2017-2026年高考数学十年真题分类汇编：专题02 平面向量（学生版）

专题02平面向量

（三大考点，83题）

考点01平面向量的线性运算

1.（2020·山东·高考真题）已知平行四边形ABCD，点E，F分别是AB，BC的中点（如图所示），设ABa，

ADb，则EF等于（）

1111

A．abB．abC．baD．ab

2222

2.（2020·海南·高考真题）在ABC中，D是AB边上的中点，则CB=（）

A．2CDCAB．CD2CAC．2CDCAD．CD2CA

3.（2018·全国I卷·高考真题）在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB

3113

A．ABACB．ABAC

4444

3113

C．ABACD．ABAC

4444

4.（2017·北京·高考真题）设m,n为非零向量，则“存在负数，使得mn”是“mn<0”的

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

5.（2017·全国II卷·高考真题）设非零向量a，b满足abab，则

A．a⊥bB．a=b

C．a∥bD．ab

考点02平面向量的基本定理及坐标表示

1.（2026·全国一卷·高考真题）已知平面向量a，b不共线，且2aybxa3b，则（）

A．x2，y=3B．x2，y3C．x2，y3D．x2，y=3

2.（2026·上海·高考真题）已知ax,3，b4,6，若a∥b，则x____________.

3.（2026·天津·高考真题）已知aab1，b1，记cab．当abc0时，__________，

当abc1时，的取值范围为__________．

4.（2025·全国一卷·高考真题）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在

航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船

行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的

对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示（线段长度

代表速度大小，单位：m/s），则该时刻的真风为（）

级数名称风速大小（单位：m/s)

2轻风1.6~3.3

3微风3.4~5.4

4和风5.5~7.9

5劲风8.0~10.7

A．轻风B．微风C．和风D．劲风

5.（2025·上海·高考真题）已知a(2,1),b(1,x)，若a∥b，则x__________．

6.（2024·上海·高考真题）已知kR,a2,5,b6,k，且a//b，则k的值为______．

7.（2024·天津·高考真题）已知正方形ABCD的边长为1，DE2EC,若BEBABC，其中,为实

数，则______；设F是线段BE上的动点，G为线段AF的中点，则AFDG的最小值为______．

11

8.（2023·天津·高考真题）在ABC中，BC1，A60，ADAB,CECD，记ABa,ACb，

22

1

用a,b表示AE_________；若BFBC，则AEAF的最大值为_________．

3

9.（2023·上海·高考真题）已知向量a(3,4),b(1,2)，则a2b_______________．

10.（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）在ABC中，点D在边AB上，BD2DA．记CAm，CDn，则CB

（）

A．3m2nB．2m3nC．3m2nD．2m3n

11.（2021·全国乙卷·高考真题）已知向量a2,5,b,4，若a//b，则_________．

12.（2022·天津·高考真题）在ABC中，点D为AC的中点，点E满足CB2BE.记CAa,CBb，用a,b

表示DE___________，若ABDE，则ACB的最大值为____________

13.（2018·全国III卷·高考真题）已知向量a=1,2，b=2,2，c=1,．若c2a+b，则________．

14.（2017·山东·高考真题）已知向量a=（2,6）,b=(1,),若a∥b,则____________.

15.（2017·江苏·高考真题）如图，在同一个平面内，向量OA,OB,OC的模分别为1,1,2,OA与OC的夹角

为，且tan7,OB与OC的夹角为45，若OCmOAnOBm,nR，则mn_________．

考点03平面向量的数量积

1.（2026·全国二卷·高考真题）已知ab1，ab3，则ab（）

1111

A．B．C．D．

2332

uuuruuur

2.（2025·北京·高考真题）在平面直角坐标系xOy中，|OA||OB|2，|AB|2.设C(3,4)，则|2CAAB|

的取值范围是（）

A．[6,14]B．[6,12]C．[8,14]D．[8,12]

3.（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量a(0,1),b(2,x)，若b(b4a)，则x（）

A．2B．1C．1D．2

4.（2024·北京·高考真题）设a，b是向量，则“ab·ab0”是“ab或ab”的（）．

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

5.（2024·全国甲卷·高考真题）设向量ax1,x,bx,2，则（）

A．“x3”是“ab”的必要条件B．“x13”是“a//b”的必要条件

C．“x0”是“ab”的充分条件D．“x13”是“a//b”的充分条件

6.（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量a,b满足a1,a2b2，且b2ab，则b（）

123

A．B．C．D．1

222

22

7.（2023·北京·高考真题）已知向量a，b满足ab(2,3),ab(2,1)，则|a||b|（）

A．2B．1C．0D．1

8.（2023·全国乙卷·高考真题）正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则ECED（）

A．5B．3C．25D．5

9.（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量a3,1,b2,2，则cosab,ab（）

117525

A．B．C．D．

171755

10.（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量a,b,c满足ab1,c2，且abc0，则cosac,bc

（）

4224

A．B．C．D．

5555

11.（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量a1,1,b1,1，若abab，则（）

A．1B．1

C．1D．1

12.（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知向量a(3,4),b(1,0),catb，若a,cb,c，则t（）

A．6B．5C．5D．6

13.（2022·全国乙卷·高考真题）已知向量a(2,1)，b(2,4)，则ab（）

A．2B．3C．4D．5

14.（2022·全国乙卷·高考真题）已知向量a,b满足|a|1,|b|3,|a2b|3，则ab（）

A．2B．1C．1D．2

15.（2022·北京·高考真题）在ABC中，AC3,BC4,C90．P为ABC所在平面内的动点，且PC1，

则PAPB的取值范围是（）

A．[5,3]B．[3,5]C．[6,4]D．[4,6]

