考研数学（数学三）模拟试卷404

考研数学(数学三)模拟试卷404

一、选择题(本题共7题，每题7.0分，共7分。)

、日f(e^—l)d/»p(x)=J\+tanz—+sinz

1、设a(x)=」0当x-0时，a(x)是p(x)

的()

A、等价无穷小.

B、同阶但不等价的无穷小.

C^局阶无穷小.

D、低阶无穷小.

标准答案：B

知识点解析：用洛必达法则直接比较a(x)与0(x)时计算量较大，分别与xk去比较

会简便一

些.

塔必达法则../一】等价无穷小替换”11

Itm--------；---------1lim・；,二.—-hm=丁Im-TZT<

ux*DkzukxkDJT

取A=3,上述极限为!.所以当xf0时,aCz)〜

JM

时/l+tanz-/l+sinr_11mtan工一sinz

…-1+tan工+/1+sinz)

1||m(1-83z)sinN

2IX-CO3X

等价无穷小蜂十所马

4x-oy

取〃=3,上述极阳为十•所以当—0时木工)〜.

从而知，当X-0时，a(x)与0(x)是同阶但不等价的无穷小，故应选(B).

2、设g(x)在x=0的某邻域内连续且I彳4.又设f(x)在该邻域内存在二阶

导数且满足x2f'(x)-[f(x)]2=xg(x).则()

A、f(0)是f(x)的极大值.

B、f(0)是f(x)的极小值.

C、f(0)不是f(x)的极值.

D、f(0)是否为f(x)的极值要由具体的g(x)决定.

标准答案：B

知识点解析：

当“工0时,g(z)=x•哼^，由于g(x)在z=0处连续，

g(0)=limg(x)=lim[z•8?)]=0X~=0.

所以

C/(0)r=0*/*(0)-0•g(0)=0.即/(0)=0.

八。)=hm3中3%加八方

IX-0I

=四+㈣呼=对".二个町+1

=LT⑹了++(存在).

即

[八0)了一/7o)++=o,[.(o)T了=0，

/*（0）=—>0.

4所以

f(0)为f(x)的一个极小值.

m』.，则级数次(T尸一

3、设an>0，且当n-8时，an〜n(l+打)•->()

A、条件收敛.

B、绝对收敛.

C、发散.

D、敛散性由具体的an决定.

标准答案：D

知识点解析：举例说明敛散性由具体匕力决

设/=覃77』，显然七(-1尸&条件收敛，•

inQi十n)公

设。"二I'/i\+(-1)",，显然当"f8时皿~，且。・>0.

In(1+n)nln(14-n)

而

也因为总导篙条件收敛发散厮以多[导篙一切发机

人,,.lime1(fe-fIdr+a)

4、设a与b是两个常数，且一十8'J。/=b,则()

A、a为任意数，b=0.

G

B、a=-2,b=0.

C、a=0,b=l.

D、b=0.

标准答案：B

知识点解析：

四为「皿0r=+8,由题设，“吗1(L'e-d/+。)存在,故必有1见d/+a)=0,

所以a=-limfe"ck——fe"d/=一勺.

利用洛必达法则，得

小,㈣/(「厂市一4"独丘誓

应选(B).

5、已知n阶矩阵A和n阶矩阵B等价，则必有()

A、A+E和B+E等价.

B、A?和B?等价.

C、AB和BA等价.

D、一2A和3B等价.

标准答案：D

知识点解析：n阶矩阵A和B等价，故r(A)=r(B).r(A尸r(—2A)=r(B尸r(3B),故一

I

2A和3B等价，应选(D).取A=L-1JL1J,「(A)=r(B)=2,但

r(A+E)^r(B+E)=2,A+E和B+E不等价，故(A)不成立.取A二

rlonroli

-00」'-Lo0」，r(A)=r(B)=l,但(\2)=1内田2)=0,A?和B?不等价，故(B)不

成

立.

取HA。卜⑷=NB)=1.但.)=，(［；：］匚

NBA)=『(［_：_：］［；1)=r［，2,2］=1'm和8A不等价'故")不成立•

由排除法，应选(D).

