考研数学一（高等数学）模拟试卷193

考研数学一(高等数学)模拟试卷193

一、选择题(本题共5题，每题7.0分，共5分。)

1、设｛an｝与｛bn｝为两个数列,下列说法正确的是().

A^若｛an｝与｛、｝都发散，则情疝才一定发散

B、若｛an｝与｛bn｝都无界,则｛anbn｝一定无界

C、若｛an｝无界且P2nbn=O，则P%n=0

D、若an为无穷大，且!叫anbn=0，则bn一定是无穷小

标准答案：D

知识点解析：(A)不对，如an=2+(—l)n,bn=2-(-l)n,显然面)与｛如｝都发散，但

anbn=3,显然｛anbn｝收敛；(B)、(C)都不对，如an=n[l+(—l)n],bn=n[l-(-l)n],

显然同｝与｛bn｝都无界，但anbn=O,显然同由｝有界且!西加翔；正确答案为(D).

2、设f(x)在x=a处可导,且f(a)RO,则|f(x)|在x=a处().

A、可导

B、不可导

C、不一定可导

D、不连续

标准答案：A

知识点解析：不妨设f(a)>0,因为f(x)在x=a处可导，所以f(x)在x=a处连续，于

是存在6>0,当|x—a|V6时;有f(x)>0,于是

|/(x)1-1/(a)|.f(工)-

川工一。川x—a=f(a),即|f(x)|在x=a处可导，同理当f(a)

V0时，|f(x)|在x=a处也可导,选(A).

3、下列说法中正确的是().

A、若f(xo)VO,则f(x)在x()的邻域内单调减少

B、若f(x)在xo取极大值，则当x€(x()—3,xo)时，f(x)单调增加,当x£(xo，xo+5)

时，f(x)单调减少

C、f(x)在XO取极值，则f(x)在XO连续

D、f(x)为偶函数，P'(O)#O,则f(x)在x-O处定取到极值

标准答案：D

当——(n6N)时,/'(Z)=《>0

工z

知识点解析：I

则f(x)在x=0的任意邻城内都不单调减少，(A)不对；

“)」2-J(2+sin：)立#0，

Mi=0，f(x)在x=0处取得极大值，但其在x=0的任一邻

|x.0V1V1,

/(X)」2,1=1,

域内皆不单调，(B)不对；【2一“，】V”<2,靛*)在处取得极大值，但

f(x)在x=l处不连续，(C)不对；由f(0)存在，得「(0)存在，又f(x)为偶函数，所以

f(0)=0,所以x=0一定为f(x)的极值点,选(D).

4、平面兀与兀］：x—2y+z—2=0和兀2：x—2y+z—6=0的距离之比为1：3,则平面

兀的方程为().

A、X—2y+z=0

B、x—2y+z—3=0

C、x—2y+z=0或x—2y+z—3=0

D、x—2y+z—4=0

标准答案：C

知识点解析：设所求平面为兀：x-2y+z+D=0,在平面兀：x—2y+z+D=0上取一点

Iio-2%+zo-2|I孔-2yC+N°-6|

=---------------------------，/=---------------------------

Mo(xo，yo，zo),djV676因为di：

d2=l：3,所以D=0或D=-3,选(C).

5、累次积分Jo"2dOfocos°rf(rcos0,rsinO)dr等于

ri1/-J

(A)Id^J/(x(B)jdy|/(x»j)dx

/7：7r

(0『北『八工，y)dy(D)j*dxj'/(x^)d>F

().

A、

B、

c、

D、

标准答案：D_______

知识点解析：积分所对应的直角坐标平面的区域为D：0<x<l,Ogy“r二1,选

(D).

二、填空题(本题共6题，每题分，共6分。)

zsin(J-2—12)df

hmJo__________________

6、(1—COST)ln(1-1-2xz)

标准答案：1/4

知识点解析：由Jo、sin(x2—『)dl=-1/2Jo'sin(x2-—)d(x2—»尸i/2Lsgudu,

得

21

/sin(J*-t)d/.sinudu,o.2.

