2026年苏教版高三数学第八十七章复数与向量练习题试卷

2026年苏教版高三数学第八十七章复数与向量练习题试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知复数z满足z^2+2z+3=0，则复数z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限参考答案：B解析：由z^2+2z+3=0得z=-1±√2i，对应的点为(-1,√2)或(-1,-√2)，均位于第二象限，故选B。2.若复数z=a+bi（a,b∈R）的模为2，且z/(1+i)为实数，则a与b的关系为（）A.a=bB.a=-bC.a+b=0D.a-b=0参考答案：D解析：|z|=2即a^2+b^2=4，z/(1+i)=(a+bi)/(1+i)=(a-b)/(1+i)+(a+b-2b)i为实数，则虚部为0，即a+b-2b=0，得a=b，又a^2+b^2=4，解得a=b=±√2，故选D。3.已知向量a=(1,2)，b=(3,-4)，则向量a+b的模长为（）A.5√2B.√10C.√26D.10√2参考答案：C解析：a+b=(1+3,2-4)=(4,-2)，|a+b|=√(4^2+(-2)^2)=√20=2√5，故选C。4.若向量u=(1,1)，v=(1,-1)，则向量u+v与向量u-v的夹角为（）A.π/4B.π/3C.π/2D.3π/4参考答案：C解析：u+v=(2,0)，u-v=(0,2)，两向量垂直，夹角为π/2，故选C。5.已知非零向量a与b的夹角为θ，且|a|=2|b|，则|a×b|等于（）A.|a||b|sinθB.|a||b|cosθC.√3|a||b|sinθD.√3|a||b|cosθ参考答案：A解析：|a×b|=|a||b|sinθ，代入|a|=2|b|得|a×b|=2|b||b|sinθ=2|a||b|sinθ，故选A。6.已知复数z=1+i，则z^3的虚部为（）A.-2B.2C.-2iD.2i参考答案：B解析：z^3=(1+i)^3=1+3i+3i^2+i^3=1+3i-3-i=2i，虚部为2，故选B。7.已知向量a=(1,1)，b=(1,-1)，则向量a×b的模长为（）A.√2B.2C.√4D.4参考答案：A解析：向量a与b不共线，a×b的模长等于以a,b为邻边的平行四边形的面积，即|a×b|=|1×(-1)-1×1|=√(1^2+1^2)=√2，故选A。8.已知复数z=a+bi（a,b∈R）满足|z|=1，则z^2+1的模长为（）A.0B.1C.√2D.2参考答案：D解析：|z|=1即a^2+b^2=1，z^2+1=(a^2-b^2+2abi)+1=(a^2-b^2+1)+2abi，模长为√((a^2-b^2+1)^2+4a^2b^2)=√(a^4+b^4+1)=√(2-2a^2b^2+1)=√(3-2a^2b^2)≥√3，当a=b=0时取等，但此时z=0不满足|z|=1，故模长为2，选D。9.已知向量a=(1,2)，b=(3,4)，则向量a在向量b方向上的投影长度为（）A.√2B.2√2C.√10D.2√10参考答案：B解析：向量a在向量b方向上的投影长度为|a|cosθ=|a||b|/|b|=|a|cosθ=|a||b|/|b|=|a|cosθ=|a||b|/|b|=|a|cosθ=|a||b|/|b|=|a|cosθ=|a||b|/|b|=|a|cosθ=|a||b|/|b|=|a|cosθ=|a||b|/|b|=|a|cosθ=|a||b|/|b|=|a|cosθ=|a||b|/|b|=|a|cosθ=|a||b|/|b|=2√2，故选B。10.已知复数z=1+i，则复数z/(1-i)的实部为（）A.1/2B.1C.3/2D.2参考答案：C解析：z/(1-i)=(1+i)/(1-i)=(1+i)^2/(1-i)^2=2i/2=1+i，实部为1，故选C。二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。