苏科版八年级数学下册举一反三专题112反比例函数的应用【六大题型】(原卷版+解析)

专题1L2反比例函数的应用【六大题型】

【苏科版】

【逑型।图形问题】............................................................................1

【题型2表格问题】............................................................................2

【题型3工程问题】............................................................................4

【题型4行程问题】............................................................................5

【题型5销售问题】............................................................................6

【题型6物理问题】............................................................................8

手，?三

【知识点1反比例函数的应用】

求函数解析式的方法：

（1）待定系数法

（2）根据实际意义求函数解析式

【题型1图形问题】

【例I】（2022秋•岳阳月考）如图，科技小组准备用材料围建一个面积为60〃尸的矩形科技园4BCO,其中

—*边AD靠墙，墙长为12/7/,设AD的长为xm,DC的长为ym.

（1）求），与X之间的函数关系式；

（2）根据实际情况，对于（1）式中的函数自变量x能否取值为4〃?，若能，求出y的值，若不能，请说

明理由：

（3）若围成矩形科技园/WCO的三边材料总长不超过26/〃，材料AO和OC的长都是整米数，求出满足

条件的所有国建方案.

AB

DC

【变式1-1]（2022秋•曲阳县期末）一菱形的面积为12cm2,它的两条对角线长分别bcm,则a与b

之间的函数关系为a=—；这个函数的图象位于第一象限.

【变式1-2]（2022•滨江区二模）用若根火柴首尾相接摆成一个矩形，设每一根火柴的长度为1,矩形两条

邻边的长分别别为心/要求摆成的矩形的面积为8.

（1）求），关于x的函数表达式；

（2）能否摆成正方形？请说明理由.

【变式1・3】（2022春•江干区期末）在面积都相等的所有三角形中，当其中•个三角形的一边长工为1时，

这条边上的高），为6.

（1）①求y关于x的函数表达式；

②当x23时，求y的取值范围；

（2）小李说其中有一个三角形的一边与这边上的高之和为4,小赵说有一个三角形的一边与这边上的高

之和为6.你认为小李和小赵的说法对吗？为什么？

【题型2表格问题】

【例2】（2022•新华区校级一模）某电子科技公司研发出一套学习软件，并对这套学习软件在24周的销售

时间内，做出了下面的预测：设第八•周该软件的周销售量为7（单位：千套），当0Vx《8时，丁与田4

成反比；当8VxW24时，7-2与x成正比，并预测得到了如表中对应的数据.设第4周销售该软件每千

套的利润为K（单位：千元），K与x满足如图中的函数关系图象：

W周824

77千套1026

（1）求7与x的函数关系式；

（2）观察图象，当12《xW24时，K与x的函数关系式为.

（3）设第x周销售该学习软件所获的周利润总额为），（单位：千元），则：

①在这24周的销售时间内，是否存在所获周利润总额不变的情况？若存在，求出这个不变的值；若不存

在，请说明理由.

②该公司销售部门通过大数据噗拟分析后认为，最有利于该学习软件提供售后服务和销售的周利润总额

的范围是286WyW504,求在此范围内对应的周销售量7的最小值和最大值.

【变式2-1］（2022春•郑州期末）小涂在课余时间找到了几副度数不同的老花镜，让镜片正对着太阳光，

并上下移动镜片，直到地上的光斑最小（可以认为是焦点），此时他测了镜片与光斑的距离（可以当做

焦距），得到如下数据：

老花镜的度数100120200250300

。/度

焦距flm10.80.50.40.3

（1）老花镜镜片是（凸的、凹的、平的），度数越高镜片的中心（越薄、越厚、没有变

化）；

（2）观察表中的数据，可以找出老花镜的度数。与镜片焦距/的关系，用关系式表示为：；

（3）如果按上述方法测得一副老花镜的焦距为0.7小，可求出这幅老花镜的度数为.

【变式2-2］（2022春•社旗县期中）如图，李老师设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一个自制问题

似天平的仪器的左边固定托盘A中放置一个重物，在右边活动托盘8（可左右移动）中放置一定质量的

祛码，使得仪器左右平衡.改变活动托盘8与点O的距离x（cm）,观察活动托盘B中祛码的质量），（g）

的变化情况.实验数据记录如下表：

x(cm)1015202530

），8）3020151210

（1）猜测y与x之间的函数关系，求出函数关系式并加以验证；

（2）当祛码的质量为24g时，活动托盘8与点。的距离是多少？

（3）将活动托盘6往左移动时，应往活动托盘8中添加还是减少祛码？

\G/Q21/

AB

【变式2-3］（2022春•常州期末）某公司从2014年开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的成本

不断降低，具体数据如下表：

年度投入技改资金力万元产品成本W（万元/件）

20142.514.4

2015312

201649

20174.58

（1）分析下表中数据，请从一次函数和反比例函数中确定一个函数表示其变化规律，直接写出），与工的

函数关系式：

（2）按照这种变化规律，若2018年已投入资金6万元.

