2026秋人教版九年级数学核心章节25.3实际问题与一元二次方程（分层练习）

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25.3实际问题与一元二次方程分层练习（学生版）

基础过关练

知识点一增长率问题（一元二次方程的应用）

1．某县2024年沃柑种植产值为200万元，在政策扶持与技术推广下，产值逐年稳步增长，2026

年达到288万元．设每年产值的平均增长率为x，根据题意，可列方程为（）

A．288(1x)2200B．2881x2200C．200(1x)2288D．200(1x)2288

2．某款新能源汽车今年1月份的售价为22万元，随后开展降价促销活动，到3月份时售价为18

万元，设该款汽车售价的月平均下降率是x，则下列方程正确的是（）

22

A．221x18B．221x218C．181x22D．221x18

3．某化学实验中，一种反应物的质量随反应时间不断减少，已知初始质量为100g，经过2分钟反

应时间后，总质量变为64g，设该反应物这2分钟内每分钟减少的百分率均为x，则可列方程为

_________．

4．某区大力推进义务教育均衡发展，加强学校标准化建设，计划用三年时间对全区学校的设施和

设备进行全面改造．2025年区政府已投资5亿元人民币，若每年投资的年平均增长率相同，预计

2027年投资7.2亿元人民币，求每年投资的年平均增长率．

知识点二传播类问题（一元二次方程的应用）

1．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出与支干数目相同的小分支，主干、支干

和小分支的总数是121，求每个支干长出多少小分支．设每个支干长出x个小分支，那么根据题意

可以列方程为（）

22

A．1xx2121B．1xx1x121C．1x1x121D．11x1x121

2．某人患有甲型H3N2流感，经过两轮传染后共有36个人患流感．设每轮传染中平均一个人传染x

个人，则根据题意可列方程_________．

3．九年级一班班长在接到学校紧急通知后，通知了班级的x名班委，班委接到通知后，又分别通

知了班级的其他x名同学，这样包括班长在内的全班57名同学就都知道了该通知，求x的值．

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25.3实际问题与一元二次方程分层练习（学生版）

4．近期，全国多地出现因感染甲型流感病毒导致的学生病例增多情况，甲流是指甲型流感病毒引

起的急性呼吸道感染．某小区有一居民不小心感染了该病毒，经过两轮传播后，共有25人感染．

（1）在这两轮感染过程中，平均一人传染多少人？

（2）按照这样的传染速度，经过三轮传播后，共有多少人会被感染？

知识点三几何面积基础问题（一元二次方程的应用）

1．清晨，在泸沽湖升腾起的轻柔薄雾中，摩梭人摇着船，唱着山歌，带着远方的客人沉浸式体验“人

在画中游”的诗情画意．图中画作描绘的正是“雾锁泸沽湖，舟行入画屏”的静谧美景．设计师要给

画作四周安装上一个宽度相等的空白画框，制成一个矩形的工艺品．该工艺品的长为90cm，宽为

60cm，中间画作的面积为4000cm2．设空白画框的宽度为xcm，则下列方程正确的是（）

A．902x602x4000B．90x60x4000

C．902x60x4000D．9060x24000

2．如图，这是一块面积为120m2的矩形空地，已知该空地的长宽之比为3:2，现要在空地的四角开

发面积均为5m2的正方形用来安置不同的游乐设施，中间阴影部分为蹦床乐园，则蹦床乐园的面积

为（）

A．100m2B．75m2C．40m2D．20m2

3．如图，在一块长为92m，宽为60m的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），水渠把耕地分

