考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷81

考研数学一(概率论与数理统计)模拟

试卷81

一、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)

1、设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(%,y),已知X=Y，且都服从标准正态

分布.如有F(a,b)=2,则

A、a=O,b=O.

B、a=O,b>0.

C、a=0,b<0.

D、min(a,b)=O.

标准答案：D

知识点解析；由题设知，X与Y的分布函数为中(妙，据二维随机变量分布函数的

定义及已知条件有FQ,y)=P{X<X，Y<y}=P{X<X,X<y}=P{X<min(Z,y)}=

1

O(min(%,y)),又F(a,b)=O(min(a,b))=2,则有min(a,b)=.故选D.

j_2

2、已知X,Y的概率分布分别为P{X=1}=P{X=O}=爹，P{Y=1}=W,P{Y=

O)=4,且P{XY=1}=2,则p|X=YI=

1

A、T.

2

B、4.

3

C、4.

D、1.

标准答案：C

1

知识点解析：由题设知P{XY=1)=P{X=I,Y=l}=2,又已知X,Y的分布，

从而可求出下表中用黑体表示的数字，得(X,Y)的概率分布

P{X=1,Y=l}=424,故选c.

3、已知(X,Y)的联合密度函数f(%,y)=g(%)h(y),其中g(%心0,h(y)>0,a=i-^

、(好女，b=L£/h(y)dy存在且不为零，则X与Y独立，其密度函数fx(%),fy(y)

分别为

A、A(x)=g(x)，A(y)=h(Y).

B>fx(x)=ag(x),fY(y)=bh(y).

C、fx(x)=bg(x),fy(y)=ah(y).

D、fx(X)=g(X)»D(y)=abh(y).

标准答案：C

知识点解析：显然我们需要通过联合密度函数计算边缘密度函数来确定正确选

项.由于fx(X)=J—8+8f(X，y)dy=J-oo^^g(X)h(y)dy=g(%)f-oo+°°(y)dy=bg(%).fy(y)

+x+x+co+x+

=f-oog(z)h(y)d%=ah(y),又1=f-00j-00f(z,y)dxdy=f-oog(x)dxf-oo

°°h(y)dy=ab,所以f(x，y)=g(x)h(y)=abg(%)h(y)=bg(x)ah(y)=fx(x)fy(y)，X与Y

独立，故选C.

4、假设X是只可能取两个值的离散型随机变量Y,是连续型随机变量，且X与Y

相互独立，则随机变量X+Y的分布函数

A、是连续函数.

B、是阶梯函数.

C、恰有一个间断点.

D、至少有两个间断点.

标准答案：A

知识点解析：设X的概率分布为P(X=a}=p,P{X=b}=l—p=q(a#b),而Y的

分布函数为F(y),U=X+Y.因为X与Y相互独立，故由全概率公式有F(u)=

P{X+Y<u}=pP{X+Y<uIX=a)+qP{X+Y<aIX=h}=pP{Y<u-a)4-qP{Y<ii

—b}=pF(u—a)+qF(u—b).由此可见X+Y的分布函数F(u)是连续函数.故选

A.

2

5、设随机变量X与Y独立，且X〜B(l,2),丫〜N(0,1),则概率P{XY《)}的值

为

A、0.

1

B、4.

1

C、爹.

3

D、4.

标准答案：D

11

知识点解析：X〜B(l,2),即p{x=0)=P{X=l}=2.可以将事件“X=0”和事

件“X=l”看成一完备事件组，由全概率公式有P{XY4)}=P{XYS0,X=0}+

1-LU

P{XY<0,X=l)=P{X=0)+P{Y<0,X=l)2+P{Y<0}P{X=l}=22

1

0(0),其中①(乃是标准正态分布N(0,I)的分布函数，①(0)=2,故P{XY4)}=

2

4.故选D.

二、填空题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)

6、设6={(七y)I0</<3,OWyWl}是一矩形，向矩形G上均匀地掷一随机点(X,

Y),贝I」点(X,Y)落到圆£+y2"上的概率为.

