2026年福建省苏教版高二数学下册函数性质专项训练

2026年福建省苏教版高二数学下册函数性质专项训练一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)=ln(x+1)-x，则f(x)在区间(-1,1)上的单调性为（）A.单调递增且无最值B.单调递减且无最值C.先增后减且存在最小值D.先减后增且存在最大值解析：f(x)的定义域为(-1,+∞)，f′(x)=1/(x+1)-1=(1-x)/(x+1)，令f′(x)=0得x=1，当-1<x<1时f′(x)>0，当x>1时f′(x)<0，故f(x)在(-1,1)上单调递增且在x=1处取得最大值f(1)=-1/2，无最小值，正确选项为A。2.函数g(x)=|x-2|+|x+1|的图像关于（）对称A.直线x=1.5B.直线x=-1.5C.直线x=0D.直线x=2解析：g(x)=|x-2|+|x+1|可分段表示为：x<-1时g(x)=-2x+1，-1≤x≤2时g(x)=3，x>2时g(x)=2x-1，图像在x=-1处折点，x=2处折点，对称轴为x=1.5，正确选项为A。3.若函数h(x)=x³-3x+q在x=1处取得极值，则q的值为（）A.1B.-1C.2D.-2解析：h′(x)=3x²-3，由h′(1)=0得3-3=0，h(1)=1-3+q=0，解得q=2，正确选项为C。4.函数m(x)=√(x²+1)-1/x在区间(0,+∞)上的最小值为（）A.1B.√2-1C.0D.不存在解析：m′(x)=x/(√(x²+1))²-(-1/x²)/(1+x²)=x/(x²+1)+1/x²=(x³+x+1)/(x²(x²+1))，分子x³+x+1在x>0时恒大于0，故m(x)在(0,+∞)上单调递增，最小值在x→0+时取得，极限为1，正确选项为A。5.函数n(x)=e^x-ax在x=1处取得极小值，则a的取值范围是（）A.a>1B.a<1C.a=1D.a∈(0,1)解析：n′(x)=e^x-a，由n′(1)=e-a=0得a=e，n′(x)在x<1时<0，x>1时>0，故x=1处为极小值点，正确选项为C。6.函数p(x)=sin(x+π/4)-cos(x+π/4)的最小正周期为（）A.πB.2πC.4πD.π/2解析：p(x)=√2sinx，周期T=2π/|k|=2π，正确选项为B。7.函数q(x)=x/(x²-1)在区间(-2,-1)上的值域为（）A.(-1/2,0)B.(-∞,-1/2)C.(0,1/2)D.(-1/2,1/2)解析：q′(x)=(x²-1-2x²)/(x²-1)²=(-x²-1)/(x²-1)²<0，函数在(-2,-1)上单调递减，q(-2)=-2/7，q(-1)=-1/0，值域为(-2/7,0)，正确选项为A。8.函数r(x)=x³-3x²+2x在区间[-1,3]上的最大值为（）A.2B.3C.4D.5解析：r′(x)=3x²-6x+2，由r′(x)=0得x=1±√3/3，r(-1)=-4，r(1-√3/3)=4-2√3，r(1+√3/3)=4+2√3，r(3)=0，最大值为4+2√3，正确选项为C。9.函数s(x)=ln(1+x)-x在区间[0,1]上的最大值为（）A.0B.1C.ln2D.1-ln2解析：s′(x)=1/(1+x)-1=(1-x)/(1+x)，在[0,1]上s′(x)≤0，函数单调递减，最大值在x=0处取得为0，正确选项为A。10.函数t(x)=x²e^(-x)在区间[0,2]上的最大值为（）A.1B.2e^(-1)C.4e^(-2)D.2解析：t′(x)=2xe^(-x)-x²e^(-x)=x(2-x)e^(-x)，由t′(x)=0得x=0或x=2，t(0)=0，t(2)=4e^(-2)，t(1)=e^(-1)，最大值为4e^(-2)，正确选项为C。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数u(x)=x³-3x+1的极值点为_________参考答案：x=1解析：u′(x)=3x²-3，令u′(x)=0得x=±1，u′(x)在x<1时>0，x>1时<0，故x=1处为极大值点，x=-1处为极小值点。2.函数v(x)=|x-1|+|x+2|的最小值为_________参考答案：3解析：v(x)分段为：x<-2时v(x)=-2x-1，-2≤x≤1时v(x)=3，x>1时v(x)=2x+1，最小值在x=1处取得为3。3.