成面积均为885m2的6个矩形小块，水渠的宽为多少？

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25.3实际问题与一元二次方程分层练习（学生版）

4．有一块长20cm，宽16cm的矩形铁皮，在铁皮的四个角裁去四个边长一样的正方形后，将其折成

底面积为140cm2的无盖长方体盒子，求裁去的正方形的边长．

知识点四数字问题（一元二次方程的应用）

1．已知两个连续偶数的积为168，若设其中较大的一个偶数为x，则可得方程为（）

A．x(x2)168B．xx2168C．x(x1)168D．2x12x1168

2．一个两位数的个位数字与十位数字之和是9，且个位数字与十位数字的积是20，设这个两位数

的个位数字为x，则根据题意可列方程为_________．

3．在某月的日历表上用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的

乘积为65，则这个最小数为_________

4．如图是嘉嘉和某AI软件的部分对话截图，则该AI软件最终给出的x的值为_________

能力提升练

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知识点一营销问题（一元二次方程的应用）

1．中秋节来临之际某商场经销一种月饼，原价每盒75元，连续两次降价后每盒48元，若每次下降

的百分率相同．

（1）求每次下降的百分率．

（2）若每盒盈利10元，每天可售出500盒，经市场调查发现，在进货价不变的情况下商场决定采

取适当的涨价措施若每盒涨价1元，日销售量将减少20盒，现该商场要保证每天盈利6000元，且

要尽快减少库存，那么每盒应涨价多少元？

2．为助力乡村振兴，河南某乡村合作社售卖铁棍山药，已知山药进价为15元/斤，销售单价x（元

/斤）与月销售量y（斤）满足一次函数关系：y20x800，若合作社每月销售山药获利3000

元，并让顾客得到最大优惠，则销售单价为（）

A．20元B．25元C．30元D．35元

3．电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日

销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个．为庆祝《哪吒之魔童闹海》

全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达

320个；每降价1元，日销量可增加5个．

（1）降价5元时，日销量增加了多少个？

（2）当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？

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25.3实际问题与一元二次方程分层练习（学生版）

4．根据以下素材，完成任务．

素材1：优优生鲜超市10月份在某配送平台开展外送服务．已知该超市10月份第一周在该配送平台

完成订单250单，10月份第三周完成订单490单．

素材2：该配送平台每单的配送成本为4元，当每单配送费定为8元时，日订单量为200单；若配

送费每提高1元，日订单量将减少10单．

问题解决

任务：

（1）求该超市10月份第一周到第三周在该配送平台的订单量的周平均增长率；

（2）为使在该配送平台日利润达到1280元，且尽可能降低用户的配送成本，则每单实际配送费应

定为多少元？

知识点二工程问题（一元二次方程的应用）

1．列方程解下列问题：

某大型腊肉加工厂只加工甲、乙两种腊肉礼盒，已知每名工人每天加工甲种腊肉礼盒数量是加工乙

种腊肉礼盒数量的1.5倍．某天，当分配加工甲种腊肉礼盒的工人比加工乙种腊肉礼盒的工人少20

人时，当天加工出厂的甲、乙种腊肉礼盒数量均为14400个．

（1）求每名工人每天加工甲、乙两种腊肉礼盒数量各多少个？

（2）春节将至，订单激增．该厂一方面对所有工人重新分配：m名加工乙种腊肉礼盒，其余的工

人加工甲种腊肉礼盒：另一方面提高生产效率：每名工人每天加工乙种腊肉礼盒比以前增加m个，

每名工人每天加工甲种腊肉礼盒比以前增加2m个．已知该厂每天加工的甲、乙两种腊肉礼盒共

36000个，求m的值．

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25.3实际问题与一元二次方程分层练习（学生版）

2．“万里无云镜九州，最团圆夜是中秋．”临近中秋节，某月饼厂接到一笔3200盒月饼的订单，现

决定由甲、乙两组共同完成，已知两组同时开工，甲组加工10天，乙组加工8天就能完成这笔订单，

且甲组3天加工的月饼数量比乙组2天加工的月饼数量多300盒．

（1）求甲、乙两组平均每天各能加工多少盒月饼；

（2）甲、乙两组同时开工2天后，这笔订单临时又增加了500盒月饼，甲组从第3天起提高了工

作效率，而乙组的工作效率不变，并提前完成了这笔订单．经调研发现，若甲组平均每天每多加工

100盒月饼，则甲、乙两组就各自都提前1天完成任务，已知甲、乙两组加工的天数均为整数，则

甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前多少天完成了这笔订单？

知识点三行程问题（一元二次方程的应用）

1．《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率五，乙行率二．乙东行，甲南行八步而斜东

北与乙会．问甲乙行各几何．”大意是说：甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为5，乙的

速度为2．乙一直往东走，甲先向南走8步（步是古代的长度单位），后又斜向北偏东方向走了一

段后与乙相遇．那么相遇时甲乙各走了多少步？设甲乙二人从出发到相遇所用的时间是x，下列方

程正确的（）

22222222

A．2x825x8B．2x825xC．5x822x8D．2x5x882

2．新疆阿勒泰有“中国雪都”之称，很多滑雪爱好者都到将军山滑雪场滑雪．已知滑行距离S（单

位：m）与滑行时间t（单位：s）之间的关系是S2.5t22t．若某滑雪者在山坡上的出发点和终点

的距离是176m，他需要_________s能到达终点．

3．在物理中，沿着一条直线且速度均匀增大或减小的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程

中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，例如，在一个时段内，初速度为20

2030

米/秒，末速度为30米/秒，则这个时间段的平均速度为v25米/秒．运动路程等于时间与

2

平均速度的乘积（即）S=vt．若一个小球以10米/秒的初速度沿平滑的直线向前滚动，并且均匀

减速，小球的滚动速度平均每秒减少2米/秒，小球滚动24米用了_________秒．

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4．一个小球以5m/s的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4s后小球停止滚动．

