考研数学三（解答题）高频考点模拟试卷27

考研数学三（解答题）高频考点模拟试

卷27

一、解答题（本题共15题，每题1.0分，共不分。）

1、设A是n阶非零实矩阵，满足A*=AL证明|A|>0.

标准答案：把条件A*=AT写出，

则与=仆.ViJ.

于是4=£%册=工Vi•

E/•I（也可从AAT=AA^=|A|E,也

£W，Vi.）

可得到|Ak由于A是实矩阵，其元素的平方知，又A有非0元素，得

|A|>0.

知识点解析：暂无解析

为+12-/3=1

<2/1+（。+2）了2—（6+2）JT3=3

2、就a,b的不同取值，讨论方程组1一3“2+（。+26）工3=-3

11-1

D=2。+2—6-2=Q（a—6）.

标准答案：0-3a0+26（1）当a#）,a#）时，方程组

22

有唯一解，唯一解为X]=l—X2=1，（2）当a=0时，

1一111fl1-11

2--6-23-00b一1,

02b-3J1000一因为r（A）#ZX）,所以方

程组无解；（3）当@=屏0时,

001-a

1-1a1

000方程组有无穷多

个解，通解为lJ°"k为任意常数).

知识点解析：暂无解析

3、设A是正定矩阵，B是实对称矩阵，证明AB相似于对角矩阵.

标准答案：A是正定矩阵，存在可逆实矩阵C,使得A=CCT,则AB=CCTB.于是

C1ABC=C1CCTBC=CTBC.即AB相似于(5BC.而EBC是实对称矩阵，相似

于对角矩阵.由相似的芍递性，AB也相似于对角矩阵.

知识点解析：暂无解析

f*a4-6C*

JCf(x)dj-)--/(x)dj.

4、设f(x)在[a,b]上连续且单调增加，证明：兀2J.

/a+6\「[a+八]

9(/)=卜-----―),

标准答案：令'2'L'2因为f(x)在⑶b]

上单调增加，所以a(p(x)dxK),而

)(kr=J：(工一审)(g)]"

.T)3F)aT〃=--口)”世

=Jxf(a-)dj—/(彳)"，

a+6

bb

故Jaxf(x)dxN2faf(x)dx.

知识点解析：暂无解析

5、假设曲线Li：y=l—x2(0sxW)与x轴和y轴所围区域被曲线L2：y=ax2分为面

积相等的两部分.其中a是大于零的常数，试确定a的值.

(0<1)

6、设片z(x,y)是由方程F(xy,y+z,xz)=O所确定的隐函数，且F具有一阶连续

dzdz

偏导数,求茶'力.

标准答案：【解法一】此题既有友合函数运算又有隐函数求导问题，将隐函数方

程对x,y求偏导数，则有

【解法二】把方程F(xy,y+z,xz)=O看成关于(x,y)的恒等式，两端求全微分,

由一阶全微分形式不变性可得0=dF(xy,y+z,xz)=F'|d(xy)+F'2d(y+z)+F'3d(xz)

=F,i(ydx+xdy)+F，2(dy+dz)+F，3(zdx+xdz)

=(yF)十zF'3)dx十(xF'i十F'2)dy十(F'2十xF'3)dz,由此可解出

知识点解析：暂无解析

7、设f(x)为偶函数，且满足P(x)+2f(x)—3Hf(t-x)dt=-3x+2,求f(x).

xx

标准答案：Jof(tx)dt二一J()Xf(t—x)d(x—t)=一jx0f(u)du=Jo(u)du,则有

f(x)+2f(x)-3j()xf(u)du=-3x+2,因为f(x)为偶函数，所以F(x)是奇函数，于是

「(0尸0,代入上式得f(0)=l.将F(x)+2f(x)—3Hf(u)du=一3x+2两边对x求导数得

x3x

f'(x)+2f(x)-3f(x)=-3,其通解为f(x)=Cie+C2e+l,将初始条件代入得

f(x)=l.

知识点解析：暂无解析

P{Xni}=Li=—1,0,1）

8、设随机变量x与y相互独立，X的概率分布3,丫的

1,

/r（＞）=，记Z=X+Y.1

概率密度为0,其他，记Z=X+Y。（I）求P（Z“

|X=0}；（11）求2的概率密度£式力。

标准答案：

(I)P(z<vIx-o}-〈44Ix=o}=4-1x-o}-P{y

44PX+Y4P{04-YC

Cy?=fy(.y>dy==y.

f0.y<0

（口）丫的分布函数为：43）=1不0<><1

1.心1

z的分布函数为

I

Fz(z)=PZ&z>=P{X+Y4z)=ZP{X+Y&z|X=i)P{X=i}

・・T

P(-l+Y&zIXA-l>・；+P<0+y&z|X=0)・；+P”+Y&£|XN】1・；

«5JJ

=4<P{y《N+i}+P(yaz}+p{y&z-i}]=-1-[Fy(x+1>+FY(Z)+FY(Z-D]

,0,z+lVOfO,z<00.r-1<0'

«z+1,0<z+1<]+<z,04zVl+«z—1.0<z-l<1

…1,«4-l>111.z2l1.z一12】.

