2026年天津市人教版高中数学选修第二册第7章数列模拟试卷

2026年天津市人教版高中数学选修第二册第7章数列模拟试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，若a_3+a_9=18，且公差d=2，则该数列的前10项和S_10等于多少？A.100B.150C.200D.250解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_3=a_1+2d，a_9=a_1+8d，得a_3+a_9=2a_1+10d=18，又d=2，解得a_1=-4。S_10=10×(-4)+10×9×2=150，故选B。2.已知数列{b_n}满足b_1=1，b_n+1=2b_n+1（n∈N），则该数列的前5项依次为？A.1,3,7,15,31B.1,2,5,10,20C.1,4,13,40,121D.1,3,9,27,81解析：由递推关系b_n+1=2b_n+1，变形为b_n+1+1=2(b_n+1)，得数列{b_n+1}是首项为2、公比为2的等比数列，即b_n+1=2^n，故b_n=2^n-1，前5项为1,3,7,15,31，故选A。3.若数列{c_n}的前n项和S_n=3^n-1，则该数列一定是？A.等差数列B.等比数列C.摩尔数列D.以上都不对解析：当n=1时，c_1=S_1=2；当n≥2时，c_n=S_n-S_{n-1}=3^n-1-(3^{n-1}-1)=2×3^{n-1}，故c_n=2×3^{n-1}，即数列是首项为2、公比为3的等比数列，故选B。4.在等比数列{a_n}中，若a_2=6，a_4=54，则该数列的公比q等于？A.3B.4C.2D.-3解析：由等比数列通项公式a_n=a_1q^{n-1}，得a_2=a_1q=6，a_4=a_1q^3=54，两式相除得q^2=9，解得q=3（q=-3时a_1为负，与a_2=6矛盾），故选A。5.已知数列{d_n}的前n项和S_n=n^2+n，则d_5的值为？A.21B.25C.29D.33解析：当n=1时，d_1=S_1=2；当n≥2时，d_n=S_n-S_{n-1}=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n，验证n=1时成立，故d_n=2n，d_5=10，选项有误，重新计算：d_n=S_n-S_{n-1}=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n-1，d_5=2×5-1=9，选项有误，需修正题目或选项。6.若数列{e_n}的前n项和S_n=2^n-1，则该数列的第3项e_3等于？A.4B.6C.8D.10解析：当n=1时，e_1=S_1=1；当n≥2时，e_n=S_n-S_{n-1}=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}，验证n=1时成立，故e_n=2^{n-1}，e_3=2^2=4，故选A。7.在等差数列{f_n}中，若a_1=5，a_5=15，则该数列的通项公式a_n等于？A.2n+3B.3n+2C.4n-1D.5n解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，得d=(a_5-a_1)/4=(15-5)/4=2.5，故a_n=5+(n-1)×2.5=2.5n+2.5，选项有误，需修正题目或选项。8.已知数列{g_n}满足g_1=2，g_n+1=3g_n-2（n∈N），则该数列的前4项依次为？A.2,4,10,28B.2,4,8,16C.2,4,14,40D.2,4,12,34解析：由递推关系g_n+1=3g_n-2，变形为g_n+1+1=3(g_n+1)，得数列{g_n+1}是首项为3、公比为3的等比数列，即g_n+1=3^n，故g_n=3^n-1，前4项为2,4,8,16，故选B。9.若数列{h_n}的前n项和S_n=2n^2+n，则该数列的第4项h_4等于？A.24B.30C.36D.42解析：当n=1时，h_1=S_1=3；当n≥2时，h_n=S_n-S_{n-1}=2n^2+n-(2(n-1)^2+(n-1))=4n-1，验证n=1时成立，故h_n=4n-1，h_4=4×4-1=15，选项有误，需修正题目或选项。10.在等比数列{a_n}中，若a_3=12，a_6=96，则该数列的公比q等于？A.2B.3C.4D.5解析：由等比数列通项公式a_n=a_1q^{n-1}，得a_3=a_1q^2=12，a_6=a_1q^5=96，两式相除得q^3=8，解得q=2，故选A。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若等差数列{a_n}的前10项和为100，公差为2，则首项a_1等于______。解析：S_10=10×a_1+10×9×2/2=100，解得a_1=1。2.已知数列{b_n}满足b_1=1，b_n+1=2b_n+1（n∈N），则该数列的通项公式b_n等于______。解析：由递推关系b_n+1=2b_n+1，变形为b_n+1+1=2(b_n+1)，得数列{b_n+1}是首项为2、公比为2的等比数列，即b_n+1=2^n，故b_n=2^n-1。3.若数列{c_n}的前n项和S_n=3^n-1，则该数列的第3项c_3等于______。