（1）小球的滚动速度平均每秒减少多少？

（2）小球滚动5m用了多少秒（结果保留根号）？

（提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度v（初速度与末速度的算术平均数）与路程

s，时间t的关系为svt．）

知识点四图表信息问题（一元二次方程的应用）

1．如图是今年某月的日历表，小欧用一个平行四边形，框出6个数字，其中最小数与最大数的积

是264，求小欧框出的最小数．

2．某电厂规定，该厂家属区每户居民如果一个月的用电量不超过a度，那么这居民这个月只需缴

a

30元电费；如果超过a度，那么这个月除了仍要缴30元的用电费以外，超过的部分还要每度按

100

元缴费．

（1）若该厂某户居民2月份用电150度，超过了规定的a度，则超过的部分应缴电费多少元（用a

表示）；

（2）如表是这户居民3月、4月用电情况和缴费情况：

月份用电量（度）缴电费总数（元）

312062

46530

请根据如表数据，求出电厂规定的a的值．

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3．【观察思考】

围棋起源于中国，至今已有4000多年的历史，围棋使用圆形黑、白两色棋子在方形格状的棋盘上

对弈．如图是用黑、白两色围棋子摆出的一组有规律的“箭头”图案．

【规律发现】

（1）按此规律继续摆下去，第n（n为正整数）个图案中，白棋有_________个，黑棋有_________

个；（用含n的代数式表示）

【规律应用】

（2）若在第n个图案中，黑棋和白棋的数量之积为253，求n的值．

知识点五握手、循环赛问题（一元二次方程的应用）

1．一次会议上，每两个参加会议的人都互相握了一次手，有人统计一共握了66次手．若设这次会

议到会的人数为x，依题意可列方程（）

112

A．xx166B．1x66C．x1x66D．xx166

22

2．云南省城市足球联赛（滇超联赛）是云南历史上规模最大的省级足球赛事，于2025年11月29

日在玉溪高原体育运动中心主体育场揭幕，小组赛每支球队与其他球队各赛一场，采用单循环赛制，

总计将进行120场比赛．设有x支球队参加比赛，可列方程为（）

11

A．xx1120B．xx1120C．xx1120D．xx1120

22

3．毕业前夕，九年级某班的同学每人将一份礼物与其他每一位同学互赠，作为毕业纪念，全班共

赠出1806件礼物，那么这个班级共有学生（）

A．40人B．41人C．42人D．43人

4．中国声谷是合肥高新区的国家级人工智能产业基地，是合肥“科创名城”的核心名片．在2025年

“中国声谷杯”全国大学生人工智能创新大赛的初赛阶段，参赛的每两个队伍之间都需要进行一场项

目路演答辩（单循环赛制），共进行了105场比拼．设共有x个队伍参加初赛，则下列方程符合题

意的是（）

11

A．xx1105B．xx1105C．xx1105D．xx1105

22

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25.3实际问题与一元二次方程分层练习（学生版）

拓展培优练

知识点一动态几何问题（一元二次方程的应用）

1．如图，在长方形ABCD中，AB10cm，BC12cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以2cm/s的

速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以4cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、

