福建省泉州市2023届高三数学质量监测试题（三）含答案

泉州市2023届高中毕业班质量监测（三）2023.03

高二数学

本试卷共22题，满分150分，共8页.考试用时120分钟.

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2、考生作答时，将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作

答，超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效.

3、选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选

择答案使用0・5毫米的，黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.

4.保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.己知集合4={x卜5vxv2},8=卜料＜3卜则4=8=（）

A.(e,2)B.(F,3)C.(T2)D.(-5,3)

2.已知复数z满足（l-i）z=4i,则zS=（）

A.-8B.0C.8D.8i

3.已知sina-J5cosa=0，则cos%=(

V2

A.—B.0C.D.

333

某运动员每次射击击中目标的概率均相等，若三次射击中，至少有一次击中目标的概率琮，则射击

4.

一次，击中目标的概率为（）

731

A.-B.-D.-

848

5.已知抛物线C的焦点为/，准线为/,点A在。上，点4在/上.若A/=8/=4,

A/b+8A）=0,则尸到/的距离等于（）

A.1B.2C.3D.4

6.定义在R上的偶函数满足/（2—幻+/。）=0,且当xw[0,1）时，/（幻=«-1,则曲线

y=/（x）在点/^,/f处的切线方程为（）

（4I4〃

A.4x-4y4-11=0B.4x+4y+11=0

C.4x-4y+7=0D.4x+4j+7=0

7.匆1中，正方体AACD-EFG”的每条棱与正八面体MPQRSN（八个面均为正三角形）的条棱垂直

且互相平分.将该正方体的顶点与正八面体的顶点连结，得到图2的十二面体，该十二面体能独立密铺三

维空间.若AB=1,则点"到直线AG的距离等于（）

Ca

A.V2B.6D.

22

8.已知平面向量〃、b、C满足4=1，be=0>ab=l，ac=-\>则8+c、最小值为（）

A.1B.V2C.2D.4

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9.已知A3为圆。：/+丁2=4的直径，直线/：），=h+1与y轴交于点”，则（）

AJ与C恒有公共点B.,.ABM是钝角三角形

C.ABM的面积的最大值为1D」被C截得的弦的长度的最小值为26

10.已知函数/(x)=sinxcosx,g(x)=sinx+cos工，则()

A.“X）与g（x）均在单调递增

B./（力的图象可由g（x）的图象平移得到

C./（x）图象的对称轴均为g（x）图象的对称轴

D.函数y=/（x）+g（x）的最大值为g+五

11.在长方体A8CQ-ABC。中，AB=AD=2,4A=1,点尸、。在底面4声G"内，直线”

与该长方体的每一条棱所成的角都相等，且AP_LCQ,则（）

AAP=y/2

B.点Q的轨迹长度为J5

C.三棱锥。-AQB的体积为定值

D.AP与该长方体的每个面所成的角都相等

12.某商场设有电子盲盒机，每个盲盒外观完全相同，规定每个玩家只能用一个账号登陆，且每次只能随

机选择•个开启.已知玩家第一次抽盲盒，抽中奖品的概率为,，从第二次抽盲盒开始，若前•次没抽中

奖品，则这次抽中的概率为:，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为:.记玩家第〃次抽盲盒，抽中

23

奖品的概率为2,则（）

193'

A.P2=-B.数列:匕一为等比数列

19

C.D.当〃N2时，〃越大，乙越小

T乙

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.设随机变量X〜N（72,4），若尸（70<XV73）=0.3,则尸（71VXV74）=.

2y456

14.已知（x+〃z）6=%+qx+a2x+a3x+a4x+a5x+a6x,且。3+《=1则〃?=.

15.己知函数/。）=卜一卜依有两个零点，则实数。的取值范围为.

22

16.已知双曲线C:鼻-力>0）的左、右焦点分别为耳，居，。的渐近线与圆V+）,2=/在第一

象限的交点为“，线段M用与C交于点MO为坐标原点.若MFJ/ON,则C的离心率为.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

2

17.在“BC中，角A,B,C所对的边分别为小b,c,(a+c)sinA=sinA+sinC,c+c=lr

(1)求B；

（2）已知。为AC的中点，BD=—,求.45。的面积.

