2017-2026年高考数学十年真题分类汇编：专题04 排列组合与二项式定理（教师版）

专题04排列组合与二项式定理

（二大考点，73题）

考点01排列组合

1.（2026·全国二卷·高考真题）现有甲、乙、丙、丁等8人分成A、B两个技术小组，要求每组4人，且甲、

乙必须在一起，丙、丁不能在一起，则不同的分配方案有（）

A．10种B．12种C．16种D．24种

【答案】C

【分析】对甲、乙两人都在A小组和B小组进行分类，结合计数原理求解即可.

【详解】情况1：甲、乙两人都在A小组，

安排丙、丁：丙、丁中必须有一个在A组，另一个在B组.

若丙在A组，丁在B组：此时A组已有{甲,乙,丙}，还差1人；

B组已有{丁}，还差3人，

1

则从剩余4人中选1人进A组，方案数为C44.

1

若丁在A组，丙在B组：同理，方案数为C44.

所以当甲、乙在A组时，方案数为448种.

情况2：甲、乙两人都在B小组，

甲、乙在B组的情况与在A组的情况完全一致，

1

安排丙、丁：同样是丙在A组或丁在A组两种情况，方案数各为C44，

所以当甲、乙在B组时，方案数为448种.

故所有分配方案共有8+8=16种.

2.（2024·全国甲卷·高考真题）某独唱比赛的决赛阶段共有甲、乙、丙、丁四人参加，每人出场一次，出

场次序由随机抽签确定，则丙不是第一个出场，且甲或乙最后出场的概率是（）

1111

A．B．C．D．

6432

【答案】C

【分析】解法一：画出树状图，结合古典概型概率公式即可求解.

解法二：分类讨论甲乙的位置，结合得到符合条件的情况，然后根据古典概型计算公式进行求解.

【详解】解法一：画出树状图，如图，

由树状图可得，出场次序共有24种，

其中符合题意的出场次序共有8种，

81

故所求概率P=；

243

解法二：当甲最后出场，乙第一个出场，丙有2种排法，丁就1种，共2种；

当甲最后出场，乙排第二位或第三位出场，丙有1种排法，丁就1种，共2种；

于是甲最后出场共4种方法，同理乙最后出场共4种方法，于是共8种出场顺序符合题意；

4

基本事件总数显然是A424，

81

根据古典概型的计算公式，所求概率为.

243

故选：C

3.（2023·全国甲卷·高考真题）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随

机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（）

1112

A．B．C．D．

6323

【答案】D

【分析】利用古典概率的概率公式，结合组合的知识即可得解.

2

【详解】依题意，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，总的基本事件有C46件，

11

其中这2名学生来自不同年级的基本事件有C2C24，

42

所以这2名学生来自不同年级的概率为.

63

故选：D.

4.（2023·全国甲卷·高考真题）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，

每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（）

A．120B．60C．30D．20

【答案】B

【分析】利用分类加法原理，分类讨论五名志愿者连续参加两天公益活动的情况，即可得解.

【详解】不妨记五名志愿者为a,b,c,d,e，

2

假设a连续参加了两天公益活动，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的公益活动，共有A412

种方法，

同理：b,c,d,e连续参加了两天公益活动，也各有12种方法，

所以恰有1人连续参加了两天公益活动的选择种数有51260种.

故选：B.

5.（2023·全国乙卷·高考真题）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物

中恰有1种相同的选法共有（）

A．30种B．60种C．120种D．240种

【答案】C

【分析】相同读物有6种情况，剩余两种读物的选择再进行排列，最后根据分步乘法公式即可得到答案.

1

【详解】首先确定相同得读物，共有C6种情况，

2

然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有A5种，

12

根据分步乘法公式则共有C6A5120种，

故选：C.

6.（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法

作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名

学生，则不同的抽样结果共有（）．

45152040

A．C400C200种B．C400C200种

30304020

C．C400C200种D．C400C200种

【答案】D

【分析】利用分层抽样的原理和组合公式即可得到答案.

400200

【详解】根据分层抽样的定义知初中部共抽取6040人，高中部共抽取6020，

600600

4020

根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有C400C200种.