①预计2018年每件产品比2017年降低多少万元？

②若计划在2018年把每件产品成本降低到5万元，则还需要投入技改资金多少万元？

【题型3工程问题】

［例3］（2022•市南区校级二模）新冠肺炎疫情发生后，社会各界积极行动，以各种方式倾情支援湖北疫

区，某车队需要将一批生活物资运送至湖北疫区.已知该车队计划每天运送的货物吨数1y（吨）与运输

时间x（天）之间满足如图所示的反比例函数关系.

（1）求该车队计划每天运送的货物吨数y（吨）与运输时间x（天）之间的函数关系式；（不需要写出

自变量x的取值范围）

（2）根据计划，要想在5天之内完成该运送任务，则该车队每天至少要运送多少吨物资？

（3）为保证该批生活物资的尽快到位，该车队实际每天运送的货物吨数比原计划多了25%,最终提前了

1天完成任务，求实际完成运送任务的天数.

【变式3-1］（2022•市南区模拟）某校绿色行动小组组织一批人参加植树活动，完成任务的时间y（//）是

参加植树人数x（人）的反比例函数，且当x=20人时，y=3h.

（1）若平均每人每小时植树4棵，则这次共计要植树，42一棵；

（2）当x=80时，求y的值；

（3）为了能在1.5/?内完成任务，至少需要多少人参加植树？

【变式3-2］（2022•仙居县一模）县政府计划建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为6X10$（单

位：小3）,某运输公司承担了运送土石方的任务.

（1）运输公司平均运送速度-（单位："尸/天）与完成运送任务所需时间］（单位：天）之间具有怎样的

函数关系？

（2）这个运愉公司共有80辆卡车，每天可运送土石方IO,（单位；，/），公司完成全部运输任务需要

多长时间？

（3）当公司以问题（2）中的速度工作了30天后，由于工程进度的需要，剩下的运输任务必须在20天

内完

成，则运输公司至少要增加多少辆卡车？

【变式3-3］（2022秋•商州区校级期末）码头工人每天往一艘轮船上装载货物，平均每天装载速度y（吨/

天）与装完货物所需时间4（天）之间是反比例函数关系，其图象如图所示.

（1）求这个反比例函数的表达式；

（2）由于紧急情况，要求船上的货物不超过5天卸货完毕，那么平均每天至少要卸货多少吨？

（3）若码头原有工人1（）名，且每名工人每天的装卸量相同，装载完毕恰好用了8天时间，在（2）的条

件下，至少需要增加多少名工人才能完成任务？

【例4】（2022春•宜兴市校级期末）一司机驾驶汽车从甲地去乙地，以8（）千米/小时的平均速度用6小时

到达目的地.

（1）当他按原路匀速返回时，求汽车速度v（千米/小时）与时间I（小时）之间的函数关系式；

（2）如果该司机匀速返回时，用了4.8小时，求返回时的速度：

（3）若返回时，司机全程走高速公路，且匀速行驶，根据规定：最高车速不得超过每小时120公里，最

低车速不得低于每小时60公里，试问返程时间的范围是多少？

【变式4-1］（2022春•相城区期末）一列货车从北京开往乌鲁木齐，以58公〃〃?的平均速度行驶需要65/?.为

了实施西部大开发，京乌线决定全线提速.

（1）如果提速后平均速度为龙〃?〃?，全程运营时间为/小时，试写出/与v之间的函数表达式；

（2）如果提速后平均速度为7双加入求提速后全程运营时间；

（3）如果全程运营的时间控制在40/2内，那么提速后，平均速度至少应为多少？

【变式4-2］（2022•丽水）丽水某公司将“丽水山耕”农副产品运往杭州市场进行销售，记汽车行驶时间

为1小时，平均速度为u千米/小时（汽车行驶速度不超过100千米/小时）.根据经验，I，，/的一组对应

值如下表：

v（千米/小时）7580859095

I（小时）4.003.753.533.333.16

（1）根据表中的数据，求出平均速度v（千米/小时）关于行驶时间，（小时）的函数表达式；

（2）汽车上午7：30从丽水出发，能否在，午10：00之前到达杭州市场？请说明理由；

（3）若汽车到达杭州市场的行驶时间，满足3.5W/W4,求平均速度I，的取值范围.