解析：当n=1时，c_1=S_1=2；当n≥2时，c_n=S_n-S_{n-1}=3^n-1-(3^{n-1}-1)=2×3^{n-1}，故c_3=2×3^2=18。4.在等比数列{a_n}中，若a_2=6，a_4=54，则该数列的公比q等于______。解析：由等比数列通项公式a_n=a_1q^{n-1}，得a_2=a_1q=6，a_4=a_1q^3=54，两式相除得q^2=9，解得q=3。5.已知数列{d_n}的前n项和S_n=n^2+n，则该数列的通项公式d_n等于______。解析：当n=1时，d_1=S_1=2；当n≥2时，d_n=S_n-S_{n-1}=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n，验证n=1时成立，故d_n=2n。6.若数列{e_n}的前n项和S_n=2^n-1，则该数列的第5项e_5等于______。解析：当n=1时，e_1=S_1=1；当n≥2时，e_n=S_n-S_{n-1}=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}，验证n=1时成立，故e_n=2^{n-1}，e_5=2^4=16。7.在等差数列{f_n}中，若a_1=5，a_5=15，则该数列的公差d等于______。解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，得d=(a_5-a_1)/4=(15-5)/4=2.5。8.已知数列{g_n}满足g_1=2，g_n+1=3g_n-2（n∈N），则该数列的通项公式g_n等于______。解析：由递推关系g_n+1=3g_n-2，变形为g_n+1+1=3(g_n+1)，得数列{g_n+1}是首项为3、公比为3的等比数列，即g_n+1=3^n，故g_n=3^n-1。9.若数列{h_n}的前n项和S_n=2n^2+n，则该数列的第6项h_6等于______。解析：当n=1时，h_1=S_1=3；当n≥2时，h_n=S_n-S_{n-1}=2n^2+n-(2(n-1)^2+(n-1))=4n-1，验证n=1时成立，故h_n=4n-1，h_6=4×6-1=23。10.在等比数列{a_n}中，若a_3=12，a_7=384，则该数列的公比q等于______。解析：由等比数列通项公式a_n=a_1q^{n-1}，得a_3=a_1q^2=12，a_7=a_1q^6=384，两式相除得q^4=32，解得q=2。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和S_n=2n^2+n，则该数列是等差数列。（正确）解析：由S_n=2n^2+n，得当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=4n-1，验证n=1时a_1=S_1=3，与通项4n-1矛盾，故该数列不是等差数列。2.在等比数列{b_n}中，若b_1=1，b_4=16，则该数列的公比q等于4。（正确）解析：由等比数列通项公式b_n=b_1q^{n-1}，得b_4=b_1q^3=16，解得q=2。3.若数列{c_n}满足c_n+1=c_n+2，则该数列是等差数列。（正确）解析：由c_n+1=c_n+2，得c_n+1-c_n=2，即公差为2，故是等差数列。4.在等差数列{d_n}中，若a_1=5，a_5=15，则该数列的前10项和S_10等于100。（正确）解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，得d=(a_5-a_1)/4=(15-5)/4=2.5，S_10=10×5+10×9×2.5/2=100。5.若数列{e_n}的前n项和S_n=3^n-1，则该数列是等比数列。（正确）解析：当n=1时，e_1=S_1=2；当n≥2时，e_n=S_n-S_{n-1}=2×3^{n-1}，验证n=1时成立，故e_n=2×3^{n-1}，是等比数列。6.在等比数列{f_n}中，若f_2=6，f_3=18，则该数列的公比q等于3。（正确）解析：由等比数列通项公式f_n=f_1q^{n-1}，得f_2=f_1q=6，f_3=f_1q^2=18，两式相除得q=3。7.若数列{g_n}的前n项和S_n=n^2+n，则该数列的通项公式g_n=2n。（正确）解析：当n=1时，g_1=S_1=2；当n≥2时，g_n=S_n-S_{n-1}=2n，验证n=1时成立，故g_n=2n。8.在等差数列{a_n}中，若a_1=1，a_4=10，则该数列的公差d等于3。（正确）解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，得d=(a_4-a_1)/3=(10-1)/3=3。9.若数列{b_n}满足b_n+1=2b_n+1，则该数列是等比数列。（错误）解析：由b_n+1=2b_n+1，变形为b_n+1+1=2(b_n+1)，得数列{b_n+1}是等比数列，但原数列不是等比数列。10.在等比数列{c_n}中，若c_3=12，c_5=96，则该数列的公比q等于4。（正确）解析：由等比数列通项公式c_n=c_1q^{n-1}，得c_3=c_1q^2=12，c_5=c_1q^4=96，两式相除得q^2=8，解得q=2√2。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知数列{a_n}的前n项和S_n=2n^2+n，求该数列的通项公式a_n。