故选：D.

7.（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在

两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（）

A．12种B．24种C．36种D．48种

【答案】B

【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解

【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有3!种排列方

式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；

注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：3!2224种不同的排列方式，

故选：B

8.（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率

为（）

1112

A．B．C．D．

6323

【答案】D

【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.

2

【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有C721种不同的取法，

若两数不互质，不同的取法有：2,4,2,6,2,8,3,6,4,6,4,8,6,8，共7种，

2172

故所求概率P.

213

故选：D.

9.（2021·全国乙卷·高考真题）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项

目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）

A．60种B．120种C．240种D．480种

【答案】C

【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘

法原理求得.

【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者

2

中任选2人，组成一个小组，有C5种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的

位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有

2

C54!240种不同的分配方案，

故选：C.

【点睛】本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排

思想求解.

10.（2021·全国甲卷·高考真题）将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）

A．0.3B．0.5C．0.6D．0.8

【答案】C

【分析】利用古典概型的概率公式可求概率.

【详解】解：将3个1和2个0随机排成一行，可以是：

00111,01011,01101,01110,10011,10101,10110,11001,11010,11100，

共10种排法，

其中2个0不相邻的排列方法为：

01011,01101,01110,10101,10110,11010，

共6种方法，

6

故2个0不相邻的概率为=0.6，

10

故选：C.

11.（2021·全国甲卷·高考真题）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）

1224

A．B．C．D．

3535

【答案】C

【详解】将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，

12

若2个0相邻，则有C55种排法，若2个0不相邻，则有C510种排法，

102

所以2个0不相邻的概率为.

5103

故选：C.

12.（2020·海南·高考真题）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里

至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（）

A．2种B．3种C．6种D．8种

【答案】C

【分析】首先将3名学生分成两个组，然后将2组学生安排到2个村即可.

12

【详解】第一步，将3名学生分成两个组，有C3C23种分法

2

第二步，将2组学生安排到2个村，有A22种安排方法

所以，不同的安排方法共有326种

故选：C

【点睛】解答本类问题时一般采取先组后排的策略.

13.（2020·山东·高考真题）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安

排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（）

A．120种B．90种

C．60种D．30种

【答案】C

【分析】分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解.

1

【详解】首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有C6；

2

然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数有C5；

最后剩下的3名同学去丙场馆.

12

故不同的安排方法共有C6C561060种.

故选：C

【点睛】本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算，属于基础题.

14.（2020·全国II卷·高考真题）如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12.设1≤i<j<k≤12，若k–j=3

且j–i=4，则称ai，aj，ak为原位大三和弦；若k–j=4且j–i=3，则称ai，aj，ak为原位小三和弦．用这12

个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（）

A．5B．8C．10D．15

【答案】C

【分析】根据原位大三和弦满足kj3,ji4，原位小三和弦满足kj4,ji3

从i1开始，利用列举法即可解出．

【详解】根据题意可知，原位大三和弦满足：kj3,ji4．

∴i1,j5,k8；i2,j6,k9；i3,j7,k10；i4,j8,k11；i5,j9,k12．

原位小三和弦满足：kj4,ji3．

∴i1,j4,k8；i2,j5,k9；i3,j6,k10；i4,j7,k11；i5,j8,k12．

故个数之和为10，

故选：C．

【点睛】本题主要考查列举法的应用，以及对新定义的理解和应用，属于基础题．

15.（2019·全国I卷·高考真题）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排

列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该

重卦恰有3个阳爻的概率是

5112111

A．B．C．D．

16323216

【答案】A

【分析】本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数

学素养，“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3个阳爻是相同元素的排列问

题，利用直接法即可计算．

63

【详解】由题知，每一爻有2种情况，一重卦的6爻有2情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有C6，所以

C35

该重卦恰有3个阳爻的概率为6=，故选A．

2616

【点睛】对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还是组

合问题．本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事件的计算是相同元素

的排列问题即为组合问题．

16.（2017·全国II卷·高考真题）安排名志愿者完成项工作，每人至少完成项，每项工作由人完成，

则不同的安排方式共有()3411

A．种B．种C．种D．种

【答案】1D2182436

2

【详解】4项工作分成3组,可得：C=6，

4

安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，

3

可得：6A36种．

3

故选D.

