第一节多元函数的基本概念

第八章多元函数微分法及其应用

一、学时分配

讲课学时：16学时习题课学时：2学时共18学时

二、基本内容

1.多元函数的概念、极限、连续性

2.偏导数、全微分、复合函数与隐隐约约函数的求导

3.多元函数微分学的几何应用

4.方向导数与梯度

5.多元函数的极值与最值。

三、教学要求

1.理解多元函数的基本概念；

2.理解多元函数偏导数的概念，熟练掌握多元函数偏导数、全微分的求法;

3.掌握多元复合函数、隐函数的求导法则；

4.理解多元函数微分学的几何应用，了解方向导数与梯度；

5.掌握多元函数极值的求法，并会应用其解决实际问题。

四、重点难点

1.重点：多元函数的偏导数的概念与求法，条件极值

2.难点：多元复合函数的求导

第一节多元函数的基本概念

教学目的：学习并掌握关于多元函数的区域、极限以及多元函数概念，掌握多元函数的连续性

定理，能够判断多元函数的连续性，能够求出连续函数在连续点的极限.

教学重点：多元函数概念和极限，多元函数的连续性定理.

教学难点：计算多元函数的极限.

教学内容：

一、平面点集

1.邻域

设A*。,%)是xoy平面上的一个点，6是某一正数♦与点与(.%,%)距离小于3的点P(.*y)的全体,

称为点外的5邻域，记为U(庶,5),即

。（6»）={0俨闱＜5},

也就是

U（4，S）={（X,），）|50—々））2+（），一%）2<5}.

在几何上，U（4»）就是xoy平面上以点外（X。,为）为中心、5>0为半径的圆内部的点尸。,y）的全

体.

U（4»）={P[0<俨川<b}称为点P.的去心§邻域.

2.区域

设E是平面上的一个点集，日是平面上的一个点.如果存在点的某一邻域

，则称为的内点.显然,的内点属于

如果的点都是内点，则称为开集.例如，集合中每个点

都是的内点，因此为开集.

如果点的任一邻域内既有属于的点，也有不属于的点

（点本身可以属于,也可以不属于）,则称为

的边界点.的边界点的全体称为的边界.例如上例中，

的边界是圆周和

如果对于任意给定的,的去心邻域内总有

的点，则称是的聚点.

设是点集.如果对于。内任何两点都可用完全包含在。中的折线连结起来，则称点集

力是连通的.

连通的开集称为区域或开区域.例如，｛（乂切入+），>0｝及｛（乂〉）|1</+丁2<4｝都是区域.

开区域连同它的边界一起所构成的点集，称为闭区域，例如

｛（x,y）|x+y<1｝及｛（工,y）\\<x2+y2<4｝

都是闭区域.

对于平面点集E,如果存在某一正数广，使得

EuU（O,r）,

其中0是原点坐标，则称七为有界点集，否则称为无界点集.例如，｛。,），）|1</+）,2工4｝是有界闭区域,

｛（x,y）［x+y<1｝是无界开区域.

3.〃维空间

〃元有序实数组（内,々，，Z）的全体构成集合

R"=｛（%，W，£R,i=l,2,•・,〃）o

元素（5，G，•••，必）通常也用单个字母x表示，々称为x的第i个坐标,

在R"中定义线性运算如下：

设x二（内,々,…,匕），y=（x，y2，…，）'”）为R〃中的任意两个元素，&R，规定：

x+y=（xt++必，…，1”+”），

Ax=（/lXp/lx2,,Axn）

这样定义了线性运算的集合R"称为〃维空间。

二、多元函数概念

在很多自然现象以及实际问题中，经常遇到多个变量之间的依赖关系，举例如下：

例I圆柱体的体积V和它的底半径广、高力之间具有关系

V=m'2h.

这里，当几力在集合｛（几〃）卜>o/>o｝内取定一对值（几。）时，v的对应值就随之确定.

例2一定量的理想气体的压强〃、体积V和绝对温度7之间具有关系

RT

其中R为常数.这里，当V、T在集合｛（匕7）卜>0,7>7；｝内取定一对值（匕为时，〃的对应值就随之

确定.

定义1设。是平面上的一个点集.称映射fR为定义在。上的二元函数，通常记为

z=/（x,y）,（x,y）GD（或z=f（P）,PwD）.

其中点集。称为该函数的定义域，x、y称为自变量，z称为因变量.数集

{z|z=/(x,)，),(%,)，)£0

称为该函数的值域.

z是X,)，的函数也可记为1=z(x,y),z=0(x,y)等等.

类似地可以定义三元函数〃=f(x,y,z)以及三元以上的函数.一般的，把定义1中的平面点集。换

成〃维空间内的点集。，则可类似地可以定义〃元函数〃=/(七,々，…了“).〃元函数也可简记为

u=f(P),这里点P(M»2,…，当〃=1时，〃元函数就是一元函数.当〃22时，〃元函数就

统称为多元函数.

关于多元函数定义域，与一元函数类似，我们作如卜约定：在一般地讨论用算式表达的多元函数

u=f(x)M,就以使这个算式有意义的变元式的值所组成的点集为这个多元函数的自然定义域.例如，函

数z=ln(x+)，)的定义域为

{(x+y)W+y>。}

(图8-1),就是一个无界开区域.又如，函数Z=arcsin(/+y2)的定义域为

{(/+)，*+/<]}

(图8-2),这是一个有界闭区域.