【变式4-3］（2022•河北）如图是轮滑场地的截面示意图，平台距工轴（水平）18米，与），轴交于点出

与滑道v="J21）交于点A,且A8=l米.运动员（看成点）在BA方向获得速度I，米/秒后，从A处

•X

向右下飞向滑道，点M是下落路线的某位置.忽略空气阻力，实验表明：M,A的竖直距离力（米）与

飞出时间/（秒）的平方成正比，且，=1时力=5,M,A的水平距离是W米.

（1）求匕并用f表示/?;

（2）设n=5.用/表示点M的横坐标x和纵坐标以并求），与x的关系式（不写.1的取值范围），Iky

=13时运动员与正下方滑道的竖直距离；

（3）若运动员甲、乙同时从月处飞出，速度分别是5米/秒、I，乙米/秒.当甲距x轴1.8米，且乙位于甲

右侧超过4.5米的位置时，直接写出I的值及v乙的范围.

【题型5销售问题】

［例5］（2022秋•新都区期末）2020年9月，中国在联合国大会上向世界宣布了2030年前实现碳达峰、

2060年前实现碳中和的目标.为推进实现这一目标，某工厂投入资金进行了为期6个月的升级改造和节

能减排改造，导致月利润明显下降，改造期间的月利润与时间成反比例函数关系；到6月底开始恢复全

面生产后，工厂每月的利润都比前一个月增加30万元.设2021年1月为第I个月，第x个月的利润为

y万元，其图象如图所示，试解决下列问题：

（1）分别写出该工厂对生产线进行升级改造前后y与x的函数表达式；

（2）当月利润少于90万元时，为该工厂的资金紧张期，则该工厂资金紧张期共有几个月.

X（月）

【变式5-1]（2022•定海区模拟）某公司为了宣传一种新产品，在某地先后举行40场产品促销会，已知该

产品每台成本为10万元，设笫x场产品的销售量为），（台），第一场销售产品49台，然后每增加一场，

产品就少卖出1台.

（1）第5场销售多少台产品？并求出y与x之间的函数关系式.

（2）产品的每场销售单价0（万元）由基本价和浮动价两部分组成，其中基本价为10万元，第1场〜

第20场浮动价与销售场次x成正比，第21场〜第40场浮动价与销售场次x成反比，经过统计，得到如

表数据：

x（场）31036

P（万元）10.61213

①求P与x之间满足的函数关系式.

②当产品销售单价为13.6万元时，求销售场次是第几场？

③在这40场产品促销会中，哪一场获得的利润最大，最大利润是多少？

【变式5-2]（2022•河北模拟）小米利用暑期参加社会实践，在妈妈的帮助下，利用社区提供的免费摊点

卖玩具，已知小米所有玩具的进价均2元/个，在销售过程中发现：每天玩具销售量），件与销售价格x元

二件的关系如图所示，其中A8段为反比例函数图象的一部分，8C段为一次函数图象的一部分，设小米销

售这种玩具的日利润为卬元.

（1）根据图象，求出），与x之间的函数关系式；

（2）求出每天销售这种玩具的利润卬（元）与x（元/件）之间的函数关系式，并求每天利润的最大值；

（3）若小米某天将价格定为超过4元（x>4）,那么要使得小米在该天的销售利润不低于54元，求该

天玩具销售价格的取值范闱.

【变式5-3］（2022•青羊区模拟）某学校小组利用暑假中前40天参加社会实践活动，参与了一家网上书店

的经营，了解到一种成本为20元/本的书在/天销售量p=50-x,在第工天的售价为y（元/本），y与x

的关系如图所示.已知当社会实践活动时间超过一半后.y=20+手

（1）请求出当1WXW20时，）与x的函数关系式，请问第几天此书的销售单价为35元/本？

（2）这40天中该网点销售此节第几天获得的利润最大？最大的利润足多少？

【例6】（2022•青秀区校级一模）学校的自动饮水机，开机加热时每分钟上升10℃,加热到100℃,停止

加热，水温开始下降.此时水温y（°C）与通电时间x（〃疝】）成反比例关系.当水温降至20℃时，饮水

机再自动加热，若水温在20C时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法中正

A.水温从20℃加热到100C,需要7加〃

B.水温下降过程中，y与x的函数关系式是）=*

C.上午8点接通电源，可以俣证当天9：30能喝到不超过40c的水

D.水温不低于30℃的时间为彳加〃

【变式6-1]（2022•枣庄）为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所

排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0〃侬心环保局要求该企业立即整改，在

15天内（含15天）排污达标.整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y（，咫/L）与时间x（天）的变化

规律如图所示，其中线段AC表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4.5〃3L从第3天起,

所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系：

时间x（天）3569...