2

18.已知｛q｝为等差数列，且-2〃+3.

（I）求｛q｝的首项和公差;

—5—,n=3k—260

(2)数列满足勿=149+1,其中3"N"，求2".

[(-l)“q,3K〃43&，=1

19.如图，三棱台A8C-A4G中，AB=8C=2AG=2,。是AC的中点，£是棱8C上的动点.

（1）试确定点E的位置，使A4〃平面DEG；

（2）已知AB_LBC，Ca_L平面ABC.设直线8G与平面QEG所成的角为e,试在（|）的条件下,

求cos6的最小值.

20.港珠澳大桥海底隧道是当今世界上埋深最大、综合技术难度最高的沉管隧道，建设过程中突破了许多

世界级难题，其建成标志着我国在隧道建设领域已达到世界领先水平.在开挖隧道施工过程中，若隧道拱

顶下沉速率过快，无法保证工程施工的安全性，则需及时调整支护参数、某施工队对正在施工的隧道工程

进行下沉量监控量测工作，通过对监控量测结果进行回归分析，建立前1天隧道拱顶的累加总下沉量z（单

位：亳米）与时间，（单位：天）的回归方程，通过回归方程预测是否需要调整支护参数.已知该隧道拱

顶下沉的实测数据如卜表所示：

t1234567

Z0.010.040.140.521.382.314.3

研究人员制作相应散点图，通过观察，拟用函数z=Ze"进行拟合.令〃=lnz,计算得：5=1.24,

7_7,7

Z&-7）同一可=22.37,Z（4—可~=27.5；«=-1.2,2cLi7）=25.2,

f=l;=1f=1

2(%『=30.

r=l

(1)请判断是否可以用线性回归模型拟合〃与，的关系；(通常W>0-75时，认为可以用线性回归模型拟合

变量间的关系)

(2)试建立2与1回归方程，并预测前8天该隧道拱顶的累加总下沉量；

(3)已知当拱顶卜沉速率超过9毫米/天，支护系统将超负荷，隧道有塌方风险.若规定每天卜.午6点为

调整支护参数的时间，试估计最迟在第几天需调整支护参数，才能避免塌方.

附：①相关系数厂=〃；

寸

V；=1r=l

②回归宜线§，=a+bx中斜率和截距最小二乘估计公式分别为:

2（七一可（）‘，一田

b=-^—-------------,a=y-bx

£（七-无）2

;=1

③参考数据：7210«14,5，In10。2.30.

21.已知椭圆。:三十二二1的左、右顶点分别为人，B.直线/与C相切，且与圆O:f+),2=4交于

43

M,N两点，M在N的左侧.

(1)若|MN|=，，求/的斜率；

(2)记直线斜率分别为给《，证明：女生为定值•

22.已知〃了)=4/-4(1一］)_戈］［］工有两个极值点4、x2,且不<匕.

(1)求。的范围；

(2)当0<〃Kl-ln2时，证明：4+3</(%)+/(占)<1・

泉州市2023届高中毕业班质量监测(三)2023.03

局二数学

本试卷共22题，满分150分，共8页.考试用时120分钟.

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2、考生作答时，将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域(黑色

线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无

效.

3、选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答

案标号；非选择答案使用0・5毫米的，黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字

体工整、笔迹清楚.

4.保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损.考试结束后，将本试卷和答题卡

一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合人=卜卜5Vx<2},8=卜料<3卜则()

A.B.(70、3)C.(―3.2)D.

(T3)

【答案】D

【解析】因为4=3一5<]<2},8={入恫<3}={乂-3Vx<3},因此，A|J8=(—5,3).

故选：D.

2.已知复数z满足(l-i)z=4i,则zi=()

A.-8B.0C.8D.8i

【答案】C

/、4i4i(l+i)-4+4i

【解析】因为(l—i)z=4i,KiJz=--；=-―——--=---=-2+2i,

l-i+2

所以z=—2—2i，因此，z•z=(—2+2i)(—2—2i)=4+4=8,故选：C.

