考研数学二（多元函数微分学）模拟试卷12

考研数学二（多元函数微分学）模拟试

卷12

一、选择题（本题共3题，每题上。分，共3分。）

1、在下列二元函数中，f〃xy（O,0）#/y/O,0）的二元函数是

A>f（x，y）=x4+2x2y2-y10.

B、f（%，y）=ln（l+x2+y2）+cosxy.

町"2_‘2，（%，）0（0,0）,

C>f（x，y）=C=（0,0）.

」f-2（x,y）#（0,0）,

xy

D、f（x，y）=0,（”=）=（0,0）・

标准答案：C

知识点解析：暂无解析

3h一/）相—%）

2、设M（iy）在Mo取极大值，并d%2'"

则

2

au(Af0)a21/(M。)

2NO,N0.

A、dxs2

2

au(M0)

<o,<0.

B、dx2

d2u(M)

0九(Mo)

2W0,W0.

C、dxay2

九(%)2

du(M0)

wo.N0.

D、dxa/

标准答室.C

知识点露斤：暂无解析

2»(*，),(0,0),

3、设f(%，y)=(”)=(°，°)，则敢，y)在点(0,0)处

A、连续，偏导数存在.

B、连续，偏导数不存在.

C、不连续，偏导数存在.

D、不连续，偏导数不存在.

标准答案：C

知识点解这是讨论f(%，y)在点(0,0)处是否连续，是否可偏导.先讨论f(x，

y)在点(0,0)处是否可偏导.由于f(%,0)=0(V尤(-8,+(»)),则,*1(。,。)=

0.同理，"(0.0)=0.因此B,D被排除.再考察f(x，y)在点(0,0)处的连续

lim/(x,y)=lim-

rKS3x—*0x

性.令丫=汇，则XT。丹(0,0),因

此f(>y)在点(0,0)处不连续.故应选C.

二、填空题(本题共3题，每题7.0分，共3分。)

4、设2=丫取2—丫2),其中f(u)可微，则“打ydy=.

z

标准答案：y2

知识点解析：暂无解析

5、设f(%，y)有连续偏导数，满足f(l,2)=1,fz(l,2)=2,fy(l,2)=3,①(：()=

f(X，2敢,2f(X,2⑼)，则敕1)=.

标准答案:302.

知识点解析：①(%)=f(左u(%)),u(%)=2f(x，v(x)),v(/)=2f(x，2%),v(l)=2f(l,

2)=2,u(l)=2f(l,v(l))=2f(l,2)=2,O,(l)=f|(h2)+a(1，2)u〈l)=2+

3『⑴，uXl)=2[fi(l,2)+f2(L2)v/(l)]=2[2+3v,(l)],v,(l)=2[fi(l,2)+

2f2(L2)]=2(2+2.3)=16.往回代=17(1)=2(2+3.16)=100,6(1)=2+3.100=

302.

6、设％=2c(y，Z),y=y(z,%),z=z(%,y)都是方程F(为，y,z)=。所确定的隐函

dxdydz

数，并且F(ky,z)满足隐函数存在定理的条件，则力azdx=

标准答案：一1.

知识点解析：由隐函数求导法知

dxdF/dFdyaF/aFdzdF/dF

毋dy/azdzlay'dxdx/也由F(%,y,外=()确

dFdxdF_0=>dx

定%=%(y，)将方程对y求偏导数得"力5一仃

dxdydz

将这三式相乘得ay&a%=-i.

三、解答题(本题共22题，每题1.0分，共22分。)

7、求下列函数在指定点处的二阶偏导数:

(I)z=arctan：一,求警；(II)z=e-xsin—

17(0.0)y斯打(2,为

标准答案：

(I)按定义

dz(x,0)d(arctanx)

dx

2

故dz

dx(0.0)

(n)=(e^cos-V-4

a2z

砂”(2.T)

a2z

dxdr(2.9

知识点解析：暂无解析

8、设z=f(u,v,%),u=(p(%,y),v=(p(y)都是可微函数，求复合函数z=f((p,

Hz〕dz

—与一

y)，w(y，%)的偏导数散打.

