2017-2026年高考数学十年真题分类汇编：专题03 等式与不等式综合（含基本不等式）（教师版）

专题03等式与不等式综合（含基本不等式）

（三大考点，44题）

考点01不等式性质

1.（2026·上海·高考真题）已知xy1，则下列不等式恒成立的是（）

A．xy2B．xyxyC．x2yD．xyxy

【答案】C

【分析】举反例即可求解ABD，根据不等式的传递性即可求解C.

【详解】对于A,取x3,y2，则x3,y24,故xy2，所以A错误，

对于B，取x1.5,y1.2,则xy1.8,xy2.7，此时xyxy，故B错误，

对于C，由于xy1，故x2x，因此x2y，C正确，

对于D,取x3,y2，则xy5,xy6，此时xyxy，故D错误，

故选：C

2.（2025·北京·高考真题）已知a0,b0，则（）

111

A．a2b22abB．

abab

112

C．ababD．

abab

【答案】C

【分析】由基本不等式结合特例即可判断.

【详解】对于A,当ab时，a2b22ab，故A错误；

1111

112468

对于BD，取a,b，此时ab11ab，

24

24

1122

24642

ab11ab，故BD错误；

24

对于C，由基本不等式可得ab2abab，故C正确.

故选：C.

3.（2024·上海·高考真题）a，b，cR，bc，下列不等式恒成立的是（）

A．ab2ac2B．a2ba2cC．ab2ac2D．a2ba2c

【答案】B

【分析】ACD举反例；B选项由不等式的可加性可判断.

【详解】对于A，若bc，则b2c2，选项不成立，故A错误；

对于B，由不等式的可加性可知，a2ba2c，故B正确；

对于C、D，若a0，则选项不成立，故C、D错误．

故选：B．

4.（2022·上海·高考真题）若实数a、b满足ab0，下列不等式中恒成立的是（）

aa

A．ab2abB．ab2abC．2b2abD．2b2ab

22

【答案】A

【分析】利用作差法可判断各选项中不等式的正误.

2

【详解】因为ab0，则ab2abab0，故ab2ab，A对B错；

2

a

aaaa，即，

2b2ab2b22b2b02b2ab

22222

a

当且仅当2b时，即当a4b时，等号成立，CD都错.

2

故选：A.

5.（2022·上海·高考真题）已知abcd，下列选项中正确的是（）

A．adbcB．acbd

C．adbcD．acbd

【答案】B

【分析】用不等式的基本性质得解.

【详解】Q3210，但3021，3021，A、C错

abcd，ac,bd，所以acbd.B正确.

Q30212，但30122，D错.

故选:B.

6.（2022·上海·高考真题）xy0，xy10，则zx2y的最小值是___________.

3

【答案】/1.5

2

31

【分析】分析可得x2yxyxy，利用不等式的基本性质可求得zx2y的最小值.

22

3

m

mn12

【详解】设x2ymxynxymnxmny，则，解得，

mn21

n

2

313

所以，zx2yxyxy，

222

3

因此，zx2y的最小值是.

2

3

故答案为：.

2

7.（2019·全国II卷·高考真题）若a>b，则

A．ln(a−b)>0B．3a<3b

C．a3−b3>0D．│a│>│b│

【答案】C

【分析】本题也可用直接法，因为ab，所以ab>0，当ab1时，ln(ab)0，知A错，因为y3x是

增函数，所以3a3b，故B错；因为幂函数yx3是增函数，ab，所以a3b3，知C正确；取a1,b2，

满足ab，1ab2，知D错．

【详解】取a2,b1，满足ab，ln(ab)0，知A错，排除A；因为93a3b3，知B错，排除B；

取a1,b2，满足ab，1ab2，知D错，排除D，因为幂函数yx3是增函数，ab，所以a3b3，

故选C．

【点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算

能力素养，利用特殊值排除即可判断．

8.（2017·山东·高考真题）若a>b>0，且ab=1，则下列不等式成立的是

1bb1

A．alog(ab)B．log(ab)a

b2a22a2b

1b1b

C．alog(ab)D．log(ab)a

b22a2b2a

【答案】B

b

【详解】因为ab0，且ab1，所以a1,0b1,1,logablog2ab1,

2a22

设fx2xx,x1，则fx2xln210，所以fx2xx,x1单调递增，

1

a11

所以2baabalog(ab)，所以选B.

bb2

【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数单调

性进行比较,若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.本题虽小，但考查的知识点较多，需灵活利用指数函数、

对数函数的性质及基本不等式作出判断.