17.（2026·上海·高考真题）在5个人中选3个人去演讲，若甲一定去，则一共有____________种选法.

【答案】6

【分析】结合组合知识求解即可.

【详解】由题意，甲一定去，则从剩下的4人中任选2人即可，

2

则一共有C46种选法.

故答案为：6.

18.（2025·上海·高考真题）4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均

是家长，则不同的排列个数有_________种．

【答案】288

【分析】先选家长作队尾和队首，再排中间四人即可.

24

【详解】先选两位家长排在首尾有P412种排法；再排对中的四人有P424种排法，

故有1224288种排法.

故答案为：288

19.（2024·上海·高考真题）设集合A中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为

偶数，求集合中元素个数的最大值为__________．

【答案】329

【分析】确定奇数最多1个，再分个位数为0和不为0，结合排列、组合求解即可.

【详解】由题意可知，集合A中每个元素都互异，且元素中最多有一个奇数，（若有2个以上奇数，则不

满足任意两者之积皆为偶数），剩余全是偶数.

先研究集合中无重复数字的三位偶数；

2

（1）若个位为0，这样的偶数有A972个；

111

（2）若个位不为0，这样的偶数有C4C8C8256个；

所以集合元素个数最大值为256721329个．

故答案为：329

20.（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格

被选中，则共有________种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是

________．

【答案】24112

【分析】由题意可知第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选；利用列举法写出所有的可能结果，

即可求解.

【详解】由题意知，选4个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中，

则第一列有4个方格可选，第二列有3个方格可选，

第三列有2个方格可选，第四列有1个方格可选，

所以共有432124种选法；

每种选法可标记为(a,b,c,d)，a,b,c,d分别表示第一、二、三、四列的数字，

则所有的可能结果为：

(11,22,33,44),(11,22,34,43),(11,22,33,44),(11,22,34,42),(11,24,33,43),(11,24,33,42)，

(12,21,33,44),(12,21,34,43),(12,22,31,44),(12,22,34,40),(12,24,31,43),(12,24,33,40)，

(13,21,33,44),(13,21,34,42),(13,22,31,44),(13,22,34,40),(13,24,31,42),(13,24,33,40)，

(15,21,33,43),(15,21,33,42),(15,22,31,43),(15,22,33,40),(15,22,31,42),(15,22,33,40)，

所以选中的方格中，(15,21,33,43)的4个数之和最大，

故答案为：24；112

【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是确定第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选，利用列

举法写出所有的可能结果.

21.（2023·上海·高考真题）空间内存在三点A、B、C，满足ABACBC1，在空间内取不同两点（不

计顺序），使得这两点与A、B、C可以组成正四棱锥，求方案数为______．

【答案】9

【分析】根据题意，先考虑正四棱锥中三个点构成等边三角形的情况，分类讨论ABC为正四棱锥的侧面

或对角面两种情况，再结合ABC三边的轮换对称性即可得解.

【详解】因为空间中有三个点A、B、C，且ABBCCA1，

不妨先考虑在一个正四棱锥中，哪三个点可以构成等边三角形，同时考虑ABC三边的轮换对称性，可先

分为两种大情况，即以下两种：

第一种：ABC为正四棱锥的侧面，如图1，

此时AB,BC,AC分别充当为底面正方形的一边时，对应的情况数显然是相同的;

不妨以BC为例，此时符合要求的另两个点如图1所示，显然有两种情况，

考虑到ABC三边的轮换对称性，故而总情况有6种；

第二种：ABC为正四棱锥的对角面，如图2，

此时AB,BC,AC分别充当底面正方形的一对角线时，对应的情况数显然也是相同的;

不好以BC为例，此时符合要求的另两个点图2所示，显然只有一种情况，

考虑到ABC三边的轮换对称性，故而总情况有3种；

综上所述：总共有9种情况.

故答案为：9.

