考研数学（数学三）模拟试卷418

考研数学(数学三)模拟试卷418

一、选择题(本题共8题，每题7.0分，共8分。)

工KO,

1、设〔0，工=0,则f(x)在点x=0处().

A、极限不存在

B、极限存在但不连续

C、连续但不可导

D、可导

标准答案：C

知识点解析：可利用下列结论判别之.设

/(X)=.

0,”=则当a>0时，f(x)在x=0

处连续；当a>l时f(x)在x=0处可导.当a>p+l时，f(x)的导函数在x=0处连

续.由上述结论知a=l；2>0,因而f(x)在x=0处连续但不可导.仅(C)入选.

“、fxt+2x+3»工40

/(x)=

2、已知函数1x>0在(一双十8)内连续可导，则().

A、a=2,b=3

B、a=-2,b=-3

C、a=3,b=2

D、a=一3,b=--2

标准答案：A

知识点解析：下面介绍一个简化左、右导数计算的方法：⑴设f(x)在[xo,xo+5](5

limlimfix')i

>0)上连续，在(xo，xo+6)内可导，且L埼r(x)存在，则f+'(xo)=LN；(2)设

lim

f(x)在[xo—，xo]/>0)上连续,在(xo—3,xo)内可导,且—可r(x)存在，则f

lim『(x).

'(X0)=LM可用上法求之，也可用左、右导数定义求出a、

f4(0)=lim(az+b)'=lima=a,

JT-»O^JT-♦O4

f_(0)=lim(X2+2X+3)Z=lim(2x+2)=2.

b.LO-u因f(x)在x=0处可导，故f

一'(0)=f+'(0),即a=2.又因f(x)在x=0处连续，故f(O+O)=f(O—0),即

lim(x24-2x4-3)=lim(ax+W=lim(2工+6),

A。—故3=b.仅(A)入选.

.

ylrrxclz=().

3、U1.

A、1/e-1

B、1一1/e

C、2/e

D、2(1—1/e)

标准答案：D

知识点解析：为去掉根号，需分区间积

原式=Jyin2xdz+|yin^xdx

=f(―lrLr)(lr+|Inxdr=一jInxdx+jinxdx

Ji/«

=+(1-号+elne-(e-l)=2-1.仅(D)人选.

分.

4、方程y”一3y,+2y=excos2x的特解形式y*=().

A、Aexcos2x

B、xcx(Acosx+Bsin2x)

C、ex(Acos2x+Bsin2x)

D、x2ex(Acos2x+Bsin2x)

标准答案：C

知识点解析：先求出其特征根，再考察l±2i是否是其特征根.因f(x)=eXcos2x,

X=l,co=2,需考察l±2i是否是特征方程的根，因特征方程/一3什2=0的根为

口=2,「2=1，故l±2i不是它的根,其特解形式为y*二e、(Acos2x+Bsin2x).仅(C)入

选.

5、设A是mxn矩阵，齐次线性方程组AX=0,r(A)=n—5,囚，以，，«4

(15是该方程组5个线性无关的解向量，则方程组AX=0的一个基础解系是().

A、Q1+Q2，a2+(X3，Q3-Q4，04+015，。5+囚

B、ai一（X2，ct2+a3，03+04，04+015，015+ai

C>ai一Q2，C12一a3，。3一04，04+。5，。5+%

D、ai-«2，(X2-03,Q3一04，04-015，(X5一01[

标准答案：A

知识点涵析：上述各选择项中的向量均为AX=0的解向量，这是显然的.关键要确

定哪一组向量线性无关.可利用下述结论观察求出：已知向量组a],a2,

Os（它2）线性无关，设Bi=ai±a2，口2=。2土a3，…，氏一i一-1±%，ps=asiai?其

中s为向量组中的向量个数.又设上式中带负号的向量个数为k,则（1）当s与k的

奇偶性相同时，向量组内，彷，…，侨线性相关；（2）当x与k的奇偶性相反时，

向量组仇，例，…，仇线性无关.由线性相关的定义易知，选项（D）中向量组线

性相关.因（ai—a2）+（a2一。3）+（013一O4）+（O4一。5）+（。5一。1）=0，至于（B）、（C）

中的向量组也可用矩阵表示法证明线性相关.例如对于（B）.有[四一a2,

a2+a3,013+04，04+(15,a5+«]]=[ai，CQ，as04，«5]

looor100°110001

1001

-11000-1100001001

”,1100

01100»而01100A1A1XVCVC-一

1:0110

00110001100110

0011

.00011.000110011

1001

10-1

n+(-Un010-1

=110

0110

011

0011

1•1••1•14-0-0-0-0=0,

故选项（B）中向量组线性相关，同理，可证选项（C）中向量组也线性相关.

