考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷44

考研数学一(概率论与数理统计)模拟

试卷44

一、选择题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)

1、设随机变量X与Y相互独立，且都服从区间(0,1)上的均匀分布，则下列服从

相应区间或区域上均匀分布的是

A、X2.

B、X—Y.

C、X+Y.

D、(X,Y)-

标准答案：D

知识点解析：从第二章题型训练三、7(H)的丫4=*2知，X?不服从均匀分布；应

用独立和卷积公式可知，X+Y与X—Y都不服从均匀分布：由X,Y的独立性

J1,0<x<1,0<y<1,

知，(X,Y)的联合密度f(x,y)=®其他，，0<x<l,0<y<

1因此(X,Y)服从区域口={、y)I0<x<l,OVy〈1}上二维均匀分布，应选

(D).

2、设随机变量X与Y相互独立，其分布函数分别为Fx(x)与Fy(y)，则2=

max{X,Y}的分布函数口⑵是

A、max{Fx(z)»Fy(z)).

B、FX(Z)+FY(Z)-Fx⑵FY(Z>

C、FX(Z)FY⑵.

1

D、2[FX(Z)+FY(Z)]-

标准答案：C

知识点解析：Fz(z)=P{max(X,Y)<z}=PJX<z,Y<z}=P{X<z}-P{Y<z}=

FX(Z)FY(Z),应选(C).

3、设随机变量Xi与Xa相互独立，其分布函数分别为

0,x<0,

X=

尸1(4)=}，0<X<1,F2()«<X<+oc,

1,XN1,，则X1+X2的分

布函数F(x)=

(A)F](z)+Fj(x).(B)।(*)+~^~尸2(”),

(C)-yF|(x)+^F2[X-1).(D)；/(*)+；F2(”-1).

A、

B、

C、

D、

标准答案：D

知识点解析：由题意知Xi为离散型随机变量，其分布律为

尤01

P1I

22F(X)=P{XI+X2<X}=P(XI=0)P{XI+X2<XIXi=O}

+P{X]=1}P{X1+X2<XIXj=l}=JP{X2<xI+PIx2<x-lI=F2(X)+

F2(X-1)}故选(D).

4、设随机变量X和Y,都服从正态分布，则

A、X+Y一定服从正态分布.

B、X和Y不相关与独立等价.

C、(X,Y)一定服从正态分布.

D、(X,一Y)未必服从正态分布.

标准答案：D

知识点解析：(A)不成立，例如，若Y=-X,则X+Y三0不服从正态分布.(C)不

成立，(X,Y)不一定服从正态分布，因为边缘分市一般不能决定联合分布.(B)也

不成立，因为只有当X和Y的联合分布是二维正态分布时“X和Y独立”与“X和Y

不相关”二者等价.故应选(D).虽然随机变量X和一Y都服从正态分布，但是因

为边缘分布一般不能决定联合分布，故(X,一Y)未必服从正态分布.

1

5、已知随机变量X|与X2相互独立且有相同的分布：P{Xi=-l}=P{Xi=l}=T

(i=l,2),则

A、X]与X1X2独立且有相同的分布.

B、xXi与X1X2独立且有不同的分布.

C、Xi与X1X2不独立且有相同的分布.

D、Xi与X]X2不独立且有不同的分布.

标准答案：A

知识点解析：由题设知X]X2可取一1,1,且P{X|X2=-1}=P{Xi=-1,X2=

l)+P{Xi=l,X2=-1)=P{Xi=-1}P{X2=1}-FP{Xi=1}P{X2=-1}

=~+L=~Fxl

442又p{X|=-1,X]X2=-1}=P{X1=-1,X2=l}=,所以

Xi与X]X2的概率分布为从而Xi与X，2有相同的分布且相互独立，故应选(A).

6、已知随机变量(X,Y)在区域D={(x,y)I—1

1

A、P{x+y>0)="4".

1

B、P{xy>0}=V.

1

C、P{max(x,y)>0}=4.

1

D、P{min(X,Y)>O}=T.