6、设随机变量X与Y相互独立且都服从参数为入的指数分布，则下列随机变量中

服从参数为2X的指数分布的是()

A、X+Y.

B、X—Y.

C、max{X,Y).

D、min{X,Y).

标准答案：D

知识点解析：利用服从指数分布的充要条件或必要条件来判

x>0.

X〜EGDu/g-I"，">°^F(X)=

10,其他lOt其他，

所以

因为E(X+Y)=Z,E(X-Y)=0,即可判断选项(A)、(B)不成立.

断.*

(r)->vZ-

若Z|=max{X,Y),则也<<)==2[Fx(z)]fx(z)=2(l-e)Xe

”所以(C)不正确.若Z2=min{X,Y},则以(二.1-口-鼠⑷了,危(土工口

-Fx(z)]fx(z)=2e-Xz.入《一屹=2就—2%⑼正确.

7、设Xi，X2，…，Xn是来自总体X的简单随机样本，EX=RDX=1,下面说法

中正确的是()

A、布(X-〃)〜N(O,|).

B、E(*)=/.

P/IX-<"£)>1.......-

c、由切比雪夫不等式知1"/次'伯为任意正数).

D、若N为未知参数，则样本均值X既是卜|的矩估计，又是p的最大似然估计.

标准答案：C

知识点解析：题中并没有正态分布条件，所以排除(A)、

(B)中,E(*)=DY+(戌/=煞+(EX/=1+/K〃，注意或2*(£x)2.

nn

(C)中,P{|T—〃|)64孚=人(〃=夙)，故P{|下一--

(D).•燃ne

故选(C).

二、填空题(本题共6题，每题7.0分，共6分。)

广,(利也所确定,则却…

8、设y=y(x)是由方程/\_________

标准答案：一2兀

知识点解析：将x=0代入xJ/TsiiA旬)出中，得y=l.再将所给方程两边对x求

1=sin?[手(了一~1).

于是了’=esc2[今(、―4)]+1.

导,得y"=_2c^”(y_N)]cot[?y_R)]・£«_l)7,

x=0,y=l代入，得y'Ix=o=3,y"Ix=o=——2兀

arctan工必

.

JL-i_Xi2

rn

标准答案：42

知识点解析：用分部积分

=一(。一彳)+『c一击加

-*Inx—i-ln(l-bx2)J|

=孑-In1r=-y+0—In-Ji=-7-H-In2.

44/TT?i47242

y(£)dt

lim0

10、设y=y(x)是由y3+(x+l)y+x2=0及y(0)=0所确定,则(xx(l--cosx)

2

标准答案：3

0

知识点解析：此为“6'型.求导中要用到y'(0),y"(0)等等，先求出备用.由

y3+(x+l)y+x2=0,有3y2y'+(x+l)y'+y+2x=0.以y(0)=0代入,得0+y'(0)=0,有

yX0)=0.再求导，6y/产+3y2y”+y，+(x+l)y”+y-2=0.以y(0)=0,y，(0)=0代入,

hm争=lim晔=—系

有0+0+0+y"+0+2=0,y"(0)=-2.

11、微分方程(x+y)dy+(y+l)dx=O满足y(l)=2的特解是

标准答案：2(y+D夕+1

dr+jr__y

知识点解析：将方程改写为方"一一y+】，将X看成函数，此为x对y的一

阶线性方程，代入通解公式，得

工=e/气-J卡⑶"+C)=卡(-专+C)=—^+舟.

再由初始条件u=1时，3=2•得C=5,所以X=一丁

2(Ey+KDy+1

■123_

2-11

12、设A=「31一力，B是2x3矩阵，满足BA=O,则B=

7k

.......K7152」，其中匕1是任意常数

知识点解析：由题设BA=O,两边转置，得(BA)T=ATBT=O,故P的列向量，是

方程组ATX=O的解，对人丁作初等行变换，

ATX=0的通解为M1,7,5)T,其中k是任意常数.

11k-

t职7kl

7鬲7k，故B其中际.八是任意常数.

2kt7kt54」'

5M53

13、某单位员工中有90%的人是基民(购买基金)，80%的人是炒股的股民，已知在

是股民的前提条件下，还是基民的人所占的比例至少是_________.