标准答案：由复合函数求导法可得

3

MdxF墨dx5墨dx打=八o墨x5,

(*)

知识点解析：暂无解析

9、设z=f(u,v),u=(p(x»y),v=W(X，y)具有二阶连续偏导数，求复合函数z=

f[(p(x»y)»v(x»y)]的一证与一阶偏导数•

-=/；亚+/；/，包亚"城

标准答案：已求得a”dxaxdydy72dy.下面进一步求

dz

d/.第一步，先对执的表达式用求导的四则运算法则得

dxoxdxa欠dxdx'dx2(*)

第二步，再求

3/：)与3/力、r……八’—

力7Q2.这里f(u,V)对中间变量U,V的导数碗粉仍

然是u,V的函数，而u,V还是心y的函数，它们的复合仍是心y的函数，因而

还要用复合函数求导法求2.(广1I)'，加—(/a)即

■，♦噌+,星)，初；)叩谴逃豹•第三步，将

它们代入(*)式得

土向穿+2坨畿+田窈察.*♦)

d2zd2z

用类似方法可求得砂2'打打.

知识点解析：暂无解析

10、设u=f(%,y,z,。关于各变量均有连续偏导数，而其中由方程组

y2+yz-zt2=0,

,①du与更

lex+zsint=0确定z,i为y的函数，求办1村.

标准答案：注意z=z(y),t=t(y),于是

du曳

--

dX

3%

亚②业与电

aydzdydltAy因此,我们还要求切—d兀将方程

组①两边对y求导得

2dxdr八

2y+z+yT五-2o以后=o,

・dxdt

+e，+sinl—+zcosi==UA・

*五dydy

dz),d«e_-(2y+z),(fe1+sint)^+(e1+zcost)^-=0.

dy一工dy-

记系数行列式为W=(y—t2)(ex+zcost)+2zt(tez4-sint),则

⑵一(2y+z)(/♦zcosf)

dzW=

5r0ex+zcost

dt_y-产(2y+z)(/+sin，)

-W~~

dyte*+sint

代人②得

8u亚

-

-力

dy

解

11＞设u=u(%,y)有二阶连续偏导数，证明：在极坐标变换为=rcosO,y=rsin9b

d2ud2ud2u1du1d2u

■■■***-+一•='■,+―I・+—一・■一・.

2122

有dxbydrrdrr而

标准答案：利用复合函数求导公式，有

dududxdudyndu.du

cos©—+s】n。一,

drdxdrdydrdxdy(♦)

dududxdudy.a加八du

­=-T7+-TZ=-rsinG—+rcosO—,

88dxd0dyd0dxdy

8

土c。畤偿卜sine^(g)=0+2sinflco.fi悬+sin

奈…sin&割引+3s呜信)-rc喏一rsin嚼.

色(学及色(学

再对a外dxlde\办/用复合函数求导法及(*)式可得

7=(-rsin。)2-2r2sindcos^-U-+(rcosff)2-r—

332dx2dxdydy2dr

d2u1d2ud2ud2u1du

于是府=*’京。£’

d2ud2ud2u1du1d2u

即---T+T=—z*++-r-

dx2dy2dr2，》---r2d62

知识点解析：暂无解析

12、设2=人心y）在区域D有连续偏导数，D内任意两点的连线均属于D.求证：

对VA（%O，yo）,B（XO+A%，yo+ay）£D，三峭0,1）,使得人加+勺（，yo+^y）一

"（与+^Ax,y0+8Ay）df（x0+始%为+9Ay）

------------------------------------Ax.------------------------------------Ay.

c,、3xdy

f（xo，yo）=7

p=x0+zAxv

标准答案：连接A,B两点的线段属于D：0=%♦必九日0,1］,在而上

f（x，y）变成t的一元函数①（t）=f（%o+t△无，yo+sy），①⑴在［。，1］可导，由复合函

数求导法

一小，/八砥与+必冗,%十必y）df（x+rAx,y+rAy）

=0（/）=-----------------------------------Ax+-------Q----------------0------------Ay・

dx办现在

二元函数的增量看成一元函数中⑴的增量，由一元函数微分中值定理

=/（"（）+Ax,y0+»）-/（々。0）=。（1）-。（。）=①'⑶

#（^o+必4，，0+"△））才（々+外4,%+My）

=-----------------：------------------Ax+------------------------------------Ay・

dxdy

知识点解析：暂无解析

13、设z(%,y)=Z3+y3—3/y(I)—oo<x<4-oo,—ooVyV+oo,求z(y,y)的驻点

与极值点.(n)D={(%,y)I%仄2,-2<y<2},求证：D内的唯一极值点不是

zQ,y)在D上的最值点.

