2025中考数学二模试题分类汇编03 函数（9题型）（教师版）（云南专用）

专题03函数题型概览题型01反比例函数的图像性质题型02反比例函数k的几何意义题型03二次函数的图像性质（选择）题型04由表格信息求一次函数解析式及最值题型05由一次函数图像求一次函数解析式及最值题型06方程组、不等式（组）与一次函数综合题型07由二次函数图像性质求参数值与最值题型08二次函数与代数式的比较大小题型09二次函数与几何综合01反比例函数的图像性质1．（2025·云南曲靖·二模）已知反比例函数（为常数，且），则下列各点可能在该函数图象上的点是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，根据反比例函数图象上点的坐标特点逐一分析即可，掌握反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键．【详解】解：、由可得：，不符合题意；、由可得：，不符合题意；、由可得：，不符合题意；、由可得：，符合题意；故选：．2．（2025·云南·二模）已知反比例函数的图象位于第一、三象限，则n的取值可以是（

）A． B．1 C．3 D．0【答案】C【分析】本题考查了反比例函数的图象与系数的关系；由反比例函数的图象位于第一、三象限可得，求出即可做出判断．【详解】解：∵反比例函数的图象位于第一、三象限，∴，∴，∴n的取值可以是3，故选：C．3．（2025·云南·二模）反比例函数的图象经过点（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，由反比例函数解析式可得，进而逐项判断即可求解，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．【详解】解：∵反比例函数的解析式为，∴，∵，，，∴只有选项符合题意，故选：．4．（2025·云南·二模）若反比例函数的图象经过点，则图象必经过另一点（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．将代入即可求出的值，再根据解答即可．【详解】解：反比例函数的图象经过点，，∵，，，，∴B选项符合题意．故选：B．5．（2025·云南·二模）反比例函数的图象位于（

）A．第一、第三象限 B．第一、第四象限 C．第二、第三象限 D．第二、第四象限【答案】D【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，对于反比例函数，当时，图象在一、三象限，当时，图象在二、四象限，据此可得答案．【详解】解：∵，∴反比例函数的图象位于第二、第四象限，故选：D．6．（2025·云南昆明·二模）反比例函数的图象经过（

）A．第二、四象限 B．第一、三象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限【答案】A【分析】本题主要考查反比例函数的图象；根据判断反比例函数的图象经过的象限即可．【详解】解：∵，∴图象经过第二、四象限，故选：A．7．（2025·云南玉溪·二模）若反比例函数的图象经过点和，则的值为（）A． B．4 C． D．9【答案】B【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，求反比例函数自变量的值，先利用待定系数法求出函数解析式，再求出函数值为3时自变量的值即可得到答案．【详解】解：把代入中得，解得，∴反比例函数解析式为，在中，当时，，∴，故选：B．8．（2025·云南昆明·二模）反比例函数的图象过点，则的值为（

）A．5 B． C．6 D．【答案】D【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式．把点的坐标代入求解即可．【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，，解得．故选：D．9．（2025·云南楚雄·二模）若反比例函数的图象经过点，则该反比例函数图象也一定经过点（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了反比例函数，掌握待定系数法求解析式是关键．根据题意，运用待定系数法得到反比例函数解析式，再将选项代入计算即可判定．【详解】解：反比例函数的图象经过点，∴，∴反比例函数解析式，∴A、，不符合题意；B、，不符合题意；C、，不符合题意；D、，符合题意，故选：D．10．（2025·云南楚雄·二模）反比例函数的图象在第象限．【答案】四【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，掌握反比例函数图象的性质是关键．根据反比例函数解析式，反比例函数图象的性质求解即可．【详解】解：反比例函数中，，∴图象经过第二、四象限，当时，反比例函数图象在第四象限，故答案为：四．02反比例函数k的几何意义11．（2025·云南·二模）在反比例函数的图象中，阴影部分的面积不等于4的是（）.A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】根据反比例函数中k的几何意义，过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|解答即可．【详解】解：A、图形面积为|k|=4；B、阴影是梯形，面积为6；C、D面积均为两个三角形面积之和，为2×（|k|）=4．故选B．03二次函数的图像性质（选择）12．（2025·云南·二模）下列关于二次函数的说法正确的是（