【点睛】关键点睛：本题解决的关键是注意到ABC为正三角形，从而考虑正四棱锥中三个点构成等边三

角形的情况，结合ABC三边的轮换对称性即可得解.

22.（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课

中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种（用数字作答）．

【答案】64

【分析】分类讨论选修2门或3门课，对选修3门，再讨论具体选修课的分配，结合组合数运算求解.

11

【详解】（1）当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有C4C416种；

（2）当从8门课中选修3门，

12

①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有C4C424种；

21

②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有C4C424种；

综上所述：不同的选课方案共有16242464种.

故答案为：64.

23.（2023·上海·高考真题）已知有4名男生6名女生，现从10人中任选3人，则恰有1名男生2名女生

的概率为_____________．

1

【答案】/0.5

2

【分析】利用组合数和古典概型的概率公式求解即可.

12

C4C64151

【详解】由题意所选的3人中恰有1名男生2名女生的概率P3，

C101202

故答案为：1

2

24.（2022·上海·高考真题）为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项

项目中随机抽取4项进行检则，则每一类都被抽到的概率为___________；

3

【答案】

7

【分析】

由题意，利用古典概型的计算公式，计算求得结果．

【详解】

解：从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测，则每一类都被抽到的方

112121

法共有C1C3C4C1C3C4种，

4

而所有的抽取方法共有C8种，

112121

C1C3C4C1C3C4303

故每一类都被抽到的概率为4＝＝，

C8707

3

故答案为：．

7

25.（2022·全国甲卷·高考真题）从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为

________．

6

【答案】.

35

【分析】根据古典概型的概率公式即可求出．

4

【详解】从正方体的8个顶点中任取4个，有nC870个结果，这4个点在同一个平面的有m6612个，

m126

故所求概率P．

n7035

6

故答案为：．

35

26.（2022·全国乙卷·高考真题）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的

概率为____________．

3

【答案】/0.3

10

【分析】根据古典概型计算即可

【详解】解法一：设这5名同学分别为甲，乙，1,2,3，从5名同学中随机选3名，

有：(甲，乙，1)，(甲，乙，2)，(甲，乙，3)，(甲，1，2)，(甲，1，3)，(甲，2，3)，(乙，1，2)，(乙，1，

3)，(乙，2，3)，(1，2，3)，共10种选法；

3

其中，甲、乙都入选的选法有3种，故所求概率P.

10

3

故答案为：.

10

3

解法二：从5名同学中随机选3名的方法数为C510

3

甲、乙都入选的方法数为C13，所以甲、乙都入选的概率P

310

3

故答案为：

10

27.（2021·上海·高考真题）某人某天需要运动总时长大于等于60分钟，现有五项运动可以选择，如下表

所示，问有几种运动方式组合________

A运动B运动C运动D运动E运动

7点8点8点9点9点10点10点11点11点12点

30分钟20分钟40分钟30分钟30分钟

【答案】23

【分析】根据题意，可以判定选择任意3种及其以上否是符合要求的，只是在选择两种的情况下，有些是

达不到要求的，利用组合求得总数，减去不合要求的种数即可.

【详解】由题意，至少要选2种运动，并且选2种运动的情况中，AB、DB、EB的组

5432

合是不符题意的，∴C5C5C5C5323,

故答案为：23.

28.（2020·上海·高考真题）从6个人选4个人去值班，每人值班一天，第一天安排1个人，第二天安排1

个人，第三天安排2个人，则共有_________种安排情况.

【答案】180

【分析】先从6人中选出4人，再考虑限制条件，进行计算即可.

411

【详解】按照先选再排的方法可知共有C6C4C3180种方法.

故答案为：180

【点睛】本题考查组合问题的计算，属基础题.

29.（2020·全国II卷·高考真题）4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每

个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种.

【答案】36

【分析】根据题意，有且只有2名同学在同一个小区，利用先选后排的思想，结合排列组合和乘法计数原

理得解.

【详解】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同

学

2

先取2名同学看作一组，选法有：C46

3

现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：A36

根据分步乘法原理，可得不同的安排方法6636种

故答案为：36.