6、已如A,B为三阶矩阵，且有相同的特征值1,2,2,则下列命题：①A,B

等价；②A,B相似；③若A,B为实对称矩阱，则A,B合同；④行列式|A一

2E|=|2E-A|中，命题成立的有（）.

A、1个

B2个

、

C3个

、

D4个

、

标准答案：C

知识点解析：要充分利用特征值的作用，它可以确定矩阵的秩，可以确定矩阵的行

列式.利用这些可检验上述诸命题.由题设知A,B的秩相同，r（A）=r（B）=3,因

此A,R等价：若A,R为实对称矩阵，则其JF负惯忤指数相同,从而A,R合

同；矩阵A—2E与2E-A均有一个特征值为零，故行列式|A—2E|=|2E—

A|=0.但由A,B有相司的特征值，推导不出A,B相似，故仅（C）入选.

八"(A)AUB=。(B)AB=0

(C)A-B=0(D)ABUAB=n

().

A、

B、

C>

D、

标准答案：C

知识点解析：利用事件的运算性质(摩根律等)判

由AUB=AUB得到

BU(AUB)=BU(AUB),

即BU%=nUA=n,

别故瓦策=报即BA(利用了德摩根律)=0,亦即A—B=0.仅(C)入

选.

8、设总体X〜N(N，O2),其中N已知，『>0为未知参数，X[,X2，…，Xn是来

自总体X的样本，则£的置信度为1一a的置信区间为

().

fl■。n

2

rS(X.-X)

(A)i工191(B)

！

x/z(n—1)Xi-«/:(n—1).X»/2(n)X1-./2(n)1

・■

£(乂一“E(x,一4]应(X,一“玄

(C)i-l31(D)1-1t-1

.xl/t(n—1)Xi-./:(n-1)1X»/2(n)Xi-»/2(n)

A、

B、

C、

D、

标准答案：D

知识点解析：N已知，找出服从X?分布的统计量，再利用置信度的定义，列出关

系式，解出。2所满足的不等式即为所求.由于N已知，取统计量

方叼"〜”.

"I/于是由置信度的含义得到

P(xU2(n)&£(X紧"V£z(〃))=l-a,

£-“23)/故相的置信度为1—a

的置信区间为选项(D)中的区间，仅(D)入选.

二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)

1dx

°yr+^

9、

色.

标准答案：33

知识点解析♦：被积函数为无理式,先作变量代换化为有理式后再计算.用换元积

2

分法，作变量代换£=，1+右，于是乂=«2—1)2,dx=4(t-l)tdt.当X从0变

产依"二3J4

原式=(?一Ddr

=4惇-3：=一5返+寺・

到i时，i从i变到&,从而

10、函数、=辰寸在区间[0,2]上的平均值为.

标准答案：1

[>/2ax—x2dx及f2ax—x2dx

知识点解析：要充分利用定积分J。J。的几何意

义计算有关的定积分.前者表示圆(x—a)2+y2=a2在x轴上方部分的1/2,其值为整

个圆面积的1/4,而后者为整个圆面积的1/2,即

[*j2ax—Irrdx=^7-,f>/2az—dr=

Jo4Jo4所求的平均值为

，=kJ。"一”•由定积分的几何意义即得

y=^-77fV2x-xzdx=A/2X-x2dx=yS

4-UJo4Jo4

=L•-K•l2=--»

224其中S是圆(x—

l)2+y2=l在x轴上方部分的面积，半径a=l.

1+z2

11、设f(x)=arctan1一父则R02)(o)=.

102!

标准答案：飞了.

知识点解析：函数f(x)在一点的高阶导数常用f(x)的泰勒展开式求

之.

，(力=[rctan客)’=信

厂企⑦…小”

2(-1尸•2・14+,Ix|<1,

/(x)一/(0)=£/(x)dx=冬J：(一D・2z，fdx

则

=2.舟-…

4号--

于是=/与霜—.忆|〈】•

/3①

又f(工)=S②

■■071•

比较式①与式②中/02中的系数，它们应该相等，于是有

g(0)=(1)”1

102!2.25+151

102!

y<i02)(0)

故言・

12、已知yt=ci+c2at是差分方程yt+2—3yt+i+2yt=0的通解，则a=.