B同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t秒．

（1）填空：BQ_________cm，PB_________cm．（用含t的代数式表示）

（2）当五边形APQCD的面积等于104cm2时，求此时t的值．

（3）是否存在t的值，使线段PQ的长度最小，若存在，请求出此时t的值和最小值，若不存在，请

说明理由．

2．如图，在RtAOB中，AOB90，OA60cm，OB80cm，OCAB，垂足为C．甲虫由点A以3cm/s

的速度沿AB向点B爬行，同时乙虫由点C以2cm/s的速度沿CO向点O爬行，当乙虫到达目的地点O

时，甲乙两虫停止爬行．

（1）则在_________秒时，甲、乙两虫所在位置与点C组成的三角形是等腰三角形．

（2）则在_________秒时，甲、乙两虫所在位置与点C组成的三角形的面积等于105cm2．

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25.3实际问题与一元二次方程分层练习（学生版）

3．如图，在长方形ABCD中，AB6cm，AD2cm，点P以2cm/s的速度从顶点A出发，沿折线ABC

向点C运动，同时点Q以1cm/s的速度从顶点C出发，沿CD向点D运动，当其中一个动点到达终

点时，另一点也随之停止运动．

4

（1）两动点运动几秒时，四边形PBCQ的面积是长方形ABCD面积的？

9

（2）是否存在某一时刻，使得点P与点Q之间的距离为5cm？若存在，求出该时刻；若不存在，

请说明理由．

4．已知在ABC中，ÐB=90°，ABBC5cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，

点Q从B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，若一动点运动到终点，则另一个也随之停止．

（1）如果P、Q分别从A、B两点同时出发，那么几秒后，PBQ的面积等于4cm2？

（2）在（1）中，PBQ的面积能否等于8cm2？说明理由．

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基础过关练

知识点一增长率问题（一元二次方程的应用）

1．某县2024年沃柑种植产值为200万元，在政策扶持与技术推广下，产值逐年稳步增长，2026

年达到288万元．设每年产值的平均增长率为x，根据题意，可列方程为（）

A．288(1x)2200B．2881x2200C．200(1x)2288D．200(1x)2288

【答案】C

【分析】本题根据初始产值、平均增长率，依次表示出增长两年后的产值，再结合2026年的实际

产值列出方程即可．

【详解】解：∵2024年沃柑种植产值为200万元，年平均增长率为x，

∴2025年的产值为2001x万元，

∴2026年的产值为2001x1x200(1x)2万元，

又∵2026年的产值为288万元，

∴可列方程为200(1x)2288．

2．某款新能源汽车今年1月份的售价为22万元，随后开展降价促销活动，到3月份时售价为18

万元，设该款汽车售价的月平均下降率是x，则下列方程正确的是（）

22

A．221x18B．221x218C．181x22D．221x18

【答案】D

【分析】根据月平均下降率依次表示降价后的售价，结合3月份售价列方程即可，从1月到3月共

经过2次降价，降价次数为2．

【详解】∵该款汽车售价的月平均下降率是x，1月份售价为22万元，

∴2月份售价为221x万元，

2

∴3月份售价为221x·1x221x万元，

又∵3月份售价为18万元，

2

∴可列方程为221x18．

3．某化学实验中，一种反应物的质量随反应时间不断减少，已知初始质量为100g，经过2分钟反

应时间后，总质量变为64g，设该反应物这2分钟内每分钟减少的百分率均为x，则可列方程为____．

2

【答案】1001x64

【分析】已知初始质量，平均减少率和变化后的质量，根据平均变化率的数量关系列方程即可．

【详解】解：初始质量为100g，每分钟减少的百分率为x则1分钟后反应物的质量为1001xg，

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25.3实际问题与一元二次方程分层练习（解析版）

2

2分钟后反应物的质量为1001x1x100(1x)g，

已知2分钟后反应物质量变为64g，

因此可列方程100(1x)264．