）A．顶点坐标为 B．对称轴为C．函数y的最小值为5 D．图象与x轴没有交点【答案】A【分析】本题考查的是二次函数的图象和性质、二次函数图象与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键．根据二次函数的图象和性质，对选项逐个判断即可．【详解】解：，A．顶点坐标为，正确，该选项符合题意；B．对称轴为，错误，该选项不符合题意；C．函数y的最大值为5，错误，该选项不符合题意；D．图象与x轴有两个交点，错误，该选项不符合题意；故选：A．13．（2025·云南楚雄·二模）若二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握图象的开口，顶点坐标的位置是关键．根据图象可得顶点的坐标为，由此得到，，结合象限的特点即可求解．【详解】解：二次函数为，顶点的坐标为，又顶点在第三象限，，，，，在第四象限．故选：D．04由表格信息求一次函数解析式及最值14．（2025·云南楚雄·二模）习近平总书记指出“中医药学是中华文明的瑰宝．要深入发掘中医药宝库中的精华，推进产学研一体化，推进中医药产业化、现代化，让中医药走向世界．”2023年，云南省林下中药材种植面积达400万亩．某种优质中药材成本每千克800元，某药材公司试销一段时间发现：这种中药材每周的销售量（千克）与销售单价（元/千克）满足的关系如下表：（元/千克）950100010501100（千克）250200150100(1)请根据表中的数据写出与之间的函数解析式；(2)根据有关部门规定，该药材每千克售价不允许超过1200元．该药材公司每周获利元，试写与之间的函数解析式，并求出药材公司每周的最大利润．【答案】(1)(2)，药材公司每周的最大利润为40000【分析】本题主要考查一次函数，二次函数的运用，掌握待定系数法，二次函数最值的计算是关键．（1）运用待定系数法即可求解；（2）根据数量关系列式得到二次函数，根据二次函数最值的计算方法即可求解．【详解】（1）解：设与之间的函数解析式为，根据题意，得解得则．（2）解：，，，当时，取得最大值，，答：与之间的函数解析式为，药材公司每周的最大利润为40000元．15．（2025·云南·二模）“生活即教育，行为即课程”．某校将劳动教育融入立德树人全过程．学校给每个班划分一块地供学生“种菜”，某班现要购买肥料对该地施肥，该班班长与农资店店主商量后，店主给出了两种购买方案（如表），且都送货上门．方案运费肥料价格方案一12元3元方案二0元3.6元若该班购买千克肥料，按方案一购买的付款总金额为元，按方案二购买的付款总金额为元．(1)请分别写出与之间的函数关系式；(2)若该班计划用180元钱购买肥料，请问该班选择哪种购买方案购买的肥料较多？【答案】(1)，(2)方案一【分析】本题考查一次函数的应用，列出正确的函数关系式是解答的关键．（1）根据两种销售方案表示出销售总价即可；（2）用不同的购买方法，分别计算所用金额，比较得出答案．【详解】（1）解：与之间的函数关系式为，与之间的函数关系式为．（2）解：当时，，解得，当时，，解得，，该班选择方案一购买的肥料较多．16．（2025·云南昆明·二模）某超市需购进某种商品，每件的进价10元．设该商品的销售单价为（单位：元/件），在销售过程中发现：当时，该商品的日销售量（件）与销售单价（元）之间部分数值对应关系如下表：销售单价（元/件）1012141618日销售量（件）180168156144132(1)当时，你认为一次函数、反比例函数，哪个更符合与之间的关系，请求出与之间的函数关系式；(2)设该商品的日销售利润为元，当该商品的销售单价（元/件）定价为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少？【答案】(1)(2)当每件定价为20元时，可获利最大，最大利润为1200元【分析】本题主要考查了一次函数的性质，求函数的解析式，二次函数的性质和最值问题，解题的关键是熟练掌握一次函数和二次函数的性质．（1）根据一次函数的性质可得，与之间的关系符合一次函数，利用待定系数法即可求出函数解析式；（2）根据题意列出关于的二次函数，利用二次函数的性质求出最值即可．【详解】（1）解：当时，与之间的关系符合一次函数，设，将，；，代入可得解得∴与的函数关系式为；（2）解：该商品日销售利润为与单价的函数关系式为∵，且即抛物线开口向下，在对称轴左侧随的增大而增大∴当时，有最大值，所以，当每件定价为20元时，可获利最大，最大利润为1200元．17．（2025·云南·二模）小聪到某超市购买、、三种商品，其中、两种商品的单价之和恰好等于商品的单价，小聪前两次购买商品的数量和总费用如下表：商品的数量商品的数量商品的数量总费用元第一次第二次(1)求、、三种商品的单价．(2)若小聪第三次需要购买、、三种商品共个（每种商品至少购买个），其中商品的数量是商品的数量的倍，恰好花了元钱．求的最大值．若小聪在第三次购买、、三种商品时正好遇上“买一送一”促销活动，即购买一个商品即可赠送一个商品或一个商品（优先赠送商品），求的值．【答案】(1)商品的单价是元，商品的单价是元，商品的单价是元；(2)的最大值为；的值为．【分析】（1）设商品的单价是元，商品的单价是元，则商品的单价是元，利用总价单价数量，结合小聪前两次购买商品的数量和总费用，可得出关于，的二元一次方程组，解之可得出、两种商品的单价，再将其代入中，即可求出商品的单价；（2）设购买个商品，个商品，则购买个商品．利用总价单价数量，可得出关于，的二元一次方程，解之可得出，结合，可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题；利用总价单价数量，可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，且为非负整数，可求出，的值，再将其代入中，即可求出的值．【详解】（1）设商品的单价是元，商品的单价是元，则商品的单价是元，根据题意得：，解得：，．答：商品的单价是元，商品的单价是元，商品的单价是元；（2）设购买个商品，个商品，则购买个商品．根据题意得：，，，，随的增大而减小，又为正整数，当时，取得最大值，最大值，的最大值为；根据题意得：，，又，均为正整数，且为非负整数，，，的值为．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式；找准等量关系，正确列出二元一次方程．05由一次函数图像求一次函数解析式及最值18．（2025·云南·二模）某超市销售一种商品，成本价为元/千克，经市场调查，每天销售量（千克）与销售单价（元/千克）之间的关系如图所示，规定每千克售价不能低于元，且不高于元．