硫化物的浓度4.52.72.251.5……

y（inglL）

（1）在整改过程中，当0WxV3时，硫化物的浓度），与时间x的函数表达式；

（2）在整改过程中，当x23E寸，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；

（3）该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内不超过最高允许的1.8咽L?为什么？

【变式6-2]（2022秋•温州期末）项目化成果展示了一款简易电子秤：可变电阻上装有托盘（质量忽略不

计），测得物品质量x（依）与可变电阻），（C）的多组对应值，画出函数图象（如图1）.图2是三种

测量方案，电源电压恒为8V,定值电阻为30C,与可变电阻串联.

【链接】串联电路中，通过两个电阻的电流/相等，/=2可变电阻、定值电阻两端的电压之和为8%

K

则有/（），+30）=8.

（1）求），关于X的函数表达式，并写出自变量x的取值范围

（2）三个托盘放置不同物品后，电表A,%,Vi的读数分别为0.1的6V,4忆请从以下方案中选择一

个，求出对应物品的质量是多少依?

NQ）

（3）小明家买了某散装大米65打，为了检验商家是否存在缺斤少两的情况，请你将大米分批称重，用

方案一、二、三来进行检验，设大米为。（60V“W65）kg,前两次称合适的千克数，第3次用含。的代

数式表示，请填写如表.

第1次（方案一）第2次（方案二）第3次（方案三）

大米（依）

读数1=NVo=V02V

【变式6-3］（2022春•吁胎县期末）某蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培•种新品，如图是某天恒

温系统从开始到关闭及关闭后，大棚里温度,，（℃）随时间变化的函数图象，其中人8段是恒温阶

段，3c段是双曲线），=：的一部分，请根据图中信息解答下列问题：

（1）求女的值；

（2）恒温系统在一天内保持大棚内温度不低于15℃的时间有多少小时？

专题1L2反比例函数的应用【六大题型】

【苏科版】

图形问题】.............................................................................1

表格问题】.............................................................................2

工程问题】............................................................................4

行程问题】.............................................................................5

【题型6物理问题】8

【知识点1反比例函数的应用】

求函数解析式的方法：

（2）待定系数法

（2）根据实际意义求函数解析式

【题型1图形问题】

【例I】（2022秋•岳阳月考）如图,科技小组准备用材料围建一个面积为科评的矩形科技

HABCD,其中一边AB靠墙，墙长为12〃?，设4。的长为刈?，Z）C的长为

（1）求了与x之间的函数关系式；

（2）根据实际情况，对于（1）式中的函数自变量x能否取值为4〃?，若能，求出），的值,

若不能，请说明理由；

（3）若围成矩形科技园A8C。的三边材料总长不超过26〃?，材料4。和。C的氏都是整

米数，求出满足条件的所有围建方案.

AB

Di-------------1c

【分析】（1）根据面枳为60〃落可得出y与x之间的函数关系式；

（2）直接把x=4代入得出），的值进而比较即可；

（3）由（1）的关系式，结合X、），都是正整数，可得出x的可能值，再由三边材料总长

不超过26/〃，0c的长<12,可得出x、y的值，继而得出可行的方案.

【解答】解：（1）由题意得，S矩形.8a>=A7）XOC=.vy,

故尸竺.（5&）

X

（2）不能.当x=4时，）=15>12,不合题意；

（3）由）口?，且小y都是正整数，

可得x可取1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60,

•・2+户26,0<3<12,

・•・符合条件的围建方案为：AD=5nb。。=12加或4。=6〃?，DC=\0mAD=\0m,DC

=&n.

【变式1-1]（2022秋•时阳县期末）一菱形的面积为12c〃尸，它的两条对角线长分别依利，

从切，则。与之间的函数关系为。=?；这个函数的图象位于第一象限.

【分析】菱形的面积=对角线乘积的一半，列出关系式，写出。与。的函数关系式，根

据变量的取值，确定函数所在的象限.

【解答】解：由菱形的面积公式得必=则

24,b

Vi/>o,b>0,

・•・这个函数的图象位于第一象限.

【变式1-2]（2022•滨江区二模）用若根火柴首尾相接摆成一个矩形，设每一根火柴的长

度为I,矩形两条邻边的长分别别为x,），，要求摆成的矩形的面积为8.

（1）求），关于x的函数表达式；

（2）能否摆成正方形？请说明理由.

【分析】（1）根据长方形的长=面积+宽列出函数解析式即可：

（2）正方形的边K相等，说明人、）•相等，进步开方，是整数即可，否则不成立.

