考研数学二（解答题）模拟试卷91

考研数学二（解答题）模拟试卷91

一、解答题（本题共20题，每题1.0分，共20分。）

/=『JsinJ-r2co$2-，rd8,

1、计算一重积分2其中

D-|（r.。）0WrW»ec6,0这。W氤°

标准答案：将极坐标转化为直角坐标，可得积分区域如图17—18所示。

D={（x,y）I0<x<l,0<y<x},

贝11/=jpAin。*/!r2cosb+3sin?用rd。

D

=Jy/i-x2+/(kdy

/)

=幺dxf/1-x2+pd(1-x24-/)

二g(1-£+/)彳产:g[1-(।

利用换元法，记工=§加,则上式

/二！一5『CQS、也=4"

33Jo3

知识点解析：暂无解析

maxmax/(x)<一

2、设侬=改(1一1气为自然数),(I)求【。/片(力;(口)求证：〔。」「e.

令

标准答案：(I)先求？(X)=n(l—%)n-】[l-(n+l)x]=0,得唯一驻点％=加=

-J-

门+L又f(O)=f(l)=O,f(%)=n.n♦Nn+"<n+17>0.因此

/n)2(TH)=(

ma\I~I,I1+—)

[0,1If(x)=f(Xii)=\n+1/•(口)注意\nI已知数列

'+71J单调下降极限为

/I11

(1+T)…/小)"1产

(1+T)

知识点解析：暂无解析

3、就a的不同取值情况，确定方程ln%=£(a>o)实根的个数.

标准答案：求f(»的单调区

间.

(*)

则当0<炬%0时，f(»单调上升；当左xo时，f(%)单调下降；当％=%o时，f(x)取最

大值f(xo)=ln(H-[(打I=

a(l+lna).从向f(%)在(0,十8)有几个

零点，取决于y=f(%)属于图4.14中的哪种情

形.

方程政)=0的实根个数有下列三种情形：(I)3f(xo)=-a(l+lna)<0EPa>e

时，恒有f(%)V0(V庐(0,+8)),故故)=0没有根.(H)当政())=一气1+1皿)=

1

0即a=e时，由丁茂(0,十⑼，当无力€0=1时，欧)<0,故f(%)=0只有一，个根,

即X=%0=e；(DI)当f(x)=1°(l+lna)>()即OVaVe时，因为

a

lim/(x)=-«,lim/(z)=lim[z(—-1]]=-x,

*—()♦«-—J故方程f(»

=0在(0,%0)，(xo，+8)各只有一个根.因此f(%)=0在(0,+8)恰有两个根.

知识点解析：暂无解析

N,04741,

/(x)=

2-*lV«r<2,求

4、计算积分：已知x

「2—2

/(x—2n)e*djr,〃=2,3,….

J2”

标准答案：令t=x-2n，则由定积分的分段可加性与分部积分得,

2fdye'^dt=e_2"f/e-,dr4-e2(2一"也

0Jo

=(1

知识点解析：暂无解析

2i|+3x2-4=0,

.

5、设4元齐次线性方程组(I)为4+2不+为一心=0,而已知另一4元齐次

线性方程组(□)的一个基础解系为囚=(2,-1,a+2,l)T,。2=(—1，2,4,a+

8)二(1)求方程组⑴的一个基础解系；(2)当a为何值时，方程组⑴与(II)有非零公

共解?在有非零公共解时，求出全部非零公共解.

标准答案：(1)仇=(5,-3,1,0)T,02=(—3,2,0,1)T；(2)a=-l,ki(2,一

TT

1,1,l)+k2(-h2,4,7).

知识点解析：暂无解析

6、设热水瓶内热水温度为T,室内温度为To,(为时间(以小时为单位).根据牛顿

冷却定律知：热水温度下降的速率与T-To成正比.又设10=20。(：，当1=0时，

T=100℃,并知24小时后水瓶内温度为5(TC,问几小时后瓶内温度为95K?

竺

标准答案：温度变化的速率即主，牛顿冷却定律给出了这个变化率满足的条件，

写出来它就是温度T所满足的微分方程：回=-k(T-To),其中k为比例常数，且k

>0.其通解为T=To+Cpt.再由题设：To=2O,T(0)=100,T(24)=50,所以(ln8・

ln3).这样,温度T=20+.若T=95,则t==l.58,即在1.58小时后热水的温度

降为95。匕

知识点解析：暂无解析

7、设函数y(x)(xNO)二阶可导，且y，(x)>0,y(0)=l.过曲线y=y(x)上任意一点

P(x,y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积

记为S1，区间［0,x］上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2,并设2S1-S2恒

为1,求曲线y=y(x)的方程.