..Jo1Jo1..LXsmx1

lim-----------：-=-h|tm------：=~hm----；-=-

—0(]—cosjF)ln(1+2x*)2LCx2n4.r4

limcos-Zr")

7、设f(x)在x=l处一阶连续可导，且r⑴=-2,则…：

标准答案：1

由■--/(cos)=­/(cos\[x)♦sin

"Zjx

得lim^-/(cosTx-)=-JHm//(cosZz7)=-"y//Cl)=1.

知识点解析：…2….G2

ln(l十一)

8、设f(lnx)=JT,则血x)dx=

ln(l+eO-7、「

一…4------；------in(1e)-rC

标准答案：e，

知识点解析：

x

由小f(Inz)\--l-n-(-l-+-«--r)得fQ)=-!-n-(-l-4----e-)

e

=j-(--Ve)dx=-jln(l+er)d('z)

则/(x)±re

-e」n(l+e')+■

ln(l+er)1

d(l+钎)二』(一)一“I+)+c

71”

1+e-'e

9^foHxvcos2x—cos4xdx=—

标准答案：71/2

知识点解析：

jx/cos'z-COS'JTdr_y[•/cosjr-cos4xdi

75/cos：-cos'工dx

=7T'cos_rsinxd_r=三

oZ

10、设f(u)连续可导，且Jo4f(u)du=2,L为半圆周y=/2z——1起点为原点，终点

为B(2,0),则I=jLf(x2+y2)(xdx+ydy尸.

标准答案：1

HQOP

・・・■—・

知识点解析：P(x,y)=xf(x2+y2)，Q(X,y)=yf(x2+y2)，因为好力

=2xyf(x2+y2),所以曲线积分与路径无关，Hl.I=fLi(x2+y2)(xdx+ydy)=l/2f(o.o)(21

o)f(x2+y2)d(x2+y2)=l/2®f(t)dt=l.

11、微分方程xy，=G=7+y(x>0)的通解为

标准答案：lnx+C

知识点解析：

+k患=J】_R)+3令,=心累一+彳小

所以工艺=-w2=>业―=—=>arcsinu=Inx+C=^arcsin-=Inj"+C.

也1N

三、解答题(本题共79题，每题1.0分，共3分。)

求lim*——

…in+-

12、

标准答案:

1-i♦1•I

因为!必告2,=㈣缶・*:=㈣『―i.

所以lim*―-一—=e-1.

・-3〃,»十二

知识点解析：暂无解析

13、设f(x)在［a,+8)上连续，f(a)VO,而二;8f(x)存在且大于零.证明:f(x)在(a,

+8)内至少有一个零点.

标准答案：令士巴f(x)=k>0,取所k/2>0,因为上以f(x)=k>0,所以存在Xj>

0,当xNXo时,W|f(x)-k|<k/2,从而f(x)Nk/2>0,特别地，f(Xo)>O,因为

f(x)在⑶Xo］上连续,Kf(a)f(Xo)<O,所以存在乐(a,Xo),使得熊尸0.

知识点解析：暂无解析

14、设f(x)二阶可导,f(O)=f(l)=O且0可(x)=-l.证明:存在生(0,1),使得

r©>8.

标批答案：因为f(x)在［0,1］上二阶可导，所以f(x)在［0,1］上连续且f(O)=f(l)=O,

。粤£f(x)=-l,由闭区间上连续函数最值定理知，「X)在［0,1］取到最小值且最小值

在(0,1)内达到，即存在cw(o,1),使得f(c)=-i,再由费马定理知r(c)=o,根据

人)

泰勒公式f(O)=f(c)+r(c)［O—c)+2!(0—c)~r&G(0，C)f(l)=f(c)+F(c)(l—c)+

2!(I-C)2,々W(c,1)整理得『电)=2/c2,-&)=2/(1—c)2.当CE(O,1/2］

时，f(^i)=2/c2>8,取自=&：当cW(l/2,1)时，F&)=2/(1—c走8,取

片及.所以存在年(0,1),使得F©次.

