第二章 第6节　指数函数

第6节指数函数[课程标准要求]1.通过具体实例,了解指数函数的实际意义,理解指数函数的概念,能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象.2.探索并理解指数函数的单调性与特殊点,并能简单应用.夯实·必备知识知识梳理1.指数函数的概念一般地,函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中指数x是自变量,定义域是R.2.指数函数的图象和性质项目a>10<a<1图象定义域R值域(0,+∞)(0,1)y>10<y<1y>10<y<1增函数减函数重要结论基础自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).×

×

√

×

CCB提升·关键能力指数函数的图象及应用考点1[例1](1)(2026·甘肃兰州模拟)已知函数f(x)=|2x-1|关于x的方程f(x)=k有两个不相等的实数根,则实数k的取值范围是(

)A.(1,+∞) B.[1,+∞)C.[0,1] D.(0,1)D【解析】(1)作出函数f(x)=|2x-1|的图象,如图所示,若关于x的方程f(x)=k有两个不相等的实数根,则函数y=f(x)的图象与直线y=k有两个交点,由图知,k∈(0,1).故选D.(2)(多选)已知函数f(x)=ax-b(a>0,且a≠1)的图象如图所示,则下列选项正确的是(

)A.a>1B.b>1C.2b-a<1D.g(x)=bx-a的图象不经过第四象限BD【解析】(2)对于A,由题图可知函数单调递减,则0<a<1,故A错误;对于B,当x=0时,f(0)=a0-b=1-b,由题图可得1-b<0,解得b>1,故B正确;对于C,因为b>1,0<a<1,所以b-a>0,由y=2x是增函数,得2b-a>20=1,故C错误;对于D,由b>1,0<a<1,得函数g(x)是增函数,当x=0时,g(0)=b0-a=1-a>0,故D正确.故选BD.解题策略·有关指数型函数的图象问题,一般从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换得到,也可以利用特殊点确定参数或图象位置,适当使用排除法.特别地,当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.[针对训练]1.不等式2x>2x的解集为(

)A.(-∞,1)∪(2,+∞) B.(1,+∞)C.(2,+∞) D.(1,2)A【解析】

在同一直角坐标系中作出y=2x,y=2x的图象,如图所示,由图象可知,2x>2x的解集为(-∞,1)∪(2,+∞).故选A.2.(2026·广东广州模拟)当a≠0时,函数y=ax+b和y=bax的图象可能是(

)AA B C D【解析】

对于A,由一次函数的图象知,a>0,0<b<1,此时函数y=bax为减函数,A正确;对于B,由一次函数的图象知,a>0,b>1,此时函数y=bax为增函数,B错误;对于C,由一次函数的图象知,a<0,b>1,此时函数y=bax为减函数,C错误;对于D,由一次函数的图象知,a<0,0<b<1,此时函数y=bax为增函数,D错误.故选A.指数函数的性质及应用考点2角度1比较大小[例2](2023·天津卷)设a=1.010.5,b=1.010.6,c=0.60.5,则a,b,c的大小关系为(

)A.a<b<c B.b<a<cC.c<b<a D.c<a<bD【解析】

由函数y=1.01x在R上单调递增,得a=1.010.5<b=1.010.6,由函数y=x0.5在[0,+∞)上单调递增,得a=1.010.5>c=0.60.5,所以c<a<b.故选D.解题策略·比较指数式大小的方法(1)能化成同底数的先化成同底数幂,再利用单调性比较大小.(2)不能化成同底数的,一般引入“0”或“1”等中间量比较大小.[针对训练](2026·甘肃靖远模拟)已知0<a<1<b,则(

)A.ba<ab<aa<bb B.ab<aa<ba<bbC.bb<ab<aa<ba D.ab<ba<aa<bbB【解析】

因为函数y=ax(0<a<1)是减函数,所以0<ab<aa<1,同理,函数y=bx(b>1)是增函数,所以1<ba<bb.综上,可得ab<aa<ba<bb.故选B.角度2解指数方程或不等式(-∞,-3)∪(2,+∞)(2)若关于x的方程9x-m·3x+1+2=0的两个根都是正实数,则实数m的取值范围是

.

解题策略·指数方程或不等式的求解方法(1)形如af(x)=ag(x),af(x)>ag(x)(a>0,且a≠1)的方程或不等式,可根据指数函数单调性,转化为方程f(x)=g(x),不等式f(x)>g(x)[或f(x)<g(x)]进行求解.(2)若f(x)=m·a2x+n·ax+p(a>0,且a≠1),则方程f(x)=0和不等式f(x)>0(<0)可令t=ax,通过换元化为一元二次方程或一元二次不等式求解.[针对训练]1.(2026·上海静安模拟)不等式2026x≤1的解集为

.

(-∞,0]【解析】

由2026x≤1,得2026x≤20260,又y=2026x在R上单调递增,所以x≤0.所以不等式2026x≤1的解集为(-∞,0].2.不等式4x-2x+1-8<0的解集为

.

(-∞,2)【解析】

由已知得(2x-4)(2x+2)<0,又2x+2>0,所以2x-4<0,所以2x<22,所以x<2,所以原不等式的解集为(-∞,2).指数函数性质的综合应用考点3A[变式探究2](变外层函数为二次函数)若函数f(x)=4x+a·2x在[0,1]上的最大值为