标准答案：设曲线y=y(x)上的点P(x,y)处的切线方程为Y—y=y，(X—x).它与x

轴的交点为y'由于y，(x)>0,y(0)=l,Sllty(x)>l(x>0).于是

Z

S|=.卜・(一夕=

2,又S2=h)Xy⑴di.根据题设2Si一S2=l»右

夕=L并且y,(o)=i,两边对X求导并化简得yy“=(y')2,

这是可降阶的

dp2dpdy

二阶常微分方程，令P(y尸y'，则上述方程可化船产分离变量得P7从

而有户C2eUx根据y，(o尸1,y(o)=i,可得Ci=l,C2=l.故所求曲线的方程为

y=ex.

知识点解析：暂无解析

dz

8、设7=fi(e'sint.tan。，求市

dz

标准答案：el(sint+cost)f1+gsec2t.

知识点解析：暂无解析

9、求微分方程xy”+3y，=0的通解.

令《/=P，则“/+3p=0或黑+^P=

标准答案：解得，=*仔=乐即，=§,则尸一枭+Q

知识点解析：暂无解析

10、设A为3阶矩阵，川，a2,a3是线性无关的3维列向量组，满足

Aai=ai+a2+a3，Aa2=2a2+a3，Aa3=2a2+3a3.求作矩阵B,使得A(ai，口2，

a3)=(ai，口2，«3)B.

标准答案：由于ai,(X2，。3，线性无关，矩阵P=(c”012，013)可逆，并且E=P

-1T-IT

)(ai,a2，a3)=(P%i，Pa2,P%),则F&=(1,0,0),Pa2=(0,1,0),P

%3二(0,0,I),，于是B=P“AP=P“A(ai,a2，a3)=p"(a1+012+(13,2ai+as，

100'

=122.

2(12+。3，2(12+3(13)1I3-

知识点解析：暂无解析

11、确定a,b,使得x-(a+bcosx)sinx当x—0时为阶数尽可能高的无穷小.

b

标准答案：令y=x-(a+bcosx)sinx,y,=1+bsin2x-(a+bcosx)cosx,y''=bsin2x+2

sin2x+(a+bcosx)sinx=asinx+2bsin2x,y'''=acos2acosx+4bcos2x,显然y(0)=0,

冈

y''(0)=0,所以令y,(O)=y,,,(O)=O得故当时，x-(a+bcosx)sinx为阶数尽可能局

的无穷小.

知识点解析：暂无解析

32-2-

A=-k-1k

42-3

12、设矩阵，问k为何值时，存在可逆阵P,使得P“AP二A,

求出P及相应的对角阵.

A-3-22

IAE-A|=A+1-k

一4-21+3

A-1

0

标准答案:02一1是二重特

征值，为使A相似于对角阵,要求r(XE-A)=r(-E—A)=l,

-4-22-r-4-22

-E—A=k0-kf0T

-4-22.L000.

r(—E—A)=l=>^=0,故k=0时，存在可逆阵P,使得P

,AP=A.k=OH寸，

故k=0时，存在

--10

21

可逆阵p=曲,及，匕］=1°1

知识点解析：暂无解析

13、设f(x)在[a,b]上连续，且r'(x)>0,对任意的xi，x2G[a,b]及0〈入VI,证

明：f[XxI+(1-X)X2]<A,f(X।)+(1-X)f(X2).

标准答案：令x()=入X[+(l-入)X2，则x()W[a,b],由泰勒公式得f(x)=f(xo)+f(x())(x-xo)+

3

2(x-xo)2,其中自介于xo与x之间，因为L(x)>0,所以f(x)Nf(xo)十「(X())(K-

，

A/Cxj)》A/(x<>)+A/(x0)(Xi-%)),

JTXO

XO),于是1(1》(1-A)/(x0)4-(1-A)/(0)(2-N),两式相

加，得f[XxI+(11)X2切TxI)+(1-X)f(X2).

