线性代数重点

第一章行列式

容易出选择填空题的内容：

（1）求逆序数；

（2）含某个因子的项（注意正负号）；

（3）与余子式或代数余子式相关的内容；

（4）已知|A|求某个与A相关的行列式。

容易出大题的内容：行列式的计算。

其中，若已知行列式的阶数和每个元素的数值，则问题很简单，

但要注意，对于2阶和3阶行列式，可用划斜线的方式（对角线法则）

来计算。而对于4阶或更高阶的行列式，不能采用对角线法则计算,

此时必须利用行列式的性质将其化为上三角行列式从而得出结果，或

者当某一行（列）非零元很少时，运用展开定理将该行（列）展开从

而得到经过降阶的行列式计算。

对于n阶行列式的情形或者行列式元素中出现未知数，求解的难

度较大，需要灵活的结合运用行列式的性质和展开定理。一般来说，

考试中都会出课本中已有的例题、习题，或者非常相似的题目。

第二章矩阵

本章是《线性代数》中最重要的一章。这里首先要注意行列式与

矩阵在书写形式和表达意思上的区别（行列式用竖线表示，它是一个

算式，能求出数值；矩阵用括号表示，它是一个数表，进行任何变动

后矩阵都不再相等）。此外，本章的初等变换（一共三种变换方式，

尤其是行变换)虽然不会直接出大题，但徨多大题与此相关，需重点

掌握通过初等行变换将矩阵化为最简行阶狒矩阵的步骤，这里要注意

两点：①初等变换与行列式变换的异同，②运用初等变换的第二种变

换时，入一定不能为0。

容易出选择填空题的内容：

(1)低阶矩阵的加法、数乘和乘法运算；

(2)与可逆矩阵(|A|W0)相关的一些定性理论；

(3)矩阵与行列式之间的综合运算，常用性质：|AB|=|A||B|,|kA|=kn|A|,

|A+1/|A|等,注意|A+B|六|A|+|B|；

⑷己知|A|求与7,A」相关的行列式，通常会利用关系式A*二|A|

A-',将伴随矩阵化为逆矩阵，然后再计算行列式；

容易出大题的内容：

(1)矩阵求逆(最好用初等行变换方法)；

(2)矩阵方程的计算，此类题目具有一定的灵活性，一般都先将方程

写成诸如CX二B的形式，并通过初等行变换将矩阵(CB)化成

(EX)即得结果，若方程化为XC=B则可将方程两边进行转置

后再计算，若化为CXD=B,则可令Y=CX,求出Y后再进一步

求X,当然这里也先可以计算出C」和D1,然后再计算X=C"BD」，

但要注意C」和D」的左右位置；

(3)给出矩阵的一元二次方程，再求证某个矩阵可逆或者不可逆，证

明可逆时，通常把方程化为(A+aE)(A+bE)=cE的形式(c非零)，

然后可的出结论(A+aE尸=(A+bE)/c,证明不可逆时，通常可以把

方程化为(A+aE)(A+bE)=(),然后对两边求行列式，并得出

|A+aE|=O或者|A+bE|=(),(注：此处不能得出A+aE=O或A+bE=0)。

第三章向量空间

本章提到的的性质和定理较多，需要灵活运用。

容易出选择填空题的内容：

(1)向量的加法、数乘和内积运算；

(2)线性相关和线性无关的定义，以及它们与向量组秩的关系(线性

无关意味着秩等于向量个数，线性相关意味着秩小于向量个数);

(3)向量组的秩与矩阵的秩是相等的，即矩阵的秩二行秩=列秩，同时,

矩阵的秩满足r(AB)Wr(A),r(AB)Wr(B)；

(4)判定一个集合是否为一个子空间(看约束条件的方程，若齐次则

是空间，若非齐次则不是空间)。

容易出大题的内容：

(1)求极大线性无关组(必考)，出题套路通常比较固定，需着重掌

握书中的相关例题(P94例3),具体步骤：①将向量组作为列向

量组够称矩阵，②通过初等行变换化为行阶梯矩阵，③通过行阶

梯矩阵得出向量组的秩和一个极大线性无关组，④对行阶梯矩阵

继续进行初等行变换得到行最简形(若第二步已得到行最简形则

省略此步)，⑤利用行最简形，可将其它向量用极大无关组线性

表示出来；

(2)向量组线性无关或线性相关的证明，一般都是先写出向量组线性

组合等于。的等式，若证明线性无关，则需证明等式能导出所有

系数为0,若证明线性相关，则需找到一组不全为零的系数。

第四章线性方程组

本章是《线性代数》课程的核心部分，内容虽少，但考试的比重

较高。几个概念必须要熟知，如齐次与非齐次、系数矩阵、增广矩阵、

基础解系，其中，系数矩阵的行数等于方程组中方程的个数，系数矩

阵的列数等于方程组未知数的个数。

容易出选择填空题的内容：

(1)齐次线性方程组的等价命题：齐次线性方程组有非零解。系数矩

阵的列向量组线性相关。系数矩阵的秩小于矩阵的列数(若系数

矩阵是方阵，则对应的行列式为0)；

(2)齐次线性方程组的解构成一个向量空间，其基础解系的向量个数

等于系数矩阵的列数减去系数矩阵的秩；

(3)非齐次线性方程组的等价命题：非齐次线性方程组有解=常数向

量可由系数矩阵的列向量组线性表示=系数矩阵的秩等于增广

矩阵的秩；

(4)非齐次线性方程组与其导出的齐次线性方程组(PU5)之间的关

系，非齐次线性方程组两个解的差一定是其导出组的解。

容易出大题的内容：线性方程组的求解(必考)，需着重掌握书

中的相关例题(PU1例1,PU7例2,PU9例3),求解的具体步骤:

①齐次线性方程组给出系数矩阵，非齐次线性方程组给出增广矩阵;

②对矩阵进行初等行变换得到行最简形；

③把行最简形矩阵写回线性方程组的形式；

④给出方程组的通解。

若线性方程组的系数带有未知数，需分各种情况讨论，灵活处理。

第五章相似矩阵与二次型

本章内容较多，复习过程中需要多花点时间。需要熟知几个概念:

特征值、特征向量、特征多项式、相似矩阵、对角化、正交矩阵、二

次型及其标准形、二次型(对称矩阵)的有定性。此章中的性质和定

理，重点要知道它们的意思和用途，而不需要太详细地了解其证明过

程。

容易出选择填空题的内容：

(1)第一节第二部分的全部性质，其中最重要的性质是PI43最后一

句话；

(2)第二节定理5.1、定理5.2,若A可对角化，那么相似的对角矩阵

中，对角线元素就是A的所有特征值，对应相似变换矩阵的所有

列向量就是A的所有特征向量；

(3)n阶实对称矩阵的特征值一定是实数，且存在n个两两正交的特

征向量，进一步，实对称矩阵一定是可对角化的；

(4)利用顺序主子式来判定二次型或矩阵是否为正定(负定)的。

容易出大题的内容：二次型通过正交变换化为标准型，或实对称

矩阵的对角化，具体步骤:

①求特征值，给出二次型对应的实对称矩阵，并求它的特征值，求

特征多项式的根通常没有一般的方法，需要利用多项式的常数项和

n-1次项灵活地把几个根的数值凑出来；

②求特征向量，将所求出的所有特征值分别代入到齐次线性方程组

(A