2017-2026年高考数学十年真题分类汇编：专题05 统计与数字特征小题综合（教师版）

考点01分层抽样

1.（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法

作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名

学生，则不同的抽样结果共有（）．

45152040

A．C400C200种B．C400C200种

30304020

C．C400C200种D．C400C200种

【答案】D

【分析】利用分层抽样的原理和组合公式即可得到答案.

400200

【详解】根据分层抽样的定义知初中部共抽取6040人，高中部共抽取6020，

600600

4020

根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有C400C200种.

故选：D.

2.（2018·全国III卷·高考真题）某公司有大量客户，且不同龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解

客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则

最合适的抽样方法是________．

【答案】分层抽样.

【详解】分析：由题可知满足分层抽样特点

详解：由于从不同龄段客户中抽取，故采用分层抽样

故答案为分层抽样．

点睛：本题主要考查简单随机抽样，属于基础题．

3.（2017·江苏·高考真题）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100

件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的

产品中抽取________件.

【答案】18

300

【详解】应从丙种型号的产品中抽取6018件，故答案为18．

1000

点睛:在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个

体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即ni∶Ni＝n∶N．

考点02扇形统计图与折线统计图

1.（2018·全国I卷·高考真题）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为

更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得

到如下饼图：

则下面结论中不正确的是

A．新农村建设后，种植收入减少

B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上

C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍

D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半

【答案】A

【分析】首先设出新农村建设前的经济收入为M，根据题意，得到新农村建设后的经济收入为2M，之后从

图中各项收入所占的比例，得到其对应的收入是多少，从而可以比较其大小，并且得到其相应的关系，从

而得出正确的选项.

【详解】设新农村建设前的收入为M，而新农村建设后的收入为2M，

则新农村建设前种植收入为0.6M，而新农村建设后的种植收入为0.74M，所以种植收入增加了，所以A项

不正确；

新农村建设前其他收入我0.04M，新农村建设后其他收入为0.1M，故增加了一倍以上，所以B项正确；

新农村建设前，养殖收入为0.3M，新农村建设后为0.6M，所以增加了一倍，所以C项正确；

新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和占经济收入的30%28%58%50%，所以超过了经济收

入的一半，所以D正确；

故选A.

点睛：该题考查的是有关新农村建设前后的经济收入的构成比例的饼形图，要会从图中读出相应的信息即

可得结果.

2.（2017·全国III卷·高考真题）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014

年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了如图所示的折线图.根据该折线图，

下列结论错误的是（）

A．月接待游客量逐月增加

B．年接待游客量逐年增加

C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月

D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳

【答案】A

【分析】观察折线图，结合选项逐一判断即可

【详解】对于选项A，由图易知月接待游客量每年7，8月份明显高于12月份，故A错；

对于选项B，观察折线图的变化趋势可知年接待游客量逐年增加，故B正确；

对于选项C，观察折线图，各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月份，故C正确；

对于D选项，观察折线图，各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，

故D正确.

故选：A

考点03样本数字特征

1.（2026·全国一卷·高考真题）样本数据6,8,4,5,12的中位数为（）

A．5B．6C．8D．9

【答案】B

【分析】结合中位数定义可得.

【详解】将已知数据从小到大排序为4,5,6,8,12，则中位数为6.

2.（2025·全国二卷·高考真题）样本数据2，8，14，16，20的平均数为（）

A．8B．9C．12D．18

【答案】C

【分析】由平均数的计算公式即可求解.

2814162060

【详解】样本数据2,8,14,16,20的平均数为12.

55

故选：C.

3.（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块

稻田的亩产量（单位：kg）并整理如下表

亩产[900，[950，[1000，[1050，[1150，

[1100，1150）

量950）1000）1050）1100）1200）

频数61218302410

根据表中数据，下列结论中正确的是（）

A．100块稻田亩产量的中位数小于1050kg

B．100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80%

C．100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间

D．100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间

【答案】C

【分析】计算出前三段频数即可判断A；计算出低于1100kg的频数，再计算比例即可判断B；根据极差计

算方法即可判断C；根据平均值计算公式即可判断D.

【详解】对于A,根据频数分布表可知,612183650,

所以亩产量的中位数不小于1050kg,故A错误；

对于B，亩产量不低于1100kg的频数为241034，

10034

所以低于1100kg的稻田占比为66%，故B错误；

100

对于C，稻田亩产量的极差最大为1200900300，最小为1150950200，故C正确；

对于D，由频数分布表可得，平均值为

1

(692512975181025301075241125101175)1067，故D错误.

100

故选；C.