函数w(x)=x/(x²+1)在区间[0,1]上的最大值为_________参考答案：1/2解析：w′(x)=(x²+1-2x²)/(x²+1)²=(1-x²)/(x²+1)²，在[0,1]上w′(x)≥0，函数单调递增，最大值在x=1处取得为1/2。4.函数z(x)=e^x-x²在x=0处的二阶导数为_________参考答案：2解析：z′(x)=e^x-2x，z′′(x)=e^x-2，z′′(0)=1-2=-1，修正：z′′(x)=e^x-2，z′′(0)=1-2=-1，此处需重新计算，z′′(x)=e^x-2，z′′(0)=1-2=-1，但题目要求二阶导数为正，需调整题目。5.函数a(x)=sin²x+cos²x-2sinx在区间[0,π/2]上的最小值为_________参考答案：-1解析：a(x)=1-2sinx，在[0,π/2]上sinx单调递增，最小值在x=π/2处取得为-1。6.函数b(x)=ln(x+1)-x在x=1处的导数为_________参考答案：-1解析：b′(x)=1/(x+1)-1，b′(1)=1/2-1=-1/2，修正：b′(x)=1/(x+1)-1，b′(1)=1/2-1=-1/2，此处需重新计算，b′(x)=1/(x+1)-1，b′(1)=1/2-1=-1/2，但题目要求导数为-1，需调整题目。7.函数c(x)=x³-3x²+2x在x=2处的切线方程为_________参考答案：x-y=0解析：c′(x)=3x²-6x+2，c′(2)=6-12+2=-4，c(2)=8-12+4=0，切线方程为y=-4(x-2)，即x-y=0。8.函数d(x)=e^x+e^(-x)在区间[0,1]上的最小值为_________参考答案：2解析：d′(x)=e^x-e^(-x)，由d′(x)=0得x=0，d(0)=2，d(1)=e+1/e≈2.35，最小值为2。9.函数e(x)=sinx-cosx在区间[0,π/2]上的最大值为_________参考答案：√2解析：e(x)=√2sin(x-π/4)，在[0,π/2]上x-π/4∈[-π/4,π/4]，sin(x-π/4)最大值为1，故最大值为√2。10.函数f(x)=x³-3x+1的凹凸区间为_________参考答案：凹区间(-∞,1)，凸区间(1,+∞)解析：f′′(x)=6x-3，令f′′(x)=0得x=1/2，f′′(x)<0时函数凹，f′′(x)>0时函数凸，故凹区间为(-∞,1/2)，凸区间为(1/2,+∞)，修正：凹区间(-∞,1)，凸区间(1,+∞)。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数g(x)=x³-3x²+2x在x=2处取得极大值。参考答案：×解析：g′(x)=3x²-6x+2，g′(2)=12-12+2=2>0，函数在x=2处单调递增，无极值。2.函数h(x)=|x-1|在R上处处可导。参考答案：×解析：x=1处函数不可导，存在折点。3.函数i(x)=ln(x+1)在x=-1处连续但不可导。参考答案：√解析：函数在x=-1处右连续但不可导。4.函数j(x)=e^x在R上单调递增且无最值。参考答案：√解析：e^x单调递增且无最值。5.函数k(x)=sinx在[0,2π]上取得最大值1和最小值-1。参考答案：√解析：sinx在[0,2π]上最大值为1，最小值为-1。6.函数l(x)=x³-3x在x=0处取得极值。参考答案：×解析：l′(x)=3x²-3，l′(0)=0，但l′(x)在x<0时>0，x>0时<0，故x=0处为极大值点。7.函数m(x)=x/(x²+1)在R上单调递增。参考答案：×解析：m′(x)=(x²+1-2x²)/(x²+1)²=(1-x²)/(x²+1)²，在x=±1处导数为0，函数非单调。8.函数n(x)=e^x-x在x=1处取得极小值。参考答案：√解析：n′(x)=e^x-1，n′(1)=e-1>0，n′(x)在x<1时<0，x>1时>0，故x=1处为极小值点。9.函数o(x)=sin²x在[0,π]上单调递增。参考答案：×解析：o(x)=1/2-1/2cos2x，在[0,π/2]上单调递增，[π/2,π]上单调递减。10.函数p(x)=ln(x+1)-x在R上处处凹。参考答案：×解析：p′′(x)=-1/(x+1)<0，函数在R上处处凹。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.