4．某区大力推进义务教育均衡发展，加强学校标准化建设，计划用三年时间对全区学校的设施和

设备进行全面改造．2025年区政府已投资5亿元人民币，若每年投资的年平均增长率相同，预计

2027年投资7.2亿元人民币，求每年投资的年平均增长率．

【答案】每年投资的平均增长率为20%．

2

【分析】设每年投资的年平均增长率为x，根据题意可得，2025年投资额1x2027年的投资额，

据此列方程求解．

【详解】解：设每年投资的年平均增长率为x，

2

根据题意，得：51x7.2，

解得：x10.220%，x22.2（舍去），

答：每年投资的平均增长率为20%．

知识点二传播类问题（一元二次方程的应用）

1．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出与支干数目相同的小分支，主干、支干

和小分支的总数是121，求每个支干长出多少小分支．设每个支干长出x个小分支，那么根据题意

可以列方程为（）

22

A．1xx2121B．1xx1x121C．1x1x121D．11x1x121

【答案】A

【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，准确地理解题意找到等量关系是解题的关键．根

据主干、支干、小分支的数量关系，结合总数为121列方程即可．

【详解】解：∵主干的数量为1个，每个支干长出x个小分支，

∴支干的数量为x个，小分支的数量为xxx2个，

又∵主干、支干和小分支的总数是121，

∴可列方程为1xx2121，

故选：A．

2．某人患有甲型H3N2流感，经过两轮传染后共有36个人患流感．设每轮传染中平均一个人传染x

个人，则根据题意可列方程_________．

【答案】(1x)236

【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据有一个人患流感，经过两轮传染后共有

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25.3实际问题与一元二次方程分层练习（解析版）

36个人患流感，列出一元二次方程即可．

【详解】解：由题意得：(1x)236，

故答案为：(1x)236．

3．九年级一班班长在接到学校紧急通知后，通知了班级的x名班委，班委接到通知后，又分别通

知了班级的其他x名同学，这样包括班长在内的全班57名同学就都知道了该通知，求x的值．

【答案】7

【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意可得方程1xx257，再解方程即可．

【详解】解：由题意得，1xx257

解得x17，x28（舍去）

答：x的值为7．

4．近期，全国多地出现因感染甲型流感病毒导致的学生病例增多情况，甲流是指甲型流感病毒引

起的急性呼吸道感染．某小区有一居民不小心感染了该病毒，经过两轮传播后，共有25人感染．

（1）在这两轮感染过程中，平均一人传染多少人？

（2）按照这样的传染速度，经过三轮传播后，共有多少人会被感染？

【答案】（1）每轮感染中平均一人传染4人

（2）三轮后共有125人被感染

【分析】（1）设每轮平均传染给x人，刚开始1人，第一轮传染给x人，第二轮传染给x1x人，

根据经过两轮传播后，共有25人感染，列出方程，解方程即可；

（2）根据题意列出算式进行计算即可．

【详解】（1）解：设每轮平均传染给x人，刚开始1人，第一轮传染给x人，第二轮传染给x1x人，

根据题意得：

1xx1x25，

解得x14，x26（舍去），

答：每轮感染中平均一人传染4人．

（2）解：25254125人

答：三轮后共有125人被感染．

知识点三几何面积基础问题（一元二次方程的应用）

1．清晨，在泸沽湖升腾起的轻柔薄雾中，摩梭人摇着船，唱着山歌，带着远方的客人沉浸式体验“人

在画中游”的诗情画意．图中画作描绘的正是“雾锁泸沽湖，舟行入画屏”的静谧美景．设计师要给

画作四周安装上一个宽度相等的空白画框，制成一个矩形的工艺品．该工艺品的长为90cm，宽为

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25.3实际问题与一元二次方程分层练习（解析版）

60cm，中间画作的面积为4000cm2．设空白画框的宽度为xcm，则下列方程正确的是（）

A．902x602x4000B．90x60x4000

C．902x60x4000D．9060x24000