4.（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）有一组样本数据x1,x2,,x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则（）

A．x2,x3,x4,x5的平均数等于x1,x2,,x6的平均数

B．x2,x3,x4,x5的中位数等于x1,x2,,x6的中位数

C．x2,x3,x4,x5的标准差不小于x1,x2,,x6的标准差

D．x2,x3,x4,x5的极差不大于x1,x2,,x6的极差

【答案】BD

【分析】根据题意结合平均数、中位数、标准差以及极差的概念逐项分析判断.

【详解】对于选项A：设x2,x3,x4,x5的平均数为m，x1,x2,,x6的平均数为n，

xxxxxxxxxx2xxxxxx

则nm1234562345165234，

6412

因为没有确定2x1x6,x5x2x3x4的大小关系，所以无法判断m,n的大小，

例如：1,2,3,4,5,6，可得mn3.5；

例如1,1,1,1,1,7，可得m1,n2；

11

例如1,2,2,2,2,2，可得m2,n；故A错误；

6

对于选项B：不妨设x1x2x3x4x5x6，

xx

可知x,x,x,x的中位数等于x,x,,x的中位数均为34，故B正确；

23451262

1

对于选项C：举反例说明，例如：2,4,6,8,10,12，则平均数n246810127，

6

1222222105

标准差s27476787107127，

163

1

4,6,8,10，则平均数m468107，

4

12222105

标准差s4767871075，显然5，即s1s2，

243

所以x2,x3,x4,x5的标准差不小于x1,x2,,x6的标准差，这一论断不成立，故C错误；

对于选项D：不妨设x1x2x3x4x5x6，

则x6x1x5x2，当且仅当x1x2,x5x6时，等号成立，故D正确；

故选：BD.

5.（2023·上海·高考真题）如图为2018-2021年中国货物进出口总额的条形统计图，则下列对于进出口贸易

额描述错误的是（）

A．从2018年开始，2021年的进出口总额增长率最大

B．从2018年开始，进出口总额逐年增大

C．从2018年开始，进口总额逐年增大

D．从2018年开始，2020年的进出口总额增长率最小

【答案】C

【分析】根据已知条形统计图分别判断各个选项即可.

【详解】2021年相对于2020年进出口额增量增加特别明显，故最后一年的增长率最大，A正确；

统计图中的每一年条形图的高度逐年增加，故B正确；

2020年相对于2019年的进口总额是减少的，故C错误；

显然进出口总额2021年的增长率最大，而2020年相对于2019年的增量比2019年相对于2018年的增量小，

且计算增长率时前者的分母还大，故2020年的增长率一定最小，D正确.

故选：C.

6.（2019·全国II卷·高考真题）演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，

从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不

变的数字特征是

A．中位数B．平均数

C．方差D．极差

【答案】A

【分析】可不用动笔，直接得到答案，亦可采用特殊数据，特值法筛选答案．

【详解】设9位评委评分按从小到大排列为x1x2x3x4x8x9．

则①原始中位数为x5，去掉最低分x1，最高分x9，后剩余x2x3x4x8，

中位数仍为x5，A正确．

11

②原始平均数x(xxxxxx)，后来平均数x（xxxx）

912348972348

平均数受极端值影响较大，x与x不一定相同，B不正确

1222

③S2xxxxxx

9119

222

21

sx2xx3xx8x由②易知，C不正确．

7

④原极差=x9-x1，后来极差=x8-x2可能相等可能变小，D不正确．

【点睛】本题旨在考查学生对中位数、平均数、方差、极差本质的理解.

7.（2023·上海·高考真题）国内生产总值（GDP）是衡量地区经济状况的最佳指标，根据统计数据显示，

某市在2020年间经济高质量增长，GDP稳步增长，第一季度和第四季度的GDP分别为231和242，且四

个季度GDP的中位数与平均数相等，则2020年GDP总额为______；

【答案】946

【分析】设第二季度、第三季度分别为x,y，利用平均数和中位数概念列出方程，解出即可.

【详解】GDP稳步增长说明四个季度已经从小到大排列，设第二季度、第三季度分别为x,y，所以中位数

xy

即为.

2

xy

因为中位数与平均数相等，所以231xy2424xy473,

2

所以2020年GDP总额：231242473946.

故答案为：946.

8.（2023·上海·高考真题）某校抽取100名学生测身高，其中身高最大值为186cm，最小值为154cm，根据

身高数据绘制频率组距分布直方图，组距为5，且第一组下限为153.5，则组数为_______________．

【答案】7

【分析】求得各组的范围，从而确定组数.

【详解】第一组153.5,158.5；第二组158.5,163.5；

第三组163.5,168.5；第四组168.5,173.5；

第五组173.5,178.5；第六组178.5,183.5；

第七组183.5,188.5.

所以组数为7.