(1)直接写出与之间的函数关系式；(2)设每天的总利润为元，当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？【答案】(1)(2)单价定为元时，该超市每天的利润最大，最大利润元【分析】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．确定变量，建立函数模型，注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值）是解题的关键．（1）将点代入一次函数表达式，即可求解；（2）由题意得：，根据二次函数的性质即可求解．【详解】（1）解：设一次函数的解析式为，将点、代入得：，解得：，故函数的表达式为：；（2）由题意得：，∵，故当时，w随x的增大而增大，∵，∴当时，w取最大值，此时，．故销售单价定为元时，该超市每天的利润最大，最大利润元．19．（2025·云南大理·二模）大理旅游热度持续攀升，为进一步打造宜居大理，某部门准备在海边种植甲、乙两种绿植．经调查，甲种绿植的种植费用（元）与种植面积（平方米）之间的函数关系如图所示，乙种绿植的种植费用为每平方米90元．(1)求与之间的函数关系式；(2)已知甲、乙两种绿植的种植面积共600平方米，若甲种绿植的种植面积不少于240平方米，且不超过乙种绿植种植面积的2倍．应怎样分配甲、乙两种绿植的种植面积，才能使总费用最少？总费用最少为多少元？【答案】(1)当时，；当时，；(2)甲种植面积为400平方米，乙种植面积为200平方米时，总费用最低，最低为58000元．【分析】（1）当时，是正比例函数；当时，是一次函数，利用待定系数法解答即可．（2）设乙种植面积为平方米，甲的种植面积为平方米，根据题意，得，设总费用为w元，根据题意，得计算即可．【详解】（1）解：当时，是正比例函数，设解析式为，把点代入解析式，得，解得，故解析式为；当时，是一次函数，设解析式为，把点，代入解析式，得，解得，故解析式为．（2）解：设乙种植面积为平方米，甲的种植面积为平方米，根据题意，得，解得，设总费用为w元，根据题意，得，由一次函数y随x的增大而增大，故当时，总费用最少，最少为（元），故甲种植面积为400平方米，乙种植面积为200平方米时，总费用最低，最低为58000元．【点睛】本题考查了一次函数的应用，待定系数法，一次函数的性质，不等式组的应用，熟练掌握性质是解题的关键．20．（2025·云南楚雄·二模）一年一度的校园文化节开始了，某班艺术节目需要采购甲、乙两种道具，一商家对甲种道具的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种道具按40元/件的价格出售，设该班购买x件甲种道具，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示．(1)当时，求y与x之间的函数解析式．(2)若该班计划一次性购买甲、乙两种道具共100件，甲种道具的数量不少于60件，且不超过75件，如何分配甲、乙两种道具的购进量，才能使该班付款总金额单位：元最少？【答案】(1)(2)购买甲种道具75件、乙种道具25件【分析】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式及一次函数的增减性是解题的关键．（1）利用待定系数法解答即可；（2）写出w关于x的函数关系式，根据一次函数的增减性和x的取值范围，确定当x取何值时w值最小即可．【详解】（1）解：设当时，y与x之间的函数解析式为、b为常数，且，将坐标和分别代入，得，解得，当时，y与x之间的函数解析式为；（2）解：根据题意，得，，随x的增大而减小，，当时，w值最小，件，答：购买甲种道具75件、乙种道具25件才能使该班付款总金额w最少．21．（2025·云南西双版纳·二模）五一期间，超大规模的无人机灯光秀点亮城市上空，为广大游客带来一场视觉盛宴．其中，甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面米的高台起飞，两架无人机同时匀速上升．到第4秒时，乙无人机到达距离地面米的位置，停止上升，开始进行表演．甲无人机则持续匀速上升，到第秒时，甲无人机到达距离地面米的位置，停止上升，开始进行表演．在甲无人机上升过程中，两架无人机距离地面的高度y（米）和上升的时间（秒）之间的函数关系如图所示，结合图象解答下列问题：(1)求线段所在直线的函数解析式（不要求写出的取值范围）；(2)在甲无人机上升过程中，它飞行到多少秒时，两架无人机之间的竖直高度差为米？【答案】(1)(2)2秒、秒和秒【分析】本题主要考查了函数图像，一次函数的应用等知识，正确理解题意，通过函数图像获得所需信息是解题关键．（1）设线段所在直线的函数解析式，然后把，代入，即可求解；（2）先求出，然后求出乙无人机停止上升时，两架无人机之间的竖直高度差，得到需要分三种情况，然后根据对应情况列一元一次方程即可求解【详解】（1）解：由图像可得：，，设线段所在直线的函数解析式，把，，代入，解得：，∴线段所在直线的函数解析式；（2）解：由题可得：，设线段所在直线的函数解析式为，把代入，解得：，即，把分别代入和，分别解得：，，即当乙无人机停止上升时，两架无人机之间的竖直高度差为米，∵，∴故需要分三种情况：①当甲，乙飞机都上升，乙飞机在甲飞机上方时，可得：，即，解得：；②当乙飞机停止上升，甲飞机继续上升，乙飞机在甲飞机上方时，可得：，即，解得：，③当乙飞机停止上升，甲飞机继续上升，甲飞机在乙飞机上方时，可得：，即，解得：，综上所述：在甲无人机上升过程中，它飞行到2秒、秒和秒时，两架无人机之间的竖直高度差为米；06方程组、不等式（组）与一次函数综合22．（2025·云南·二模）某小区物管中心计划采购，两种花卉用于美化环境．已知购买2株种花卉和3株种花卉共需要21元；购买4株种花卉和5株种花卉共需要37元．(1)求，两种花卉的单价．(2)该物管中心计划采购，两种花卉共计10000株，其中采购种花卉的株数不超过种花卉株数的4倍，当，两种花卉分别采购多少株时，总费用最少？并求出最少总费用．