2026年辽宁省人教版高二数学下册第3单元专项训练题库

2026年辽宁省人教版高二数学下册第3单元专项训练题库一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)（ω>0，|φ|<π/2）的图像在y轴上的对称点为(0，1)，且周期为π，则下列说法正确的是（）A．ω=1，φ=π/2B．ω=2，φ=π/4C．ω=1，φ=π/4D．ω=2，φ=π/2解析：由题意知函数图像在y轴上的对称点为(0，1)，即f(0)=1，代入f(x)=sin(ωx+φ)得sin(φ)=1，因为|φ|<π/2，所以φ=π/2。又周期为π，根据周期公式T=2π/ω，解得ω=2。故正确答案为D。2.若函数g(x)=cos(2x+θ)在区间[0，π/4]上是增函数，则θ的取值范围是（）A．2kπ-π/2≤θ≤2kπ，k∈ZB．2kπ≤θ≤2kπ+π/2，k∈ZC．2kπ-3π/2≤θ≤2kπ-π/2，k∈ZD．2kπ-π≤θ≤2kπ，k∈Z解析：cos(2x+θ)在[0，π/4]上为增函数，需满足其导数2cos(2x+θ)sin(2x+θ)≥0。在[0，π/4]内，2x∈[0，π/2]，所以2x+θ∈[θ，θ+π/2]。要使cos(2x+θ)在[θ，θ+π/2]上为增函数，需θ+π/2≤π，即θ≤π/2。又因为θ是cos函数的周期性变量，所以θ=2kπ-π/2，k∈Z。故正确答案为A。3.已知向量a=(sinα，cosα)，b=(cosα，sinα)，且|a+b|=√2，则α的值为（）A．kπ+π/4，k∈ZB．kπ-π/4，k∈ZC．kπ，k∈ZD．kπ+π/2，k∈Z解析：|a+b|=√2，即√((sinα+cosα)²+(cosα+sinα)²)=√2。化简得√(2+2sinαcosα)=√2，即1+sin2α=1，所以sin2α=0。解得2α=kπ，即α=kπ/2，k∈Z。故正确答案为D。4.函数h(x)=tan(3x-π/4)的图像关于直线x=π/4对称，则下列说法正确的是（）A．3x-π/4=kπ+π/2，k∈ZB．3x-π/4=kπ，k∈ZC．3x-π/4=kπ+π/4，k∈ZD．3x-π/4=kπ-π/4，k∈Z解析：tan函数图像关于x=π/4对称，需满足3x-π/4=kπ+π/2，即3x=kπ+3π/4。解得x=kπ/3+π/4，k∈Z。故正确答案为A。5.已知函数f(x)=sin(2x+φ)的图像向右平移π/4个单位后，得到函数g(x)=cos(2x)，则φ的值为（）A．π/4B．3π/4C．5π/4D．7π/4解析：f(x)向右平移π/4得g(x)=sin(2(x-π/4)+φ)=cos(2x)，即sin(2x-π/2+φ)=cos(2x)。根据sin函数与cos函数的关系，得2x-π/2+φ=2x+2kπ，即φ=π/2+2kπ，k∈Z。取k=0得φ=π/2。又因为题目要求g(x)=cos(2x)，所以φ=3π/4。故正确答案为B。6.已知函数p(x)=sin(ωx+φ)（ω>0，|φ|<π/2）的最小正周期为π，且在区间[0，π/2]上单调递减，则φ的取值范围是（）A．π/2<φ<3π/2B．0<φ<π/2C．π/4<φ<π/2D．π/2<φ<π解析：周期为π，所以ω=2。p(x)在[0，π/2]上单调递减，即2x+φ在[0，π/2]上单调递减。需满足2x+φ∈[π，2π]，即φ∈[π，2π]。又|φ|<π/2，所以φ=π。故正确答案为D。7.已知函数q(x)=cos(2x+θ)在区间[0，π/4]上是减函数，且其图像关于直线x=π/4对称，则θ的值为（）A．π/4B．3π/4C．5π/4D．7π/4解析：q(x)在[0，π/4]上减函数，需满足2x+θ∈[π，2π]。又图像关于x=π/4对称，即2(π/4)+θ=kπ+π/2，解得θ=kπ-π/2。取k=1得θ=3π/4。故正确答案为B。8.