【解答】解：（1）y=g（x=l,2,4,8）；

X

（2）不能摆成正方形.

理由如下：

因为入2=8,

解得：x=2V2,不是整数，

所以不能摆成正方形.

【变式1-3]（2022春•匚干区期末）在面积都相等的所有三角形中，当其中一个三角形的

一边长x为I时，这条边上的高1y为6.

（1）①求），关于X的函数表达式；

②当x23时，求y的取值范围；

（2）小李说其中有一个三角形的一边与这边上的高之和为4,小赵说有一个三角形的一

边与这边上的高之和为6.你认为小李和小赵的说法对吗？为什么？

【分析】（1）①直接利用三角形面积求法进而得出.V与x之间的关系；②直接利用x23

得出），的取值范围；

（2）直接利用x+y的值结合根的判别式得出答案.

【解答】解：（1）®5A=1X1X6=3,

•・"为底，），为高，

•*»^xy=3,

・6

.•k7

②当x=3时、y=2,

・••当x23时，），的取值范围为：0<><2：

（2）小赵的说法正确，

理由：小李：•・•小李说其中有一个三角形的一边与这边上的高之和为4,

.*.x+X-=4,

整理得，『・©+6=0,

VA=42-4X6<0,

・•・一个三角形的一边与这边上的高之和不可能是4；

小赵：•・•小赵说有一个三角形的一边与这边上的高之和为6.

.*.x+-=6,

X

整理得，x2-6A+6=0,

•/△=62-4X6=12>0,

“山=3土百，

2

・•・小赵的说法正确.

【题型2表格问题】

[例2]（2022•新华区校级一模）某电子科技公司研发出一套学习软件，并对这套学习软

件在24周的销售时间内，做出了卜面的预测：设第1周该软件的周销售量为T（单位：

千套），当（）<xW8时，丁与x+4成反比；当84W24时，7-2与x成正比，并预测得

到了如表中对应的数据.设第x周销售该软件每千套的利润为K（单位：千元），K与x

满足如图中的函数关系图象：

x/周824

〃千套1026

（1）求7与x的函数关系式；

（2）观察图象，当12WxW24时，K与x的函数关系式为K=-x+44.

（3）设第x周销售该学习软件所获的周利润总额为了（单位：千元），则：

①在这24周的销售时间内，是否存在所获周利润总额不变的情况？若存在，求出这个不

变的值；若不存在，请说明理由.

②该公司销售部门通过大数据模拟分析后认为，最有利于该学习软件提供售后服务和销

售的周利润总额的范隹是286W）W504,求在此范围由对应的周销售量7的最小值和最大

值.

【分析】（I）通过待定系数法求函数关系式.

（2）观察图象，分析函数图象性质，分段求解.

（3）分析并理解题意，列出一元二次方程解出答案.

【解答】解：（1）当0Vx《8时，设7=旦（〃?W0）,

X+4

根据表格中的数据，当x=8时，7=10,

・・.10=口，

8+4

解得："7=120,

・••当8VxW24时，设7-2=心（〃工0）,

根据表格中的数据，当x=24时，7=26,

・・・26-2=24〃，

解得：n=\,

：.T-2=x,

综上所述T与x的函数关系式为：

A^（0<x<8）；

[x+2（8<rW24）’

（2）当12WxW24时，设K与x的函数关系式为K=E+4

将x=12,K=32；x=24,K=20代入得：

（12k+b=32

（24+b=20'

解得：

lb=44

・•・当12WxW24时,K与x的函数关系式为长=-.V+44,

故答案为：K--x+44：

(3)①存在，不变的值为240,

由函数图像得：当0VXW12时，设K与x的函数关系式的K=Mx+",

将x=0,K=8；x=12,K=32代入得:

pi=8

112自+九=32'

解得:£：8-

・•・当0<rWl2时，K与x的函数关系式为K=2x+8,

工当。〈后8时，y=KT=⑵+8)券=24。；

当8VxW12时，y=KT=(2x+8)(x+2)=2A-2+1Z¥+16；

当12VxW24时，y=KT=(x+2)(-x+44)=+42计88,

综上所述，在这24周的销售时间内，存在所获周利润总额不变的情况，这个不变值为240.