知识点解析：暂无解析

设f(x)在(-1,1)内二阶连续可导，且F(x)和.证明：

15、对(一1,1)内任一点对0,存在唯一的0(x)6(0,1),使得

f(x)=f(O)+xf［0(x)x］；

标准答案：对任意xW(—1,1),根据微分中值定理,得f(x)=f(O)+x门e(x)x］,其中

0<0(x)<l.因为F(x)EC(—1,1)且俨(x)知，所以F<x)在(一1,1)内保号，不妨

设r(x)>o,则r(x)在(一1,1)内单调增加，又由于x翔，所以。⑻是唯一的.

知识点解析：暂无解析

16、真师尸1/2.

r(e>

标准答案：由泰勒公式，得f(x尸f(O)+f(0)x+2!x2,其中自介于0与x之间，而

f(x)=f(O)+xf［0(x)x］,所以有

a卜］"'⑹+空"8明/伙.一)=空

2!xv(x)2!令X—>0»再由二

阶导数的连续性及非零性，得!/仪尸1/2.

知识点解析：暂无解析

17、设f(x)在［a,b］上连续，在(a,b)内二阶可导,f(a)=f(b)=O,且f+(a)>0.证

明：存在乐(a,b),使得F《)VO.

标准答案：因为,；-R―=f+(a)>o,所以存在6>0,当0Vx-aV6时，

/(/)一/Q)

有x—a>0,从而f(x)>f(a),于是存在c£(a,b),使得f(c)>f(a)=0.由微

分中值定理,存在言以a,c),fe€(c,b),使得

f，g=fS.>0,

D-C再由微分中值定理及f(x)的

二阶可导性,存在虫―),使得小=华乎

知识点解析：暂无解析

18、设f(x)在x=xo的邻域内连续，在x=xo的去心邻域内可导，且L，f(x尸M.证

明：f(xo)=M.

标准答案：由微分中值定理得f(x)—f(xo)=f(4)(x-xo),其中自介于xo与x之间，

则/⑺-七)=『谖)由hm/Cr)=M得lim△三上八上)=

1

x-x0,%工一人一。〜。

即r(xo)=M.

知识点解析：暂无解析

19、

j-2公iw

32cos7•2costdf=32cos"td/

=32X|X|X|X1=5K.

标准答案：

知识点解析：暂无解析

20、设f(x)在(-00,+8)上有定义，且对任意的X,yG(—00,+oo)有|f(x)—f(y)|s|x—

b2

y|.证明：|faf(x)dx-(b-a)f(a)|<l/2(b-a).

标准答案：因为(b—a)f(a尸af(a)dx,所以叶心心一8『)购|=|a网)一

bb2b2

fla)]dx|<[a|f(x)-na)|dx<[a(x-a)dx=l/2(x-a)|a=l/2(b-a)

知识点解析：暂无解析

21、设f(x)在[a,b]上连续，且对任意的曰[0,1]及任意的xi，x2e[a,b]满足:

f|tX|+(l—t)X2]<tf(X|)+(1—t)f(X2).证明：

/(审)《卢/八…或

标准答案:因为af(x)dx"2I"(b—a)Jolf(l—t)b]dtW(b—a)[f(a)Joldtd+f(b)Jol(l一

/^±£^

t)dt]=(b—a)2

所以z-------y(x)(Lr-------------------.

b-aj.Z

所以》f(宁)，故f(号)W/-「八工)业&八2丁b).

知识点解析：暂无解析

、丁舟JsinGrZ+?2),(1~〉+(0.0).

设/(]・»)=414-y

0.(j：.y)=(0,0).

22、f(x,y)在点(0,0)处是否连续？

x/ixy*.所以lim

标准答案：因为g|f(x,y)|<；-5f(x,y)=0=f(0,0),故f(x,y)在点

(0,0)处连续.

知识点解析：暂无解析

23、f(x,y)在点(0,0)处是否可微?