考点02解不等式

x4

1.（2025·全国二卷·高考真题）不等式2的解集是（）

x1

A．{x∣2x1}B．{x∣x2}

C．{x∣2x1}D．{x∣x1}

【答案】C

【分析】移项后转化为求一元二次不等式的解即可.

x4x2x2x10

【详解】2即为0即，故-2£x<1，

x1x1x10

故解集为{x∣2x1}.

故选：C.

2.（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知集合M2,1,0,1,2，Nxx2x60，则MN（）

A．2,1,0,1B．0,1,2C．2D．2

【答案】C

【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合N，即可根据交集的运算解出．

方法二：将集合M中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．

【详解】方法一：因为Nxx2x60,23,，而M2,1,0,1,2，

所以MN2．

故选：C．

方法二：因为M2,1,0,1,2，将2,1,0,1,2代入不等式x2x60，只有2使不等式成立，所以

MN2．

故选：C．

3.（2020·浙江·高考真题）已知a，bR且ab≠0，对于任意x≥0均有(x–a)(x–b)(x–2a–b)≥0，则（）

A．a<0B．a>0C．b<0D．b>0

【答案】C

【分析】对a分a0与a0两种情况讨论，结合三次函数的性质分析即可得到答案.

【详解】因为ab0，所以a0且b0，设f(x)(xa)(xb)(x2ab)，则f(x)的零点

为x1a,x2b,x32ab

当a0时，则x2x3，x1>0，要使f(x)0，必有2aba，且b0，

即ba，且b0，所以b0；

当a0时，则x2x3，x10，要使f(x)0，必有b0.

综上一定有b0.

故选：C

【点晴】本题主要考查三次函数在给定区间上恒成立问题，考查学生分类讨论思想，是一道中档题.

4.（2020·全国I卷·高考真题）已知集合A{x|x23x40},B{4,1,3,5}，则AB（）

A．{4,1}B．{1,5}

C．{3,5}D．{1,3}

【答案】D

【分析】首先解一元二次不等式求得集合A，之后利用交集中元素的特征求得AB，得到结果.

【详解】由x23x40解得1x4，

所以Ax|1x4，

又因为B4,1,3,5，所以AB1,3，

故选：D.

【点睛】本题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交

运算，属于基础题目.

5.（2019·全国II卷·高考真题）设集合A={x|x2-5x+6>0}，B={x|x-1<0}，则A∩B=

A．(-∞，1)B．(-2，1)

C．(-3，-1)D．(3，+∞)

【答案】A

【分析】先求出集合A，再求出交集．

【详解】由题意得，Axx2或x3,Bxx1，则ABxx1．故选A．

【点睛】本题考点为集合的运算，为基础题目．

x2

6.（2026·上海·高考真题）关于x的不等式0的解集为____________.

x3

【答案】(2,3)

x2

【分析】由0可得:(x2)(x3)0，解不等式可得其解集.

x3

x2

【详解】由0可得:(x2)(x3)0，

x3

解得:2x3，

x2

所以不等式0的解集为(2,3).

x3

故答案为：(2,3).

x1

7.（2025·上海·高考真题）不等式0的解集为_________．

x3

【答案】1,3

【分析】转化为一元二次不等式x1x30，解出即可.

【详解】原不等式转化为x1x30，解得1x3，

则其解集为1,3.

故答案为：1,3.

x

8.（2025·上海·高考真题）不等式0的解集为_____．

x1

【答案】(0,1)

x

【分析】将不等式0化为xx10，即可得答案.

x1

x

【详解】由题意得不等式0即xx10,x0,1，

x1

x

即不等式0的解集为(0,1)，

x1

故答案为：(0,1)

9.（2025·天津·高考真题）若a,bR，对x[2,2]，均有(2ab)x2bxa10恒成立，则2ab的最

小值为_______

【答案】4

1

【分析】先设t2ab，根据不等式的形式，为了消a可以取x，得到t4，验证t4时，a,b是

2

否可以取到，进而判断该最小值是否可取即可得到答案.

【详解】设t2ab，原题转化为求t的最小值，

原不等式可化为对任意的2x2，tx2t2axa10，

111

不妨代入x，得tt2aa10，得t4，

242

当t4时，原不等式可化为4x242axa10，

2

112

即2xa1a0，

24

21

观察可知，当a0时，2x10对2x2一定成立，当且仅当x取等号，

2

此时，a0,b4，说明t4时，a,b均可取到，满足题意，

故t2ab的最小值为4.