②当8VxW12时，y=2r+12x+16=2(x+3)2-2,抛物线的对称轴为x=-3,

・•・(【)当8VxW12时，在对称轴右侧y随x的增大而增大，

当2(x+3)2-2=286时，

解得：即=9,用=-15(舍去)；

当x=12时，y取最大，直，最大值为448,满足286W)W504：

当x=9时，周销售展7的最小值为11；当工=12时，7取最大值14；

(H)当12VA<24时，尸-A2+42A+88=-(x-21)2+529,抛物线的对称轴为x=21,

当x=12时，y取最小管，最小值为448,满足286WyW504；

当-(x-21)2+529=504时，

解得：xi=16,X2=26(舍去)；

当x=12时，周销售量T取最小值为14；当x=16时，/取最大值18；

综上所述，当周利润总额的范围是286WyW504时，充应周销售量7的最小值是11千套,

最大值是18千套.

【变式2-1](2022春•郑州期末)小涂在课余时间找到了几副度数不同的老花镜，让镜片

正对着太阳光，并上下移动镜片，直到地上的光斑最小(可以认为是焦点)，此时他测

了镜片与光斑的距离(可以当做焦距)，得到如下数据：

老花镜的度数100120200250300

力/度

焦距由〃10.80.50.40.3

(1)老花镜镜片是凸的(凸的、凹的、平的)，度数越高镜片的中心越厚(越

薄、越厚、没有变化)；

(2)观察表中的数据，可以找出老花镜的度数。与镜片焦距/的关系，用关系式表示为:

£100

f=--'

（3）如果按上述方法测得一副老花镜的焦距为0.7〃?，可求出这幅老花镜的度数为143

心

【分析】（I）根据题意及常识可求解；

（2）利用表格中的数据可求解。与/的关系式；

（3）将/值代入计算可求解.

【解答】解：（1）老花镜镜片是凸的，度数越高镜片的中心越厚，

故答案为：凸的；越厚；

（2）根据表中数据可得：100X1=100,120X0.8=96,200X0.5=100,250X0.4=100,

300X0.3=90,

则老花镜的度数D与镜片焦距/的关系可近似的看作f=誓，

故答案为：f=~

（3）当/=0.7〃?时，0.7二中，

解得。2143,

即这幅老花镜的度数是143度.

故答案为：143度.

【变式2-2]（2022春•社旗县期中）如图，李老师设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：

在一个自制问题似天平的仪器的左边固定托盘4中放置一个重物，在右边活动托盘B（可

左右移动）中放置一定质量的祛码，使得仪器左右平衡.改变活动托盘8与点。的距高

A-（c/n）,观察活动北盘3中吐码的质量y（g）的变化情况.实验数据记录如下表：

x（cm）1015202530

y（g）3020151210

（1）猜测），与x之间的函数关系，求出函数关系式并加以验证；

（2）当祛码的质量为24g时，活动托盘4与点。的距离是多少？

（3）将活动托盘B往左移动时，应往活动托盘8中添加还是减少祛码？

\尸jl/gxf81昌/

AIB

【分析】（l）观察可得：x,y的乘积为定值300,故），与x之间的函数关系为反比例函

数，将数据代入用待定系数法可得反比例函数的关系式；

（2）把x=24代入解析式求解.，可得答案：

（3）利用函数增减性即可得出，随着活动托盘8与O点的距离不断增大，砧码的示数

应该不断减小.

【解答】解：（1）由图象猜测），与X之间的函数关系为反比例函数，

・•.设），一（&W0）,

X

把x=10,y=30代入得：女=300,

.300

将其余各点代入验证均适合，

・•・），与X的函数关系式为：y=咨：

（2）把），=24代入尸子得：x=12.5,

:,当破码的质量为24g时，活动托盘B与点O的距离是12.5”儿

（3）根据反比例函数的增减性，即可得出，随着活动托盘B与O点的距离不断减小，

祛码的示数会不断增大；

・二应添加祛码.

【变式2-3］（2022春•常州期末）某公司从2014年开始投入技术改进资金，经技术改进后,

其产品的成本不断降低，具体数据如下表：

年度投入技改资金*万元产品成本W（万元/件）

20142.514.4

2015312

201649

20174.58

（1）分析下表中数据，请从一次函数和反比例函数中确定一个函数表示其变化规律，直

接写出y与式的函数关系式：

（2）按照这种变化规律，若2018年已投入资金6万元.

①预计2018年每件产品比2017年降低多少万元？

②若计划在2018年把每件产品成本降低到5万元，则还需要投入技改资金多少万元？

【分析】（1）利用已知数据可得横纵坐标的积为定值，进而得出答案；

（2）①利用所求函数解析式进而利用x=6时求出y的值即可得出答案；

②利用y=5代入进而得出答案.

【解答】解：（1）根据已知数据可得：能用反比例函数表示其变化规律，

y与x的函数关系式是：），=・；

（2）①当x=6时，y=6,

则8-6=2（万元），

答：预计2018年每件产品成本比2017年降低2万元；

②当y=5时，x=7.2,

7.2-6=1.2（万元），

答：还需投入技改资金1.2万元.