知识点解析：暂无解析

设s(x)=foxIcostIdt

14^证明：当nxgxv(n+l)几时,2n<S(x)<2(n+l)；

标准答案：当n兀SxV(n+l)兀时，|costIdt<f()xIcostIdt<Jo(1rH加IcostIdt

fonHIcostIdt=nJoHIcostIdt=^°C°Sr<^=2n.Jo^n+1^|costIdt=2(n+l),则

2n<S(x)<2(n+l).

知识点解析：暂无解析

15、求求烟1.空.

__!__<-£<JL

标准答案：由117lSxV（n+】）兀，得储-1）XH-H7T,从而

....?.?.<g（£）<201±L>|S（£）=2

（〃+1加、z、而，根据夹逼定理得上im1aN/

知识点解析：暂无解析

4321

-1204

21-10

16、设A=1212求：(1)2A|i+Ai2—A13；(2)Au+4A2]+A3i+

2A4i.

21-10

—1204

21-10

标准答案：2A|i+Ai2—A|3=2A|I+A]2—A13+OA14=212=o

13211321

一10-80

42040一10-80

A”+4&i+A”+24“==::-3-1

11-100-2-3-1=

-30

22120一4-30

5-801-3T-3

=-21-3一1=25-80=2P7

2-302-30|03

知识点解析：暂无解析

17、=Ix2+y2-4Idxdy,其中D：x2+y2<9.

标准答案：令D尸{(x,y)Ix2+y2<4),D2={(x,y)I4<x2+y2<9},

22

则।*2+—4Idrdy=jj,(4—x—y)irdy++yz-4)&rdy.

DD,

22。

而x—y)drdy=JdJ(4r—r3)dr=8K,

J(x2+y'—4)dcdy=ddj(r3—4r)dr=

o

I"+—4Idzdy="三

知识点解析：暂无解析

1

：lim(

18、求极限一~17

标准答案：原式=‘占

知识点解析：暂无解析

■(100+z)

(1)lim(2)lim

19、求下列极限:sin(l+J4)a*+arcsinx

21

他小IEIMl+x)-IMl+O)-

解：(D!吧sin(l+7)-sindVo^)一°n

⑵Hm[吟9]'=(单招)'=G

标准答案：z-ouflarcsinxJ\a+0，

知识点解析：暂无解析

20、

(1)已知X.-J.Y.-1.试证X.+匕」,+6.

(2)设a＜，＞D是实数.且有limo.=a乂已知匕」*/l•试证oX」=".特别地有aY,，~儿

pP

(3)已知X.一-a•试证X：--a，

(4)设为非负随机变量.已知X.-fa(a)0),试证":-一6

(D由于X.,Y..得到对于任宜的《>0•有

limP{|X.-al^<)-0.limP(忆-612c)=0.

tr^"><****

记A=.|X・一a|<左卜B-|a»l|y.-6|<|j.注意到

|(X.+Y.)-(a+fr)l<|X,-a|+|Y.-4|<e.

可见KI|(*.十匕)一01+6”<<}2)人8・于是在

(wMX.+Y"Q+b)IMuAB=A+B.

故P(KX.-f-r.)-(a4-6)l>«><P(A+fi)<P(A)+P(B)

=p|ix-ai^|>+p(iy.-6i>|).

两边取L».有

0<limP(|<X.4-y.)-(a+6)|^«)ClimP{lX.-a|>-||+tirnP||y.-6|>|)=0.

得lin»r(|<X.IY.>(ai6>l>«l-0.

即X.+Y・-、Q+6).

(2)•由于,罔如/~ab.利用收敛的数网必育界,故存在正数M.使物对任意的”,有

于.对任意的c>0,存在N>0•使得当n>N时,成立

\aji-ah\<^.

注意到口匕一必IWla.11Y.-6I+19一嗣VMIY.fI+全故对于上述N.当”>N时,而

于是P<.匕一词，》}<.{IY.TI含赤卜

两边取丁2。・6

OCIimP<la.r.-aAOcKlimP.

得limP(EY.-aAlNHO.即a.Y.'F.

(3)由于IX.LlaWIX.rl和X.-、a,则对任总的cX>,有

<ft»|IX.|—|a|>c}C{ft>||X.-a|2c>.

于是P(|X,|-"IK》《P{|X・一a|K)・

故04hmP(|X.|3laI+C0imP(|X.-aIK)-0,

*«oo

即*lMim(P(|X.I?|4|十6-0.

IXl-aMCClX.I+laDlX.-aKtaial+eJIX.-al.

注意到

C(.|(2|a|+c)|X.-a|>t)+(.||X.|>|a|+«1.