考研数学二（概率论与数理统计）模拟试卷6

考研数学二（概率论与数理统计）模拟

试卷6

一、填空题（本题共I题，每题L0分，共I分。）

1、设二维随机变量(X,Y)服从正态分布N(|i,山a2,a2,0),则

E(XY2)=，E[(X+Y)2|=o

标准答案：,20*4-4|i".

知识点解析：由于(X,Y)服从正态分布N(p,g,O2,O2,0),所以X服从N(p,

/)，Y也服从N(R,O2),而p=0,所以X与Y是相互独立的.因此

E(XY2)=E(X).E(Y-)=E(X)[D(Y)+(EY)==MC+厂)=|1O-+N.E[(X+Y)2]=E(X-+2XY+

Y2)=E(X2)+2E(X)E(Y)+E(Y2)=D(X)+[E(X)]2+2E(X)E(Y)+D(Y)+[E(Y)]2

oo000OO

=b+H_+2pr+b+[.

二、解答题（本题共20题，每题1.0分，共20分。）

2、设X和Y是相互独立的且均服从正态分布N（0,（讶））的随机变量，求Z=l

X-Y|的数学期望。

标准答案：由于X和Y是相互独立的且均服从正态分布N（0,（层））的随机变

量，所以T=X—Y服从N（0,1）,其概率密度为

a\I/

/（<）=--e2,-8<1<+8.

V2TT

故E（Z）=^（|x-r|）=E（|T|）==正（1£山=疗.

知识点解析：本题考查独立条件下正态分布的性质及其函数的期望的计算.需要先

判断X-Y的概率分布，然后再选择恰当的公式计算.

3、设Xi和X2是相互独立的且均服从正态分布N（p,。）的随机变量，求

E（max（Xj,X2））.

标准答案:设X1，X2的分布函数为F(x),Z=max{Xi，X2),则fz(x)=2F(x)d(x),

E(Z)=Jx2F(x)/(x)(k=j(x-/i)2F(x)/(x)d(x+/x)

…2小丁)([.总广句-焉eH

上

方

暂

4、设随机变量X和Y相互独立，且均服从参数为1的指数分布，记U=max(X,

Y),V=min(X,Y).(1)求V的概率密度fv(v)；(2)E(U+V),E(UV).

标准答案：由于X和Y相互独立，都服从参数为1的指数分布，所以

a\[”尸，%>°，

尸(4)=(八八

E(X)=E(Y)=I,且X的分布函数为1°，”才在(1)设V的分布函数为

fie'2',>0,

FminW),则Fmin(V)=l-[l-F(V)『=l=e-2v,v>0.故fv(v)=10，"WO.

(2)E(U+V)=E(X+Y)=E(X)+E(Y)=2.E(UV)=E(X)E(Y)=1x1=1.

知识点解析：本题考查独立同分布条件下最大值和最小值的分布.先写出V的分

布函数，再求导得到其概率密度.注意到U+V=X+Y,UV=XY,利用性质和指数

分布期望的结果得到E(U+V),E(UV).

5、设(X,Y)在区域D={(x,y)I10x33,1&朽3}上服从均匀分布，事件

3

A={X<a},B={Y>a}.⑴若P(AUB)=N",求a；⑵设Do为事件AUB所占的区

域，随机地向D投点4次，Z为落入Do内的次数，求E亿之).

标准答案:

(1)由已知条件可知,X和丫的联合概率密度为〃*>)=4W'

0.其他.

关于x和y的边缘概率密度为

f+dy,lW*W3,=

f/(%y)dy=12-JW*W3,

fx(x)=

•其他0,其他.

f+(iz,lW"3,=■

W"3,

/r(y)=/•/(叫/匕=

J-0

0,其他0,其他.

由于对任意的有,所以X和y相互独立.

显然P(B)=P[Y>Q[=1-P|XWQ|=1-P(4),

于是有*P(4U8)=P(A)+P⑻毋®=/>(4)+1-尸(4)+。(4)(】①4)),解得次4)=+.

即《=P(4)==-y(aT),从而。=2.

(2)由题意Z服从8(4.P(4U8)),即Z服从，

所以£(7)="Z)+(£(Z))?=4x：x；+(4x；)’=早

44\4/4

知识点解析：本题考查将问题提炼为几何型概率和伯努利概率模型的能力.首先利

用加法公式求出常数a,而Do为事件AUB所占的区域，随机地向D投点4次，因

此该试验是4次伯努利试验，由于Z为落入D()内的次数，因此意识到Z服从

B(4,P(AUB)),进而可利用方差的计算公式求出E(Z2).