【答案】A

【分析】设空白画框的宽度为xcm，则中间画作的长为902xcm，宽为602xcm，根据中间画

作的面积为4000cm2，列出方程即可．

【详解】解：设空白画框的宽度为xcm，则中间画作的长为902xcm，宽为602xcm，根据题

意得：

902x602x4000．

2．如图，这是一块面积为120m2的矩形空地，已知该空地的长宽之比为3:2，现要在空地的四角开

发面积均为5m2的正方形用来安置不同的游乐设施，中间阴影部分为蹦床乐园，则蹦床乐园的面积

为（）

A．100m2B．75m2C．40m2D．20m2

【答案】C

【分析】设矩形空地的长为3xm，宽为2xm，根据面积求出x的值；根据四角正方形面积求出其边

长；最后利用矩形面积公式计算阴影部分面积．

【详解】解：设矩形空地的长为3xm，宽为2xm，

矩形空地面积为120m2，

3x2x120，

解得：x25或x25（舍去），

矩形空地的长为65m，宽为45m，

四角正方形面积均为5m2，

正方形边长为5m，

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25.3实际问题与一元二次方程分层练习（解析版）

由图可知，阴影部分为矩形，其长为652545m、宽为452525m，

阴影部分面积为452540m2．

3．如图，在一块长为92m，宽为60m的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），水渠把耕地分

成面积均为885m2的6个矩形小块，水渠的宽为多少？

【答案】1m

【分析】设水渠的宽为xm，则挖了水渠后的6个矩形小块可以拼成长为922xm，宽为60xm的

矩形，据此列出方程，求解即可．

【详解】解：设水渠的宽为xm，由题意得

922x60x8856，

整理得：x2106x1050，

解得：x11，x2105（不合题意，舍去），

答：水渠的宽为1m．

4．有一块长20cm，宽16cm的矩形铁皮，在铁皮的四个角裁去四个边长一样的正方形后，将其折成

底面积为140cm2的无盖长方体盒子，求裁去的正方形的边长．

【答案】3cm

【分析】设裁去的正方形的边长为xcm，则可得这个长方体盒子的底面的长是202xcm，宽是

162xcm，再由矩形面积公式建立方程求解．

【详解】解：设裁去的正方形的边长为xcm，则可得这个长方体盒子的底面的长是202xcm，宽

是162xcm，

∴202x162x140，

整理得x218x450，

解得x115，x23

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25.3实际问题与一元二次方程分层练习（解析版）

当x15时，此时202150，不符合题意；

当x3，此时2023140，1623100，符合题意

∴小正方形的边长为3cm．

知识点四数字问题（一元二次方程的应用）

1．已知两个连续偶数的积为168，若设其中较大的一个偶数为x，则可得方程为（）

A．x(x2)168B．xx2168C．x(x1)168D．2x12x1168

【答案】A

【分析】根据连续偶数的差值为2，由给出的较大数表示出较小偶数，再根据两数乘积为168即可

列出方程．

【详解】解：∵较大的偶数为x，则较小的连续偶数为x2，

∴根据题意，可得方程xx2168．

2．一个两位数的个位数字与十位数字之和是9，且个位数字与十位数字的积是20，设这个两位数

的个位数字为x，则根据题意可列方程为_________．

【答案】x9x20（或x29x200）

【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是找到等量关系．

先利用个位数字与十位数字的和为9，用含x的代数式表示出十位数字，再根据两者乘积为20的等

量关系列出方程．

【详解】解：设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为9x．

根据“个位数字与十位数字的积是20”，可列方程为x9x20，

将其整理为一元二次方程的一般形式为x29x200．

故答案为：x9x20（或x29x200）．

3．在某月的日历表上用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的

乘积为65，则这个最小数为_________

【答案】5

【分析】设最小的数为x，则最大的数为x8，可得xx865，再进一步求解即可.