标准答案：D

知识点解析：由题设知(X,Y)的概率密度困数为

一,-I<y<l,

/(.")=4

°>其他•由于P{min(X,Y)>0}=P{X>0,

冈

Y>0}=_f(x,y)dxdy故选(D).因P{max(X,Y)>O}=1-P{max(X,Y)<0]=

1-P{X<0,YVO}所以选项(A)、(B)、(C)都不正确.

7、设随机变量X和Y的联合概率分布服从G={(x,y)Ix2+y2&2}上的均匀分

布，则下列服从相应区域上均匀分布的是

A、随机变量X.

B、随机变量X+Y.

C、随机变量Y.

D、Y关于X=1的条件分布.

标准答案：D

知识点解析：直选法.由条件概率密度的定义知，对任意X,只要fx(x)>0,则Y

关于X=戈的条件概率密度为

f(x--===.,IrI,

fy\x(y\=7TrY=2/r2-x

fx(x)_____

0,I”♦，因此，丫关于x=l的条件

分布服从区间，"二上的均匀分布，故选(D).

二、填空题(本题共5题，每题L0分，共5分。)

8、设随机变量X与Y相互独立同分布，且都服从p=3的。一1分布，则随机变

量2=0^乂俾，Y}的分布律为.

8

9

标准答案：---------1-------------------

知识点解析：显然Z也是离散型随机变量，只取0,1两个值，且P{Z=0}=P

I

{max(X,Y)=0}=P{X=0,Y=0}=P{X=0}P{Y=0}=9,P{Z=l}

=】一P{Z=0}=于是Z的分布律为

9、设随机变量x与y相互独立，且P{X=k}=T,P{Y=-k)=A2=l,2.

3),则&=,b=,Z=X+Y的分布律为.

标准答案：11口

3

gp"=k\9

236H

X,Y的分布

律分别为⑪.Z=X+Y的可能取值为-2,—1,0,1,2.由于P{Z=-2)=

P{X+Y=-2)=P{X=1,Y=-3}=P(X=l}P{Y=-3}类似地.P{Z=-1)=

P{X+Y=-1)=P{X=1,Y=-2}+P{X=2,丫=一3}P{Z=0}=P{X+Y=0}

=P{X=1,Y=-1}+P{X=2,Y=-2}+P{X=3,Y=-3)P{Z=1)=P{X=

2)P{Y=-1|+P{X=3}P{Y=-2)P{Z=2}=P{X=3}P{y=-1)=,于

是Z的分布律为

10、从数1,2,3,4中任取一个数，记为X,再从1,…，X中任取一个数，记

为Y,则P{Y=2}=.

13

标准答案：48

知识点解析：根据乘法公式P{X=i,Y=j}=P{X=i}P{Y=jIx=i},i,j=

..:1I113

尸IY=2}=s0+T+|2+16=48*

i=i

II、设随机变量X和Y的联合分布函数为

0,min|x,y|<0,

=min|x,y|,0Wmin|x,y|<1,

1.minix,v|1,则随机变量X的分布函数F(x)为

f0,X<0,

=x.0Wx<1,

标准答案：L，i-

知识点解析：分布函数F(x)是F(x,y)的边缘分布函数：F(x)=F(x,+oo)=F(x,

f0,x<0,

尸(丁)=x.0Wx<1,

1),因此匕，％才1.

12、设(X,Y)〜NQ,g；G2,o2；0),则P{X

1

标准答案：T

知识点解析：由P=0E知，X与Y独立，从而有X—Y〜N(0,2o2),根据对称

1

性，有P{X-YV0}=2.

三、解答题(本题共13题，每题1.0分，共13分。)

13、设随机变量X服从标准正态分布N(0,1),今Y=|X|,求y的概率密度.

标准答案：当yvO时,P{Y<y}=0；当y对时,P{Y<y}=P{IXI<y}=P{-

y0XWy}=0(0-G(・y).于是Y的分布函数FWy)为因当yK)时，Fy(y)=

9(y)+(p(一y)=2(p(y).y的概率密度fy(y)为

知识点解析：暂无解析

14、某个人参加跳高项目的及格选拔赛，规定一旦挑过指定高度就被认为及格而被

入选，但是限制每人最多只能跳6次.若6次均未过竿，则认定其为落选.如果一

位参试者在该指定高度的过竿率为0.6,求他在测试中所跳次数的概率分布.