标准答案:

△f(x，y)=f(h)—/(0,0)=―sin//(p=J1'+『).

P，

〃八、../(x.0)-/(0.0)八』〃八、r/(000-/(0,0)八

/x(0,0)=hm-----------------------=0,fv(0,0)=hm----------------------=0,

■1••0J：y-*Oy

m-/\(0.0)J-/\(0,0)Jsi*/Ijry|1

因为hm-------------------------------------------------=nm-L•------------==产0，

P；：；P42

所以f(x,y)在点(0,0)处不可微.

知识点解析：暂无解析

产％+,)求巴里

24、设z=(x2=y2'H6为

标准答案：

由Z=(1+/)*<.+/，得z=ex」(f,

贝q*=eJd**「2sec2(z+y)tan(1+y)ln(1+/)+__^_^sec2(i+>)

在=e"f”"5//包-|-jr)tan(x-F)ln(x2^-y2)±-r^-^sec2(J+.

%Li+y」

知识点解析：暂无解析

25>设u=u(x,y)由方程组u=f(x,y,z,t),g(y,z,t)=0,h(z,t)=0确定，其中

变,弥也#0•求也及电

f,g,h连续可偏导且五3tat表以方

标准答案：方程组由五个变量三个方程构成，故确定了三个二元函数，其中x,y

为自变量，由u=f(x,y,z,t),g(y,z,l)=0,h(z,。=0,得

a”一,^/dt

石7f八五+九石'

dgdg

dRHzOgdtHzHt2g3h2Rdh

石石+苏石=3因为,»=T"3-----丁T-H0

dh2h③2％dt

3hdz、2h市装dt

——+——=0♦

dz8xdtdx

所以翌(?/__i)u

=0.—=0•于是丁=f

•f.r必三个方程两

边对y求偏导得

./，，表r>

不=/?+/,豆+九岳'

，入ah,，JgAh

J4

也一必空I区空dyi)z13jy〃

r)yJzAy(?fdyOg3h2gc)h

r

HhM，〃()za,a,J2

知识点解析：暂无解析

26、设f(x)在[a,b]上连续，证明：af(x)dxJxbf(y)dy=l/2[Jabf(x)dxK.

标准答案：令F(x)=/f⑴出，则Lbf(x)dxJxbf(y)dy=af(x)[F(b))—F(x)]dx

bb2b2b2

=F(b)faf(x)dx-faf(x)F(x)dx=F(b)-faF(x)dF(x)=F(b)-7F(x)|a=l/2F(b)=l/

b2

2[Iaf(X)dx]

知识点解析：暂无解析

27、设函数f(x,y)在D：x2+y2q有连续的偏导数，且在L：x?+y2=l上有f(x.

彳红十y红

1..『好"为…

=―匚hm]-----r~T~i~山"dy

y)三0.证明：f(0,0)…D，xy其中Dr：「232+丫251.

标准答案：

人\x=rcos<?,

ly=rsinG.

由里'co3+2♦sin。•得丁?二?・rcosO+?•rsin^—.ry

r)rr>x</.rf>yf,y

/M+"包

于是1=J/-.j上dzdy=「"£子Xrdr

9

=fo27t[f(cos0,sinO)—ffrcosO,rsinO)]dO=­f()27tf(rcosO,rsinO)dO,再根据积分中值定

理得I=—2兀f(rcosg,rsin^).其中。是介于0与2兀之间的值.故原式=一玛[一

1•

27tf(rcos^,rsin^)]=r-<»f(rcos^,rsi优尸RO,0).

知识点解析：暂无解析

y2〃+1

求塞级数M讨x2n

28、的和函数.

2n4-1

标准答案：级数J，!X2n的收敛半径为R=+8,收敛区间为(一8,

令5(I)=土与工”，

n•

则sa)=七竿+%丁

„->]n!R-ln!R-ln：

=2储它--+S9-1

77i(n-D!M〃！

8182.

=21”£丁一+