皆=3x2-3y=0

­=3y2-3x二0

标准答案：(I)解方程组得全部驻点(0,0)与(1,1).再求

=6y

AB\dx2

考察=

Bc)

\dxdy

(0,0)处

H°「

Cl\-30\AC-B2Vo=(0,0)不是极值点.(1,1)处

lA午(6-3)

Cl\-36),AC-B2>0,A>0=(l,1)是极小值点.因此z(%,y)的

驻点是(0,0),(1,1),极值点是(1,1)且是极小值点.(U)D内唯一极值点(1：1)

是极小值点，z(l,1)=-1.D的边界点(0.-2)处.z(0,-2)=(-2)3=—8<

z(L1)因zOc，y)在有界闭区域D上连续，必存在最小值，又z(0,-2)<z(l.

1),(0,—2)€D=z(l,1)不是z(x，y)在D的最小值.

知识点解析：暂无解析

14、求函数z=/y(4一父一y)在由直线为+y=6,无轴和y轴所围成的区域D上的最

大值与最小值.

标准答案：区域D如图7.1所示，它是有界闭区域.z(%,y)在D上连续，所以在

D上一定有最大值与最小值，它或在D内的驻点达到，或在D的边界上达

到.为求D内驻点，先求^“=2/7(4一无一丫)一/丫=d(8—3%

dz产+2y=8,

-2y),办'=/(4—%—y)—£y=£(4—2y).再解方程组IN>2>=4,得

z(%,y)在D内的唯一驻点(%,y)=(2,1)且z(2,1)=4.在D的边界y=0,0<x<6

或％=0,0<y<6±z(x，y)=0：在边界％+y=6(0勺&6)上将y=6-%代入得z(x，

232

y)=X(6-X)(-2)=2(x-6Z),0<x<6.令h(%)=2(£—6/),则hk)=6(£—4。

卜(4)=0,h(0)=0,h(4)=-64,h(6)=0,即z(%,y)在边界为+y=6(0g炬6)上的最

maxmin

大值为0，最小值为一64.因此，。z(x，y)=4,。z(x，y)=—64.

知识点解析：暂无解析

15、已知平面曲线A£+2B/y+Cy2=l(C＞0,AC—B?＞。)为中心在原点的机

圆，

标准答案：椭圆上点(%,y)到原点的距离平方为d2=f+y2,条件为A/+2Bxy+

22222

Cy-l=0.令F(%,y,X)=x+y-X(AZ+2Bxy+Cy-1),解方程组

fF\=(2-24A)x-2BXy=0,①

%=-2BXx+(2-2CA)y=0,②

【巴=-(〜+2反"而_])=°,③将①式乘打②式乘

y,然后两式相加得[(1—A入)B"y]+[—B政y+(l—C*Jy2]=0,即£+y2=

22

X(AZ+2Bxy+Cy)=X,于是可得d=6.从直观知道，函数d2的条件最大值

点与最小值点是存在的，其坐标不同时为零，即联立方程组F1=0,Fy'=0有非零

1一4A一BX

=0,

-BA1-CA

亦即人---二----'4+---------7=0•

解，其系数行列式应为零.即AC-斤AC-B该方程

一定有两个根Q，入2,它们分别对应＜12的最大值与最小值.因此，椭圆的面积为

TT

入;入2.

NJ2

s=JAC-B

知识点解析：暂无解析

dz1小

16、设z(%,y)满足'।⑺=smy，②求z(%,y).