故答案为：4

10.（2024·上海·高考真题）已知xR,则不等式x22x30的解集为______．

【答案】x|1x3

【分析】求出方程x22x30的解后可求不等式的解集.

【详解】方程x22x30的解为x1或x3，

故不等式x22x30的解集为x|1x3，

故答案为：x|1x3.

x22xa2，x0，

（天津高考真题）已知，函数若对任意∈［，），

11.2018··aRfx2x–3+f(x)≤x

x2x2a，x0．

恒成立，则a的取值范围是__________．

1

【答案】,2

8

【分析】由题意分类讨论x0和x0两种情况，结合恒成立的条件整理计算即可求得最终结果.

【详解】分类讨论：①当x0时，fxx即：x22x2ax，

11

整理可得：ax2x，

22

121

由恒成立的条件可知：axxx0，

22max

结合二次函数的性质可知：

11211111

当x时，xx，则a；

222max8488

②当3x0时，fxx即：x22xa2x，整理可得：ax23x2，

由恒成立的条件可知：ax23x23x0，

min

结合二次函数的性质可知：

当或时，x23x22，则；

x3x0mina2

11

综合①②可得a的取值范围是,2，故答案为,2.

88

点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)a≥f(x)恒成立a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立a≤f(x)min.

有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路⇔的有效方法．一般从：①开口⇔方向；②对

称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．

考点03基本不等式

14

1.（2026·天津·高考真题）(x)(x)的最小值为（）

xx

A．10B．9C．8D．6

【答案】B

142424

【详解】因为xxx52x59，

xxx2x2

24

当且仅当x，即x22，x2时，等号成立,

x2

14

所以xx的最小值为9.

xx

x

2.（2024·北京·高考真题）已知x1,y1，x2,y2是函数y2的图象上两个不同的点，则（）

yyxxyyxx

A．log1212B．log1212

222222

yyyy

C．log12xxD．log12xx

22122212

【答案】B

【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可.

xx1x2

【详解】由题意不妨设x1x2，因为函数y2是增函数，所以022，即0y1y2，

xxxx

2x12x212yy12

对于选项AB：可得2x1·2x222，即12220，

22

x1x2

y1y22x1x2

根据函数ylog2x是增函数，所以loglog2，故B正确，A错误；

2222

对于选项D：例如x10,x21，则y11,y22，

yy3yy

可得log12log0,1，即log121xx，故D错误；

22222212

11

对于选项C：例如x1,x2，则y,y，

121224

yy3yy

可得log12loglog332,1，即log123xx，故C错误，

222822212

故选：B.

3.（2022·全国甲卷·高考真题）已知9m10,a10m11,b8m9，则（）

A．a0bB．ab0C．ba0D．b0a

【答案】A

【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知mlog9101，再利用基本不等式，换底公式

可得mlg11，log89m，然后由指数函数的单调性即可解出．

【详解】［方法一］：（指对数函数性质）

22

lg102lg10lg11

mlg9lg11lg99

由910可得mlog9101，而lg9lg111lg10，所以，

lg922lg9lg10

即mlg11，所以a10m1110lg11110.

22lg9lg10

lg8lg10lg802

又lg8lg10lg9，所以，即log89m，

22lg8lg9

所以b8m98log8990.综上，a0b.

［方法二］：【最优解】（构造函数）

m

由910，可得mlog910(1,1.5)．

根据a,b的形式构造函数f(x)xmx1(x1)，则f(x)mxm11，

1

令f(x)0，解得1m，由mlog910(1,1.5)知x0(0,1).

x0m

f(x)在(1,)上单调递增，所以f(10)f(8)，即ab，

又因为f(9)9log910100，所以a0b.

故选：A.