已知函数r(x)=tan(ωx+φ)（ω>0，|φ|<π/2）的图像在点(π/4，1)处切线的斜率为1，则φ的值为（）A．π/4B．π/8C．3π/8D．5π/8解析：r(x)在(π/4，1)处切线斜率为1，即ωcos(ωπ/4+φ)=1。又tan(ωπ/4+φ)=1，所以ωπ/4+φ=π/4+kπ，解得φ=π/8。故正确答案为B。9.已知函数s(x)=sin(2x+φ)的图像向左平移π/2个单位后，得到函数t(x)=cos(2x)，则φ的值为（）A．π/4B．3π/4C．5π/4D．7π/4解析：s(x)向左平移π/2得t(x)=sin(2(x+π/2)+φ)=cos(2x)，即sin(2x+π+φ)=cos(2x)。根据sin函数与cos函数的关系，得2x+π+φ=2x+2kπ，即φ=-π+2kπ，k∈Z。取k=1得φ=π。又因为题目要求t(x)=cos(2x)，所以φ=3π/4。故正确答案为B。10.已知函数u(x)=cos(ωx+φ)（ω>0，|φ|<π/2）的最小正周期为π，且在区间[0，π/2]上单调递增，则φ的取值范围是（）A．-π/2<φ<0B．0<φ<π/2C．π/4<φ<π/2D．π/2<φ<π解析：周期为π，所以ω=2。u(x)在[0，π/2]上单调递增，即2x+φ在[0，π/2]上单调递增。需满足2x+φ∈[0，π/2]，即φ∈[-π/2，0]。又|φ|<π/2，所以φ∈[-π/2，0]。故正确答案为A。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=sin(2x+π/3)的最小正周期为________。参考答案：π解析：周期公式T=2π/ω，ω=2，所以T=π。2.函数g(x)=cos(3x-π/4)在区间[0，π/2]上的最大值为________。参考答案：√2/2解析：3x-π/4∈[-π/4，5π/4]，cos函数在[-π/4，π/4]上为增函数，在[π/4，5π/4]上为减函数，所以最大值为cos(π/4)=√2/2。3.已知向量a=(cosα，sinα)，b=(sinα，-cosα)，则|a+b|的值为________。参考答案：√2解析：|a+b|=√((cosα+sinα)²+(sinα-cosα)²)=√(2+2sinαcosα)=√2。4.函数h(x)=tan(4x-π/6)的图像关于原点对称，则x的取值范围是________。参考答案：kπ/2-π/12，k∈Z解析：tan函数图像关于原点对称，需满足4x-π/6=kπ，解得x=kπ/4+π/24。5.函数p(x)=sin(2x+φ)的图像向右平移π/4个单位后，得到函数q(x)=cos(2x)，则φ的值为________。参考答案：3π/4解析：sin(2(x-π/4)+φ)=cos(2x)，即sin(2x-π/2+φ)=cos(2x)，所以φ=3π/4。6.函数r(x)=cos(3x+θ)在区间[0，π/2]上是增函数，则θ的取值范围是________。参考答案：2kπ-3π/2≤θ≤2kπ-π/2，k∈Z解析：3x+θ∈[θ，3π/2+θ]，cos函数在[2kπ，2kπ+π]上为减函数，在[2kπ+π，2kπ+2π]上为增函数，所以θ+π≤3π/2+θ，即θ≤π/2。又θ是周期性变量，所以θ=2kπ-3π/2，k∈Z。7.已知函数s(x)=tan(2x+φ)的图像关于直线x=π/4对称，则φ的值为________。参考答案：π/4解析：2x+φ=kπ+π/2，解得φ=kπ-π/2。取k=1得φ=π/4。8.函数t(x)=sin(4x+φ)的最小正周期为π/2，则φ的值为________。参考答案：π/4解析：周期公式T=2π/ω，T=π/2，所以ω=4。又sin函数周期为2π，所以φ=π/4。9.函数u(x)=cos(2x+φ)在区间[0，π/2]上是减函数，且其图像关于直线x=π/4对称，则φ的值为________。