标准答案：把y看作任意给定的常数，将等式①两边对为求积分得z(%,y)=一

11

%siny-'inI1—/yI+(p(y),其中(p(y)为待定函数.由②式得一siny—‘InI1—

yI+(p(y)=siny,故(p(y)=2siny+'inI1—yI.因此，z(x，y)=(2一7)siny+

ii1-

一In----yL

y1-4y

知识点解析：暂无解析

(x.y)#(0,0),

r2+/

17、设政，y)=°，(%,y)=(0,0),(i)求a'"；(口)讨论政，y)

在点(0,0)处的可微性，若可微并求dfI(0.()).

df_2町22x3y2

标准答案：(I)当(%,y/(0,0)时,dx/+/(/+y2)2'当8y)=(o,

亚

0)时,因取,0)=0(V»,于是社(0.0)=o.由对称性得当(%,y),(o,0)时

亚=2.y_2-)3包理曳

力/+y2(/+尸尸・ay(oa=o.(n)考察晟'豆，在点(0,0)处

的连续性.注意

~22W1,一^一彳W1,于是~S4|z|,)W41yl.

lim—=0=—,lim亚=o=亚

(*.y)-»(0.0)dxdx(0,0)(>,y)-(0.0)dydy

曳更

即dx'dy在点(0,0)处均连续，因此(%,y)在点(0,0)处可微.于是

+红

d/l(0.0)dxdy=0.

(0,0)dy(0,0)

知识点解析：暂无解析

18、设z=(£+y2)eTCan,,求dz与力.

标准答案：由一阶全微分形式不变性及全微分四则运算法则得

dz=e-arc,*n^d(x2+y2)+(x2+y2)d(e-areUn^)

2xdx+2ydy-(x2+y2)——!--・辿

1+44

=e-rrUn^(2xdx+2ydy-xdy+ydx)=葭"皿亡［(2.r+y)dx+(2y-.r)dyl,

—=e-arcUn^(2x+v).

由dz的表达式得d%对y求导得

a'_-arm亡1-------2•丁(2欠+，)--arctanT1-_xy

■。一e1yx-e22,

dxdy1+-xz+y

L欠,」

知识点解析：暂无解析

14

19、设2=Xf(xy)+y(p(x+y)»且f，(p具有二阶连续偏导数，求社办二

业或包

标准答案：先求桁力.由于九⑹)是一元函数f(u)与二元函数u=xy的复合，U

是中间变量，(p(%+y)是一元函数(p(v)与二元函数v=%+y的复合，v是中间变

/z_虽_—

量.由题设知桁办一"所，先求力方便，由复合函数求导法则得

裳=—/’(町)兴盯)+3(“+y)+"(x+y)+y)

dyxdydy

=fr(xy)+<p(x+y)+'(4+y),

=y-l卓)=y/w(«y)+，(x+y)+/(%+/)•

dxdydydxdx\dyf

知识点解析：暂无解析

〃=《二，”卜求du及普~.

20、设\yz/dydz

王s=二/=Z

标准答案：u=f(yz〕是u=f(s,C)与y"复合而成的％,y,z的三

dududuadaausvdudu

元函数.先求du(从而也就求得a"‘ay'az)或先求蓑，近‘»’82也就可求得加，

以求史巴(或由更求或巴=曹)

然后再由打没力力a*由一阶全微分形式的不变性及全

/分的四则运算法则，得

du=小；+小田=/；也铲+/；也产

=y/idx+(-,/；+-7/2)^-gf；dz,

从而3=-/+■•

因此黑嗯信)=寸为或9)-»;

知识点解析：暂无解析

21、设z=z(%,y)是由方程xy+%+y+z=eZ。所确定的二元函数，求

喈喘

一d■zdz■dz一

标准答案：将方程两边求全微分后求出dz由出可求得a/的.再将力分别对x，y

d2z-z

求寻求得*'砺.将方程两边同时求全微分，由一阶全微分形式不变性及全微

分的四则运算法则，得yd%+%dy+d%+dy—d%=e7%,

解出dz=__[(r+I)dx+(x+1)dr],

az

再将£对X求导得

di

代入打的表达式得

/z_y+1)__1_______y+1,dx

a%ay-dyle*+1/ex+1-(/+I*dy

]_(々♦1)G♦1]_(e'+1•一(力♦1)(y♦1)/

1+1(屋♦1尸一"+1)3

知识点解析：暂无解析

22、设由方程(p(bz-cy，cx-az,ay—b»=0(*)确定隐函数z=:azdz中对

a—+h——.

dx

所有变量有连续偏导数，a,b,c为非零常数，且b(p—a(p#),求

标准答案：将方程(*)看成关于%,y的恒等式，两边分别对x，y求偏导数得

=0,①

叫.6更_e\.如…=0.②

分'由①xa②xb,可得

{力,

a-+b生+b-a*)e.