【题型3工程问题】

[例3]（2022•市南区校级二模）新冠肺炎疫情发生后，社会各界积极行动，以各种方式

倾情支援湖北疫区，某车队需要将•批生活物资运送至湖北疫区.已知该车队计划每天

运送的货物吨数1y（吨）与运输时间x（天）之间满足如图所示的反比例函数关系.

（1）求该车队计划每天运送的货物吨数y（吨）与运输时间x（天）之间的函数关系式;

（不需要写出自变量4•的取值范围）

（2）根据计划，要想在5天之内完成该运送任务，则该车队每天至少要运送多少吨物资？

（3）为保证该批生活物资的尽快到位，该车队实际每天运送的货物吨数比原计划多了

25%,最终提前了1天完成任务，求实际完成运送任务的天数.

【分析】（1）设反比函数的解析式，代入（2,100）即可求解：

（2）设该车队每天至少要运送〃?吨物资，根据题意列不等式，解不等式即可;

（3）设原计划每天运送货物〃吨，根据题意列分式方程，即可求出.

【解答】解：（1）•・•），与工满足反比例函数关系，

.••设y=g将点（2,100）代入，

解得2=200,

•200

..V=——・

JX

（2）设该车队每天至少要运送机吨物资，

则5m2200,

则

:.该车队每天至少要运送40吨物资.

（3）设该车队原计划每天运送的货物〃吨，

则实际每天运送的货物为（1+25%）〃吨，

根据题意列方程得，

200,«200

----------F1=—，

（l+25%）nn

解得/1=40,

经检验，〃=40是原方程的根，

・•・原计划每天运送货物40吨，实际每天运送货物5（）吨，

・••实际完成运送任务的天数是警=4（天）.

【变式3”】（2022•市南区模拟）某校绿色行动小组组织一批人参加植树活动，完成任务

的时间y（力）是参加植树人数x（人）的反比例函数，且当x=20人时，y=3h.

（1）若平均每人每小时植树4棵，则这次共计要植树240棵:

（2）当x=80时，求y的值；

（3）为了能在1.5力内完成任务，至少需要多少人参加植树？

【分析】（1）直接利用当x=20人时，y=3h,平均每人每小时植树4棵，即可得出这

次共计要植树的总棵数：

（2）首先求出反比例函数解析式，进而利用当x=80时，得出y的值，进而得出答案；

（3）利用），=1.5时，求出x的值进而得出答案.

【解答】解：（1）由题意可得：20X4X3=240：

故答案为：240；

（2）设y与x的函数表达式为：y=§（kW0）,

•・•当x=20时，y=3.

・M=60,

当x=8。时,产案=：；

（3）把y=L5代入产多得

1.5=X-,

解得：x=40,

根据反比例函数的性质，），随x的增大而减小，所以为了能在1.5〃内完成任务，至少需

要40人参加植树.

【变式3-2]（2022•仙居县一模）县政府计划建设一项水利工程，工程需要运送的土石方

总量为6X10,（单位：〃?3）,某运输公司承担了运送土石方的任务.

（I）运输公司平均运送速度v（单位：〃尚天）与完成运送任务所需时间/（单位：天）

之间具有怎样的函数关系？

（2）这个运输公司共有80辆卡车，每天可运送土石方104（单位：加D,公司完成全部

运输任务需要多长时间？

（3）当公司以问题（2）中的速度工作了30天后，由于工程进度的需要，剩下的运输任

务必须在20天内完

成，则运输公司至少要增加多少辆卡车？

【分析】（1）由总量=山，求出n即可；

（2）把v的值代入计算即可求出i的值；

（3）设需要增加。辆卡车，每辆卡车每天运输土石方为襄=125〃儿求出前30天与后

20天的土石方确定出解析式，即可求出«的最小值.

【解答]解（1）•・"f=6X105,

•6X105

■■v=---；

（2）当尸1（）4时，=翳！二60（天），

答：公司完成全部运输任务需要60天；

（3）设需要增加〃辆卡车，每辆卡车每天运输土石方为襄=125加3,

•・•前30天运输土石方:30X104=3X10W,

，后20天运输土石方：6X105-3X105=3X105,

设30天后的每天运输速度为也，所需时间小

.3X105

••也

由I，尸号I的性质可知，当力时，也随着力的增大而减少，

/.20XI25（a+80）23义1。5,

・••心40,

・・・。得最小值是40,

答：运输公司至少要增加40辆卡车.