0,2<-1(0,ZVO|0,«<1■

-y«z+l,-l4zV0+'■z.0&NV1++-1,1&NV2

Ll1.z》01.z21I1.2.

0.«<-l

'0,«<-11

-1<«<2

=N+】，—l[«^<z</24=<3+1〉

*>

z221

1,z>2

T,

1

故/z(z)=F^Cz)=T

o.其他

知识点解析：暂无解析

9、设f(x)在[a,b]上连续，且g(x)>0.证明：存在一点乐[a,b],使

bb

Iaf(x)g(x)dx=f(^)fag(x)dx.

标准答案：因f(x)在⑶b]上连续，故mSf(x)SM.因为g(x)>0,

bbb

mg(x)<f(x)g(x)<Mg(x),mfag(x)dx<faf(x)g(x)dx<Mfag(x)dx,

[/(x)^(x)dz

m--------&M,

g(x)dr

a

f/(x)g(x)dr

从而三£6[a，6]，使得/(◎=%---------

jg(x)di

知识点解析：暂无解析

8

、设。7为发散的正项级数,

10令Sn=ai+a2+...+an(n=l2,...).证明:

8

S(一1尸

!•,1S"收敛.

'I-

标准答案：显然单调增加，因为级数W八发散，所以!叫S"=十°°,对交错级

v(-1>,11r..1_Av

2[■x""''♦।oIlim-0♦7▲Q

数WS.因为is.Li单调减少，且一S.所以…S.收敛.

知识点解析：暂无解析

；112)1()

A=—I10.8=-10<•

〃问为何值时，矩阵方程

II、设10H11'.a,b,c

AX=B7j解?有解时求H全部解.

标准答案：令X=(Xi,X2,X3),B=(pHp2,P3)，方程组AX=B等价于

产=fix

“{AX?=p2-

IAX3'仇则人*=8有解的充分必要条件是r(A)=r(A区B),AXi=0i的通

解为Xi=kiAX2=p2的通解为X2=k2AX3=p3的通解为X3=k3则X=(Xi,X4

X3)=,其中ki，k2,k3为任意常数.

知识点解析：暂无解析

12、设随机变量X服从(0,1)上的均匀分布，求下列函数的密度函数:

1

x2

(I)Y|=e；(n)Y2=-21nX；(此丫3二刀；(I7)Y4=X.

r，o<«<i,

标准答案：依题意，X的概率密度为fx(x)=1O，其他.(I)y=eX在(0,])内是

冈

x的单调可导函数，其反函数x=h(y)=lny的定义域为(1,e),x=h'(y)=#),用

公式(2.16)即得Y的概率密度为(H)y=-21nX在(0,1)内单调可导，其反函数

x=h(y户的定义域为(0,+8),h，(y)=#),根据公式(2.16),丫3的概率密度为(UI)产

在(0，1)内单调可导，其反函数x=h(y)=的定义域为(1,+co),当y>l时，其导数

h，(y)=#),应用公式(2.16),丫3的概率密度为(W)y=x2在(0,1)内单调可导，其反

函数x=h(y)=的定义域亦为(0,1),且h('yB.应用公式(2.16),丫4的概率密度

为

知识点解析：暂无解析

考虑一个系统由各元件按照图1-5连接而成，其中元件1和元件2并联而成一个子

系统，子系统工作当且仅当元件1和元件2至少有一个工作；元件3和元件4串联

而成一个子系统，子系统工作当且仅当一元件3和元件4都工作.已知各元件工作

的概率均为0.9,且各元件是否工作是相互独立

的.图IT

13、求系统工作的概率

标准答案：设事件Ai表示“元件i在工作”，则P(Ai)=0.9.P(A|+A2+A3A4)

=P(A1)+P(A2)+P(A3A4)-P(AIA2)-P(AlA3A4)-

P(A2A3A4)+P(A|A2A3A4)=P(A1)+P(A2)+P(A3)P(A4)-P(AI)P(A2)-P(A1)P(A3)P(A3)-

P(A2)P(A3)P(A4)+P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)=0.9+0.9+0.9x0.9-0.9x0.9-

0.9x0.9x0.9-0.9x0.9x0.9+0.9x0.9x0.9x0.9=0.998I,故系统工

作的概率为0.9981；

知识点解析：暂无解析

14、已知系统工作，求元件1工作的概率

标准答案：设事件Ai表示“元件i在工作”，则

P(Ai产。.9.P(AI|(A]+A2+A3A4)尸P(AI(AI+A2+A3A4))/P(A]+A2+A3A4)=P(A])/P(A