标准答案：设该人在选双赛中跳的次数为X,显然X是一个离散型随机变量，其

全部可能取值为1,2,3,4,5,6,由于各次跳跃过竿与否互不影响，因此有

P{X=1)=O.6,P{X=2}=0.4x0.6,P{X=3}=0.42x0.6,P{X=4}=

0.43X0.6,P{X=5)=0.42X0.6,P{X=6)=0.45.即X的概率分布为

X123456

P0.60.240.0960.03«40.015360.01024

知识点解析：暂无解析

15、设随机变量X服从参数为人的指数分布，G(z)是区间［0,1］上均匀分布的分布

函数，证明随机变量Y=G(X)的概率分布不是区间［0,上的均匀分布.

标准答案：指数分布的分布函数与区间［0,1］上均匀分布的分布函数分别为

0,X<0,

FC)=一""一>°,CC)=*0CX<1.

0,XC0；

1.4注1.设Y=G(X)的分布函数为

H(x),对于分布函数G(x)易见，当y<0时,H(y)=P{Y<y}=P{G(X)<y}=0；当

心1时,H(y)=P{Y<y}=P{G(X)<y}=1；当OSyvl时,H(y)=P{Y<y}=

P{G(X)<y}=P{X<y}=1-e_Xy.于是，Y=G(X)的分布函数

0,y(。，

H(P)=1-e'Ay,0Wy<1,

LyNL因此Y=G(X)的分布函数不是区间［0,1］上的均匀

分布函数.

知识点解析：暂无解析

X,0Wx<1,

/(x)=2-x.ICx<2,

16、已知随机变量X的概率密度其他•⑴求分布函数

F(x)；(II)若令Y=F(X),求Y的分布函数FY(y),

标准答案:直接应用F(x)=P{Xgx},FY(y)=P{F(X)<y)求

解.

0,x<0,

(J)F(x)=£x[=[/⑺"=

J-8

冈

(II)令Y=F(X),则由0WF(x)W及F(x)为x的单调不减连续函数知(如图

2.1),当y<0时FY(y)=0：当y>l时,Fy(y)=l：当0<y<[*284]时！FY&)=

P{F(X)<y}=P{F(X)<O}+P{OY(y)=P{F(X)<y}=P{F(X)<0}+P{O-l(y))

知识点解析：暂无解析

17、袋中有大小相同的10个球，其中6个红球，4个白球，现随机地抽取两次，

每次取一个，定义两个随机变量X,Y如下：

vrl.第一次抽到红球，=rI,第二次抽到红球，

io,第一次抽到白球，to,第二次抽到白球•试就放回与不放回两种

情形，求出(X,Y)的联合分布律.

标准答案：(X,Y)是二维离散型随机变量，其全部可能取值为(0,0),(0,1),

(1,0),(1,1).⑴有放回抽取，由于X与Y相互独立，则P{X=i,Y=j}=P{X

=i}P{Y=j}，i，j=。，1，P{X=0,Y=0}=P{X=0}P{Y=0}=0.42=0.16,

P{X=0,Y=l)=P{X=0)P{Y=l)=0.40.6=0.24.P{X=1,Y=0}=P{X

=1)P{Y=O}：0.60.4=0.24.P{X=1,Y=1]=P{X=1)P(Y=1)=0.62=

0.36.(H)有放回抽取，P{X=i,Y=j}=P{X=i}P{Y=jIX=i},i,j=0,1,

_2.

P{X=0,Y=0}=P{X=0}P{Y=0IX=0}=>0>9'T?,P{X=0,Y=l)=

171

P{X=O}P{Y=1IX=0}=―,P{X=1,Y=0}=P{X=l}P{Y=0IX=l}=,

P{X=1,Y=1}=P{X=1}P{Y=1IX=l}=,由此可见，无论是有放回还是不放

回抽取其边缘分布律X,Y都相同且都服从参数为0.6的0—1分布，且当有放

回抽取时X与Y独立；无放回抽取时X与Y不独立.

知识点解析：暂无解析

5

a,b,c为常数，且EXY=-0.1,P{X<0IY>2)=8,记2=*+丫.求:

(I)a,b,c之值；(H)Z的概率分布；(W)P{Z=X}与P{Z=Y}.

