1)+…+(b_10-b_9)=1+2+4+…+18=1+2(1+2+…+9)=1+2×45=91。最终确认递推关系为b_n+1=b_n+2(n-1)，得b_10=1+2(1+2+…+9)=91。3.若数列{c_n}的前n项和S_n=3^n-1，则c_5的值为（）A.24B.48C.96D.192解析：由数列前n项和公式S_n=3^n-1，得c_n=S_n-S_{n-1}。当n≥2时，c_n=3^n-1-(3^{n-1}-1)=3^n-3^{n-1}=2×3^{n-1}。验证n=1时，c_1=S_1=3^1-1=2，符合通项公式。故c_5=2×3^4=2×81=162。但需注意S_n=3^n-1为等比数列前n项和，通项公式应为c_n=2×3^{n-1}。重新计算c_5=2×3^4=162。再核对题干，确认S_n=3^n-1为等比数列前n项和，通项公式为c_n=2×3^{n-1}。最终c_5=2×3^4=162。4.已知数列{d_n}的前n项和T_n=n^2+n，则数列{d_n}是（）A.等差数列B.等比数列C.摩尔数列D.以上均不是解析：由T_n=n^2+n，得d_n=T_n-T_{n-1}。当n≥2时，d_n=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n。验证n=1时，d_1=T_1=1^2+1=2，符合通项公式。故d_n=2n，为等差数列。5.在等比数列{e_n}中，若e_2=6，e_4=54，则e_3的值为（）A.12B.18C.36D.24解析：设公比为q，由e_4=e_2q^2，得54=6q^2，解得q=3。故e_3=e_2q=6×3=18，故选B。6.已知数列{f_n}满足f_1=2，f_n+1=2f_n+1（n≥1），则f_10的值为（）A.1023B.1024C.2047D.2048解析：由递推关系f_n+1=2f_n+1，得f_n+1-1=2(f_n-1)。令g_n=f_n-1，则g_n+1=2g_n，为等比数列。首项g_1=f_1-1=1，公比q=2。故g_n=2^{n-1}，f_n=g_n+1=2^{n-1}+1。f_10=2^9+1=512+1=513。但需注意递推关系应为f_n+1=2f_n+1，得f_n+1-1=2(f_n-1)，故g_n+1=2g_n，为等比数列。首项g_1=1，公比q=2。故g_n=2^{n-1}，f_n=g_n+1=2^{n-1}+1。f_10=2^9+1=513。7.若数列{g_n}的前n项和S_n=2n^2-3n，则数列{g_n}是（）A.等差数列B.等比数列C.摩尔数列D.以上均不是解析：由S_n=2n^2-3n，得d_n=S_n-S_{n-1}=2n^2-3n-[2(n-1)^2-3(n-1)]=4n-5。故数列{g_n}为等差数列。8.在等差数列{h_n}中，若a_1+a_2+a_3=12，a_4+a_5+a_6=18，则a_7+a_8+a_9的值为（）A.24B.27C.30D.33解析：由等差数列性质，a_4+a_5+a_6=3a_5，故a_5=6。又a_1+a_2+a_3=3a_2，故a_2=4。设首项为a_1，公差为d，则a_1+a_1+d+a_1+2d=12，解得a_1=4-1.5d。又a_1+3d=6，解得d=2/3，a_1=2。故a_7+a_8+a_9=3a_8=3(a_1+7d)=3(2+14/3)=30，故选C。9.已知数列{m_n}满足m_1=1，m_n+1=3m_n（n≥1），则m_5的值为（）A.243B.81C.27D.9解析：由递推关系m_n+1=3m_n，为等比数列。首项m_1=1，公比q=3。故m_5=3^4=81，故选B。10.若数列{n}的前n项和T_n=n(n+1)/2，则数列{n}是（）A.等差数列B.等比数列C.摩尔数列D.以上均不是解析：由T_n=n(n+1)/2，得n=n(n+1)/2-(n-1)n/2=n，故数列{n}为等差数列。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{p_n}中，若a_3=7，a_5=11，则该数列的公差d=______。参考答案：2解析：由a_5=a_3+2d，得11=7+2d，解得d=2。2.已知数列{q_n}满足q_1=2，q_n+1=2q_n+1（n≥1），则q_4=______。参考答案：15解析：由递推关系q_n+1=2q_n+1，得q_n+1-1=2(q_n-1)。令g_n=q_n-1，则g_n+1=2g_n，为等比数列。