【点睛】本题主要考查了计数原理的综合应用，解题关键是掌握分步乘法原理和捆绑法的使用，考查了分

析能力和计算能力，属于中档题.

30.（2019·上海·高考真题）首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者

活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有_____种（结果用数值表示）

【答案】24

【分析】首先安排甲，可知连续2天的情况共有4种，其余的人全排列，相乘得到结果.

【详解】在5天里，连续2天的情况，一共有4种

3

剩下的3人全排列：A3

3

故一共有：4A324种

【点睛】本题考查基础的排列组合问题，解题的关键在于对排列组合问题中的特殊元素，要优先考虑，然

后再考虑普通元素.

31.（2018·浙江·高考真题）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可

以组成___________个没有重复数字的四位数.(用数字作答)

【答案】1260.

【详解】分析:按是否取零分类讨论，若取零，则先排首位，最后根据分类与分步计数原理计数.

2242113

详解：若不取零，则排列数为C5C3A4,若取零，则排列数为C5C3A3A3,

2242113

因此一共有C5C3A4C5C3A3A31260个没有重复数字的四位数.

点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：

(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问

题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.

32.（2018·全国I卷·高考真题）从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则

不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案）

【答案】16

【分析】方法一：反面考虑，先求出所选的人中没有女生的选法种数，再根据从6人中任选3人的选法种数

减去没有女生的选法种数，即可解出.

【详解】［方法一］：反面考虑

33

没有女生入选有C44种选法，从6名学生中任意选3人有C620种选法，

故至少有1位女生入选，则不同的选法共有20416种．

故答案为：16.

［方法二］：正面考虑

12

若有1位女生入选，则另2位是男生，于是选法有C2C412种；

21

若有2位女生入选，则另有1位是男生，于是选法有C2C44种，则不同的选法共有12416种．

故答案为：16.

【整体点评】方法一：根据“正难则反”，先考虑“至少有1位女生入选”的反面种数，再利用没有限制的选法

种数减去反面种数即可求出，对于正面分类较多的问题是不错的方法；

方法二：正面分类较少，直接根据女生的人数分类讨论求出．

33.（2017·天津·高考真题）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是

偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个.（用数字作答）

【答案】1080

4134

【详解】A5C4C5A41080

【考点】计数原理、排列、组合

【名师点睛】计数原理包含分类计数原理（加法）和分步计数原理（乘法），组成四位数至多有一个数字

是偶数，包括四位数字有一个是偶数和四位数字全部是奇数两类，利用加法原理计数.

34.（2017·浙江·高考真题）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人，组成4

人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有__________种不同的选法．（用数字作答）

【答案】660

312

【详解】第一类，先选1女3男，有C6C240种，这4人选2人作为队长和副队有A412种，故有4012480

222

种；第二类，先选2女2男，有C6C215种，这4人选2人作为队长和副队有A412种，故有1512180

种，根据分类计数原理共有480180660种，故答案为660.

考点02二项式定理

4

1.（2024·北京·高考真题）在xx的展开式中，x3的系数为（）

A．6B．6C．12D．12

【答案】A

r

【分析】写出二项展开式，令43，解出r然后回代入二项展开式系数即可得解.

2

4r

rr4

【详解】xx的二项展开式为r4rr2，

Tr1C4xxC41x,r0,1,2,3,4

r

令43，解得r2，

2

22

故所求即为C416.

故选：A.

5

1

2.（2023·北京·高考真题）2x的展开式中x的系数为（）

x

A．80B．40C．40D．80

【答案】D

【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算即可.

5r

【详解】对于1，由二项展开式的通项得r5r1r5rr52r，

2xTr1C52x=12C5x

xx

令52r1解得r2，

2522

则所求系数为12C580，

故选：D

4432

3.（2022·北京·高考真题）若(2x1)a4xa3xa2xa1xa0，则a0a2a4（）

A．40B．41C．40D．41

【答案】B

【分析】利用赋值法可求a0a2a4的值.

【详解】令x1，则a4a3a2a1a01，

4

令x1，则a4a3a2a1a0381，

181

故aaa41，

4202

故选：B.