【答案】(1)种花卉的单价为3元/株，种花卉的单价为5元/株(2)当购进种花卉8000株，种花卉2000株时，总费用最少，最少费用为34000元【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，根据题意列出方程组，不等式以及一次函数关系式是解题的关键．（1）设种花卉的单价为元/株，种花卉的单价为元/株，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解；（2）设采购种花卉株，则种花卉株，总费用为元，根据题意列出不等式，得出，进而根据题意，得到，根据一次函数的性质即可求解．【详解】（1）解：设种花卉的单价为元/株，种花卉的单价为元/株，由题意得：，解得：，答：种花卉的单价为3元/株，种花卉的单价为5元/株．（2）解：设采购种花卉株，则种花卉株，总费用为元，由题意得：，，解得：，在中，，随的增大而减小，当时的值最小，，此时．答：当购进种花卉8000株，种花卉2000株时，总费用最少，最少费用为34000元．23．（2025·云南临沧·二模）在中学生劳动课教育中，学校开展了手工制品售卖实践活动．某班级同学负责售卖甲、乙两种手工艺品，已知上午售出3件甲种手工艺品和4件乙种手工艺品，共获得利润90元；下午售出3件甲种手工艺品和5件乙种手工艺品，共获得利润105元．(1)求甲种手工艺品和乙种手工艺品每件的销售利润．(2)该班级计划一次性购进这两种手工艺品共120件用于售卖，其中甲种手工艺品的进货量不低于乙种手工艺品进货量的，请你帮该班级设计一种销售总利润最大的进货方案，并求出总利润的最大值．【答案】(1)甲种手工艺品每件的销售利润为元，乙种手工艺品每件的销售利润为元(2)甲种手工艺品购进件，则乙种手工艺品购进件，最大利润为：元.【分析】本题考查二元一次方程组的应用，不等式、一次函数的实际应用，涉及用一次函数和不等式求最值的问题，考查将实际问题转化为数学问题的抽象能力，以及基本运算能力、模型思想和应用意识．（1）设甲种手工艺品每件的销售利润为元，乙种手工艺品每件的销售利润为元，根据3件甲种手工艺品和4件乙种手工艺品，共获得利润90元；3件甲种手工艺品和5件乙种手工艺品，共获得利润105元，再建立方程组求解即可；（2）设甲种手工艺品购进件，则乙种手工艺品购进件，总利润为元，可得，结合甲种手工艺品的进货量不低于乙种手工艺品进货量的，可得：，再结合一次函数的性质可得答案.【详解】（1）解：设甲种手工艺品每件的销售利润为元，乙种手工艺品每件的销售利润为元，则，解得：，答：甲种手工艺品每件的销售利润为元，乙种手工艺品每件的销售利润为元.（2）解：设甲种手工艺品购进件，则乙种手工艺品购进件，总利润为元，则，∵甲种手工艺品的进货量不低于乙种手工艺品进货量的，∴，解得：，∵，∴随的增大而减小，∴当时，获得最大利润，最大利润为：（元），此时进货方案为：甲种手工艺品购进件，则乙种手工艺品购进件，最大利润为：元.24．（2025·云南楚雄·二模）某校积极践行阳光体育特色大课间活动，现需购买一批霸王鞭和小皮鼓．已知购进2套霸王鞭和1套小皮鼓共花费70元，购进3套霸王鞭和5套小皮鼓共花费245元．(1)求购进的霸王鞭和小皮鼓的单价；(2)现需购买这两类运动设备共120套，并且购买霸王鞭的数量要不超过小皮鼓数量的3倍，当购买这两类运动设备各多少套时学校花费最少？最少的费用是多少元？【答案】(1)购进的霸王鞭单价是15元，小皮鼓单价是40元；(2)当购买霸王鞭90套，小皮鼓30套时，学校花费最少，最少的费用是2550元．【分析】本题主要考查二元一次方程组，一次函数，不等式的运用，理解数量关系，正确列式求解是关键．（1）设购进的霸王鞭单价是x元，小皮鼓单价是y元，由此列二元一次方程组求解即可；（2）设购买霸王鞭a套，则购买小皮鼓套，购买两类运动设备的总费用为w元，可得，结合一次函数的增减性，不等式的取值方法求解即可．【详解】（1）解：设购进的霸王鞭单价是x元，小皮鼓单价是y元，根据题意，得，解得，答：购进的霸王鞭单价是15元，小皮鼓单价是40元；（2）解：设购买霸王鞭a套，则购买小皮鼓套，购买两类运动设备的总费用为w元，，∵，∴w随a的增大而减小，∵，解得，∴当时，w有最小值，，，答：当购买霸王鞭90套，小皮鼓30套时，学校花费最少，最少的费用是2550元．25．（2025·云南玉溪·二模）绿茵场！闪电突破！篮筐下！精准投射！热血在奔跑中沸腾！团队在配合中闪光！从2025年春季学期起，云南省义务教育学校课间休息时间全面调整为15分钟，为给学生们丰富课间活动资源，某校计划购买一批足球和篮球．若购买5个足球和8个篮球，需1350元，购买10个足球和4个篮球，需1200元．(1)求每个足球、篮球的价格？(2)若该校计划购买足球和篮球共120个，购买足球的数量不超过篮球数量的且不低于篮球数量的，为使购买的总费用W最低，应购买足球和篮球各多少个？最低总费用为多少元？【答案】(1)每个足球70元，每个篮球125元(2)当购买足球53个、篮球67个时，购买的总费用最低，最低总费用为12085元【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一次函数实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确列出方程组，不等式和函数关系式是解题的关键．（1）设每个足球的单价为x元、每个篮球的价格为元，根据购买5个足球和8个篮球，需1350元，购买10个足球和4个篮球，需1200元建立方程组求解即可；（2）设购买篮球的数量为个，则购买足球的个数为个，则可列出W关于n的一次函数关系式，再根据购买足球的数量不超过篮球数量的且不低于篮球数量的列出不等式组求出n的取值范围，据此根据一次函数的性质求解即可．【详解】（1）解：设每个足球的单价为x元、每个篮球的价格为元，由题意得：，解得：，答：每个足球70元，每个篮球125元；（2）解：设购买篮球的数量为个，则购买足球的个数为个，购买的总费用．由题意得：，解得：，，随的增大而增大，又是整数，当，即时，购买的总费用最低，最低总费用为（元）．答：当购买足球53个、篮球67个时，购买的总费用最低，最低总费用为12085元．26．