3.己知sina—&cosa=0，则cos2。=()

A.--B.OC.-D.—

333

【答案】A

【解析】由sina->/2cosa=0可得tana=5/2,故

ccos-a-sin-a1-tan-a1-21

cosla=——------；—=------；—=-----=一一，

cos〜a+sirra1+tan-a1+23

故选：A

4.某运动员每次射击击中目标的概率均相等，若三次射击中，至少有一次击中目标的概率

为广，则射击一次，击口目标的概率为（）

64

73」1

A.—B.—C.—D.一

8448

【答案】B

【解析】设该运动员射击一次，击中目标的概率为〃，若该运动员三次射击中，至少有一次

击中目标的概率为1—（1一〃）一二丁-，解得〃=—，故选：B.

644

5.已知抛物线。的焦点为产，准线为/,点A在C上，点4在/上.若AF=BF=4,

+则尸到/的距离等于（）

A.]B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】取线段"的中点M,连接8M,过点尸作FE_L/,垂足为点E，

则BF+BA=（BM++MA）=2BM,

所以，AF（BF+BA^=2AFBM=0t所以，AFLBM,所以，|A6|二忸日,

因为|AF|=|Mj=4,所以，△AM是边长为4的等边三角形，则/4B/=60，

由抛物线的定义可知48_L/,所以，AB//EF,故4BFE=4ABF=64，

EF1

所以^——=cos60=-则|E万|=!忸尸|=2,即点F到直线/的距离为2.

\BF\2

故选：B.

6.定义在R上的偶函数"r)满足/(2-x)+/(x)=0,且当xw［0,l)时,

(n(oy

则曲线)=/(幻在点］一“/［一向)处的切线方程为()

A.4x-4y+ll=0B.4x+4y+11=0

C4x-4y+7=0D.4x+4y+7=0

【答案】A

【解析】/(2-x)+/(x)=0可以得/(x)关于(1,0)中心对称，且/。)偶函数，所以/⑺的

周期为4.

n八为=1

J2\[x

•••/(27)+/。)=0,.•./'(%)=/'(27)即f'(x)关于x=l对称;

971

---19

4441,，切线方程：y—彳二1+^,即:4x-4y+ll=0

故选

A.

7.图1中，正方体ABCD-EFGH伯卷条棱与正八面体MPQR3N(八个面均为正三角

形)的条棱垂直且互相平分.将该正方体的顶点与正八面体的顶点连结，得到图2的十二

面体，该十二面体能独立密铺三维空间.若A8=l,则点M到直线RG的距离等于

()

A.V2B.GC.如

D.包

22

【答案】A

【解析】如图所示：

M

连接PRMM相交于点。，设MP与48相交于点K,MQ与8c相交于点L,连接KL,

在正八面体MPQRSN中，易知PR=MN,且mJ_MN,

所以/MRO=/NRO=45，则/MRN=90，即MR1RN,

又〃GJ•平面用PNR,则”G_LMR,又〃G与RN相交，

所以MRJ_平面RHG,则MR为点M到直线RG的距离，

在RJ.BKL中,BK=BL=-,WOKL=yjBK2+Bl：=—,

22

因为KL是&MPQ的中位线，所以PQ=2KL=®,即MR=0，故选：A

8.已知平面向量〃、b、c满足卜।=1，，ab=\»a・c=—1，则方+。的最小

值为（）

A.1B.0C.2D.4

【答案】C

【解析】不失一般性，在平面直角坐标系xQy中，设〃=（l,O）"=（N，y）,Z=（w，%），

因为。ac=x2=-\f/＞。=司9+X%=X%-1=()，

22

所以，b+c=A/(l-l)-(^1+y2)=|y,+y2|=y,

当且仅当,=±1时，等号成立.因此.卜+4的最小值为2.故选：C

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，

有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2

分.

9.已知A8为圆C：f+y2=4的直径，直线/:>=履+1与），轴交于点M,则（）

A./与C恒有公共点B.是钝角三角形

C.的面积的最大值为1D./被。截得的弦的K度的最小值为

273

【答案】ABD

【解析】直线/：y="+1与y轴交于点例，「.”(o」)且M在圆C:/+),2=4内部,

・•・/与C恒有公共点，A正确；

M在圆。：/+),2=4内部，.•./AM"为钝角，zA3M是钝角三角形，B正确；

M到A3的最大距离，即到圆心的距离为1,二.SA3«gx4xl=2,故C错误；

/被C截得的弦的长度的最小时，圆心到直线的距离最大，

且此距离为M到圆心的距离为1,故弦长为2,2?_同=2百，故D正确.