/cos京,0这*应宣，

6、随机变量X的概率密度为f(x)一0.其他.对X独立重复地观察4次,

TT

用Y表示观察值大于3的次数，求E(Y2).

P{->-y}=.ycoeydx=.，从而丫服从8(4小).

£(y)=4x：=2,0(y)=4x；x；=】，

标准答案:L//

E(Y2)=D(Y)+(EY)2=5.

知识点解析：本题仍然是考查常用分布之二项分布的数字特征.对X独立重发地

观察4次，用Y表示观察值大于学的次数蒯‘服从"4♦中号卜.

11、已知随『X.'可服从正态分布N(l,32)和N(0,42),且X与Y的相

-T，设2=于♦2

关系数PXY=.⑴求E(Z)和D(Z)；(2)求X与Z的相关系数PXY；

(3)问X与Z是否相互独立，为什么？

标准答案：

(1)E(z)=；E(x)+4E(y)=；.

D〉

D(Z)=D(4+V)=£D(x)+；o(y)^-^cov(x,y)

=/。(X)++。(r)+ypxr>/D(Tr7D(Y)

=-^-x32+；x4?—^-x4-xx/5Tx5r=3.

9432

(2)因为cov(X,Z)=Kv(>,*)+£cov(X,y)

2

=y/>(X)+yPlv/DWyD(W=yx3-FyX(-y)x3x4=0,

所以。以二0.

/D(X)/D(Z)(3)x

与z不一定相互独立.因为Z未必服从正态分布，(X,Z)也未必服从二维正态分

布，X与Z不相关，但X与Z不一定是独立的.

知识点解析：综合考查正态分布，二维正态分布的关系和数字特征.利用数字特征

的性质直接求出E(Z),D(Z)和PXY.判断X与Z是否相互独立则需要利用正态分

布的性质.

12、设随机变量X],X2,...»Xn(n>l)相互独立同分布，且期望均为a方差均

为。2(『>o),令〃幺的相关系数p.

E(>)=£(十=十，£(%)=：，w"

D(i)

=劝=vtDW=+.皿'=#

COV(X,,X)=€OV(T)y'x,)=~co%(^t,VX,)

nHn

=--cov(X),A(+X?+…+X.)

=­[covCXj,X])+cov(X,X)+…+cov(X),儿)]

nt2

=—[D(Xt)+0+…+0]

COV(X,J)1

p=---_-尸，.=----r=—.

yOWVD(X)a,P-a〃

标准答案：7n__

知识点解析：本题考查正确使用公式和性质计算数字特征的能力及Xi与彳的关系,

是基本问题.彳中含有Xi，因此彳与Xi一般是不独立的.

13、设随机变量X],X2，…，XMn>2)相互独立，且均服从N(0,1),记

_JLyy=x-X

〃G'''',i=l,2,...»n.求(l)D(Yi)；(2)coy(Yi，Yn).

(I)D(r.)=D(X-X)=0(%)+0(X)-2cov(X,J)

L2cov(*,x+&+…+()

nn

=l+'-2[cov(X,.X[)+・・・+cov(Xj,Xj)+8v(X,,X.)]

nn

.I2~.12n—1

nnnnn

(2)cov(匕，y.)=cov(X-X.X「X)

cov(乂，工)-cov(X,,X}-cov(X,XH)+cov(X,X)

I11

0n----------+—

标准答案：

知识点解析：暂无解析

14、设随机变量X],X2,X£n>2)的期望都为0,方差都为1,且任意两个的

相关系数都为P，设U=X|+X2+…+Xn，Y=Xn+l+Xn+2+…+X2n，求U和V的相关

系数PXYO

标准答案：

由于£(%)=0,0(%)=1,且以内=p,if

.

从而0(U)=D(V)=2。(尻)+2gcov(X,%)

=n♦2£pjMXJJ0(X)=n+2[(n-1)p+(n-2)p+,••+0]

=n+n(n-1)p.

cov(U,V)=cov(X[+&♦…+X.，兀.1+Z.2♦…+刀力)

2

=2cov(X,,Xy)=np.

K<«a</«2A

用以cov(U,y)_________岛np

时PbV=®万的厂-MA1)p-I+(1)p.

知识点解析：暂无解析

15、已知X与Y服从相同的分布，且P(IXI=IYI}=0,X的概率分布为

X-101

p1/41/21/4

(1)求X与Y的联合概率分布：(2)问X与Y是否不相关?

标准答案：(1)根据已知条件，知(X,Y)的概率分布为

-101Pi-

\1

-10T0T

11

o1o

442

11

100

44

111

D1

424

(2)E(X)=-lx；+0x；+lx；=0,

424

同理,£(丫)=0.