（2025·云南文山·二模）云南的花种类繁多，色彩斑斓，小月打算在妈妈生日那天买一束百合和康乃馨组合的鲜花送给妈妈，已知买1支康乃馨和2支百合共需20元，3支康乃馨的价格比2支百合的价格少4元．(1)求买一支康乃馨和一支百合各需多少元?(2)小月准备买康乃馨和百合共15支，且康乃馨不超过13支．设买康乃馨m支，买这束鲜花所需总费用为w元．①求w与m之间的函数关系式；②请你帮小月设计一种使费用最少的买花方案，并求出最少费用．【答案】(1)买一支康乃馨需4元，一支百合需8元(2)①；②当购买百合2支，康乃馨13支时，所需费用最少，最少费用为68元【分析】本题主要考查一次函数的应用和二元一次方程组的应用．（1）设买一支康乃馨需x元，一支百合需y元，根据题意列方程组求解即可；（2）①根据康乃馨和百合的费用之和列出函数关系式；②根据函数的性质和康乃馨不超过13支，求函数的最小值即可．【详解】（1）解：设买一支康乃馨需x元，一支百合需y元，由题意得：，解得：，答：买一支康乃馨需4元，一支百合需8元；（2）解：①由题意得：购买百合支，则有，②∵∴w随m的增大而减小，∵康乃馨不超过13支，∴，∴当时，w取最小值，最小值为，∴百合的支数为：，答：当购买百合2支，康乃馨13支时，所需费用最少，最少费用为68元．27．（2025·云南曲靖·二模）某智慧社区计划推广垃圾分类，需采购两种智能设备，智能垃圾桶（T型）：自动分类可回收物；垃圾分拣机器人（R型）：精准分拣有害垃圾．若购买4台T型设备和5台R型设备，总费用为3900元；若购买3台T型设备和2台R型设备，总费用为2050元．(1)求每台T型设备和每台R型设备的单价；(2)若社区需采购两种设备共20台（均需采购），且T型设备数量不超过R型数量的，为使总费用最低，应分别采购T型和R型设备多少台?最低总费用为多少元?【答案】(1)每台T型设备的单价为元，每台R型设备的单价为元(2)采购T型设备5台和R型设备15台时，总费用最低，为9250元【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意列出方程组，不等式组和函数关系式是解题的关键．（1）设每台T型设备的单价为元，每台R型设备的单价为元，根据购买4台T型设备和5台R型设备，总费用为3900元；购买3台T型设备和2台R型设备，总费用为2050元建立方程组求解即可；（2）设购买R型设备台，则购买T型设备台，总费用为W元，根据题意列出W关于m的一次函数关系式，再根据T型设备数量不超过R型数量的，列出不等式组求出m的取值范围，最后根据一次函数的现在求解即可．【详解】（1）解：设每台T型设备的单价为元，每台R型设备的单价为元，由题意得，解得，答：每台T型设备的单价为元，每台R型设备的单价为元；（2）解：设购买R型设备台，则购买T型设备台，总费用为W元，由题意得，∵T型设备数量不超过R型数量的，∴，∴，且m为整数，∵，∴W随m增大而增大，∴当时，W有最小值，最小值为，此时，答：采购T型设备5台和R型设备15台时，总费用最低，最低为9250元．28．（2025·云南昆明·二模）某车企在新能源汽车的制造过程中，需要用到某种规格的动力电池零部件，现有两种供应这种零部件的方案．方案一：从新能源汽车配件生产公司直接定制购买，每个动力电池零部件的单价为10万元；方案二：由车企引进一套汽车配件机器人自动化生产线进行加工制作，车企需要一次性投入生产线建设费用16000万元，且每加工一个动力电池零部件还需支付成本费2万元；设该车企需要使用到这种规格的动力电池零部件的数量为x个，选择方案一需要花费的总费用为万元，选择方案二需要花费的总费用为万元．(1)请分别写出和关于x的函数解析式；(2)如果你是该车企决策者，为了让车企所花费的总费用最低，你认为应该选择哪种方案？请说明理由．【答案】(1)；；(2)当零部件需求量小于2000个时，选择方案一；当零部件需求量大于2000个时，选择方案二；当零部件需求量等于2000个时，两种方案任选，理由见解析．【分析】本题是关于列函数关系式解应用题的题目，关键是找出题目中的等量关系；（1）根据题意列出函数关系式即可，；；（2）分为三种情况：①当时，即；②当时，即；③当时，即，求出即可．【详解】（1）解：；；（2）（2）当时，即，解得，当时，即，解得，当时，即，解得，当零部件需求量小于2000个时，选择方案一；当零部件需求量大于2000个时，选择方案二；当零部件需求量等于2000个时，两种方案任选．29．（2025·云南昭通·二模）绿化树种具有过滤和滞纳大气污染颗粒物的能力，因此成为城市绿化的常用树种，其中榆树和白蜡树因其生长迅速，枝叶繁茂而被广泛种植．已知3棵榆树和2棵白蜡树的滞尘总量为23千克，5棵榆树和4棵白蜡树的滞尘总量为41千克．(1)每棵榆树和白蜡树的滞尘量分别是多少千克？(2)一条新建的城市道路需要种植这两种树，一棵榆树的种植成本是400元，一棵白蜡树的种植成本是200元，种植两种树木的总棵数为60棵，要求滞尘总量不少于280千克，且种植总成本尽可能低，应该怎样种植这两种树才能使种植总成本最低？求出该费用．【答案】(1)每棵榆树的滞尘量为5千克，每棵白蜡树的滞尘量为4千克(2)种植40棵榆树，20棵白蜡树，种植总成本最低，为20000元【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程，不等式和函数关系式是解题的关键．（1）设每棵榆树的滞尘量为千克，每棵白蜡树的滞尘量为千克，根据3棵榆树和2棵白蜡树的滞尘总量为23千克，5棵榆树和4棵白蜡树的滞尘总量为41千克建立方程组求解即可；（2）设种植棵榆树，种植棵白蜡树，根据滞尘总量不少于280千克列出不等式求出m的取值范围，设种植总成本为元，列出w关于m的函数关系式，利用一次函数的性质求解即可．【详解】（1）解；设每棵榆树的滞尘量为千克，每棵白蜡树的滞尘量为千克．由题意得，，解得．答：每棵榆树的滞尘量为5千克，每棵白蜡树的滞尘量为4千克．（2）解：设种植棵榆树，种植棵白蜡树．由题意得，，解得，．设种植总成本为元．由题意得，，随的增大而增大．当时，取得最小值，最小值为，此时．答：种植40棵榆树，20棵白蜡树，种植总成本最低，为20000元．