把答案填在题中横线上）1.已知复数z=2-3i，则|z|^2+z^等于________参考答案：13解析：|z|^2=2^2+(-3)^2=13，z^=2+3i，|z|^2+z^=13+2+3i=15+3i，填13。2.已知向量a=(3,4)，b=(1,2)，则(a×b)/|b|等于________参考答案：(3,2)解析：a×b=(3×2-4×1)=(6-4)=(2,-2)，|b|=√(1^2+2^2)=√5，(a×b)/|b|=(2,-2)/√5=(2/√5,-2/√5)=(√5/5,-2√5/5)，填(3,2)。3.已知向量a=(1,2)，b=(3,-4)，则向量a•b等于________参考答案：-5解析：a•b=1×3+2×(-4)=3-8=-5，填-5。4.已知复数z=1+i，则arg(z^2)等于________（用弧度表示）参考答案：3π/4解析：z^2=(1+i)^2=1+2i+i^2=2i，arg(z^2)=π/2+π/4=3π/4，填3π/4。5.已知向量a=(1,1)，b=(1,-1)，则向量a×b的模长等于________参考答案：√2解析：a×b=(1×(-1)-1×1)=(-1-1)=(-2,0)，模长为√((-2)^2+0^2)=2，填√2。三、解答题（本大题共5小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1.已知复数z=a+bi（a,b∈R）满足z^2+2z+5=0，求复数z的模长和辐角主值解：由z^2+2z+5=0得z=-1±2i，当z=-1+2i时，|z|=√((-1)^2+2^2)=√5，辐角主值为arctan(-2/1)=π-arctan2；当z=-1-2i时，|z|=√5，辐角主值为arctan(-2/1)=π+arctan2。故z的模长为√5，辐角主值为π±arctan2。2.已知向量a=(1,2)，b=(3,-4)，求向量a+b与向量b-a的夹角余弦值解：a+b=(1+3,2-4)=(4,-2)，b-a=(3-1,-4-2)=(2,-6)，cosθ=(a+b)•(b-a)/(|a+b||b-a|)=(-8)/(|4√2||2√10|)=-8/(4√2×2√10)=-1/(√5×√5)=-1/5。3.已知复数z=1+i，求复数z^4的实部和虚部解：z^4=(1+i)^4=(2i)^2=-4，实部为-4，虚部为0。4.已知向量a=(1,2)，b=(3,-4)，求向量a在向量b方向上的投影向量解：向量a在向量b方向上的投影向量为(a•b/|b|^2)b=(1×3+2×(-4))/(3^2+(-4)^2)(3,-4)=(-5)/25(3,-4)=(-1/5)(3,-4)=(-3/5,-4/5)。5.已知复数z=a+bi（a,b∈R）满足|z|=2且arg(z)=π/3，求复数z^2的模长和辐角主值解：由|z|=2得a^2+b^2=4，由arg(z)=π/3得b/a=tan(π/3)=√3，解得a=1，b=√3，z=1+√3i，z^2=(1+√3i)^2=1+2√3i+3i^2=-2+2√3i，|z^2|=√((-2)^2+(2√3)^2)=√(4+12)=4，辐角主值为arctan(-2/(2√3))=π-arctan(1/√3)=2π/3。四、应用题（本大题共1小题，共10分）已知某城市在坐标原点，A点坐标为(3,4)，B点坐标为(-1,2)，现从A点出发，沿向量AB方向前进5个单位长度，到达C点，求C点的坐标解：向量AB=(-1-3,2-4)=(-4,-2)，单位向量为(-4/√(16+4),-2/√20)=(-2/√5,-1/√5)，C点坐标为A点坐标加上5倍单位向量坐标，即(3,4)+5(-2/√5,-1/√5)=(3-10/√5,4-5/√5)=(3√5-10)/√5,(4√5-5)/√5。五、证明题（本大题共1小题，共10分）证明：对于任意向量a=(x1,y1)，