标准答案：可信+9

知识点解析：依题设，二维随机变量(X,Y)在矩形G上服从均匀分布，且SG=

〃\[k，°WxW3，°WyWl,

3,于是(X,Y)的联合概率密度为l°*其他，

又矩形G上的点(X,Y)落到圆X2+Y244上的区域如图3.1所示，分成三角形和

-1}=0.1+0.2+0.1=0.4：P{X2Y2=I)=P{X=1,Y=-1}+P{X=1,Y

=1)=0.1+0.2=0.3.

三、解答题（本题共27题，每题1.0分，共21分。）

9、设（X,Y）的联合分布函数为

w、[I+，+e--7>°,

I0其他，其中参数入>0,试求X

与Y的边缘分布函数.

标准答案：当公>0时,Fx（X）=P{X<x}=F（x，+8)=1—ex；当烂0时，Fx(x)=

厂-L,x>0.

&⑺=

I0,4W0.类似地，关

0,因此关于X的边缘分布函数为

I-,y>0,

%⑺

于Y的边缘分布函数为0,yW0.

知识点解析：暂无解析

10、设二维离散型随机变量只取（一1,—1）,（—1,0）,（1»—1）,（1,1）四个值，

j_j_j_2

其相应概率分别为于'7•7（1）求6，Y）的联合概率分布；（口）求关于乂与

关于Y的边缘概率分布；（HI）求在Y=l条件下关于X的条件分布与在X=1条件

下关于1,的条件分布.

标准答案：（I）依题意，（X,Y）的联合概率分布如下表所

X-01P\X=i|

17

-1,0

3412

15

1-0

6412

11

巴y=/iT~4T

示.----------------------------（n）关于x与关于Y

5

的边缘概率分布分别为表中最右一列与最后一行.（口）由于P{X=1}=12,p[Y=

1}=彳，且在Y=1条件下，X只取1,因此关于X的条件概率分布为P{X=1IY

p|x=i,y=1}=i/4

=1）=一"八丫=11—=访=1;在X=1条件下，Y取一1和1两个值。其

1_3_

条件概率分布为P{Y=-1IX=l）=5：P（Y=1IX=1}=T

知识点解析：暂无解析

11、设随机变量X在区间(1,3)上服从均匀分布，而Y在区间(X,3)上服从均匀分

布.试求：(I)随机变量X和Y的联合概率密度f(x，y)：(11)随机变量丫的概率

密度fy(y).

标准答案：随机变量X的概率密度为fx(X)=l/2(1V/V3)：对于1V%V3,随机

变量Y在{X=%}的条件下的条件概率密度为

/wx(yI*)=3-*,<x<y<3,

°，其他-(I)由密度乘法公式，得X和Y的联合

2(37"1<”<,<3,

概率密度敢，y)为f(x，y)=fx(%)fYix(yIx)=°，其他・(口)

当ySl和在3时，显然fY(y)=O；对于l〈y<3,有fY(y)=J-8**8丫姒=

yf”4=-；[ln(3-y)-ln2]=--in

2九3-4223-y于是，随机变量Y的概率密

1.2

r--In------.1t<y

/y(y)=23-y

度为o.其他・

知识点解析：暂无解析

12、设二维离散型随机变量(X,Y)的联合概率分布为

XI234

11/4000

21/81/800

31/121/121/120

41/161/161/161/16-

------------试求：

(I)X与Y的边缘分布律，并判断X与Y是否相互独立；(H)P{X=Y}.

标准答案：（I）由于边缘分,律就是联合分布律表格中行或列中诸元索之和,

所以

Pl.〃2・=Pi.=P4.=—；

4

±.11125

―+—+—+—=——.

48121648,

】4I工I13

8121648,

I17

石+正二行；

P.4

.假如随机变量与相互独立,

XY就应该对任意

口〃，J，都右Pij=pi.pj,而本题中o4=0,但是pi与P4均不为零

所以

PI4钿.P4.,故X与Y不是相互独立的.（n）p[x=Y]=

1.125

481216-48

知识点解析：暂无解析

13、设二维[态随机胃量（X,Y）的概率密度为f（%,y）,已知条件概率密度仅1

MW京f，、「"'xWMBe试求：⑴常数A和

（口）改（X）和fY（y）;（皿）的c，y）.