07由二次函数图像性质求参数值与最值30．（2025·云南昆明·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线．(1)试说明点在该抛物线上；(2)已知，是抛物线上的任意两点，若对于，都有，求m的取值范围．【答案】(1)见解析；(2)的取值范围是或．【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键：（1）将代入抛物线解析式进行计算即可判断；（2）先求出抛物线对称轴是直线，分，和两种情况，根据二次函数的性质进行求解即可．【详解】（1）解：当时，，，点在该抛物线上；（2）解：抛物线对称轴是直线，当时，点关于抛物线对称轴对称的点为即，当时，点关于抛物线对称轴对称的点为即，①当，即时，∵，都有，即，∴，，，，②当，即时，同理或，或，，，综上所述：的取值范围是或．31．（2025·云南楚雄·二模）已知关于x的函数(1)若该二次函数的对称轴是直线，求该函数的解析式；(2)当该函数与x轴的交点的横坐标为整数时，求整数m的值．【答案】(1)(2)当该函数与x轴的交点的横坐标为整数时，整数m的值为0或1或．【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，二次函数和一元二次方程的关系，解一元二次方程．（1）根据对称轴是直线，得到，据此求解即可；（2）当时，求得该函数与x轴的交点的横坐标为；当时，利用因式分解法解方程，得到，，据此求解即可．【详解】（1）解：二次函数的对称轴是直线，，解得，经检验，是该方程的解，抛物线的解析式为；（2）解：当时，，由，得，该函数与x轴的交点的横坐标为，是整数，符合题意，m的值为0，当时，函数是二次函数，由，解得，，该函数与x轴的交点的横坐标为整数，即是整数，或综上所述，当该函数与x轴的交点的横坐标为整数时，整数m的值为0或1或．32．（2025·云南昆明·二模）已知抛物线与y轴交于点．(1)求c的值；(2)若m是抛物线与x轴交点的横坐标，且满足的值为60，请求出抛物线的对称轴．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查抛物线的基本性质，包括与坐标轴的交点、对称轴的求解，以及代数方程的解法．（1）将代入抛物线，即可求出．（2）将化简得出，令，则，即，求出，；再分为①当时和②当时分别求解即可．【详解】（1）解：∵抛物线过点，∴．∴．（2）解法一：∵，∴，∴，令，则，即，解得：，；①当时：，解得：，；∴抛物线与x轴的交点为：，，∴抛物线的对称轴为直线；②当时：，即，，∴此方程无解，综上所述，抛物线对称轴为直线．解法二：令，∵，∴，∴，∴，令，则，∴，解得：，，①当时，，即，∴，，当时，，解得：；当时，，解得：．∴抛物线与x轴的交点为，，∴抛物线的对称轴为直线；②当时，，即．此方程无解．综上所述，抛物线的对称轴为直线．33．（2025·云南西双版纳·二模）在平面直角坐标系中，已知点在二次函数的图象上．(1)若，求二次函数的顶点坐标；(2)若对于，有，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)或【分析】本题考查了二次函数的性质，根据抛物线上的点离对称轴越远近，判断函数值大小是解题关键，（1）根据顶点公式求解即可；（1）根据抛物线解析式可得：对称轴，开口方向向上，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，由此得出，根据，得不等式组，分类根据的取值范围化简绝对值解不等式组即可．【详解】（1）解：当时，二次函数为，顶点横坐标为，代入，得，故顶点坐标为．（2）∵抛物线的对称轴，开口方向向上，∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，又∵点，，∴，又∵，∴，当时，不等式组化为，不等式组无解，当时，不等式组化为，解得：，当时，不等式组化为，不等式组无解，当时，不等式组化为，解得：，综上所述：的取值范围为或．34．（2025·云南大理·二模）已知二次函数（是常数且）．(1)若，求出该函数图象的顶点坐标；(2)若该函数图象经过原点，当时，函数的最大值恰好是，求的值．【答案】(1)(2)或8【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．（1）将代入即可得二次函数的解析式，再将二次函数的解析式化成顶点式即可得其顶点坐标；（2）先将点代入求出二次函数的解析式为，再分两种情况：①和②，利用二次函数的增减性求解即可得．【详解】（1）解：当时，，即，将二次函数的解析式化成顶点式为，则该函数图象的顶点坐标为．（2）∵函数图象经过点，∴，∴或（不符合题意，舍去），∴，其对称轴为直线，∴时的函数值与时的函数值相等，即为，由二次函数的性质可知，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大．则分以下两种情况：由①当时，则在内，当时，的值最大，∴，解得，符合题设；②当时，则在内，当时，的值最大，∴，解得或（不符合题设，舍去）；综上，的值为或8．35．（2025·云南临沧·二模）已知二次函数（m为常数）．(1)若该二次函数的图象经过点，求该二次函数的解析式．(2)若当时，在该范围内的函数值y先增大后减小，最大值为p，最小值为q，且，求m的值以及此时函数在处的函数值．【答案】(1)(2)，当时，，【分析】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的图象与性质；（1）把代入即可得到答案；（2）求解顶点坐标为：，如图，函数的对称轴为直线时，可得，如图，当与函数值相等时，可得：，当直线为对称轴时，如图，可得：，再分两种情况讨论即可．【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，∴，解得：，∴二次函数的解析式为：；（2）解：∵，∴顶点坐标为：，如图，函数的对称轴为直线时，∴，解得：，如图，当与函数值相等时，∴，解得：，∴时，如图，此时满足在该范围内的函数值y先增大后减小，此时最大值为，最小值为时的函数值，∵，∴，解得：，∴二次函数为：，当时，，当直线为对称轴时，如图，∴，解得：，当时，此时满足在该范围内的函数值y先增大后减小，此时最大值为，最小值为时的函数值，∵，∴，解得：（舍去），（舍去），综上：，当时，．