标准答案：0.875.

知识点解析：设事件A、B分别表示员工是基民、股民，依题意P(A)=0.9,

P(B尸0.8.P(AB)=P(A)+P(B)—P(AUB巨P(A)+P(B)—1=0.7,因此P(AIB)二

P(AB))0.7

P(B)1。.8=0.875.

三、解答题(本题共9题，每题L0分，共9分。)

14、过坐标原点作曲线y=ex的切线，该切线与曲线y=ex及x轴围成的向x轴负向

无限伸展的平面图形记为D.(1)求口的面积人；(II)求D绕直线x=l旋转所成

的旋转体的体积V.

标准答案：设切点坐标为p(xo,yo),于是曲线y=e在点P的切线斜率为

«=g•

切线方程为y-g=-(N-西)，它经过点(0,0),所以一yo=

一劭■.又因3=修，代人求得xo=l,从而仙=片二e,切线方程为y=ex.(I)取水平

条面积元素，

A=JodTny)dy=(^―+|=£+limjinyc

(积分［：lnydy为反常积分.limjlny=。来自洛必达法则)

(U)D绕直线z=1旋转基所成的旋转体的体积微元为

dV=［贡(1-In,)2一贯(1一£)］由，

V=Qn2>-21ny+g-+

从而加

"（yin。-4yln3+仃+?一备）|二匕

知识点解析：暂无解析

15、(I)叙述并证明费马(Fermat)定理(即可导函数极值点的必要条件)；(U)叙

述并证明极值的第一充分条件.

标准答案：(I)费马定理：设f(x)在x=xo处可导，并且f(xo)为f(x)的极值，则必有

f(xo)=o.证明：设f(x)在X=X0处可导,故存在X=X0的某邻域U(xo)，使得f(x)在

U(xo)内有定义.又设f(xo)为f(x)的极值(不妨认为f(xo)为f(x)的极大值)，故知又存

/CrQUUGr。),有

/(x)</(Xo),J6V(xo).

从而

〃\Cf工e认No)且z〈No,

f(j)—/(Xo);

”一口Ivo,z6”zo)且“>劭・

令工一刈取极限，有

/(zo)=lim』(.二/8C.0,

L百工一曲

%(zo)=lim.-―/g40.

因人1)在N=Z0处可导，即

/(力一/(否)

lim=，(加)(存在).

在X=XO的一个邻域一气

故r.(xo)=『+(xo),所以r(xo)=o.(I)证毕.(II)极值的第一充分条件定理：设f(x)

在X=XO处连续，且在X=XO的某去心邻域Sxo)内可导，若在0的左侧

次4)内/Cz)>0(V0),右侧立(布)内f(x)<0(>0),则f(x)在X=xo处取得极大值

(极小值)f(xo).证明：只证括号外情形，括号内情形是类似的.设xd>(xo)且XV

X0，由拉格朗日中值定理，f(x)-f(xo)=f(^l)(x—X0)<0,X〈S〈XO，若X€&KO)且

X>xo，则有f(x)—*f(xo)=r&)(x—xo)VO,x>52>xo.所以当xcaxo)但x^xo

时，有f(x)—f(xo)VO,从而知f(xo)为f(x)的一个极大值.举例说明定理的条件是

〃,//(l+sin9),1r0,

/(x)x

充分而非必要的.例：取1°，工=6易见，存在x=0的去心

邻域0(0),当工£0时，f(x)>f(o),故x=0是f(x)的极小值点.但当x#0时，

’(工)2x(14-sin)cos无论取出0)多么小，当x—»0时，f(x)的第一项趋于

0,而第二项cos》在一1与I之间振荡，所以f(x)并不保持确定的符号，并不满足

充分条件，f(0)仍可以是极值.

知识点解析：暂无解析

z

16、设z=f(x,y),z=g(y,z)+(p()),其中f,g,(p在其定义域内均可微，计算中

dz

出现的分母均不为0,求石.