4.（2020·北京·高考真题）在(x2)5的展开式中，x2的系数为（）．

A．5B．5C．10D．10

【答案】C

【分析】首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定x2的系数即可.

55r

5rrr

【详解】x2展开式的通项公式为：rr2，

Tr1C5x22C5x

5r1

令可得：，则2的系数为：1

2r1x2C52510.

2

故选：C.

【点睛】二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)

和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，

且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．

y2

5.（2020·全国I卷·高考真题）(x)(xy)5的展开式中x3y3的系数为（）

x

A．5B．10

C．15D．20

【答案】C

2

5r5rry5

【分析】求得(xy)展开式的通项公式为Tr1C5xy（rN且r5），即可求得x与(xy)展开

x

r6rrr4rr233

式的乘积为C5xy或C5xy形式，对r分别赋值为3，1即可求得xy的系数，问题得解.

5r5rr

【详解】(xy)展开式的通项公式为Tr1C5xy（rN且r5）

y2

所以x的各项与(xy)5展开式的通项的乘积可表示为：

x

22

r5rrr6rryyr5rrr4rr2

xTr1xC5xyC5xy和TCxyCxy

xr1x55

r6rr33333

在xTr1C5xy中，令r3，可得：xT4C5xy，该项中xy的系数为10，

22

yy33

在TCrx4ryr2中，令r1，可得：TC1x3y3，该项中xy的系数为5

xr15x25

所以x3y3的系数为10515

故选：C

【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及分析能力，属

于中档题.

6.（2019·全国III卷·高考真题）（1+2x2）（1+x）4的展开式中x3的系数为

A．12B．16C．20D．24

【答案】A

【分析】本题利用二项展开式通项公式求展开式指定项的系数．

331

【详解】由题意得x的系数为C42C44812，故选A．

【点睛】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数．

5

224

7.（2018·全国III卷·高考真题）x的展开式中x的系数为

x

A．10B．20C．40D．80

【答案】C

rr103r

【详解】分析：写出Tr1C52x，然后可得结果

r

5r

详解：由题可得r22rr103r

Tr1C5xC52x

x

令103r4,则r2

rr22

所以C52C5240

故选C.

点睛：本题主要考查二项式定理，属于基础题．

8.（2017·全国III卷·高考真题）(x+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为

A．-80B．-40C．40D．80

【答案】C

555

【详解】xy2xyx2xyy2xy，

5r5rr

由2xy展开式的通项公式Tr1C52xy可得：

533323

当r3时，x2xy展开式中xy的系数为C52140；

533232

当r2时，y2xy展开式中xy的系数为C52180，

则x3y3的系数为804040.

故选C.

【名师点睛】（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一

步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数

中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为

整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项.

（2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解.

1

（全国卷高考真题）6展开式中2的系数为

9.2017·I·(12)(1x)x

x

A．15B．20

C．30D．35

【答案】C

【分析】化简已知代数式，利用二项式展开式的通项公式可以求出展开式中x2的系数．

111

【详解】因为666，则6展开式中含2的项为222；6

(1)(1x)(1x)(1x)(1x)xC6x15x2(1x)

x2x2x

214422

展开式中含x的项为C6x15x，故x的系数为151530，

x2

故选：C．

10.（2026·上海·高考真题）已知(x2x)5，则展开式中x7的系数为__________．

【答案】10

【分析】写出二项式的通项，令x的次数为7，即可求出展开式中x7的系数.

【详解】由题意，

55k

在2中，通项k2kk10k，

xxC5xxC5xk0,1,2,3,4,5

k10k377

当10k7即k3时，C5xC5x10x，

∴展开式中x7的系数为10.

11.（2026·天津·高考真题）(x2y)4展开式中x3y的系数为__________．

【答案】

8

4

【分析】根据二项式定理得到x2y展开式的通项公式即可求解.

4r4rrrr4rr

【详解】根据二项式定理，x2y展开式的通项公式为Tr1C4x2yC42xy，

1411113311

当r1时，T2C4x2yC42xy，因此xy的系数为C42428.

61

（上海高考真题）12的二项展开式中，的系数为

12.2026··3x3____________.