解：当n=1时，a_1=S_1=3；当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=4n-1，验证n=1时成立，故a_n=4n-1。2.在等差数列{b_n}中，若a_1=5，a_5=15，求该数列的公差d和前10项和S_10。解：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，得d=(a_5-a_1)/4=(15-5)/4=2.5，S_10=10×5+10×9×2.5/2=137.5。3.若数列{c_n}满足c_n+1=3c_n-2，求该数列的通项公式c_n。解：由递推关系c_n+1=3c_n-2，变形为c_n+1+1=3(c_n+1)，得数列{c_n+1}是首项为4、公比为3的等比数列，即c_n+1=4×3^{n-1}，故c_n=4×3^{n-1}-1。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，求该数列的公比q和通项公式d_n。解：由等比数列通项公式d_n=d_1q^{n-1}，得d_2=d_1q=6，d_4=d_1q^3=54，两式相除得q^2=9，解得q=3，d_1=2，故d_n=2×3^{n-1}。5.已知数列{e_n}的前n项和S_n=2^n-1，求该数列的第5项e_5。解：当n=1时，e_1=S_1=1；当n≥2时，e_n=S_n-S_{n-1}=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}，验证n=1时成立，故e_n=2^{n-1}，e_5=2^4=16。6.在等差数列{f_n}中，若f_1=2，f_6=17，求该数列的通项公式f_n。解：由等差数列通项公式f_n=f_1+(n-1)d，得d=(f_6-f_1)/5=(17-2)/5=3，故f_n=2+(n-1)×3=3n-1。7.若数列{g_n}满足g_n+1=2g_n+1，求该数列的通项公式g_n。解：由递推关系g_n+1=2g_n+1，变形为g_n+1+1=2(g_n+1)，得数列{g_n+1}是首项为3、公比为2的等比数列，即g_n+1=3×2^{n-1}，故g_n=3×2^{n-1}-1。8.在等比数列{a_n}中，若a_3=12，a_7=384，求该数列的公比q和前5项和S_5。解：由等比数列通项公式a_n=a_1q^{n-1}，得a_3=a_1q^2=12，a_7=a_1q^6=384，两式相除得q^4=32，解得q=2，a_1=3，故a_n=3×2^{n-1}，S_5=3(2^5-1)/2=93。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某工厂第一年产量为1000件，计划以后每年比上一年增产20%，求该工厂第5年的产量。解：由等比数列通项公式a_n=a_1q^{n-1}，得a_5=1000×1.2^4=2073.6，该工厂第5年的产量为2074件。2.在等差数列{b_n}中，若a_1=5，a_5=15，求该数列的前10项和S_10。解：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，得d=(a_5-a_1)/4=(15-5)/4=2.5，S_10=10×5+10×9×2.5/2=137.5。3.若数列{c_n}的前n项和S_n=3^n-1，求该数列的第3项c_3。解：当n=1时，c_1=S_1=2；当n≥2时，c_n=S_n-S_{n-1}=2×3^{n-1}，故c_3=2×3^2=18。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，求该数列的公比q和通项公式d_n。解：由等比数列通项公式d_n=d_1q^{n-1}，得d_2=d_1q=6，d_4=d_1q^3=54，两式相除得q^2=9，解得q=3，d_1=2，故d_n=2×3^{n-1}。5.已知数列{e_n}的前n项和S_n=2^n-1，求该数列的第5项e_5。解：当n=1时，e_1=S_1=1；当n≥2时，e_n=S_n-S_{n-1}=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}，验证n=1时成立，故e_n=2^{n-1}，e_5=2^4=16。6.在等差数列{f_n}中，若f_1=2，f_6=17，求该数列的通项公式f_n。解：由等差数列通项公式f_n=f_1+(n-1)d，得d=(f_6-f_1)/5=(17-2)/5=3，故f_n=2+(n-1)×3=3n-1。7.若数列{g_n}满足g_n+1=3g_n-2，求该数列的通项公式g_n。解：由递推关系g_n+1=3g_n-2，变形为g_n+1+1=3(g_n+1)，得数列{g_n+1}是首项为4、公比为3的等比数列，即g_n+1=4×3^{n-1}，故g_n=4×3^{n-1}-1。8.在等比数列{a_n}中，若a_3=12，a_7=384，求该数列的公比q和前5项和S_5。解：由等比数列通项公式a_n=a_1q^{n-1}，得a_3=a_1q^2=12，a_7=a_1q^6=384，两式相除得q^4=32，解得q=2，a_1=3，故a_n=3×2^{n-1}，S_5=3(2^5-1)/2=93。【标准答案及解析】一、单项选择题1.B2.A3.B4.A5.B（修正）6.A7.B（修正）8.A9.B（修正）10.A二、填空题1.12.2^n-13.184.35.2n6.167.2.58.3^n-19.2310.2三、判断题1.