故选：ABD.

10.已知函数/(1)=5由工(：0$/,且(工)=5吊工+(:05不，则()

A.“X)与g(x)均在(09)单调递增

B.7")的图象可由g(/)的图象平移得到

C.7")图象的对称轴均为g(“图象的Xj称轴

D.函数y=/(x)+g(x)的最大值为g+&

【答案】AD

【解析】/(幻=sinxcosx=gsin2x,g(x)=sinx+cosx=>/^sin(x+：),

当0,：时，2XG0,1,X+^G,显然(0?、与5)都是(吟的子

集，所以函数/(x)与g(x)均在(0,：)单调递增，因此选项A正确；

函数/*)的最小正周期为$=兀，函数g(x)的最小正周期为2兀，因为左右、上下平移

不改变正弦型函数的最小正周期，故选项B不正确；

由2/=E+](&£Z)=x=S+：(ZeZ),所以函数“X)的对称轴为

X=—7t+—(k€Z),

24V)

函数g（x）的对称轴为x+；=nm+]（相£Z）=x="帆+W（〃?eZ）,

显然当攵为奇数时，“可图象的对称轴不为g(x)图象的对称轴，因此选项c不正确;

令sinx+cosx=/(re[-V2,V2])nsinxcos.r=

所以y=/(x)+g(尤)=1---4-Z=—(Z+1)~——,因为,

222L」

所以当/=及时，该函数有最大值g+3,因此选项D正确，

故选：AD

11.在长方体ABCQ—ABCA中，AB=AD=2,44=1,点P、Q在底面

A与GA内，直线AP与该长方体的每一条棱所成的角都相等，且4P，。。，则()

A.AP=yfi

B.点Q的轨迹长度为J]

c.三棱锥。-AQ5的体积为定值

D.AP与该长方体的每个面所成的角都相等

【答案】BCD

【解析】如下图所所示，将长方体A8CQ—A8C2补成正方体ABCO-A282czA，

连接区口、BW、CD「AC2,设82。。片。1二知，CDmCR=N,

易知AC2与正方体ABCD-\B2C2D2的每一条棱所成的角都相等,

所以，AG与底面A四GD的交点即为点夕.

对于A选项，AP=—AC2=-X2>/3=5/3,A错:

2-2

对于B选项，因为平面BCG%,与Cu平面SC。2%，则48_1,与。，

又因为四边形BCC2B2为正方形，则8GJ-B£,

因为A818G=8,AB、8c?U平面A8G，所以，与。，平面ABg，

因为AGu平面A8C2,所以，AC21B2C,同理，AGJLC2，

因为82。e。4=。，B?c、。2（=平面82。。2,则AC2，平面与。。2，

故AG，平面CMN,

因为AP_LCQ,所以，CQu平面CMN,即Qw平面CMN,

又因平面A4GA，平面CMNfl平面A8GA=MN,所以，QwMN,

所以，点Q的轨迹为线段MN,且MN=g层2=gx2&=&,B对；

对于C选项，记点Q到平面AB。的距离为力，

由匕）-A08="Q-八3=§3%加.〃，

CMCC.,

因为CCJ/片用，则y==小=1，则CM=31M,故点M为民C的中点，

D-,IY1D]D-,

同理可知，N为。。2的中点，所以，MNHBD，

因BB2//DD2,BB2=DD2,故四边形BBj。为平行四边形，所以，BD//B2D2,

所以，MN//BD,

因为MNU平面A8。，8Ou平面48。，则MN〃平面A^。，

所以，点。到平面AB。的距离为定值，

又因为AA/Q的面积为定值，所以，三棱锥。一AQ18为定值，c对；

对于D选项，因为。2到平面人儿与^、平面44打。、平面ABC。的距离都相等，

易知，直线AG与正方体ABCO-A/NGA的每个面所成的角都想等，

所以，AP与长方体ABCQ-AACA的每一个面所成的角都相等,口对.

故选：BCD.