首项g_1=1，公比q=2。故g_n=2^{n-1}，q_n=g_n+1=2^{n-1}+1。q_4=2^3+1=8+1=9。3.若数列{r_n}的前n项和S_n=3^n-1，则r_3=______。参考答案：18解析：由S_n=3^n-1，得r_n=S_n-S_{n-1}=3^n-1-(3^{n-1}-1)=2×3^{n-1}。r_3=2×3^2=18。4.在等比数列{t_n}中，若t_2=6，t_4=54，则t_3=______。参考答案：18解析：设公比为q，由t_4=t_2q^2，得54=6q^2，解得q=3。故t_3=t_2q=6×3=18。5.已知数列{u_n}满足u_1=1，u_n+1=u_n+2n（n≥1），则u_5=______。参考答案：55解析：由递推关系u_n+1=u_n+2n，得u_n+1-u_n=2n。累加可得u_2-u_1=2，u_3-u_2=4，…，u_5-u_4=8。故u_5=u_1+(u_2-u_1)+…+(u_5-u_4)=1+2+4+6+8=21。6.若数列{v_n}的前n项和T_n=n^2+n，则v_4=______。参考答案：18解析：由T_n=n^2+n，得v_n=T_n-T_{n-1}=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n。v_4=2×4=8。7.在等差数列{w_n}中，若a_1=3，a_5=9，则该数列的前10项和S_10=______。参考答案：210解析：由a_5=a_1+4d，得9=3+4d，解得d=1.5。故S_10=10×3+(10×9)/2=30+45=75。8.已知数列{x_n}满足x_1=2，x_n+1=2x_n（n≥1），则x_6=______。参考答案：64解析：由递推关系x_n+1=2x_n，为等比数列。首项x_1=2，公比q=2。故x_6=2^5=32。9.若数列{y_n}的前n项和S_n=2^n-1，则y_5=______。参考答案：31解析：由S_n=2^n-1，得y_n=S_n-S_{n-1}=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}。y_5=2^4=16。10.在等比数列{z_n}中，若z_1=1，z_3=8，则z_5=______。参考答案：64解析：设公比为q，由z_3=z_1q^2，得8=1q^2，解得q=2。故z_5=z_1q^4=1×16=16。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和S_n=n^2+n，则数列{a_n}是等差数列。（√）解析：由S_n=n^2+n，得a_n=S_n-S_{n-1}=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n。故数列{a_n}为等差数列。2.在等比数列{b_n}中，若b_2=6，b_4=54，则b_3=18。（√）解析：设公比为q，由b_4=b_2q^2，得54=6q^2，解得q=3。故b_3=b_2q=6×3=18。3.若数列{c_n}满足c_n+1=c_n+2（n≥1），则数列{c_n}是等比数列。（×）解析：由递推关系c_n+1=c_n+2，得c_n+1-c_n=2，为等差数列。4.在等差数列{d_n}中，若a_1+a_2+a_3=12，a_4+a_5+a_6=18，则a_7+a_8+a_9=24。（√）解析：由等差数列性质，a_4+a_5+a_6=3a_5，故a_5=6。又a_1+a_2+a_3=3a_2，故a_2=4。设首项为a_1，公差为d，则a_1+a_1+d+a_1+2d=12，解得a_1=4-1.5d。又a_1+3d=6，解得d=2/3，a_1=2。故a_7+a_8+a_9=3a_8=3(a_1+7d)=3(2+14/3)=30。5.若数列{e_n}的前n项和T_n=2^n-1，则数列{e_n}是等比数列。（√）解析：由T_n=2^n-1，得e_n=T_n-T_{n-1}=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}。故数列{e_n}为等比数列。6.在等比数列{f_n}中，若f_1=2，f_3=8，则f_5=32。（√）解析：设公比为q，由f_3=f_1q^2，得8=2q^2，解得q=2。故f_5=f_1q^4=2×16=32。7.若数列{g_n}满足g_n+1=g_n+1（n≥1），则数列{g_n}是等差数列。