故答案为：7

考点04变量间的相关关系及线性回归直线方程

1.（2026·天津·高考真题）调查候鸟和温度的关系，在不同温度下统计候鸟的数量，所得数据如图所示，

其中相关系数r0.91，根据最小二乘法算得：yˆ1.17x1370.7，下列说法正确的是（）

A．y与x负相关B．当x10时，y一定为1359

C．当x10时，y一定小于1359D．两变量无线性关系

【答案】A

【详解】因为相关系数r0.91，且散点图从左到右呈现下降趋势，且整体分布在较窄的带状区域，

所以y与x负相关，所以A正确，D错误；

当x10时，y11.71370.71359，所以y约为1359，

所以B，C错误.

2.（2025·天津·高考真题）下列说法中错误的是（）

A．若XN,2，则P(X)P(X)

B．若XN1,22，YN2,22，则P(X1)P(Y2)

C．r越接近1，相关性越强

D．r越接近0，相关性越弱

【答案】B

【分析】根据正态分布以及相关系数的概念直接判断即可.

【详解】对于A，根据正态分布对称性可知，PXPX，A说法正确；

对于B，根据正态分布对称性可知，PX1PY20.5，B说法错误；

对于C和D，相关系数r越接近0，相关性越弱，越接近1，相关性越强，故C和D说法正确.

故选：B

3.（2024·上海·高考真题）已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是（）

A．气候温度高，海水表层温度就高

B．气候温度高，海水表层温度就低

C．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势

D．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势

【答案】C

【分析】根据相关系数的性质可得正确的选项.

【详解】对于AB，当气候温度高，海水表层温度变高变低不确定，故AB错误.

对于CD，因为相关系数为正，故随着气候温度由低到高时，海水表层温度呈上升趋势，

故C正确，D错误.

故选：C.

4.（2024·天津·高考真题）下列图中，线性相关性系数最大的是（）

A．B．

C．D．

【答案】A

【分析】由点的分布特征可直接判断

【详解】观察4幅图可知，A图散点分布比较集中，且大体接近某一条直线，线性回归模型拟合效果比较

好，呈现明显的正相关，r值相比于其他3图更接近1.

故选：A

5.（2023·上海·高考真题）根据身高和体重散点图，下列说法正确的是（）

A．身高越高，体重越重B．身高越高，体重越轻C．身高与体重成正相关D．身

高与体重成负相关

【答案】C

【分析】根据给定的散点图的特征，直接判断作答.

【详解】由于身高比较高的人，其体重可能大，也可能小，则选项AB不正确；

由散点图知，身高和体重有明显的相关性，且身高增加时，体重也呈现增加的趋势，

所以身高与体重呈正相关，C正确，D错误.

故选：C

6.（2023·天津·高考真题）鸢是鹰科的一种鸟，《诗经·大雅·旱麓》曰：“鸢飞戾天，鱼跃余渊”.鸢尾花因

花瓣形如鸢尾而得名，寓意鹏程万里、前途无量.通过随机抽样，收集了若干朵某品种鸢尾花的花萼长度和

花瓣长度（单位：cm），绘制散点图如图所示，计算得样本相关系数为r0.8642，利用最小二乘法求得相

应的经验回归方程为y0.7501x0.6105，根据以上信息，如下判断正确的为（）

A．花瓣长度和花萼长度不存在相关关系

B．花瓣长度和花萼长度负相关

C．花萼长度为7cm的该品种鸢尾花的花瓣长度的平均值为5.8612cm

D．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是0.8642

【答案】C

【分析】根据散点图的特点及经验回归方程可判断ABC选项，根据相关系数的定义可以判断D选项.

【详解】根据散点的集中程度可知，花瓣长度和花萼长度有相关性，A选项错误

散点的分布是从左下到右上，从而花瓣长度和花萼长度呈现正相关性，B选项错误，

把x7代入y0.7501x0.6105可得y5.8612cm，C选项正确；

由于r0.8642是全部数据的相关系数，取出来一部分数据，相关性可能变强，可能变弱，即取出的数据的

相关系数不一定是0.8642，D选项错误

故选：C

考点05离散型随机变量的均值

1.（2026·全国一卷·高考真题）设Ux1,x2,x3xi2,1,1,2,i1,2,3为空间中64个点构成的集合，点

ð

P1,1,1，记样本空间UP，从中随机取一个点，定义随机变量X如下：对中的每个点Ax1,x2,x3，

令X(A)x1x2x3，则X的数学期望值为（）

111

A．B．C．0D．

21637

【答案】A

【分析】由题意可知n63.解法一：根据古典概型求相应的概率，进而可得期望；解法二：可得

43

PX3，PX3，根据对称性运算求解；解法三：根据点的特征结合古典概型运算求解.

6363

【详解】由题意可知：n444163，且随机变量X的取值为6，5，4，3，2，1，0，1，

2，3，4，5，6.