在’（，+）2=_1_.厘

标准答案：（I）令行石

4=可解得“/一冬

A<-由对称性得

B=A=az（口）由于

•Al“4Iy)_fx(x)

2

x-xy>r)-()-xy+T)J

fnx(yI)/>•(y)一e

故fx(%)=ce\fY=ce'\显然c=7元.即

二方「二""）"方e".

'（m）f（x，y）=fxiY（xl

4(x-f)21-亨1-y(x2)

------e=-----e

y/2irGrr

知识点解析：暂无解析

001-

213L2.

14、设随机变量X〜L.28」20」，且P{IXlHl

YI}=1.（I）求X与Y的联合分布律，并讨论X与Y的独立性；（!□☆U=X+

Y,V=X—Y,讨论U与V的独立性.

标准答案：(I)由P{IXI"YI}=1知，P{IXI=IYI}=0.由此可得X与

X-101

-103/803/8

01/803/81/2

101/801/8

Y的联合分布律为1/81/23/81因为

P{X=-1,Y=-1}^P.{X=-1}P{Y=-1},所以X与Y不独立.(II)由(X,

Y)的联合分布律知U,V的取值均为一1,1,且P{U=V=-1}=P{X=—【，Y=

_L1

0}=8,P{u=-1,V=1}=P{X=O,丫=-1}=8,P{U=1,V=-1}=P{X=

0,Y=l}=8,P{U=V=1}=P{X=1,Y=0}=8,故U与V的联合分布律与

立.

知识点解析：暂无解析

常数a；（II）求两个边缘分布律；（HI）说明X与Y是否独立；（W）求3X+4Y的分

布律：（V）求P{X+Y>1）.

标准答案：（I）由1=

7

24

.(II)由(X,Y)的

两个边缘分布律分别

X-10Y123

pLAp1120

为1212242424(ni)因为P{x

17

=-l,Y=:3)==12^P{X=-1}P{Y=3}=72故X与Y不独立.(W)由(X,Y)的

分布律，得

P2__I__L2._L

1212"12242412

(X,Y)(-1,1)(-1,2)(-1,3)(0,1)(0,2)(0,3)

3X+4r1594812

x+r012123

所以3X+4Y的分布律为

3X+4Y1458912

511711

P

12241224?212

x♦y0123

5131

)28g\2

(V)由(W)可得X4-Y的分布律为所以

341—11=—

P{X+Y>1}=P{X+Y=2}+P{X+Y=3}=81224.

知识点解析：暂无解析

16、设随机变量X〜B(l,2),Y〜E(l),且X与Y相互独立.记Z=(2X—1)Y,

(Y,Z)的分布函数为F(y,z).求：(I)Z的概率密度fz(z)；(H)F(2,一1)的值.

_L2A±±

标准答案：(I)Fz(z)=2p{—Y$z}+2p{Y&z}=2p{Y2z}+2p{Ygz}2[1-P{Y

111

YY

<—z)]+2P{ygz}=2[1—P{y<-Z[+P{Y<z}]=2[1—F(—Z)+F(Z)].于是

2

fz(z)=F，z(z)=2[fY(—z)+fY(z)]=2。1z1,—oo<z<+oo.(U)F(2,—1)=

P{Y<2,Z<-1}=P{Y<2,(2X-1)Y<-1}=P{X=0}P{Y<2,(2X-1)Y<-1IX

2

=0}+P{X==1}P{YS2,(2X-1)Y<-IIX=l)=2P{Y<2,-Y<-IIX=0}+

_L111

2P{Y<2,Y<-lIX=l)=2P{Y<2,-Y<-1)+2P{Y<2,Y<-1)=2

±±±

P{1<Y<2}+2P{Y<-1)=2P{1<Y<2}=2(e-,-e-2).