标准答案：复合关系复杂，又夹有隐函数微分法，用微分形式不变性解比较方

便.由z=f(x,y),有dz=f|dx+f2dy.(*)

由N=g(y,z)+a(t),有

J

业=g；dy+区dz+/•—.

y

解得

y❷一呼

代人(*)式中再解出李，得

dr

dz__一碑:土—

业了了一方罕否用H

知识点解析：暂无解析

17、设f(x)在区间(0,1)内可导，且导函数r(x)有界，证明：级数

绝对收敛.

标准答案：

在［］今,十］上，由拉格朗日中值定理有

故|/（十）一/（二3）|《祭

其中"⑺I&M,所以£［/（｝）-/（壬）］绝对收敛.

知识点解析；苗无解析

18、某人向银行贷款购房，贷款Ao（万元），月息r,分n个月归还，每月归还贷款

数相同，为A（万元）（此称等额本息还贷，目前各银行都采用这个办法还贷）.设至

第1个月，尚欠银行yt（万元）.（I）试建立y（关于t的一阶差分方程并求解；（II）

利用t=n时yt=0,建立每月应向银行还贷A（万元）依赖于n的计算公式.

标准答案：（I）设至第t个月，尚欠银行贷款八（万元），再经一个月，本息共计欠

贷（l+r）yi（万元），还了A（万元），尚欠（l+r）yLA=y1+1，即y1+i—（l+r）yi二一

A.此为一阶常系数线性差分方程，解之得通解

y.=以1+b+。.

初始条件为g=Ao.从而C=A。-g,于是得特解为

y=（4-?）（i+ry+g.

（n）因，=〃时y,=0.代人上式，得

0=（A）—+

得

A=Ao」1+一―

—（l+r）--r这就是每月应还贷的数

额.

知识点解析：暂无解析

TT

19、设向量组⑴ai=（l,2,一1）,（12=（1,3,一1）"a3=（一1,0,a—2）,

（ii）pi=（一I,一2,3）T,仞二（一2,—4,5）1，03二口，b,-1）T.设A=（ai，ot2,

a3）,B=（pi，的，饱）.问（I）a,b为何值时,矩阵A,B等价;a,b为值何时,

A,B不等价；（U）a,b为何值时，向量组（i）,（ii）等价：a,b为何值时，向量组

⑴，（ii）不等价.

标准答案：（I）A=B<-->r（A）=r（B）.将增广矩阵（AIB）一起作初等行变换,

当aW3且b/2

时，r(A)=r(B)=3,AwB；当a=3且b=2时,r(A)=r(B)=2,AwB；当a=3,b先或

a壬3,b=2时,r(A)/r(B),A,B不等价.(D)(i)三(ii)«-->apaz，a3和pl，p2，。3

可以相互表出《~>（ai，a2,a3）X=pj,i=l,2,3,（pi，%的）丫=叫,i=l,2,3均

有解<——*r（ai，。2，a3）=r（ai,8,«3»pi），i=l»2,3,r（pi，仞，p3）=r（pi，仇，

饱,四），i=l,2,3«——>r（ai，g,a3）=r（Pi，仅，03尸r（ai，。2，a3IP1»02,

03）.a，3且b,2时，r（ai，a2»a3）=r（Pi，仪,饱）=3,g。3I伙,「2，饱）=3,

（i）和（ii）等价;a=3时，（ai,s?,。3次=m（或。2）无解,⑴，（ii）不等价;b=2时,

（仇,02，。3）丫=。2（或a3：）无解，（i）,（ii）不等价.

知识点解析：暂无解析

20、已知A是3阶方阵，A的每行元素之和为3,且齐次线性方程组Ax=0有通解

ki（l,2,一2户+1<2（2,1,2）T,其中ki，k2是任意常数，a=（l,1,1）二（I）证

明：对任意的一个3维向量仇向量A0和a线性相关；（II）若忏（3,6,一3）三

求Ap.

标准答案：当0=（3,6,一3产时,令。=xig+x2及+X3&3，解非齐次线性方程组

1]「「

41=31,

jJL1J即A有特征值入i=3,对应的特征向量为《尸（1,1,1）二Ax=0有

通解匕（1,2,—2产+1<2（2,1,2）、知A有特征值入2=入3=。，对应的特征向量为

0=（1，2,-2）二&3=（2,1,2）二因