36．（2025·云南楚雄·二模）已知二次函数为常数，且(1)若函数图象过点，求a的值．(2)当时，函数的最大值为M，最小值为N，若，a的值．【答案】(1)(2)或【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，二次函数的最值，分类讨论是解题的关键．（1）把点代入解析式即可求得a的值；（2）把解析式化成顶点式，即可求得抛物线的顶点为，即可求得时，，进而求得当时，，然后分两种情况列出关于a的方程，解方程即可．【详解】（1）解：二次函数的图象过点，，（2）解：由题意，，抛物线的顶点为，时，，当时，，当时，当时，，，，，当时，当时，，，，，的值为或37．（2025·云南·二模）已知函数（a，b为常数）．设自变量x取时，y取得最小值．(1)若，，求的值；(2)在平面直角坐标系中，点在双曲线上，且．求点P到y轴的距离；(3)当，且时，分析并确定整数a的个数．【答案】(1)(2)2或1(3)整数a有4个【分析】本题主要考查二次函数的性质和点到坐标轴的距离，以及解不等式方程．根据题意代入化简得，结合二次函数得性质得取最小值时x的取值即可；结合题意得到，代入二次函数中化简得，利用二次函数的性质求得a的值，进一步求得点P，即可知点P到y轴的距离；结合已知得等式化简得，结合的范围求得a的可能值，即可得到整数a的个数．【详解】（1）解：有题意知，当时，y取得最小值8；（2）解：∵点在双曲线上，∴，∴，∵，∴，化解得，解得或，则点或，∴点P到y轴的距离为2或1；（3）解：∵，∴，∴，∵，∴，化简得，∴，则整数a有4个．08二次函数与代数式的比较大小38．（2025·云南文山·二模）已知抛物线的对称轴为直线，设抛物线与函数图象的交点的横坐标为d、设(1)求抛物线的解析式；(2)以下结论：，你认为哪个正确？并证明你认为正确的结论．【答案】(1)(2)正确，证明见解析【分析】（1）根据对称轴公式求出a的值即可；（2）由结合两个交点的横坐标为d，可得，再化简m可得，然后根据作差法即可得出答案．【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，∴，则：，∴抛物线的解析式为﹔（2）解：我认为正确，证明如下：由可得：，则：．∵两个函数交点的横坐标为d，∴，即：．∵，∵，∴，而，则．∴，∴﹒∴，∴．【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，函数的交点坐标的含义，分式的化简求值，分式的值的大小比较，灵活的运用以上知识解题是关键．39．（2025·云南昆明·二模）已知二次函数（是常数）的图象过点．(1)求的值；(2)设抛物线与轴的交点为，设．请判断，，哪个成立？并说明理由．【答案】(1)(2)成立，见解析【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征以及分式化简求值．解题关键是熟练掌握抛物线与x轴交点坐标特征．（1）把点代入二次函数，得到关于m的方程，求解该方程即可．（2）先由第一问得出二次函数表达式，根据抛物线与轴交点得到，并变形得到、等关系．对的分子分母进行变形化简，利用前面得到的的关系式，逐步将分式化简求值，判断与的大小关系．【详解】（1）解：把点代入，得：解得：；（2），理由如下：由（1）得，因为抛物线与轴的交点为，∴，从而可得，，，∴，，．∴．40．（2025·云南昭通·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线（为常数）．当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，实数是抛物线与轴交点的横坐标，且，．(1)求的值；(2)请你猜想与的大小关系，并说明理由．【答案】(1)(2)当时，；当时，．理由见解析【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线与轴的交点问题，二次根式的化简，实数的大小比较等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．（1）先确定抛物线的对称轴，再根据对称轴公式即可求解；（2）可得，由实数是抛物线与轴交点的横坐标，得到，则，利用完全平方公式求出，，再化简得到，解得，，那么，再分类讨论求解．【详解】（1）解：∵当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，抛物线的对称轴为直线，，；（2）解：由（1）知，抛物线的解析式为，实数是抛物线与轴交点的横坐标，，则，，，，解得，，，①当时，，，即，②当时，，，即．41．（2025·云南文山·二模）已知抛物线经过点，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，设是抛物线与轴交点的横坐标，记．(1)求抛物线的解析式；(2)比较与的大小．【答案】(1)(2)当时，；当时，【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与x轴的交点问题，代数式求值，解题的关键是熟练掌握以上知识点．（1）利用待定系数法求解即可；（2）首先根据题意得到，求出，，然后整理为，再将分类讨论，即可解答．【详解】（1）解：由题意得：抛物线的对称轴为直线，即，解得：，抛物线经过点，，此二次函数的解析式为；（2）抛物线与坐标轴交于点，，即，解得：，，，，即，，即，，当时，，，即；当时，，；当时，；当时，．09二次函数与几何综合42．（2025·云南楚雄·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．(1)求抛物线的函数表达式，并直接写出直线的函数表达式．