知识点解析：暂无解析

17、将三封信随机地投入编号为1,2,3,4的四个邮筒.记X为1号邮筒内信的

数目，Y为有信的邮筒数目.求：(I)(X,Y)的联合概率分布；(D)Y的边缘分

布；(HI)在X=0条件下，关于Y的条件分布.

标准答案：(I)(X,Y)的全部可能取值为(0,1),(0,2),(0,3),(1,2),(1,

3),(2,2),(3,1),再分别计算相应概率.事件{X=0,Y=l}表示“三封信均投

入后3个邮筒中的某一个邮筒内”.依占典概型公式，样本空间所含样本点数为43

=64,有利于事件[X=0,Y=l}的样本点数为C31=3,于是P{X=0,Y=l}=

S=A

4?"64另一种计算事件{x=0,Y=l}的概率的方法是用乘法公式：P{X=

33CJ3

---X■■■=■■■■».

0.Y=l}=P{X=0)P{Y=lIX=0)=4'3，64类似地可以计算出各有关

概率值，列表如下：

y

23

03/6418/646/64

109/6418/64

209/640

31/6400

P\Y=J|=p・j4/6436/6424/64

---------------------(n)从表中

看出Y只取1,2,3三个可能值，相应概率分别是对表中pij的各列求和.于是Y

里9_2

的边缘分布为表中最后一行的值.(IH)P{X=0}=64,64*6464,P{Y=jI

■M=o,y:力

X=0}=P\X=0|(j=],2,3).在X=0条件下，关于Y的条件分布，

可以应用上述公式计算出来，列表如下:

YI23

产力*(iI“I)1/92/32/9

知识点解析：暂无解析

18、设随机变量Yi(i=l.2.3)相互独立.并且都服从参数为p的0—1分布.令

I，…,2.

°，匕♦丫2♦丫3*k,求随机变量(X],X2)的联合概率分布.

标准答案：易见随机变量(Xi,X2)是离散型的，它的全部可能取值为(0,0),(0,

1),(1,0),(1,1).现在要计算出取各相应值的概率.注意到事件Y1，丫2,丫3相

互独立且服从同参数p的0—1分布，因此它们的和丫]+丫2+丫3白丫服从二项分布

B(3,p).于是P{Xi=0,X2=0}=P{YI+Y2+Y3丹,Yi+Y2+丫3先}=P{Y=0}

33

+P{Y=3)=q+p,(qA]—p)p{Xi=0,X2=1}=P{丫什丫2+丫3#1，YI+Y2+

2

Y3=2)=P{Y=2}=3pq,P{Xi=l,X2=0}=P{Y|+¥2+¥3=1,YI+Y24-

Y3r2}=P{Y=l}=3pq2,P{Xi=l,X2=1}=P{Y!+Y2+Y3=1,YI+Y2+Y3=

2)=P(0)=O.由上计算可知(Xi，X2)的联合概率分布为

i2

19、已知随机变量X,Y的概率分布分别为P{X=-1}=4,P{X=0)=2,P{X

■1■I■■I1—1—1■■I

=1)=4.P{Y=0}=4,P{Y=1}=2,P{Y=2}=4,并且p{x+Y=1}=1,

求：(I)(X,Y)的联合分布；(n)x与Y是否独立?为什么？

标准答案：(I)由题设P{X+Y=1}=1,即P{X=-1,Y=2)+P{X=0,Y=l)

+P{X=1,Y=0)=l,故其余概率值均为零，即P{X=—1,Y=0}=P{X=—

1,Y=l}=P{X=0,Y=0}=P{X=0,Y=2}=P{X=1,Y=1}=P{X=I,Y=

2)=0,由此可求得联合分布为

知识点解析：暂无解析

20、在时刻1=0时开始计时，设事件Ai，A2分别在时刻X,Y发生，且X与Y

是相互独立的随机变量，其概率密度分别为

222

,,、f2e-\x>0,f4ye-\y>（

A（X）=io,其他.My）'{o,其他

求A］先于A2发

生的概率.

标准答案：由X和Y的独立性，知X和Y的联合概率密度为

附el"，），x>0y>0,

/（7）t

其他.