标准答案：2

知识点解析：用特解代入法确定之.将yi=ci+C23代入方程，有ci+c2a"2—

3(c।+C2at+1)+2(ci+C2al)=0»即a?—3a+2=0,解得a=l,2.其中a=l时，

yt=ci+c2.实际上它只是一个任意常数，不构成该差分方程的通解，舍去，故

a=2.

13、已知四，皿,四是四元加齐次线性方程组人乂山的3个解，其中2al一

«2=|0,2,2,2],，ai+a2+a3=[4,-1,2,3],,2a2+a3=[5,-1,0,1]T,秩

(A)=2,那么方程组人*4的通解是.

TTT

标准答案：[0,2,2,2]+k|[-1,0,2,2]+k2[-5,7,6,5]

知识点解析：利用方程组解的结构及其性质求之.因为n—r(A)=4—2=2,所以

方程组AX=b的通解形式为a+kir|i+k2n2，其中a为AX=b的特解，rp，Q2为

AX=O的基础解系.因此，下面应求出AX=b的一个解及AX=O的两个线性无关的

解.根据解的性质知，2ai-a2=ai+(ai一«2)一[0,2,2,2]「是AX=b的解，而

(ai+(X2+a3)一(2a2+a3)=a)一a2=[一1,0,2,2]i＞是AX=0的解.3(2ai一g)一

(2a2+a3)=5(ai-a2)+(ai-a3)=[-5,7,6,5]r是AX=0的解.显然[一I,0,

2,2]r与[-5,7,6,5]i■线性无关(对应分量不成比例).因此，方程组AX=b的

通解为[0,2,2,2]T+ki[-1,0,2,2『+k2[—5,7,6,5]T,其中ki,为任

意常数.

14、设随机变量X在区间[-1,3]上服从均匀分布，则|X|的概率密度是

1/2,0<x<1,

-1/4,14工V3,

标准答案:0,其他.

知识点解析：先求|X|的分布函数Fpq(x尸P(|X区X),再求f|x|(x).当xSO时，

F|X|(x)—P(|X区x)—P(0)—0,当0Vx<l时，F|X|(x)-P(|X|<x)-P(•x<X<x)-j

2

4当ISxV3时，F|X|(x)=P(|X|<x)=P(-1<X<1)+P(1<X<x)=

当xN3时，F|x|(x)=l.练上得到

0,•r40,

z/2,0<x<1,

FIXI(x)=v

l/2+(z-l)/4,14zV3,

1,

(1/2,0<x<1,

f\x\(x)=F/IXI(x)=J1/4,

14zV3.

I0.其他.

三、解答题(本题共8题，每题7.0分，共8分。)

15、求J()2|x一九|dx(入不为常数).

标准答案：当心0时，fo2x|x-X[dx=Jo2x(x-X)dx=

心'&浦=§_2入

L32」。3当0V九V2时，Joi,-dx=Jo'x(I—x)dx+J/x

旦一2人+口,一§

(x一人)dx33当桓2时，fi2x|x—X|dx=fo2x(X—x)dx=3

十2入.

知识点解析：要根据大的不同的值，去掉被积函数的绝对值符号.由|x—入1=0得

至I"产x,而xW［0,2］,因而要根据KO,0V九V2及后2三种情况讨论.

16、已知F(x),g(x)连续可导，且P(x尸g(x),g,(xi=f(x)+(p(x),其中(p(x)为某已知

连续函数，g(x)满足微分方程gXx)-xg(x)=cosx+(p(x),求不定积分Jxf<x)dx.

标准答案：因为Jxf<x)dx=Jxdf(x)=xf(x)--fxf(x)dx=xg(x)—(p,(x)+(p(x)+C=-

cosx+C.

知识点解析：从不定积分JxF(x)dx的形式：被积函数含有导函数为因子函数，可

用分部积分法求之.

17、设0Va<兀/2,证明存在一点乐⑶n/2),使得

=0.