设函数z=/*,)，)的定义域为。.对于任意取定的点P(x,y)wO,对应的函数值为z=/3,)，).这

样，以x为横坐标、y为纵坐标、z=/(x,y)为竖坐标在空间就确定一点A7(x,y,z).当(x,y)遍取。上

的一切点时，得到一个空间点集

{(x,y,z)|z=/(x,)，),(尤y)GD]，

这个点集称为二元函数z=/(x,y)的图形.通常我们也说二元函数的图形是一张曲面.

三、多元函数的极限

定义2设二元函数f(x,y)的定义域为。，4(/，凡)是。的聚点.如果存在常数斗，对于任意给

定的正数£，总存在正数使得当点P(X,)，)EOCU(E)»)时，都有|/(x,y)—A|<£成立，则称常数

A为函数/(x,y)当(x,y)一(%,%)时的极限，记作

limf(x,y)=A,或/(/,y)fA((x,y)->(%,%)).

(X.)')T(Xo.)b)

为了区别于一元函数的极限，我们把二元函数的极限叫做二重极限.

我们必须注意，所谓二重极限存在，是指P(x,y)以任何方式趋于外(%,此)时，函数都无限接近于A.因

此，如果尸(乂丁)以某一种特殊方式，例如沿着一条直线或定曲线趋于兄(左,先)时，即使函数无限接近于

某一确定值，我们还不能由此断定函数的极限存在.但是反过来，如果当P(x,y)以不同方式趋于《(%，治)

时，函数趋于不同的值，那么就可以断定这函数的极限不存在.下面用例子来说明这种情形.

考察函数

XV2)八

〃、2•>，k+yr°，

f(x,y)=<x-+)广

0,x2+y2=0,

显然，当点PQ,y)沿x轴趋于点(0,0)时，limf(x,)，)=lim八乂0)=0；又当点P(尤y)沿y

(x.v)-><0.0)XTO

y-0

轴趋于点(0,0)时，limf(x,y)=lim/((),y)=0.

(x.v)-><0.0)v-H)

A=0

虽然点P(x,y)以上述两种特殊方式(沿x轴或沿y轴)趋于原点时函数的极限存在并且相等，但是

To。JQ，)')并不存在.这是因为当点P(x,y)沿着直线y=息趋于点(0,0)时，有

..xy..kx1k

hm—7^-7=hm----^-7=----T，

XT+k-X~\+k~

(x,yy)=->kx(0.0)+Jy-O

显然它是随着攵的值的不同而改变的.

sc-4x..sin(A30

例3求hm——.

(.v.y)->(0,2)x

解这里/(x,y)=把詈的定义域为。={(x,)，)|xwO,ywR},4(0,2)为。的聚点.由极限运

算法则得

..sin(孙)sin®.

hm-----=hm-----limy=1-o2=2o.

(x.y)->(0.2)xxy->0j(y)T2

四、多元函数的连续性

定义3设函数f（x,y）在开区域（闭区域）。内有定义，%（为，打）是。聚点，且与e。.如果

lim/（x,y）=/（Xo，No），

则称函数f（x.y）在点外（与，光）连续.

如果函数/（x，V）在开区域（或闭区域）。内的每一点连续，那么就称函数/*,），）在。内连续，或者

称/（ay）是。内的连续函数.

若函数/*,），）在点外（与，兄）不连续，则称分为函数/（兀y）的间断点.这里顺便指出：如果在开区

域（或闭区域）。内某些孤立点，或者沿D内某些曲线，函数/（x,y）没有定义，但在。内其余部分都有

定义，那么这些孤立点或这些曲线上的点，都是函数/（x,y）的不连续点，即间断点.

前面已经讨论过的函数

/（乂），）=J厂+）广

0,寸+）户=0,

当（X,y）f（0,0）时的极限不存在，所以点（0,0）是该函数的一个间断点.二元函数的间断点可以形成一条曲

线，例如函数

1

z-sin-....----

x2+y2-[

在圆周/+）/=]上没有定义，所以该圆周上各点都是间断点.

一元函数中关于极限的运算法则，对于多元函数仍然适用.即多元连续函数的和、差、积仍为连续函

数；连续函数的商在分母不为零处仍连续；多元连续函数的复合函数也是连续函数.

由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算而得到的，能用一个

式子表示出来的多元函数，称为多元初等函数.

多元初等函数在其定义区域上都是连续的.

例4求lim上工.

（x,y）-＞（l,2）Xy

解函数/*,），）=士工是初等函数，它的定义域为。=｛（乂、）,工0,）工（）｝.

xy

因D不是连通的，故。不是区域.但D={(x,y)k>0,y>0}是区域，且AuD，所以。是函数f(x,y)

的一个定义区域.因外(1,2)E。”故

x+y,/[c、3

rhm----=/(l,2)=-.

(x,y)->(l,2)xy2

如果这里不引进区域区I，也可用下述方法判定函数/(x,y)在点与(1,2)处是连续的：因一是/Uy)

的定义域。的内点，故存在外的某一邻域U(片)u。，而任何邻域都是区域，所以U(E))是/(X,)，)的一

个定义区域，又由于/*,y)是初等函数，因此/Q,y)在点々处连续.

一般地，求Iim/(P),如果八P)是初等函数，且凡是/(P)的定义域的内点，则/(尸)在点庶处

尸T弓

连续,于是lim=

PT%

例5求lim♦0'+1.

(x.y)->(0.0)