I0,按题意需求概率P{XVY}.如图

3.2,则有

=08/院2(*“)也叼=,；8打］：8/屋2(一八心

P\X<Y\

D

yr♦00%

Ay=-4|/(e-4r-e-2y)dy

0Jo

=叫。您/-*21办=/.

知识点解析：暂无解析

21、已知(X,Y)在以点［0,0),(I,-1),(1,1)为顶点的三角形区域上服从均匀

分布.(1)求(乂，Y)的联合密度函数f(%,y)；(1)计算概率P{X>0,Y>0),

J_±2.

P{X>2IY>0},P{X>2IY=4}.

标准答案：直接应用公式计算，但要注意非零的定义域.（1）由于以（0,0），（1，

1

一1），（1,1）为顶点的三角形面积为2xlx2=l（如图3.3）,故

1,0Cx1,|y|<z,

0,其他.

(D)P\x>0tr>0|=J/(”,y)dxdy=J：d"：dy

X>0,y>0

//(x,y)dxdy

P[X>^.Y>O]

«>y.r>o

PX>

{Ty>o}=p|y>oi

p(x,y)dzdr

y>o

/卜小J；

3/83

/：呵》1石一彳，

Px>

{Ty=+卜八/x.K(x|y=y)dx=1rb=今.

I-7

图33

知识点解析：暂无解析

22、设二维连续型随机变量（X,Y）在区域D=｛（x，y）Igy£（S3—y,朽1｝上服从

均匀分布，求边缘密度fY（%）及在X=x条件下，关于Y的条件概率密度.

标准答案：如图3.4所示，区域D是一个底边平行于无轴的等腰梯形，其面积SD

2

=2(i+3)xl=2,因此(X,Y)的联合概率密度为

/(”)=件"”

10,其他.

x

0x<1,

1「我，2

1

x1<x<2,

fx()=J/(*y)dy=«J/10匏2，T9

3-x

2W4W3,2WxW3,

广豪，2

0,其他0,其他.

0Cy<x,

：当0<烬1时，fyIx(yI%)=°，或>>“；当时，fY।X(yI

功=1。，其他；当25%V3时，fyIx(yI/)=其他；当

笈。或左3时，由于fx(I)=0，因此条件密度fyIX。I%)不存在.注意在质。或

定3时，fy।x(yI%)不是零，而是不存在.图3.4

知识点解析：暂无解析

23、设随机变量X在区间(0,1)上服从均匀分布，当X取到%(OV%V1)时，随机变

量Y等可能地在(%,1)上取值.试求：(I)(X,Y)的联合概率密度；(11)关于丫的

边缘概率密度函数；(HI)P{X+Y>1}.

标准答案：(I)根据题设X在(0.1)上服从均匀分布，其概率密度函数为

10<x<1

人⑴=99

°，其他・而变量Y,在X=%的条件下，在区间(%,I)上服

,0<x<y<1,

I*)=

从均匀分布，所以其条件概率密度为I°，其他・

再根据条件概率密度的定义，可得联合概率密度f(by)=fxa)fYix(yl%)=

1-：------,0<X<y<1,

,1-x

0-其他，(U)利用求得的联合概率密度，不难求出关于Y的边

fy(y)=f/(x,y)dx=|-------=-ln(1-y).

JJQ1-X

-In(1-y).0<y<I,

故人⑺=

缘概率密度0,其他.(Hi)由图3.5

可以看出

P\X>\\=/(X,y)dz

图3.5

知识点解析：暂无解析

24、设随机变量X服从标准正态分布N(O,1),在X=%(—8<%<+8)的条件下,

随机变量Y服从正态分布N(%,I).求在Y=y条件下关于X的条件概率密度.