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25.3实际问题与一元二次方程分层练习（解析版）

【详解】解：设最小的数为x，则最大的数为x8，

xx865，

∴x28x650，

∴x15,x213（舍去），

∴这个最小数为5.

4．如图是嘉嘉和某AI软件的部分对话截图，则该AI软件最终给出的x的值为_________

【答案】1

【分析】设这个数是x，根据题意建立一元二次方程，求解即可得．

【详解】解：设这个数是x，

由题意得：x2x1x，

整理得：x22x10，

解得x1x21，

即这个数是1．

能力提升练

知识点一营销问题（一元二次方程的应用）

1．中秋节来临之际某商场经销一种月饼，原价每盒75元，连续两次降价后每盒48元，若每次下降

的百分率相同．

（1）求每次下降的百分率．

（2）若每盒盈利10元，每天可售出500盒，经市场调查发现，在进货价不变的情况下商场决定采

取适当的涨价措施若每盒涨价1元，日销售量将减少20盒，现该商场要保证每天盈利6000元，且

要尽快减少库存，那么每盒应涨价多少元？

【答案】（1）每次下降的百分率为20%；

（2）涨价5元

【分析】（1）利用“原价×（1-下降百分率）2=两次降价后的价格”列方程，注意下降百分率的取值

范围是0x1，需舍去不合题意的解．

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25.3实际问题与一元二次方程分层练习（解析版）

（2）根据“每盒盈利×日销售量=总盈利”列方程，求解后结合“尽快减少库存”的要求，选择使日销

售量更大的涨价金额（即较小的涨价数值）．

【详解】（1）解：设每次下降的百分率为x，

根据题意可得：75(1x)248，

44

解得x10.220%，x11.8（舍去），

1525

答：每次下降的百分率为20%．

（2）解：设每盒应涨价y元，

根据题意可得：10y50020y6000，

展开化简得：y215y500，

因式分解得：y5y100，

解得y15，y210，

∵要尽快减少库存，

∴y5，

答：每盒应涨价5元．

2．为助力乡村振兴，河南某乡村合作社售卖铁棍山药，已知山药进价为15元/斤，销售单价x（元

/斤）与月销售量y（斤）满足一次函数关系：y20x800，若合作社每月销售山药获利3000

元，并让顾客得到最大优惠，则销售单价为（）

A．20元B．25元C．30元D．35元

【答案】B

【分析】利用“总利润=每斤利润×销售量”列方程求解，结合让顾客得到最大优惠取合适的解即可．

【详解】解：∵每斤利润为x15元，月销售量y20x800，

∴x1520x8003000，

展开整理得：x255x7500，

因式分解得：x25x300，

，

解得x125x230，

∵销售需给顾客优惠，选择更低的销售单价，

∴销售单价为25元．

3．电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日

销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个．为庆祝《哪吒之魔童闹海》

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25.3实际问题与一元二次方程分层练习（解析版）

全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达

320个；每降价1元，日销量可增加5个．

（1）降价5元时，日销量增加了多少个？

（2）当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？

【答案】（1）降价5元时，日销量增加了25个；

（2）当每个玩偶降价2元时，当日总利润可达到5940元．

【分析】（1）根据玩偶售价每降价1元，日销量可增加5个列式计算即可；

（2）设每个玩偶降价x元，根据当日总利润可达到5940元，列出一元二次方程，解之取符合题