参考答案：3π/4解析：2x+φ∈[π，2π]，且2(π/4)+φ=kπ+π/2，解得φ=3π/4。10.已知函数v(x)=sin(3x+φ)的最小正周期为2π/3，且在区间[0，π/3]上单调递减，则φ的取值范围是________。参考答案：2kπ+π/2≤φ≤2kπ+2π/3，k∈Z解析：周期为2π/3，所以ω=3。3x+φ在[0，π/3]上单调递减，需满足3x+φ∈[π，4π/3]，即φ∈[π，π/3]。又φ是周期性变量，所以φ=2kπ+π/2，k∈Z。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=sin(2x+π/3)的图像关于直线x=π/4对称。（×）解析：sin函数图像关于x=π/4对称需满足2x+π/3=kπ+π/2，解得x=kπ/2-π/12，不恒成立，所以错误。2.函数g(x)=cos(3x-π/4)在区间[0，π/2]上是增函数。（×）解析：3x-π/4∈[-π/4，5π/4]，cos函数在[-π/4，π/4]上为增函数，在[π/4，5π/4]上为减函数，所以错误。3.已知向量a=(cosα，sinα)，b=(sinα，-cosα)，则|a-b|=√2。（√）解析：|a-b|=√((cosα-sinα)²+(sinα+cosα)²)=√(2-2cosαsinα)=√2。4.函数h(x)=tan(4x-π/6)的图像关于y轴对称。（×）解析：tan函数图像关于原点对称，不关于y轴对称，所以错误。5.函数p(x)=sin(2x+φ)的图像向右平移π/4个单位后，得到函数q(x)=cos(2x)，则φ=π/4。（×）解析：sin(2(x-π/4)+φ)=cos(2x)，即sin(2x-π/2+φ)=cos(2x)，所以φ=3π/4，不等于π/4，所以错误。6.函数r(x)=cos(3x+θ)在区间[0，π/2]上是减函数，则θ=π/2。（×）解析：cos函数在[2kπ，2kπ+π]上为减函数，所以θ+π=3π/2，即θ=π/2，但θ是周期性变量，所以θ=2kπ+π/2，k∈Z，不恒等于π/2，所以错误。7.已知函数s(x)=tan(2x+φ)的图像关于直线x=π/4对称，则φ=π/4。（√）解析：2x+φ=kπ+π/2，解得φ=kπ-π/2。取k=1得φ=π/4，所以正确。8.函数t(x)=sin(4x+φ)的最小正周期为π/2，则φ=π/4。（√）解析：周期公式T=2π/ω，T=π/2，所以ω=4。又sin函数周期为2π，所以φ=π/4，所以正确。9.函数u(x)=cos(2x+φ)在区间[0，π/2]上是减函数，且其图像关于直线x=π/4对称，则φ=π/4。（×）解析：2x+φ∈[π，2π]，且2(π/4)+φ=kπ+π/2，解得φ=3π/4，不等于π/4，所以错误。10.已知函数v(x)=sin(3x+φ)的最小正周期为2π/3，且在区间[0，π/3]上单调递减，则φ=π/2。（×）解析：周期为2π/3，所以ω=3。3x+φ在[0，π/3]上单调递减，需满足3x+φ∈[π，4π/3]，即φ∈[π，π/3]，所以φ=2kπ+π/2，k∈Z，不恒等于π/2，所以错误。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.求函数f(x)=sin(2x+π/3)的最小正周期，并写出其单调递增区间。参考答案：周期为π，单调递增区间为[kπ-5π/12，kπ+π/12]，k∈Z。解析：周期公式T=2π/ω，ω=2，所以T=π。sin函数在[2kπ-π/2，2kπ+π/2]上单调递增，所以2x+π/3∈[2kπ-π/2，2kπ+π/2]，解得x∈[kπ-5π/12，kπ+π/12]。2.求函数g(x)=cos(3x-π/4)在区间[0，π/2]上的最大值和最小值。参考答案：最大值为√2/2，最小值为-√2/2。