标准答案：依题意，X的概率密度为fx(%)=在X=%的条件下，关于

Y的条件概率密度为fYix(yIx)=.根据条件概率密度的定义可得

X与Y的联合概率密度为f(x，y)=fx(z).fYIx(yIX)=

——C-T・——

而2”根据二维正态分布的性质可

知，二维正态分布(X,Y)的边缘分布是一维正态分布，于是Y的概率密度为

—七

/y(y)=

2

G根据条件密度的定义可得

/(4,y)2i

x=

fx\Y(Iy)-1.W

2A进一步分

析，可将fx।Y(%Iy)改写为如下形式：fxiY(XIy)—°.从

y]

上面式子可以看出，在Y=y条件下关于X的条件分布是正态分布N(2'2).

知识点解析：暂无解析

1

25、已知随机变量X与Y相互独立且都服从参数为爹的0—1分布，即P{X=O}=

11

P{X=1}=2,P{Y=0]=P{Y=1}=2,定义随机变量Z=

ri,当x+y为偶数，

to,当*♦y为奇数•求Z的分布；(X,Z)的联合分布；并问X与Z是否独立.

标准答案：由于(X,Y)是二维离散随机变量，故由边缘分布及相互独立可求得联

合分布；应用解题一般模式，即可求得Z及(X,Z)的分布，进而判断X、Z是否独

'(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)、

_LJ__L

立.由题设知(X,Y)〜I4444J,则z、(X,Z)的分布为

1i2

TT4

（x,y）(0.0)(0,1)(1.0)(1,1)

ooi

(X,z)

的0.1分布;

111

—=*X

=i,Z=j}=422=p{x=i}p{Z=j}(i,j=0,I),故X与Z独立.

知识点解析：暂无解析

26、假设随机变量X与Y相互独立，如果X服从标准正态分布，Y的概率分布为

_£2

P{Y=-1}=4,P{Y=1}=1,求：(I)Z=XY的概率密度fz(z)；(n)v=x

-YI的概率密度fv(v).

2.2.

标准答案：(I)依题意P{Y=-1)=4,P{Y=1)=<X〜N(0,1)且X与Y相互

独立，于是Z=XY的分布函数为Fz(z)=P{XYWz}=P{Y=—l}P{XYWzIY=-1}

+P{Y=l}P{XY<zIY=1J=P{Y=-l)P{-X<zIY=-l)+P{Y=l[P{X<zIY

13

=1}=P{Y=-l}P{X>-z}+P(Y=l}P{X<z}=4[l-P)X<-z)]+4P{X<z}=

-l_r1—(b(—x)14--^-0(z)=--0(Z)♦--0(z)=0(z)

411/4^4处J4—\即2=乂丫服从标准正

I£

--------e2

态分布，其概率密度为也(z)=(p(z)=Q『.(n)由于v=IX-YI只取非负

值，因此当vVO时，其分布函数Fv(v)=P{IX—YI0v}=O；当vNO时，Fv(v)

=P{-v<X-Y<v}P{Y=-l[P{-v<X-Y<vIY=-l)+P{Y=l)P{-v<X-

131

Y<vIY=l)=4P{v-l<X<v-lIY=-l)+4{-v+l<X<v+lIY=l}=4

31———3MB

P{-V-1<X<V-1}+4p{-v4-l<X<v+1}=4[O(V-l)-O(-v-1)]+4[O(v+1)

1133

一①(一v+l)]=40(v-1)-411-0(v+1)]+4(V-FI)-411-<D(V-1)]=0(v-l)

r0(v-1)+(P(v+1)-1,v^0.

F"r)={

+①(v+l)—l.综上计算可得I°，v<0-

由于Fv(v)是连续函数，且除个别点外，导数存在，因此V的概率密度为

1(・一“‘<・♦”,

[WVT)+3(U+1)，VMO,'+e-'],”00,

/z⑴2(=/2ir

I0,v<0

0,v<0.

知识点解析：暂无解析

27、已知随机变量X服从参数为1的指数分布，Y服从标准正态分布，X与Y独

立.现对X进行n次独立重复观察，用z表示观察值大于2的次数，求1=丫+2

的分布函数FT«).

z2

标准答案：由题意知Z—B(n,p),其中P=P{X>2}=12+8edZ=e,即Z〜

B(n,e-2),又x与Y独立，故Y与Z独立，Z为离散型随机变量，应用全概率公