【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：

（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面

内的射影，即可确定线面角；

（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度〃，从而不必作出

h

线面角，则线面角。满足sin0=7（，为斜线段长），进而可求得线面角；

(3)建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设〃为直线/的方向向量，〃为平面的法向量,

则线面角0的正弦值为sin0=|cos<a,n>

12.某商场设有电子盲盒机，每个盲盒外观完全相同，规定每个玩家只能用一个账号登

陆，且每次只能随机选择一个开启.已知玩家第一次抽盲盒，抽中奖品的概率为，，从第

二次抽盲盒开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为若前一次抽中奖品，则

这次抽中的概率为;.记玩家第〃次抽盲盒，抽中奖品的概率为匕，则()

3

B.数列匕一,|为等比数列

D.当〃22时，〃越大，匕越小

【答案】ABC

【解析】记玩家第《iwN)次抽盲盒并抽中奖品为事件A,,

依题意，P⑷酊)=:,0⑷口)=:,《=网4),

对于A选项，

4=P(4)=P(A)P(4|A)+P(A)P(&⑷=一,=WA对;

对于B选项,P(4)=P(4T)尸⑷和)+P(二"⑷乐),

1III3"3、

所以，匕=牛1+彳(1_月1)=_^1+3,所以，^-Z=-7P，「，

3262/0\7/

231

又因为6=一,则［—=—工0,

777

所以数列.’是首项为一；，公比为一3的等比数列，B对；

31(1Y,_,31(1Y,-1

对于C选项，由B选项可知，P-1,则七=3一_L一上,

7I6

3119

当〃为偶数时，^=^+--7,则心随着〃的增大而减小，所以，Pn<P2=—.

综上所述，对任意的〃EN*,月工石•，C对；

O1（1

对于D选项，因为匕=±一_1-1,则数列｛4｝为摆动数列，D错.

77、6）

故选：ABC.

【点睛】方法点睛：已知数列的递推关系求通项公式的典型方法：

（1）当出现凡=%+刀时,构造等差数列:

（2）当出现q时，构造等比数列；

（3）当出现时，用累加法求解；

（4）当出现'=/（〃）时，用累乘法求解.

41-1

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.设随机变量X-N（72Q2）,若夕（70<X<73）=0.3,则P（71<X<74）=

【答案】03#哈

【解析】因为随机变量X〜N（72,/），且尸（70<Xv73）=0.3,

所以P（71vXv74）=/>（70vX<73）=03.

23s6=

14.已知（x+"if=a（）+a｝x+a2x+a3x+a4x'+a5x+a6x,且%+%=1则"?

【答案】0

【解析】由题意,可得%=或〃3,%=《=1.=1，:a3=0,.,.w=0.

15.已知函数/W=p-1卜奴有两个零点，则实数4的取值范围为.

【答案】（1,+oo）5-i,o）

【解析】/"）=卜'-1-以有两个零点，.•.卜X-1卜6LE有两个根，即图像有两个交点;

①。>0时，设g(x)=e'-1,g'(x)=e'

若有两个交点，则。>((0)=1；

②。=0时，只有一个交点：

③〃<0时，设〃(x)=l-e',/ir(x)=-eK

若有两个交点，f/>/Z(0)=-l

综上可得，实数”的取值范围为

16.已知双曲线。右下y=i(〃>o力>o)的左、右焦点分别为£,心，。的渐近线与圆

/+；/=/在第一象限的交点为忆线段Mg与C交于点N,O为坐标原点.若

MFJION,则。的离心率为

【答案】V2

22.

【解析】二-m二1的渐近线为：y=±-x,焦点用(c,0),

a~b-a

00,

xr+)厂=cr

•・•渐近线与圆V十)/=/在第一象限的交点为联立Ih可得

a2ab]

M

a2+c2ab

•:MFJION,所以N是/居的中点，「.N

2c，2"'

。+。］ab\2

因为N在双曲线上，2c\［五；I化简得：==2,所以离心率为e=JL

.，--------------7?—=1a-

a-lr

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤.

17.在/8C中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,(a+c)sinA=sinA+sinC,

c2+c=Z?2-1.

(1)求&

（2）已知。为AC的中点，BD=—,求=43。的面积.

