线性代数矩阵的性质及应用举例

华北水利水电学院

线性代数解决生活中实际问题

课程名称：线性代数

专业班级：____________________

成员组成：____________________

联系方式：____________________

2012年11月7日

关于矩阵逆的判定及求逆矩阵方法的探讨

摘要：矩阵的可逆性判定及逆矩阵的求解是高等代数的主耍内容之一。本文给出

判定矩阵是否可逆及求逆矩阵的几种方法。

关键词：逆矩阵伴随矩阵初等矩阵分块矩阵

矩阵理论是线性代数的一个主要内容，也是处理实际问题的重要工具，而逆矩阵在矩阵的理论和应

用中占有相当重要的地位。下面通过引入逆矩阵的定义，就矩阵可逆性判定及求逆矩阵的方法进行探讨。

定义1n级方阵A称为可逆的，如果n级方阵B,使得

AB=BA=E⑴

这里E是n级单位矩阵。

定义2如果B适合(I),那么B就称为A的逆矩阵，记作A-1

定理1如果A有逆矩阵，那么逆矩阵是唯一的。

逆矩阵的根本性质：

1

性质1当A为可逆阵，那么|人［=

性质2假设A为可逆阵，那么A'ZA伙为任意一个非零的数)都是可逆阵，且(47广=4

(M)_,

k

性质3其中A,B均为n阶可逆阵.

性质4(A=(AlY.

由性质3有

定理2假设4,&…4(〃22)是同阶可逆阵，那么A，4…4是可逆阵，且(442

下面给出几种判定方阵的可逆性及求逆矩阵的方法：

方法一定义法

利用定义1,即找一个矩阵B,使AB二E,那么A可逆，并且

方法二伴随矩阵法

定义3设A=(%)是n级方阵，用&表示A的亿力元的代数余子式«,/="•〃)，

(AA...AA

M2lfl

矩阵A12A22…A”2称为A的伴随矩阵，记作A*。

A2n•••

定理3矩即A可逆的充分必要条件是ITqo,并且当A可逆时，有

A7=

同

定理证明见[1].

定理3不仅给出了判断一个矩阵是否可逆的一种方法，并且给出了求逆矩阵的一种方法，但是这

种方法主要用在理论上以及2级或3级矩阵的情形，如果阶数较大，那么使用此方法计算量太大。

由定理3逆矩阵判定的方法还有：

推论3.1n级矩阵A可逆的允要条件是矩阵A的秩为no

推论3.2矩阵A可逆的充要条件是它的特征值都不为0。

推论3.3n级矩阵A可逆的充分必要条件是它的行（或列）向量组线性无关。

方法三初等变换法

定义4对矩阵施行以卜.三种变换称为矩阵的初等变换：

（1）交换矩阵的两行（列）；

（2）以一个非零的数k乘矩阵的某一行（列）；

（3）把矩阵的某一行（列）的4倍加到另一行（列）。

定理4方阵A可逆的充分必要条件是A可表示为假设干个同阶初等矩阵的乘积。

具体方法是：欲求A的逆抻阵时，首先由A作出一个〃x2〃矩阵，即（4E）,其次对这个矩阵施

以行初等变换（且只能用行初等变换），将它的左半部的矩阵A化为单位矩阵，那么原来右半部的单位

矩阵就同时化为

（AE）他等级>（用内）

（E

或者…列初等变换）…

’23P

例1求矩阵A的逆矩阵，A=013

J25,

‘231100、‘125001、425001

解：（A:E）—>013010->013010->013010

J2500"31100J-1-910-2

55

2o

--

1\1250066

I

13

OO-o13101O

---

22

-011

O61o1-01

-2706-1

37

一-

63

1134

Oo

6---1

63

1

3

O-T<

--

22

6

111

O・

--

6

>

3141

-136-

66

33

-

T17

••A--2

211

1

--

6-6

631

>

注：在事先不知道n阶矩阵是可逆的情况下，也可直接用此方法。如果在初等变换过程中发现左边

的矩阵有•行元素全为0,那么意味着A不可逆。

方法四利用解线性方程组来求逆矩阵

假设〃阶矩阵A可逆，那么44一=七，于是A-的第，列是线性方程组AX的

解，)=1,2…〃.因此我们可以去解线性方程组AX=4，其0=(*…b.)'，把所得的解的公式中的

“也…勿分别用1，°…°；0』,。…0；…；。,0…0,1代替，便可求得4T的第1,2…〃列，这种方法

在某些时候可能比用初等变换法求逆矩阵稍微简单一点。

，31000、

03100

例2求矩阵A:00310的逆矩阵。

00031

0003,

设T

解:X=(X.,X2,X3,X4,X5)