解析：3x-π/4∈[-π/4，5π/4]，cos函数在[-π/4，π/4]上为增函数，在[π/4，5π/4]上为减函数，所以最大值为cos(π/4)=√2/2，最小值为cos(5π/4)=-√2/2。3.已知向量a=(cosα，sinα)，b=(sinα，-cosα)，求|a•b|的值。参考答案：|a•b|=1/2。解析：a•b=cosαsinα-sinαcosα=0，所以|a•b|=0。4.求函数h(x)=tan(4x-π/6)的图像关于原点对称的条件。参考答案：4x-π/6=kπ，即x=kπ/4+π/24，k∈Z。解析：tan函数图像关于原点对称需满足4x-π/6=kπ，解得x=kπ/4+π/24。5.求函数p(x)=sin(2x+φ)的图像向右平移π/4个单位后，得到函数q(x)=cos(2x)的φ值。参考答案：φ=3π/4。解析：sin(2(x-π/4)+φ)=cos(2x)，即sin(2x-π/2+φ)=cos(2x)，所以φ=3π/4。6.求函数r(x)=cos(3x+θ)在区间[0，π/2]上是减函数的条件。参考答案：θ+π=3π/2，即θ=π/2，且θ是周期性变量，所以θ=2kπ+π/2，k∈Z。解析：cos函数在[2kπ，2kπ+π]上为减函数，所以θ+π=3π/2，即θ=π/2，又θ是周期性变量，所以θ=2kπ+π/2，k∈Z。7.求函数s(x)=tan(2x+φ)的图像关于直线x=π/4对称的条件。参考答案：2x+φ=kπ+π/2，即φ=kπ-π/2，k∈Z。解析：tan函数图像关于直线x=π/4对称需满足2x+φ=kπ+π/2，解得φ=kπ-π/2。8.求函数t(x)=sin(4x+φ)的最小正周期为π/2的条件。参考答案：φ=π/4。解析：周期公式T=2π/ω，T=π/2，所以ω=4。又sin函数周期为2π，所以φ=π/4。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.已知函数f(x)=sin(2x+π/3)，求其图像在点(π/4，1)处的切线斜率。参考答案：斜率为√3/2。解析：f'(x)=2cos(2x+π/3)，在x=π/4处，f'(π/4)=2cos(π/2+π/3)=2cos(5π/6)=-√3/2，所以切线斜率为-√3/2。2.已知函数g(x)=cos(3x-π/4)，求其图像在点(π/6，√2/2)处的切线斜率。参考答案：斜率为-3√2/2。解析：g'(x)=-3sin(3x-π/4)，在x=π/6处，g'(π/6)=-3sin(π/2-π/4)=-3sin(π/4)=-3√2/2，所以切线斜率为-3√2/2。3.已知向量a=(cosα，sinα)，b=(sinα，-cosα)，求向量a与向量b的夹角。参考答案：夹角为3π/4。解析：a•b=cosαsinα-sinαcosα=0，所以向量a与向量b垂直，夹角为π/2。4.已知函数h(x)=tan(4x-π/6)，求其图像在点(π/8，1)处的切线方程。参考答案：切线方程为y=8√3x+4√3-π√3/6。解析：h'(x)=4sec²(4x-π/6)，在x=π/8处，h'(π/8)=4sec²(π/2-π/6)=4sec²(π/3)=4(2²)=16，所以切线斜率为16。切线方程为y-1=16(x-π/8)，即y=16x-2π/4+1=16x-π/2+1。5.已知函数p(x)=sin(2x+φ)的图像向右平移π/4个单位后，得到函数q(x)=cos(2x)，求其图像在点(π/4，√2/2)处的切线方程。参考答案：切线方程为y=-2√2x+π√2/4+1。解析：sin(2(x-π/4)+φ)=cos(2x)，即sin(2x-π/2+φ)=cos(2x)，所以φ=3π/4。q(x)=cos(2x)，在x=π/4处，q'(x)=-2sin(2x)，q'(π/4)=-2sin(π/2)=-2，所以切线斜率为-2。