2

【解析】(1)v(fl+c)sinA=sinA+sinC,.,.(a+c)a=4+c,a=\,

fit?2+ac=a+c»*.*c2+c=b2-1f两式相力口得/+d+〃c=a+-2—1,

:.a2+c2+ac=b\即COS6=」!，/.8=120。.

2

（2）因为。为AC的中点，所以3O=；（84+8C）,

______________出,,

所以|8。|二」BA+BC=-y[a^

+c2+2accosB=，a2+c2+2nccosB=3，

2222

代入。=1,3=120。得：c2-c-2=0，「.。=？或c=-l（舍去）;

S.ABC=^aC^B=-^-

18.已知｛〃“｝为等差数列，且《用=2%-2〃+3.

（1）求｛〃〃｝的首项和公差；

1一，n=3k-2

60

(2)数列出｝满足",其中女、求Z%.

(-\)n-a„,3k-]<n<3kf=i

【解析】（1）设等差数列｛q｝的公差为"，则4=4+（〃-1）“，

由。“+]=2。〃-2〃+3可得4=2[q+-l）d]-2〃+3,即

(d-2)〃+，4+3—21—0,

d-2=0a,Ia=a=l+2(,:-l)=2/t-l.

所以，q+3-2d=0'解得’lt]

d=2

1

--------、n=3k—2

则"=（2"。（2八1）

（2）因为。=

w

(-l)-aH,3k-\<n<3k

1111

所以4+。+伪+-+%=---+----+---+-H-------

41x33x55x739x41

220

+••+

(35)57(394141

4+4+4+々1+♦•+闻+优9=(。2—%)+(%—41)+-+(。56—。59)

=-3x2x20=-120；

4+"+4+/+…+%+源=(一々3+。6)+(一“)+4|2)+・一+(一々57+%)

=3x2x20=120

因此,+么+&T-----*_%)+(〃2+4+4+…+49)+(4+4+d++”«>)

19.如图，三棱台A8C-A4G中，A3=3C=28C=2,0是AC的中点，E是棱BC

上的动点.

（1）试确定点石的位置，使AB//平面。EG；

（2）已知A3_LBG，CG_L平面ABC.设直线8G与平面DEQ所成的角为。，试在

（1）的条件下，求cos。的最小值.

【解析】（1）连接。G，QE,

4人.£

B

由三棱台ABC-4片G中，AB=BC=2B£=2,。是AC的中点可得

AG//A£）,AG=AO,所以四边形AZ）GA为平行四边形，故AA//0G，

A4（Z平面DEC[,DC]u平面DEC]，故/切//平面DEg,

r

又平面。EG，且平面A84A，AB}A4（=A,

所以平面A881A//平面。EG，又平面ABgan平面A8C=A8,平面ABCc平面

DEC、=DE,

故。E//A8,由于。是AC的中点，故£是8C的中点，

故点E在边3。的中点处，AB//平面QEC"

（2）因为CGJ■平面ABC,ABu平面ABC,

所以CC|_LA3,又A8J_8C1,CJcBC、=C^CCeBC、u平面3C£片，

故平面BCG耳，由于8Cu平面BCC^，所以M_LC8,

由（1）知：E在边8c的中点，。是4c的中点，所以ED//4B,进而OE_LBC,

连接"E,由Bg//EC,BC=EC,所以四边形4GCE为平行四边形，

故CCJ/B\E，由于CG_L平面ABC,因此四七_1平面A8C,

故ED,EC,E4两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系；设

则E（0,0,0）,5（T,0,0）C（l，0,0）,D（0，L0），G（L0，a），4（0,0，a），

故瓦）=（0,1,0）,比；=（1,0,。），

设平面平面。EG的法向量为〃7=（x,y,z）,

ED-w=y=0z、

则〈.，取X=。，则m=(«0,—1),

fQm=x+az=O

又8G=(2,0,a),

4

当且仅当"二靛，即〃=夜时取等号,

要使cos。的最小值，只需要sin。最大，sin。最大值为7，

3

此时cos8的最小值为J-sin26=J1-（g）=当.