\dxdx

因此哪+嚎=

知识点解析：暂无解析

u=/(#--〃i,z-in),求把du

=0,不a%'3y

23、设g(x9ytz)

标准答案：将方程组对X求偏导数得

材dxI+"+/；+/；)]=/；+/；o2x

即

迦+空包=0,位:3/返.

dxdzdxdxdxdz

解得£_____5__号dz__/__筌0%____

靠I+“/['+7;+/;)]

du

不居U+“/l+/2+，3)1

将方程组对y求偏导数同样可

知识点解析：暂无解析

吟一4鲁+3吟=0,①

24、设2=必y)有连续的二阶偏导数并满足於dXdr"

(I)作变量替款u=3%+y,v=%+y,以u,v作为浙的自变量，变换上述方程；

(D)求满足上述方程南%(x，y).

标准答案：(I)将名对方y的偏导数转换为X对u,v的偏导数.由复合函数求导

dudz、dzdz

—dz=-d-z---+———dv=3—dz十——.—d—z

法得.dudxdtdxdudv这里加dv仍是山v的函数，而u,

V又是％,y的函数，因而

d2z,d2zd2z

富=3序*3+叁・3+为②

dvdudr2/31rdudv加

_；d2z

3业)+(匹+却=32，4正.。.③

dxdy\du2dudvl\dvdudv21duzHuHvdvz

dzdudzHvdzdz

+------=—+—,

又dudydvdydudv

卢+马+(星_当=&+2-----+--④

\du2dudv)\dvdudv2/du2dudv加

d2zd2z,d2zd2z

—A—_4------+3——A=—4--=---0-.

将②，③，④代入原方程①得mdxay力加加即原方

d2z

程①变成加加=0.⑤(II)由题(I),在变量替换u=3%+y,v=x+y下,求解满

=色(包)

足①的z=z(%,y)转化为求解满足⑤的z=z(u,v).由⑤式dMdu，=0,对v

dz

积分得a〃=f(u),其中f(u)为任意的有连续导数的曲数.再对U积分得z=(p(u)+

W(v)，其中(P，W为任意的有连续的二阶导数的函数.回到原变量得z=(p(3/+y)

+w(%+y).

知识点解析：暂无解析

25、在半径为R的圆的一切内接三角形中，求出其面积最大

图7.3

者.

标准答案：用心y,z表示三角形各边所对的中心角，则三角形的面积S可用不

-^-/?2ainx+-^-/?2siny+sinz,

y，z,R表示为S=222其中z=2兀一%—y),将

1

其代入得S=2R25耿一siny—sin(%+y)],定义域是»={(%,y)Ix>0,y>0,y+

y02兀}.现求S(%,y)鬲驻点：

—=』R2[cosx-cos(x+y)],—=』R2[cosy-cos(x+y)].

出2dy2解

电=0西=02_2.

dx,得唯一驻点：(%,y)=(于"'可\在。内部，又在D的边界二即

22

%=0或y=0或％+y=2兀时S(1,y)=0.因此，S在(3'3)取最大值.因£=y

22

=5兀，Z=371,因此内接等边三角形面积最大.

知识点解析：暂无解析

26、在空间坐标系的原点处，有一单位正电荷，设另一单位负电荷在椭圆z=2+

y2,%+y+z=l上移动，问两电荷间的引力何时最大，何时最小？

22222

标准答案：用拉格朗日乘子法.令F(1,y,z,入，H)=X+y+z+X(X+y-z)+

+从=

F'x=2x+2Ax0,

F\=2y+2Ay+〃=0,

解方程组

F't=2z-A+ft=0,

F'A=x2+y2—z=0,

畋+y+z-i），F二=%+y+z_1=0・由前三个方程得％=

z=2,，

解得-丫=

y，代入后两个方程得z=1-2%

(-1+与-1+