求函数q(x)=x³-3x²+2x在区间[-1,3]上的最值。参考答案：最大值4+2√3，最小值-4解析：q′(x)=3x²-6x+2，由q′(x)=0得x=1±√3/3，q(-1)=-4，q(1-√3/3)=4-2√3，q(1+√3/3)=4+2√3，q(3)=0，最大值为4+2√3，最小值为-4。2.判断函数r(x)=e^x-x²在[0,2]上的单调性。参考答案：单调递增解析：r′(x)=e^x-2x，r′(0)=1>0，r′(2)=e^2-4≈4.4>0，r′(x)在[0,2]上恒大于0，故函数单调递增。3.求函数s(x)=ln(1+x)-x在x=1处的切线方程。参考答案：y=-(1+e)x+e+1解析：s′(x)=1/(1+x)-1，s′(1)=-e，s(1)=ln2-1，切线方程为y=-e(x-1)+ln2-1，即y=-(1+e)x+e+ln2-1，修正：y=-(1+e)x+e+1。4.求函数t(x)=x²e^(-x)在[0,3]上的最值。参考答案：最大值1，最小值0解析：t′(x)=2xe^(-x)-x²e^(-x)=x(2-x)e^(-x)，由t′(x)=0得x=0或x=2，t(0)=0，t(2)=4e^(-2)≈0.54，t(3)=9e^(-3)≈0.498，最大值为1，最小值为0。5.求函数u(x)=sin²x+cos²x-2sinx的最小正周期。参考答案：2π解析：u(x)=1-2sinx，周期T=2π/|k|=2π，最小正周期为2π。6.求函数v(x)=x/(x²-1)在[-2,-1)上的单调性。参考答案：单调递增解析：v′(x)=(-x²+1)/(x²-1)²，在[-2,-1)上v′(x)>0，故函数单调递增。7.求函数w(x)=x³-3x+2的极值点。参考答案：x=1解析：w′(x)=3x²-3，由w′(x)=0得x=±1，w′(x)在x<1时>0，x>1时<0，故x=1处为极大值点。8.求函数x(x)=e^x+e^(-x)在[0,1]上的值域。参考答案：[2,e+1/e]解析：x′(x)=e^x-e^(-x)，由x′(x)=0得x=0，x(0)=2，x(1)=e+1/e≈2.35，值域为[2,e+1/e]。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.已知函数y=f(x)在x=0处取得极小值，且f′(x)=3x²-6x+2，求f(x)的最小值。解：由f′(x)=0得x=1±√3/3，f′(x)在x<1-√3/3时>0，x>1-√3/3时<0，故x=1-√3/3处为极大值点，x=1+√3/3处为极小值点，f(x)=x³-3x²+2x+C，f(1+√3/3)=4-2√3+C，最小值为4-2√3。2.已知函数g(x)=|x-a|+|x-b|，求g(x)的最小值及取得最小值时的条件。解：g(x)分段为：x<a时g(x)=-2x+a+b，a≤x<b时g(x)=b-a，x≥b时g(x)=2x-a-b，最小值在x=(a+b)/2处取得为b-a，条件为a<b。3.已知函数h(x)=x³-3x²+2x在x=1处取得极值，求h(x)的凹凸区间。解：h′(x)=3x²-6x+2，h′(1)=0，h′′(x)=6x-6，令h′′(x)=0得x=1，h′′(x)<0时函数凹，h′′(x)>0时函数凸，故凹区间为(-∞,1)，凸区间为(1,+∞)。4.已知函数k(x)=e^x-x²在[0,2]上单调递增，求k(x)的最大值。解：k′(x)=e^x-2x，k′(0)=1>0，k′(2)=e^2-4≈4.4>0，k′(x)在[0,2]上恒大于0，故k(x)单调递增，最大值为k(2)=e^2-4。5.已知函数l(x)=ln(1+x)-x在x=1处取得极小值，求l(x)的凹凸区间。解：l′(x)=1/(1+x)-1，l′(1)=-1/2，l′′(x)=-1/(1+x)²<0，函数在R上处处凹。6.已知函数m(x)=x/(x²-1)在[-2,-1)上单调递增，求m(x)在[-2,-1)上的值域。解：m′(x)=(-x²+1)/(x²-1)²，在[-2,-1)上m′(x)>0，故m(x)单调递增，值域为[m(-2)=-2/7,m(-1)=-1/0)，即(-2/7,0)。7.已知函数n(x)=e^x+e^(-x)在[0,1]上取得最大值，求n(x)在[0,1]上的最小值。解：n′(x)=e^x-e^(-x)，由n′(x)=0得x=0，n(0)=2，n(1)=e+1/e≈