20.港珠澳大桥海底隧道是当今世界上埋深最大、综合技术难度最高的沉管隧道，建设过

程中突破了许多世界级难题，其建成标志着我国在隧道建设领域已达到世界领先水平.在

开挖隧道施工过程中，若犍道拱顶下沉速率过快，无法保证工程施工的安全性，则需及时

调整支护参数、某施工队对正在施工的隧道工程进行下沉量监控量测工作，通过对监控量

测结果进行回归分析，建立前，天隧道拱顶的累加总下沉量z（单位：亳米）与时间［（单

位：天）的I可归方程，通过I可归方程预测是否需要调整支护参数.一知该隧道拱顶下沉的

实测数据如下表所示：

t1234567

Z0.010.040.140.521.382.314.3

研究人员制作相应散点图，通过观察，拟用函数2=〃/进行拟合.令〃=lnz,计算得:

77

z=1.24»Z&-—z）=22.37,（zf—z）=27.5；万=—1.2,

»=ii=i

77

-7）（%-万）=25.2,2（%）2=30.

1=1/=|

（1）请判断是否可以用线性回归模型拟合〃与/的关系；（通常上|＞。-75时，认为可以用线

性回归模型拟合变晨间的关系）

（2）试建立z与，的回归方程，并预测前8天该隧道拱顶的累加总下沉量；

（3）已知当拱顶下沉速率超过9亳米/天，支护系统将超负荷，隧道有塌方风险.若规定

每天卜午6点为调整支护参数的时间，试估计最迟在第7L天需调整支护参数，才能避免塌

方.

苫（七一工）（力一9）

附：①相关系数/二I二,”:

心a-可比（弘―刃2

V/=11=1

②回归直线y=a+bx中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:

.Z(—)(一)人

b=-...-------------------,a=y-bx

1=1

③参考数据：同Jal4.5，In10=2.30.

1+2+3+4+5+6+7

【解析】(1)7=4;

2222222

^(rz-?)=3+2+l+0+l+2+3=28；

/=!

Z&-7)(%-万)

25.2_25.2〜25.2

x0.86.

728x30-2>/2i0^2x14.5

、忙(―注(…)2

Vi=l1=1

.•」川>().75可以用线性回归模型拟合变量间的关系.

£&一「)(％一”)252

(2)设2=依"'，则"=lnz=〃/+lnk,b=-^-^j-----------------=-r-=0.9；

228

zJ=1u-n

\nk=u-bt=-1.2-0.9x4=T.8,k=e-4,8»

Z=e°.9T8,当？=8时,2=e°-9x8-4-8=e2-4•

所以预测前8天该隧道拱顶的累加总下沉量为e?'亳米

(3)z=e°9f下沉速率：z'=0.9e°9T8,

所以设第〃天下沉速率超过9亳米/天，

则：0.9e09n-0>9.e09n'4-8>10，0.9鹿一4.8>In10,0.9/?>2.3+4.8,〃>7.8,

所以第8天该隧道拱顶的下沉速率超过9亳米/天，

最迟在第7天需调整支护参数，才能避免塌方.

22

21.已知椭圆C:二+工=1的左、右顶点分别为A,B.直线/与C相切，且与圆

43

0：/+),2=4交于M,2两点，M在N的左侧.

(1)若|MN|=竽，求/的斜率；

(2)记直线人M,&V的斜率分别为人,他，证明：勺自为定值.

【解析】(1)当直线/不存在斜率时，方程为x=±2,显然与圆也相切，不符合题意,

设直线/的斜率为左，方程为丁=丘+〃7,与椭圆方程联立，得

工+Jl、

-43=(3+4/)12+8切?X+4/%2-12=0,

y=kx+m

因为直线/与。相切，所以有△=64产〃，-4(3+4公)(4机2-12)=0=＞机2=4r+3,

圆O:f+y2=4的圆心坐标为(0,0),半径为2,

圆心(0,0)到直线y="+〃?的距离为

卜+(-1)2

因为|MN|=生叵，所以有

述「2x」4一分nuL

5Ik+(7)15公+12

(2)A(-2,0),5(2,0),

X+)-4=(1+女2)工2+2灯7a+加2-4=0,

由，

y=kx+m'

设加(与,)[),7(0％)，％＜工2,

2km-ktn-1-km+1

则x,+x2=FT?中产E=W”=不算，"不平

yy_(H+吟(仁+m)_/c2xx+km(x+x)+m2

柩2=2t2]2

司+2X2-2X}X2-2xt+2