切线方程为y-√2/2=-2(x-π/4)，即y=-2x+π/2+√2/2。6.已知函数r(x)=cos(3x+θ)在区间[0，π/2]上是减函数，且其图像关于直线x=π/4对称，求其图像在点(π/6，√2/2)处的切线方程。参考答案：切线方程为y=3√2x-π√2/4+1。解析：r(x)=cos(3x+θ)，在x=π/6处，r'(x)=-3sin(3x+θ)，r'(π/6)=-3sin(π/2+θ)=-3sin(π/2+π/4)=-3sin(3π/4)=-3√2/2，所以切线斜率为-3√2/2。切线方程为y-√2/2=-3√2/2(x-π/6)，即y=-3√2/2x+π√2/4+√2/2。7.已知函数s(x)=tan(2x+φ)的图像关于直线x=π/4对称，求其图像在点(π/8，1)处的切线方程。参考答案：切线方程为y=4x-π/4+1。解析：s(x)=tan(2x+φ)，在x=π/8处，s'(x)=2sec²(2x+φ)，s'(π/8)=2sec²(π/4+φ)，所以切线斜率为4。切线方程为y-1=4(x-π/8)，即y=4x-π/2+1。8.已知函数t(x)=sin(4x+φ)的最小正周期为π/2，且在区间[0，π/3]上单调递减，求其图像在点(π/12，√3/2)处的切线方程。参考答案：切线方程为y=-4√3x+π√3/6+1。解析：t(x)=sin(4x+φ)，在x=π/12处，t'(x)=4cos(4x+φ)，t'(π/12)=4cos(π/3+φ)，所以切线斜率为-4√3。切线方程为y-√3/2=-4√3(x-π/12)，即y=-4√3x+π√3/6+√3/2。【标准答案及解析】一、单项选择题1.D2.C3.D4.A5.B6.D7.B8.B9.B10.A二、填空题1.π2.√2/23.√24.kπ/2-π/12，k∈Z5.3π/46.2kπ-3π/2≤θ≤2kπ-π/2，k∈Z7.π/48.π/49.3π/410.2kπ+π/2≤φ≤2kπ+2π/3，k∈Z三、判断题1.×2.×3.√4.×5.×6.×7.√8.√9.×10.×四、简答题1.周期为π，单调递增区间为[kπ-5π/12，kπ+π/12]，k∈Z。解析：周期公式T=2π/ω，ω=2，所以T=π。sin函数在[2kπ-π/2，2kπ+π/2]上单调递增，所以2x+π/3∈[2kπ-π/2，2kπ+π/2]，解得x∈[kπ-5π/12，kπ+π/12]。2.最大值为√2/2，最小值为-√2/2。解析：3x-π/4∈[-π/4，5π/4]，cos函数在[-π/4，π/4]上为增函数，在[π/4，5π/4]上为减函数，所以最大值为cos(π/4)=√2/2，最小值为cos(5π/4)=-√2/2。3.|a•b|=1/2。解析：a•b=cosαsinα-sinαcosα=0，所以|a•b|=0。4.4x-π/6=kπ，即x=kπ/4+π/24，k∈Z。解析：tan函数图像关于原点对称需满足4x-π/6=kπ，解得x=kπ/4+π/24。5.φ=3π/4。解析：sin(2(x-π/4)+φ)=cos(2x)，即sin(2x-π/2+φ)=cos(2x)，所以φ=3π/4。6.θ=π/2，且θ是周期性变量，所以θ=2kπ+π/2，k∈Z。解析：cos函数在[2kπ，2kπ+π]上为减函数，所以θ+π=3π/2，即θ=π/2，又θ是周期性变量，所以θ=2kπ+π/2，k∈Z。7.φ=kπ-π/2，k∈Z。解析：tan函数图像关于直线x=π/4对称需满足2x+φ=kπ+π/2，解得φ=kπ-π/2。8.φ=π/4。解析：周期公式T=2π/ω，T=π/2，所以ω=4。又sin函数周期为2π，所以φ=π/4。五、应用题1.斜率为√3/2。解析：f'(x)=2cos(2x+π/3)，在x=π/4处，f'(π/4)=2cos(π/2+π/3)=2cos(5π/6)=-√3/2，所以切