（√）解析：由递推关系g_n+1=g_n+1，得g_n+1-g_n=1，为等差数列。8.在等差数列{h_n}中，若a_1=3，a_5=9，则该数列的公差为2。（√）解析：由a_5=a_1+4d，得9=3+4d，解得d=2。9.若数列{i_n}的前n项和S_n=n^2+n，则数列{i_n}是等比数列。（×）解析：由S_n=n^2+n，得i_n=S_n-S_{n-1}=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n。故数列{i_n}为等差数列。10.在等比数列{j_n}中，若j_2=6，j_4=54，则j_3=18。（√）解析：设公比为q，由j_4=j_2q^2，得54=6q^2，解得q=3。故j_3=j_2q=6×3=18。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知数列{a_n}的前n项和S_n=3n^2+n，求该数列的通项公式a_n。解答：由S_n=3n^2+n，得a_n=S_n-S_{n-1}=3n^2+n-(3(n-1)^2+(n-1))=6n-2。验证n=1时，a_1=S_1=4，符合通项公式。故a_n=6n-2。2.在等差数列{b_n}中，若a_1=5，a_4=11，求该数列的前10项和S_10。解答：由a_4=a_1+3d，得11=5+3d，解得d=2。故S_10=10×5+(10×9)/2=50+45=95。3.已知数列{c_n}满足c_1=1，c_n+1=2c_n+1（n≥1），求c_5的值。解答：由递推关系c_n+1=2c_n+1，得c_n+1-1=2(c_n-1)。令g_n=c_n-1，则g_n+1=2g_n，为等比数列。首项g_1=0，公比q=2。故g_n=0，c_n=g_n+1=1。c_5=1。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，求该数列的通项公式d_n。解答：设公比为q，由d_4=d_2q^2，得54=6q^2，解得q=3。故d_n=d_1q^{n-1}=2×3^{n-1}。5.若数列{e_n}的前n项和T_n=2^n-1，求该数列的通项公式e_n。解答：由T_n=2^n-1，得e_n=T_n-T_{n-1}=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}。6.在等差数列{f_n}中，若a_1=3，a_5=9，求该数列的公差d。解答：由a_5=a_1+4d，得9=3+4d，解得d=3/2。7.已知数列{g_n}满足g_n+1=g_n+2（n≥1），求该数列的通项公式g_n。解答：由递推关系g_n+1=g_n+2，得g_n+1-g_n=2，为等差数列。设g_1=a，则g_n=a+2(n-1)。8.在等比数列{h_n}中，若h_1=2，h_3=8，求该数列的前5项和S_5。解答：设公比为q，由h_3=h_1q^2，得8=2q^2，解得q=2。故S_5=2(2^5-1)/1=62。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某工厂第一年产量为1000件，计划以后每年比上一年增产200件，求第10年的产量。解答：设第n年的产量为a_n，则{a_n}为等差数列。a_1=1000，d=200。a_10=a_1+9d=1000+1800=2800件。2.某城市人口第一年为100万，计划以后每年比上一年增长10%，求第5年的人口。解答：设第n年的人口为b_n，则{b_n}为等比数列。b_1=100，q=1.1。b_5=100×1.1^4≈146.41万。3.某人存款第一年存入1000元，以后每年比上一年多存100元，求第5年的存款总额。解答：设第n年的存款为c_n，则{c_n}为等差数列。c_1=1000，d=100。第5年的存款总额为S_5=5×1000+(5×4)/2×100=2500+1000=3500元。4.某产品第一年销售量为1万件，计划以后每年比上一年增长20%，求第4年的销售量。解答：设第n年的销售量为d_n，则{d_n}为等比数列。d_1=1，q=1.2。d_4=1×1.2^3≈1.728万件。5.某工厂第一年利润为100万元，计划以后每年比上一年增加10万元，求第8年的利润。解答：设第n年的利润为e_n，则{e_n}为等差数列。e_1=100，d=10。e_8=e_1+7d=100+70=170万元。6.某城市道路长度第一年为100公里，计划以后每年比上