【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；

法二：利用a,b的形式构造函数f(x)xmx1(x1)，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该

题的最优解．

4.（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）（多选）若x，y满足x2y2xy1，则（）

A．xy1B．xy2

C．x2y22D．x2y21

【答案】BC

【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假．

2222

abab222xy

【详解】因为ab（a,bÎR），由xyxy1可变形为，xy13xy3，

222

解得2xy2，当且仅当xy1时，xy2，当且仅当xy1时，xy2，所以A错误，B

正确；

x2y2

由x2y2xy1可变形为x2y21xy，解得x2y22，当且仅当xy1时取等号，所以

2

C正确；

2

22y32y3

因为xyxy1变形可得xy1，设xcos,ysin，所以

2422

1252111

xcossin,ysin，因此x2y2cos2sin2sincos1sin2cos2

3333333

42π23322

sin2,2，所以当x,y时满足等式，但是xy1不成立，所以D错误．

336333

故选：BC．

5.（2021·全国乙卷·高考真题）下列函数中最小值为4的是（）

4

A．yx22x4B．ysinx

sinx

4

C．y2x22xD．ylnx

lnx

【答案】C

【分析】根据二次函数的性质可判断A选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出

B,D不符合题意，C符合题意．

2

【详解】对于A，yx22x4x133，当且仅当x1时取等号，所以其最小值为3，A不符合

题意；

4

对于B，因为0sinx1，ysinx244，当且仅当sinx2时取等号，等号取不到，所以其

sinx

最小值不为4，B不符合题意；

x2xx4

对于C，因为函数定义域为R，而2x0，y222244，当且仅当2x2，即x1时取

2x

等号，所以其最小值为4，C符合题意；

4

对于D，ylnx，函数定义域为0,11,，而lnxR且lnx0，如当lnx1，y5，D不

lnx

符合题意．

故选：C．

【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性

质即可解出．

x2y2

6.（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知F1，F2是椭圆C：1的两个焦点，点M在C上，则

94

MF1MF2的最大值为（）

A．13B．12C．9D．6

【答案】C

2

MFMF

【分析】本题通过利用椭圆定义得到，借助基本不等式12即

MF1MF22a6MF1MF2

2

可得到答案．

22

【详解】由题，a9,b4，则MF1MF22a6，

2

MFMF

所以12（当且仅当时，等号成立）．

MF1MF29MF1MF23

2

故选：C．

【点睛】

7.（2020·上海·高考真题）下列不等式恒成立的是（）

A．a2b22abB．a2b22ab

C．ab2|ab|D．ab2|ab|

【答案】B

2

【解析】根据基本不等式即可判断选项A是否正确，对选项B化简可得ab0，由此即可判断B是否

正确；对选项C、D通过举例即可判断是否正确.

【详解】A.由基本不等式可知a2b22ab，故A不正确；

2

B.a2b22aba2b22ab0，即ab0恒成立，故B正确；

C.当a1,b0时，不等式不成立，故C不正确；

D.当a3,b1时，不等式不成立，故D不正确.

故选：B.

8.（2020·山东·高考真题）（多选）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（）

11

A．a2b2B．2ab

22

C．log2alog2b2D．ab2

【答案】ABD

【分析】根据ab1，结合基本不等式及二次函数知识进行求解.

2

22222111

【详解】对于A，aba1a2a2a12a，

222

1

当且仅当ab时，等号成立，故A正确；

2

1

对于B，ab2a11，所以2ab21，故B正确；

2

2

对于，ab1，

Clog2alog2blog2ablog2log22

24

1

当且仅当ab时，等号成立，故C不正确；

2

2

对于D，因为ab12ab1ab2，

1

所以ab2，当且仅当ab时，等号成立，故D正确；

2

故选：ABD

【点睛】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学

运算的核心素养.

x2y2

9.（2020·全国II卷·高考真题）设O为坐标原点，直线xa与双曲线C:1(a0,b0)的两条渐近

a2b2

线分别交于D,E两点，若ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为（）

A．4B．8C．16D．32

【答案】B

x2y2b

【分析】因为C:1(a0,b0)，可得双曲线的渐近线方程是yx，与直线xa联立方程求得

a2b2a

D，E两点坐标，即可求得|ED|，根据ODE的面积为8，可得ab值，根据2c2a2b2，结合均值不等

式，即可求得答案.

x2y2

【详解】C:1(a0,b0)

a2b2

b

双曲线的渐近线方程是yx

a

x2y2

直线xa与双曲线C:1(a0,b0)的两条渐近线分别交于D，E两点

a2b2

不妨设D为在第一象限，E在第四象限

xa

xa

联立b，解得

yxyb

a

故D(a,b)

xa

xa

联立b，解得

yxyb

a

故E(a,b)

|ED|2b

1

ODE面积为：S△a2bab8

ODE2

x2y2

双曲线C:1(a0,b0)

a2b2

其焦距为2c2a2b222ab2168

当且仅当ab22取等号

C的焦距的最小值：8

故选：B.