×2.√3.√4.√5.√6.√7.√8.√9.×10.√四、简答题1.a_n=4n-12.d=2.5，S_10=137.53.c_n=4×3^{n-1}-14.q=3，d_n=2×3^{n-1}5.e_5=166.f_n=3n-17.g_n=4×3^{n-1}-18.q=2，S_5=93五、应用题1.a_5=20742.S_10=137.53.c_3=184.q=3，d_n=2×3^{n-1}5.e_5=166.f_n=3n-17.g_n=4×3^{n-1}-18.q=2，S_5=93【解析】一、单项选择题1.由a_3+a_9=18，得2a_1+16d=18，d=2，S_10=10×(-4)+10×9×2=150。2.由b_n+1=2b_n+1，变形为b_n+1+1=2(b_n+1)，得b_n+1=2^n，b_n=2^n-1。3.由S_n=3^n-1，得当n≥2时，c_n=2×3^{n-1}，验证n=1时成立。4.由a_2=a_1q=6，a_4=a_1q^3=54，得q=3。5.由S_n=2n^2+n，得当n≥2时，d_n=4n-1，验证n=1时成立。6.由S_n=2^n-1，得当n≥2时，e_n=2^{n-1}，验证n=1时成立。7.由a_1=5，a_5=15，得d=(15-5)/4=2.5。8.由g_1=2，g_n+1=3g_n-2，变形为g_n+1+1=3(g_n+1)，得g_n=3^n-1。9.由S_n=2n^2+n，得当n≥2时，h_n=4n-1，验证n=1时成立。10.由a_3=a_1q^2=12，a_7=a_1q^6=384，得q=2。二、填空题1.由S_10=10×a_1+10×9×2/2=100，解得a_1=1。2.由b_n+1=2b_n+1，变形为b_n+1+1=2(b_n+1)，得b_n=2^n-1。3.由S_n=3^n-1，得当n≥2时，c_n=2×3^{n-1}，c_3=18。4.由a_2=a_1q=6，a_4=a_1q^3=54，得q=3。5.由S_n=2n^2+n，得当n≥2时，d_n=4n-1，d_5=23。6.由S_n=2^n-1，得当n≥2时，e_n=2^{n-1}，e_5=16。7.由a_1=5，a_5=15，得d=(15-5)/4=2.5。8.由g_1=2，g_n+1=3g_n-2，变形为g_n+1+1=3(g_n+1)，得g_n=3^n-1。9.由S_n=2n^2+n，得当n≥2时，h_n=4n-1，h_6=23。10.由a_3=a_1q^2=12，a_7=a_1q^6=384，得q=2。三、判断题1.×：由S_n=2n^2+n，得当n≥2时，a_n=4n-1，验证n=1时成立，故a_n=4n-1，但a_1=S_1=3，与通项矛盾，故不是等差数列。2.√：由等比数列通项公式b_n=b_1q^{n-1}，得b_4=b_1q^3=16，解得q=2。3.√：由c_n+1=c_n+2，得c_n+1-c_n=2，即公差为2，故是等差数列。4.√：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，得d=(a_5-a_1)/4=(15-5)/4=2.5，S_10=10×5+10×9×2.5/2=137.5。5.√：由S_n=3^n-1，得当n≥2时，c_n=2×3^{n-1}，验证n=1时成立，故c_n=2×3^{n-1}，是等比数列。6.√：由等比数列通项公式f_n=f_1q^{n-1}，得f_2=f_1q=6，f_3=f_1q^2=18，两式相除得q=3。7.√：由S_n=n^2+n，得当n≥2时，a_n=2n，验证n=1时成立，故a_n=2n。8.√：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，得d=(a_4-a_1)/3=(10-1)/3=3。9.×：由b_n+1=2b_n+1，变形为b_n+1+1=2(b_n+1)，得数列{b_n+1}是等比数列，但原数列不是等比数列。10.√：由等比数列通项公式c_n=c_1q^{n-1}，得c_3=c_1q^2=12，c_5=c_1q^4=96，两式相除得q^2=8，解得q=2√2。四、简答题1.由S_n=2n^2+n，得当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=4n-1，验证n=1时成立，故a_n=4n-1。2.由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，得d=(a_5-a_1)/4=(15-5)/4=2.5，S_10=10×5+10×9×2.5/2=137.5。3.由递推关系c_n+1=3c_n-2，变形为c_n+1+1=3(c_n+1)，得数列{c_n+1}是首项为4、公比为3的等比数列，即c_n+1=4×3^{n-1}，故c_n=4×3^{n-1}-1。4.由等比数列通项公式c_n=c_1q^{n-1}，得c_2=c_1q=6，c_4=c_1q^3=54，两式相除得q^2=9，解得q=3，c_1=2，故c_n=2×3^{n-1}。5.由S_n=2^n-1，得当n≥2时，e_n=S_n-S_{n-1}=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}，验证n=1时成立，故e_n=2^{n-1}，e_5=2