X£(xr)=(-I)x(-1)x0*(-l)x0x-^+(-l)X1X0

>OX(-1)X4-+OXOXO+OX1X-T-

44

+1x(-1)x0+lx0x-；-+lx1x0=0,

4

从而cov(X,Y)=E(XY)—E(X)E(Y)=0,即X与Y不相关.

知识点解析：暂无解析

16、设A和B为两个随机事件，定义随机变量

发生,丫=卜8发生，

不发生•1-1方不发生•证明X与Y不相关的充分必要条件是A和

B相互独立.

标准答案：设P(A)=P"P(B)=P2,P(AB尸P12，则有E(X)=2PI—1,E(Y)=2P2—1,

E(XY)=4Pi2-2P]—2P2+1,COY(X,Y尸E(XY)—E(X)E(Y)=4(Pi2一P]P2).X与

丫不相关：=^“=°=€。丫(*,丫)=00化2二代/'200(48)=/'(4)。(8)=八与B相互独

立.

知识点解析：本题考查不相关与独立性的判断.严格按照定义证明.

17、对于任意二事件A,B,O<P(A)<1,O<P(B)<1,定义A与B的相关系数为

P(4B)-P(A)P(B)

—

，p(4)p(8)p(z)p(m

(I)证明事件A,B相互独立的充分必要条件是其相

关系数为零；(2)利用随机变量相关系数的基本性质，证明IPABI<1.

(1)由一的定义，可见p“=gP(48)=P(4)P(8).

⑵引人随机变量仪:二葭生啸麋牛

则有£(X)=P(苗百(Y)=P(8),

D(X)^P(A)P(A),D(y)=P(B)P(B)t

cov(X,y)=£(XY)-E(X)E(Y)^P(AB)-P(A)P(B).

由于p“CQV(X：Y)P(48)-P(4)P(8)一，

标准答案：“,灰丽打反而丽而而‘”而IpxYlW，

从而IPABIS1.

知识点解析：本题考查建立事件与随机变量联系的能力，题中给出事件相关系数的

定义式，要求利用随机变量相关系数的性质证[PAB10，因此引入(0—1)分布，

将事件A,B与随机变量建立起关系式.

1-1«|

18、设X的概率密度为f(x)=2',一8VxV+oo,⑴求E(X)和D(X)；(2)求X

与IXI的协方差，判断X与IXI是否不相关；(3)判断X与IXI是否相互独

立.

标准答案：(l)E(X)=

「4・yedMl<ix=0,E(X2)=Jx-e"।1'dx=Jx2e"'(lx

=2,从而

D(X)=E(X2)-(EX)2=2.(2)COV(X,IXI)=E(XIXI)—E(X)E(IXI)=E(XI

(xIxI।“dx

XI)=J-112=0,从而X与IX|不相关.(3)对于给定的实数a>0,

显然事件{IxIW}U{X<a},且P{XSa}Vl,于是P{Xga,IXI<a}=P{IXI

<a}>P{X<a}P{IXI<a［,因此X与IXI不相互独立.

知识点解析：本题考查二个随机变量的协方差及相关性的概念，相关性与独立性的

关系.由于分布已知，可以利用公式计算数字特征.

19、设某种商品每周的需求量X是服从区间［10,30］上均匀分布的随机变量，而经

销商店进货数量为区间［10,30］中的某一整数，商店每销售一单位商品可获利500

元；若供大于求则削价处理，每处理1单位商品亏损100元；若供不应求，则可从

外部调剂供应，此时每1单位商品仅获利300元.为使商店所获利润期望值不少于

9280元，试确定最少进货量.

标准答案：设进货量为I,利润为L=L(t),则

_J500X-100(r-X)JO_J600X-I001,10WX"

‘气500任300(XT)W30=L3OOX+2OO//<Xw3O.

((600X-100/)3dx+r(300X+如

E(L)=2000+350/+5250,

J1020Ji

E(L)=-乎+350/♦525029280,

解得20年0W26,故最少进货量为21单位.

知识点解析：考查利用期望解决实际问题的能力，关键要建立起利润函数的表达式

再求解.

20、设自动生产线加工的某种零件的内径X(单位：mm)服从正态分布N(p,1),内

径小于10mm或大于12mm为不合格品，其余为合格品.销售合格品获利，销售

不合格品亏损，已知一个零件的销售利润T元与X有如下关系：T=

L，X〈10,

：(2O,1OWXW12

l-5,X>12.，问平均内径N取何值时，销售一个零件的平均获利最大，是多少?

标准答案：已知X服从正态分布N(N，I),所以