解方程组AX=B

42

x,=3T(3々-33%+3b一3b4+b)

321x2=Z?|35

x=37(33仇-32仇+3/一打)

3X2+X3=b22

即3占+匕=b,解得J%3=3-3(32/-3d+优)

x=3~2(3Z?-b)

3X4+X5=Z?4445

x=3-1b

3X5=Z?555

然后把3=(4，。,打)列,分别用今=(1,0,0,0,0)s2=(0,1,0,0,0)

£3=(0,0,1,0,0)q=(0,0,0,l,0)£5=(0,0,0,0,l)代入得到矩阵A-'的第1,2,3,4,5行，分别用

玉二(3",—3-2,3-3,—37,3-)々=(0,3-1,-3-2,3-3-3^)

/=(0,0,37,-3二,3-3)X4=(0,0,031-3-2)”(0,00,0,37)

-3-23-3-3”3T

03T-3-23-3-3-4

即A—1003--3-23-3

0003T一3-2

<00003T

这种方法特别适用于线性方程组AX=B的解容易求解的情形。

方法五分块求逆法

当一个可逆矩阵的阶数较大时，即使用初等变换求它的逆矩阵仍然计算量较大。如果把该矩阵分

’40r0Bj

块，再对分块矩阵求逆矩阵，那么能减少计算量。而且形如4=B=

.0A,Go;

A0、A.A2

A%=%

A立）04,

4()A12

%=0JM4=的分块矩阵，使用分块矩阵较方便。现用为例，来说

J21J2142

明求逆矩阵的方法,其它的矩阵可依此类推。

0、

设有n阶可逆矩阵A/1=,其中A“，&2为一，5阶可逆方阵，求MJ。

^22>

X

解：设=II12,那么MJ与有相同分法，那么

21X22

[A,0X”A1-^uA[[X]2

=

^22>

A??人X21X|]+A22A21X]2+&2X22/

百0、

=En=

0

A[X][=耳

4/2=0

得一个线性方程组为4

A21XU+A22X2l=0

A21X12+A22X22=Ex

X”=Ai

XI2二。

由于A”，42可逆，故存在，解得，

f2一'&广」

^2\

22=

AT0

从而=Gl

IT/"422T

方法六利用哈密尔顿一凯莱定理求逆矩阵法

哈密尔顿一凯莱定理设A是数域P上一个〃x〃矩阵，/(Z)=|在一川是A的特征多项式,

n}

那么/(A)=A"—^a22+-+a,JA-+・一+(-1)[4|石=0。

如果A可逆，那么A的特征多项式的常数项=(一1)〃|川工()，由定理知

ni

/(A)=A"+aiA~+■■■+an_tA+aflE=0

,rn2

于是一一-(A-'+^,A-+•••+«„xE)xA=E

%

nln2

因此得A",=--(A-+a]A-+-+an_1E)(*)

%

此式给出了A-'的多项式计算方法。

Jl10、

例3A=-430,求AL

J。2,

解：矩阵A的特征多项式为：

/(2)=|AE-4|=/l3-4/l2+52-2

因。3二一2工0,所以矩阵A可逆，由(*)式知

(6-20、

=-(A2-4A+5E)=-8-20

22l-31L

方法七“和化积”法

有时遇到这样的问题：要求判断方阵之和A+B的可逆性并求逆矩阵，此时可将A+B宜接化为

(A+B)C=E,由此有A+B可逆，且(A+B『=C,或将方阵之和A+B表为假设干个的可逆阵之积，

再有定埋2