意的值即可．

【详解】（1）解：根据题意，降价5元时，日销量增加了5525（个），

答：降价5元时，日销量增加了25个；

（2）解：设降价x元，则单个玩偶的利润为5030x20x元，销量3205x个，

由题意得20x3205x5940，

解得x146（舍去），x22，

答：当每个玩偶降价2元时，当日总利润可达到5940元．

4．根据以下素材，完成任务．

素材1：优优生鲜超市10月份在某配送平台开展外送服务．已知该超市10月份第一周在该配送平台

完成订单250单，10月份第三周完成订单490单．

素材2：该配送平台每单的配送成本为4元，当每单配送费定为8元时，日订单量为200单；若配

送费每提高1元，日订单量将减少10单．

问题解决

任务：

（1）求该超市10月份第一周到第三周在该配送平台的订单量的周平均增长率；

（2）为使在该配送平台日利润达到1280元，且尽可能降低用户的配送成本，则每单实际配送费应

定为多少元？

【答案】（1）40%；

（2）12元

【分析】（1）利用增长率公式建立方程：初始量(1增长率)n最终量，其中n为增长次数，这里第

一周到第三周经过2次增长，代入数据求解即可；

（2）根据“日利润=每单利润×日订单量”列方程，再结合“尽可能降低用户配送成本”的条件选择较

低的配送费作为解．

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25.3实际问题与一元二次方程分层练习（解析版）

【详解】（1）解：设该超市10月份第一周到第三周订单量的周平均增长率为x．

2

根据题意，得2501x490．

解得x10.440%，x22.4（舍）．

答：该超市10月份第一周到第三周在该配送平台的订单量的周平均增长率为40%．

（2）解：设配送费用上涨y元，则实际配送费为8y元，日订单量为(200-10y)单．

根据题意，得20010y8y41280．

解得y112，y24．

要降低用户的配送成本，

每单实际配送费为8412（元）．

答：每单实际配送费应定为12元．

知识点二工程问题（一元二次方程的应用）

1．列方程解下列问题：

某大型腊肉加工厂只加工甲、乙两种腊肉礼盒，已知每名工人每天加工甲种腊肉礼盒数量是加工乙

种腊肉礼盒数量的1.5倍．某天，当分配加工甲种腊肉礼盒的工人比加工乙种腊肉礼盒的工人少20

人时，当天加工出厂的甲、乙种腊肉礼盒数量均为14400个．

（1）求每名工人每天加工甲、乙两种腊肉礼盒数量各多少个？

（2）春节将至，订单激增．该厂一方面对所有工人重新分配：m名加工乙种腊肉礼盒，其余的工

人加工甲种腊肉礼盒：另一方面提高生产效率：每名工人每天加工乙种腊肉礼盒比以前增加m个，

每名工人每天加工甲种腊肉礼盒比以前增加2m个．已知该厂每天加工的甲、乙两种腊肉礼盒共

36000个，求m的值．

【答案】（1）360个；240个

（2）80

【分析】本题考查分式方程和一元二次方程的实际应用：

（1）设每名工人每日加工乙种腊肉礼盒x个，则每名工人每日加工甲种腊肉礼盒1.5x个，根据题意

列分式方程，解方程即可．

（2）先根据（1）中结论求出工人总数，再根据该厂每天加工的甲、乙两种腊肉礼盒共36000个，

列一元二次方程，解方程即可．

【详解】（1）解：设每名工人每日加工乙种腊肉礼盒x个，则每名工人每日加工甲种腊肉礼盒1.5x个．

1440014400

根据题意，得20．

x1.5x

化为整式方程，得144001.514400201.5x，

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25.3实际问题与一元二次方程分层练习（解析版）

解方程，得x240．

经检验，x240是原方程的解．

则1.5x360．

答：每名工人每日加工甲种腊肉礼盒360个，每名工人每日加工乙种腊肉礼盒240个．

1440014400

（2）解：工人总数为：100（人）．

240360

根据题意，得100m3602mm240m36000．

整理得m280m0．

解得m180，m20（舍去）．

答：m的