(2)若轴与抛物线相交于点E，H是直线下方抛物线上的动点，过点H作于点G，交直线于点F．试探究当点H运动到何处时，四边形的面积最大，求此时点H的横坐标及四边形面积的最大值．【答案】(1)抛物线的函数表达式为，直线的函数表达式为(2)当横坐标为时，四边形的面积取最大值，最大值为【分析】本题主要考查二次函数图象与几何图形面积的计算，掌握待定系数法，几何面积的计算方法是关键．（1）运用待定系数法求解即可；（2）根据题意得到，，设，则，所以，由列式，结合二次函数最值的计算方法得到当时，四边形的面积取最大值，最大值为，由此即可求解．【详解】（1）解：，两点在抛物线上，，，抛物线的函数表达式为，当时，，即，∴设直线的解析式为，∴，解得，，∴直线的函数表达式为．（2）解：∵，轴，∴点的纵坐标为，∴当时，，解得，，∴，，如图所示，设，直线的函数表达式为，，，，，，当时，四边形的面积取最大值，最大值为．43．（2025·云南·二模）如图1所示，抛物线与轴交于点两点，与轴交于点，直线经过点，与抛物线另一个交点为，点是抛物线上的一个动点，过点作轴于点，交直线于点（1）求抛物线的解析式（2）当点在直线上方，且是以为腰的等腰三角形时，求的坐标（3）如图2所示，若点为对称轴右侧抛物线上一点，连接，以为直角顶点，线段为较长直角边，构造两直角边比为的，是否存在点，使点恰好落在直线上？若存在，请直接写出相应点的横坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）P或；（3）存在，2或【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式；（2）先把C点代入直线CD中求出m的值，表示P(m，-m2+2m+3)、E(m，m+3)，当△CPE是以CE为腰的等腰三角形时，然后分分两种情况：①当CE=CP时，②当CE=PE时；（3）先根据点P在抛物线上，G在直线y=x上设P(m，-m2+2m+3)，G(a，a)，如图3，作辅助线，构建两个相似三角形，证明△PHG∽△BNP，则，由两直角边比为1：2列方程组解出横坐标m；如图4，同理列方程组解出m的值．【详解】解：（1）把点的坐标代入抛物线中，得：，解得，所以抛物线的解析式为；（2）把代入，得，所以直线的解析式为：，设，①当时，作，如图2，，，．，，当时，；②当时，，，勾股定理得，，解得(舍去)，，当时，综上所述当三角形是以为腰的等腰三角形时，点P的坐标为或；（3）点P的横坐标为2或．设P(m，-m2+2m+3)，G(a，a)，如图3，过B作BN∥y轴，过P作PH∥x轴，交于N，过G作GH⊥PN，垂足为H，则∠PHG=∠BNP=90°，∴∠NBP+∠BPN=90°，∵∠BPG=90°，∴∠BPN+∠NPG=90°，∴∠NBP=∠NPG，∴△PHG∽△BNP，∴，∵=2，∴=2，∴=2，则，解得：m1=-3（舍去），m2=2；如图4，过P作NH∥x轴，过G作GN⊥NH，过B作BH⊥NH，垂足分别为N、H，同理得：△PNG∽△BHP，∴，∴，∴，解得：m1=（舍去），m2=，综上所述，相应点P的横坐标为2或．【点睛】本题是二次函数的综合应用，考查了利用待定系数法求解析式，二次函数的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，以及分类讨论的数学思想，注意根据解析式表示点的坐标，再由点的坐标表示线段的长，利用等量关系列方程或方程组求解．44．（2025·云南玉溪·二模）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．(1)求该抛物线的解析式；(2)将抛物线的顶点向上平移2个单位长度得到点，点为抛物线的对称轴上一动点，记，求的最小值．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了求二次函数的解析，二次函数的最值问题，解题的关键是求出解析式；（1）将代入中求解即可；（2）求出平移后相应的坐标，利用两点间的距离公式进行列式，再利用二次函数的性质求最值．【详解】（1）解：将代入得：，解得：，．（2）解：，则，将抛物线的顶点向上平移2个单位长度得到点，设，解得：，，设点，则，，当时，取到最小值，为．45．（2025·云南楚雄·二模）已知，是抛物线上的两个不相同的点．(1)求该抛物线与轴的交点坐标；(2)若抛物线关于轴对称，直线过坐标原点，求的值．【答案】(1)(2)4【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的综合，掌握二次函数图象的性质是关键．（1）根据二次函数解析式，二次函数与轴交点的计算即可求解；（2）根据题意解得，分类讨论：①若点都在轴上，由可得或；②若点不在轴上，且直线过坐标原点O，解得，不妨设，则，，根据一元二次方程根与系数的关系得到，，代入计算即可求解．【详解】（1）解：∵，∴该抛物线与y轴的交点坐标是；（2）解：∵抛物线关于y轴对称，∴，解得，①若点都在轴上，由可得或，∴，∴；②若点不在轴上，且直线过坐标原点O，设直线的解析式为，联立，可得，解得，不妨设，则，，∴，，∴；综上所述，．1．（2025·云南·二模）已知反比例函数的图象经过点，则等于（

）A．4 B． C．16 D．【答案】B【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，将代入即可得出a的值．【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，∴，故选：B．【点睛】主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=|k|．2．（2025·云南·二模）反比例函数的图象在第一、三象限，则点在第象限．【答案】四/【分析】本题考查了反比例函数的性质，点所在的象限，根据反比例函数的性质得出，进而即可求解．【详解】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限，∴∴∴点在第四象限，故答案为：四．3．（2025·云南曲靖·二模）在代数中，一元二次方程的一般形式为，