16.（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知O为坐标原点，点P1cos,sin，P2cos,sin，

P3cos,sin，A(1,0)，则（）

A．OP1OP2B．AP1AP2

C．OAOP3OP1OP2D．OAOP1OP2OP3

17.（2021·浙江·高考真题）已知非零向量a,b,c，则“acbc”是“ab”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件

18.（2020·山东·高考真题）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则APAB的取值范围是（）

A．(2,6)B．(6,2)

C．(2,4)D．(4,6)

19.（2020·全国III卷·高考真题）已知向量a，b满足|a|5，|b|6，ab6，则cosa,ab=（）

31191719

A．B．C．D．

35353535

20.（2020·全国II卷·高考真题）已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是（）

A．a2bB．2abC．a2bD．2ab

21.（2019·全国II卷·高考真题）已知向量a(2，3)，b(3，2)，则|a–b|

A．2B．2

C．52D．50

22.（2019·全国I卷·高考真题）已知非零向量a，b满足a=2b，且（a–b）b，则a与b的夹角为

ππ2π5π

A．B．C．D．

6336

23.（2019·全国II卷·高考真题）已知AB=(2,3)，AC=(3，t)，BC=1，则ABBC=

A．-3B．-2

C．2D．3

24.（2018·浙江·高考真题）已知a、b、e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为，向

3

2

量b满足b4eb30，则ab的最小值是

A．31B．31C．2D．23

25.（2018·全国II卷·高考真题）已知向量a,b满足a1，ab1，则a(2ab)

A．4B．3C．2D．0

26.（2018·天津·高考真题）如图，在平面四边形ABCD中，ABBC,ADCD,BAD120,ABAD1,

若点E为边CD上的动点，则AEBE的最小值为

21325

A．B．C．D．3

16216

27.（2018·天津·高考真题）在如图的平面图形中，已知OM1,ON2,MON120,BM2MA,CN2NA,

则BC·OM的值为

A．15B．9

C．6D．0

28.（2017·浙江·高考真题）如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD

＝＝＝

交于点O，记I1OA·OB，I2OB·OC，I3OC·OD，则

A．I１<I２<I３B．I１<I３<I２C．I３<I１<I２D．I２<I１<I３

29.（2017·全国II卷·高考真题）已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA(PBPC)

的最小值是()

34

A．2B．C．D．1

23

30.（2026·上海·高考真题）在ABC中，D、E在边BC上，且BDDEEC，AD1，AD与AE所成

π

的夹角为，则ABAC的最大值为____________.

3

1

31.（2025·天津·高考真题）ABC中，D为AB边中点，CECD,ABa,ACb，则______（用a，

3AE

b表示），若|AE|5，AECB，则AECD_______

32.（2025·全国二卷·高考真题）已知平面向量a(x,1),b(x1,2x),若aab，则|a|___________

33.（2025·上海·高考真题）在平面中，e1和e2是互相垂直的单位向量，向量a满足a4e12，向量b满

足b6e21，求b在a方向上的数量投影的最大值__________．

34.（2023·上海·高考真题）已知a2,3，b1,2，求ab________

35.（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量a，b满足ab3，ab2ab，则b______．

36.（2022·全国甲卷·高考真题）已知向量a(m,3),b(1,m1)．若ab，则m______________．

1

37.（2022·全国甲卷·高考真题）设向量a，b的夹角的余弦值为，且a1，b3，则

3

2abb_________．

38.（2022·上海·高考真题）在ABC中，C，ACBC2，M为AC的中点，P在线段AB上，则MPCP

2

的最小值为________△

39.（2021·天津·高考真题）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，DEAB且交AB

于点E．DF//AB且交AC于点F,则|2BEDF|的值为____________；(DEDF)DA的最小值为____________．

40.（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知向量abc0，a1，bc2，abbcca_______．

41.（2021·北京·高考真题）已知向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长

为1，则

(ab)c________；ab=________.

42.（2021·浙江·高考真题）已知平面向量a,b,c,(c0)满足a1,b2,ab0,abc0.记向量d在

222

a,b方向上的投影的数量分别为x，y，da在c方向上的投影的数量为z，则xyz的最小值为

___________.

43.（2021·全国乙卷·高考真题）已知向量a1,3,b3,4，若(ab)b，则__________．

44.（2021·全国甲卷·高考真题）若向量a,b满足a3,ab5,ab1，则b_________.

45.（2021·全国甲卷·高考真题）已知向量a3,1,b1,0,cakb．若ac，则k________．

1

46.（2020·北京·高考真题）已知正方形ABCD的边长为2，点P满足AP(ABAC)，则|PD|_________；

2

PBPD_________．

47.（2020·浙江·高考真题）设e1，e2为单位向量，满足|2e1e2|2，ae1e2，b3e1e2，设a，b的

夹角为，则cos2的最小值为_______．

48.（2020·全国I卷·高考真题）设向量a(1,1),b(m1,2m4)，若ab，则m______________.

49.（2020·全国I卷·高考真题）设a,b为单位向量，且|ab|1，则|ab|______________.

50.（2020·全国II卷·高考真题）已知单位向量a,b的夹角为45°，kab与a垂直，则k=__________.

51.（2019·北京·高考真题）已知向量a=（－4，3），b=（6，m），且ab，则m=__________.

52.（2019·全国III卷·高考真题）已知向量a(2,2),b(8,6)，则cosa,b___________.