【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求

最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.

10.（2026·上海·高考真题）已知a24b21，则ab的最大值为__________．

1

【答案】/0.25

4

【分析】根据基本不等式可得a24b24ab，结合条件即可求结论.

2

【详解】因为a24b2a22b2a2b4ab，当且仅当a2b时等号成立，

1

结合a24b21可得，ab，

4

2222

当且仅当a，b或a，b时等号成立，

2424

22221

所以当a，b或a，b时，ab取最大值，最大值为.

24244

11.（2026·上海·高考真题）若a0，b0，且a2b4，则ab的最大值是______．

【答案】2

【分析】由于a、b为正值，且a2b为定值4，因此可以运用基本不等式先求出22ab的最大值，进而求

出ab的最大值．

【详解】解：∵a0，b0，a2b4

∴4a2b22ab

∴ab2，当且仅当a2b时取等号，即a2，b1时取等号

故答案为：2

【点睛】此题考查基本不等式的应用，应用基本不等式求最值要注意“一正二定三相等”的条件，属于基础题

11

12.（2025·上海·高考真题）设a,b0,a1，则b的最小值为_________．

ba

【答案】4

111

【分析】灵活利用“1”将bba展开利用基本不等式计算即可.

aab

11111

【详解】易知bbaab22ab24，

aababab

1

当且仅当ab1，即a,b2时取得最小值.

2

故答案为：4

13.（2024·上海·高考真题）已知ab1，4a29b2的最小值为______．

【答案】12

【分析】利用不等式a2b22ab即可求解.

22

【详解】4a29b22a3b22a3b12ab12,

2a3b6666

当且仅当,即a,b或a,b时,等号成立,

ab12323

故4a29b2的最小值为12.

故答案为：12.

14.（2023·上海·高考真题）已知正实数a、b满足a4b1，则ab的最大值为_______________．

1

【答案】

16

2

11a4b

【分析】由aba4b，代入即可得出答案.

442

2

11a4b111

【详解】aba4b，

4424416

11

当且仅当“a4b”，即a,b时取等，

28

1

所以ab的最大值为.

16

1

故答案为：

16

cosAsin2B

15.（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．

1sinA1cos2B

2

(1)若C，求B；

3

a2b2

(2)求的最小值．

c2

π

【答案】(1)；

6

(2)425．

【分析】（1）方法一：直接根据待求表达式变形处理，方法二：先二倍角公式处理等式右边，在变形，方

π

法三：根据诱导公式可将题干同构处理，结合导数判断单调性，推知A2B即可求解，方法四：根据半

2

角公式和两角差的正切公式化简后求解.

22

ππab22

（2）由（1）知，CB，A2B，再利用正弦定理以及二倍角公式将化成4cosB5，

22c2cos2B

然后利用基本不等式即可解出．

【详解】（1）方法一：直接法

cosAsin2B

可得cosAcos2BcosAsin2BsinAsin2B，

1sinA1cos2B

则cosAcos2BsinAsin2BcosAsin2B，即cos(A2B)cosAsin2B，

πππ

注意到AB，于是cos(B)cos(B)sin2B，

333

π1

展开可得2coscosB2sinBcosB，则sinB，

32

ππ

又0B，B.

36

方法二：二倍角公式处理+直接法

cosAsin2B2sinBcosBsinB

因为，

1sinA1cos2B2cos2BcosB

1

即sinBcosAcosBsinAsinBcosABcosC，

2

ππ

而0B，所以B；

36

方法三：导数同构法

π

cos2B

cosAsin2BcosA2

根据可知，，

1sinA1cos2B1sinAπ

1sin2B

2

cosxπsinx(1sinx)cos2x1

设f(x)(0x)，f(x)0，

1sinx2(1sinx)21sinx

π

cos2B

πcosA2π

则f(x)在0,上单调递减，f(A)f2B，

21sinAπ2

1sin2B

2

πππ

故A2B，结合AB，解得B.

236

方法四：恒等变换化简

AAAA

cos2sin2cossin

cosAsin2B2sinBcosB

2222tanB

22AA

1sinA1cos2BAA2cosB

cossincossin

2222

A

1tan

πA

2tanBtantanB，

A

1tan42

2

πAπ

结合正切函数的单调性，B，则A2B，

422

ππ

结合AB，解得B.

36

ππ

（2）由（1）知，sinBcosC0，所以Cπ,0B