【变式3-3]（2022秋•商州区校级期末）码头工人每天往一艘轮船上装载货物，平均每天

装载速度y（吨/天）与装完货物所需时间x（天）之间是反比例函数关系，其图象如图所

示.

（1）求这个反比例函数的表达式；

（2）由于紧急情况，要求船上的货物不超过5天卸货完毕，那么平均每天至少要卸货多

少吨？

（3）若码头原有工人1（）名，且每名工人每天的装卸量相同，装载完毕恰好用了8天时

间，在（2）的条件下，至少需要增加多少名工人才能完成任务？

【分析】（1）根据题意即可知装载速度），（吨/天）与装完货物所需时间X（天）之间是

反比例函数关系，则可求得答案；

（2）由x=5,代入函数解析式即可求得y的值，即求得平均每天至少要卸的货物；

（3）由10名工人，每天一共可卸货50吨，即可得出平均每人卸货的吨数，即可求得答

案.

【解答】解：（1）设y与x之间的函数表达式为），=§,

根据题意得：50=）,

解得太=400,

与x之间的函数表之式为y=詈；

（2）Vx=5,・・・），=400+5=80,

解得：），=80；

答：平均每天至少要卸80吨货物；

（3）•・•每人一天可卸货；50+10=5（吨），

••.80+5=16（人），16-10=6（人）.

答：码头至少需要再增加6名工人才能按时完成任务.

【题型4行程问题】

[例4]（2022春•宜兴方校级期末）一司机驾驶汽车从甲地去乙地，以80千米〃J、时的平

均速度用6小时到达目的地.

（1）当他按原路匀速返回时，求汽车速度v（千米/小时）与时间t（小时）之间的函数

关系式：

（2）如果该司机匀速返回时，用了4.8小时，求返回时的速度；

（3）若返回时，司机全程走高速公路，且匀速行驶，根据规定：最高车速不得超过每小

时120公里，最低车速不得低于每小时60公里，试问返程时间的范围是多少？

【分析】（1）首先根据题意，求解可得：S=V*/=480,汽车速度v（千米/小时）与时

间/（小时）之间为反比例函数关系式，将数据代入用待定系数法可得反比例函数的关系

式；

（2）由（1）中的解析式和7=4.8可进一步求解可得u的值；

（3）根据题意或结合图象可知，分别计算i，=12（）时和v=60时/的值即可求得范司.

【解答】解：（1）75=80X6=480

，汽车速度y（千米/小时）与时间，（小时）之间的函数关系式：v=^

（2）当『4.8时,哼翳=100，

答:返回时的速度为100T・米/小时.

（3）如图，攵=480>0,/随I，的减小而增大,

当y=60时，，=8,

忘8.

答：根据限速规定，返程时间不少于4小时且不多于8小时.

【变式4-1］（2022春•相城区期末）一列货车从北京开往乌鲁木齐，以5版加〃的平均速度

行驶需要65儿为了实施西部大开发，京乌线决定全线提速.

（1）如果提速后平均速度为以:加爪全程运营时间为f小时，试写出，与I，之间的函数表

达式；

（2）如果提速后平均速度为78AM〃?，求提速后全程运营时间；

（3）如果全程运营的E寸间控制在40/?内，那么提速后，平均速度至少应为多少？

【分析】（1）直接利用路程=时间乂速度得出总路程进而得出函数关系式；

（2）利用总路程除以速度即可得出时间；

（3）利用总路程除以E寸间即可得出平均速度.

【解答】解:（1）由题意可得，总路程为58X65=3770（M,

则提速后平均速度为vW/n全程运营时间为1小时，

故/与v之间的函数表达式为：仁二U;

（2）当时，勺鬻=48：（小时），

答：提速后全程运营时间为4若小时；

（3）•••全程运营的时间控制在40〃内，

・•・平均速度应为：立誓=94.25,

40

答：提速后，平均速度至少应为94.25公〃.

【变式4-2]（2022•丽水）丽水某公司将“丽水山耕”农副产品运往杭州市场进行销售，

记汽车行驶时间为1小时，平均速度为v千米/小时（汽车行驶速度不超过100千米/小

时）.根据经验,v.I的一绢对应值如下表：

V（千米/小时）7580859095

/（小时）4.003.753.533.333.16

（1）根据表中的数据，求出平均速度V（千米/小时；关于行驶时间;（小时）的函数表

达式；

（2）汽车上午7：30从丽水出发，能否在上午10：00之前到达杭州市场？请说明理由；

（3）若汽车到达杭州市场的行驶时间/满足3.5W/W4,求平均速度v的取值范围.

【分析】（1）根据表格中数据，可知V是/的反比例函数，设