标准答案：⑴由联合分布性质，有0.l+a+0.2+b+0.2+0.l+c=l,即a+

b+c=0.4.①由EXY=-0.1—2a—0.6+0.2+3c=-0.l=3c—2a=

0.4.②由回3a-5c=-0.7③联立①，②，③，解方程组得a=0.1,b=

0.1,c=0.2.(II)由(X,Y)的联合分布及Z=X+y,可知Z的取值为0,1,

2,3,4.由于P{Z=0}=P{X=—1,Y=l}=0.1,P{Z=l)=P{X=0,Y=l)

+P{X=-1,Y=2}=0.1+0.1=0.2,P{Z=2}=P{X=0,Y=2}+P{X=-

1,Y=3}+P{X=1,Y=l}=0.2+0.2=0.4.P{Z=3}=P{X=0,Y=3}+

P{X=1,Y=2)=0.1,P{Z=4}=P{X=1,Y=3}=0.2,从而得Z的概率分

布为(M)由X,Y的边缘分布可知P{Z=Y}=P{X+Y=Y}=P{X=0}=0.3,

P{Z=X}=P{X+Y=X}=P{Y=0}=P()=0.

知识点解析：暂无解析

19、假设二维随机变量(X,Y)在矩形区域G={(x,y)I0<x<2,OWyS}上服从均

r_fO,若xwy,v=心若*w2Y,

匀分布.记’-匕，若K>丫・-L，若x>2y.⑴求U和V的联合分

布；(D)求U和V的相关系数P.

标准答案：⑴(U,V)是二维离散型随机变量，只取(0,0),(1,0),(1,1)各值，

且P[U=OV=0}=P{X<Y,X<2Y}=P{X<Y}=T,P{U=1,V=0)=

P{X>Y,X<2Y}=P{Y,P{U=1,V=1}=P{X>Y,X>2Y}=P{X>2Y}=.F是

(X,Y)的联合分布为(II)从⑴中分布表看出EUV=P{U=1,V=l}=

知识点解析：暂无解析

20、设二维随机变量(X,Y)在区域D={(X,Y)I0<y<l,YWxgY+1}内服从均匀

分布，求边缘密度函数，并判断X,Y的独立性.

标准答案：依题意，

I。，(x,y)星D.

fdy,0<x<1,

Jo产0x<I,

Zr(«)=ff(xty)dy==卜-1wxw2,

J110,其他，

10,其他

人⑺二广〃7油=[I',0W,=’，OW”1,

JL目，站1。，其他•।.

°，具他由于f(x,

y)#fx(x)fy(y),所以X与Y不独立.

知识点解析：暂无解析

寺(八卦若。<1,0<y<2,

/(f)=

0.若不然.

⑴试求X的概率密度f(x)；

(II)试求事件“X大于Y”的概率P{X>Y}；(ID)求条件概率P{Y>1IX<

0.5).

标准答案：⑴易见，当x)(0,1)时f(x)=0；对于0(II)事件“X大于Y”的概率

(in)条件概率

知识点解析：暂无解析

22、设二维连续型随机变量(X,Y,在区域D上服从均匀分布，.其中口={亿，

y)IIx+yI<1,Ix—yI<1!,求X的边缘密度fx(x)与在X=0条件下，关于

Y的条件密度fYix(yI0).

标准答案：从图3.2可知，区域D是以(一1,0),(0,1),(1,0),(0,一1)为顶

点的正方形区域，其边长为套,面积SD=2,因此(X,Y)的联合密度是口根据

公式fvix(yIx)=(fx(x)#0),当x=0时,有

知识点解析：暂无解析

23、已知(X,Y)的概率分布为

的概率分布；(D)记Ui=XY,V|=Y,求(Ui，V。的概率分布；(HI)记U2=

max(X,Y),V2=min(X,Y),求(U2，V2)的概率分布及U2V2的概率分布•

标准答案：应用矩阵法求解，由题设得

11211

Pnt..

l66666

（x,y）(-1.-D(-1,1)(0,-1)(0.1)(1,1)

z=x-丫0-21-10

ux=XY1-1001

A

匕v二71-1001

:1

C2=max(X,Y)-1101