标准答案：将以上三阶行列式的第1行的3个元素分别视为函数x2,sinx,Jo'e'

dt在自处的导数值.验证F(x)在区间⑶

加2］上满足罗尔定理的条件.对F(x)在［a,兀/2］上使用罗尔定理即可证明待证等式。

则F(a)=0(因F(x)中第1行与第3行相

同)，F(TI/2)-0(因F(x)中的笫1行与笫2行相同).显然F(x)在⑶兀/2］上连续，在

（a,加2）内可导，因而F（x）满足罗尔定理的所有条件.对F（x）在|a,兀/2］上使用罗尔

co艾/

K/41Je-rdt

a2sina|e'dt

定理知，存在乐(a,7t/2),使F七)=0,即J。

知识点解析：暂无解析

400匚

18、设某种商品的销售量Q和价格P的函数关系是Q=P+4'成本C与产量Q

的函数关系是C=Q2+10Q+50.（1）求利润L与销售量Q的函数关系；（2）求使利润

最大的销售量及最大利润.

标准答案：将利润仅表示成Q的函数关系，为此需将价格也要写成Q的函数，然

后按极值（最值）的一般求法求出.（1）由销传量Q与价格P的函数关系可解出

p=3-4,

Q+5故利润L与Q的函数关系是

L=PQ-C=^^-Q-10Q—50,

其中Q>o.

（）黑一普-。,

(2)令L'Q=2Q3

可得到

L”（Q）=一箭飞。，可见“）是L的极大值，由

唯一驻点Q=5.又因

极值点的唯一性知，L（5）就是L（Q）的最大值，且最大利润为maxL=M5）=75.

知识点解析：暂无解析

19、某种商品t时期的供给量，和需求量Di与R的关系分别为8=3+2Pt，D=4一

3Pt-i,又假定在每个时期中St=Dt,且当t=0时,Pi=Po,求价格随时间变化的规

律.

标准答案：由题设条件可得一差分方程R+（3/2）PLI=1/2=（1/2）.I*.因特征根九=

-3/2邦=1,故可设特解Pt*=A.由St=Dt得3+2Pt=4--3Pt-i,即

P+J-p__包

212•此为一阶常系数线性非齐次差分方程.由于a=2/b=l,故方

C（二3丫

程特解为P；=A.代入方程得A=l/5.对应齐次方程的通解是V2J于是该题

P尸/+c（三），

的通解为其中C为任意常数,利用初始条件t=o时,

L

PkPo,求出常数C=Po-T则价格随时间变化的规律为

知识点解析：暂无解析

20、己知A,B为三阶丰零方阵,

1391

A=206

1

又知

01a

A1ft=2

-1

方程组BX=0的3个解向量，且AX邛3有非零解.⑴求a,b的值：⑵求BX=0

的通解.

标准答案：(1)因B#),故r(B)Nl,因面BX=0的基础解系所含解向量的个数为n-

r(B)S3—1=2个，而仇，例，03均是BX=0的解，故仇，伤，。3必线性相关，于

0a

121=0,

10

是|仇,也,p3|=T解得a=3b.又Ax邛3有非零解，即的可由A

■r-31r9-

6=202=0，。3=6

的3个列向量L3.J」L-7」线性表示，由观察易看出

a3=3ai+2a2.可见，风可由cq,012线性表示，因此饱，ai,a2线性相关，于是

b13

120=0,

103，ai，a2|=°解得b=5,从而a=15.(2)由题设r(B吐1,于是

3一r(B)W2,又已知Pi.班为BX=0的两个线性无关的解,故3—r(B巨2,所以3

-r(B)=2,Pi,也即可作为BX=0的基础解系,故通解为X=kiBi+k2P2(k|,k2为

任意常数).

知识点解析：因r(B以,故由，为，饱必线性相关.又由AX邛3知，饱可表示为

A的3个列向量的线性组.由这两个线性关系式可求出a,b.

4x>,0<X<1,0<><1,

/(“，》)=〈

0,其他.

(I)问X,Y是否独立？(2)分别求

U=X2和V=Y2的密度函数fu(u)和fv(v),并指出(U,V)服从的分布；⑶求

P(U2+V2<1).

J2z,0V工V1,

标准答案：(l)fx(X)=kon+8f(x,y)dy=l°，其他'£丫(丫)=19+华仆,

J2y.0<><1,

y)dx=l°，其他.由于f(x,y)=fx(x).fyiy)，(x,y)6R2,

故X,Y相互

独立.(2)Fu(u)=P(U<u)=P(X2<u)=?<-fx(x)dx

0,u<0

Mf。，“vo,

=Q02zdx,O<U<1I

=t1,

f2xdx,u>11，u>1»

IJo

o《Yi,

所以fu(“)=RF(“)=《

I。，其他.

04Y1,

同理，可得

其他.

由于X,Y相互独立，所以U=X2和V=Y2也相互独立，从而(U,V)的密度函数为