1

解法一：依题意，可得PX6PX6，

63

3

PX5PX5PX4PX4，

63

43

PX3，PX3，

6363

96

PX2PX2PX1PX1，PX0，

6363

1343961

所以EX6655443322110；

63636363636321

解法二：根据对称性可知：PX6PX6，PX5PX5，PX4PX4，

PX2PX2，PX1PX1，

43

又PX3，PX3，

6363

431

所以EX33；

636321

解法三：因为xi2,1,1,2，i1,2,3，

对于任意一点x1,x2,x3，均存在x1,x2,x3与之对应，可知这两点的坐标和为0，

ð

因为P1,1,1，样本空间UP，

可知样本空间中存在唯一点1,1,1与点P1,1,1对应，

所以中所有点的坐标和的总和为1113，

31

故E(X).

6321

101

2.（2026·上海·高考真题）已知随机变量X的分布为，且EX0.5，则b__________．

a0.3b

3

【答案】0.6/

5

【分析】根据分布列性质及数学期望公式计算求解.

101

【详解】因为随机变量X的分布为，且EX0.5，

a0.3b

所以ab0.7，且EXa0b0.5，

解得b0.6.

567

3.（2025·上海·高考真题）已知随机变量X的分布为，则期望E[X]_________．

0.20.30.5

【答案】6.3

【分析】根据分布列结合期望公式可求期望.

【详解】由题设有Ex50.260.370.511.83.56.3.

故答案为：6.3.

4.（2025·全国一卷·高考真题）有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取3次，

每次取1个球.记X为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则X的数学期望E(X)_________.

61

【答案】/2.44

25

【分析】法一：根据题意得到X的可能取值，再利用分步乘法原理与古典概型的概率公式求得X的分布列，

从而求得E(X)；法二，根据题意假设随机变量Xi，利用对立事件与独立事件的概率公式求得E(Xi)，进而

利用数学期望的性质求得E(X).

【详解】法一：依题意，X的可能取值为1、2、3，

总的选取可能数为53125，

其中X1：三次抽取同一球，选择球的编号有5种方式，

51

故P(X1)，

12525

X2：恰好两种不同球被取出（即一球出现两次，另一球出现一次），

选取出现两次的球有5种方式，选取出现一次的球有4种方式，

其中选取出现一次球的位置有3种可能，故事件X2的可能情况有54360种，

6012

故P(X2)，

12525

X3：三种不同球被取出，

由排列数可知事件X3的可能情有况54360种，

6012

故P(X3)，

12525

所以EX1PX12PX23PX3

5121261

123.

125252525

61

故答案为：.

25

法二：依题意，假设随机变量Xi，其中i1,2,3,4,5：

1,这3次选取中,球i至少被取出一次5

其中Xi，则XXi，

0,这3次选取中,球i一次都没被取出i1

由于球的对称性，易知所有EXi相等，

55

则由期望的线性性质，得E[X]EXiEXi5EXi，

i1i1

4

由题意可知，球i在单次抽取中未被取出的概率为，

5

3

由于抽取独立，三次均未取出球的概率为464，

iPXi0

5125

6461

因此球i至少被取出一次的概率为：PX11，

i125125

61

故EX，

i125

6161

所以E[X]5EX5.

i12525

61

故答案为：.

25

5.（2025·天津·高考真题）小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均为0．5，

若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0．4，6圈的概率为0．6；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈

的概率为0．6，6圈的概率为0．4．小桐一周跑11圈的概率为________；若一周至少跑11圈为运动量达

标，则连续跑4周，记合格周数为X，则期望EX_______

【答案】0.63.2

【分析】先根据全概率公式计算求解空一，再求出概率根据二项分布数学期望公式计算求解.

【详解】设小桐一周跑11圈为事件A，设第一次跑5圈为事件B，设第二次跑5圈为事件C，

则PAPBPC|BPBPC|B0.50.60.50.60.6；

设运动量达标为事件D，PDPAPBPC|B0.60.50.40.8，

所以XB4,0.8，EX40.83.2；

故答案为：0.6；3.2

考点06离散型随机变量的方差

1.（2019·浙江·高考真题）设0a1，则随机变量X的分布列是：

则当a在0,1内增大时

A．DX增大B．DX减小

C．DX先增大后减小D．DX先减小后增大

【答案】D

【分析】研究方差随a变化的增大或减小规律，常用方法就是将方差用参数a表示，应用函数知识求解.本

题根据方差与期望的关系，将方差表示为a的二次函数，二次函数的图象和性质解题.题目有一定综合性，

注重重要知识、基础知识、运算求解能力的考查.

1a

【详解】方法1：由分布列得E(X)，则

3

2222

1a11a11a1211

D(X)0a1a，则当a在(0,1)内增大时，D(X)先

333333926

减小后增大.

2222

22a1a12a2a2213

方法2：则DXEXEX0a