考研数学三（线性代数）模拟试卷30

考研数学三(线性代数)模拟试卷30

一、选择题(本题共6题，每题7.0分，共6分。)

1、已知A,B,A+B,A"+B"均为n阶可逆阵，则(A"+BJ)"等于()

A、A+B

B、A」+B-l

C、A(A+B)/B

D、(A+B)'1

标准答案：C

知识点解析：验算(A-1-B-1)(A(A+B)-,B)=(E+B1AXA+B)-1B=B/(B+A)(A+B)-

IB=BqB=E,故(A"+B")"=A(A+B)“B.

2、设n阶矩阵A,B等价，则下列说法中，不一定成立的是()

A、若|A|>0,则旧|>0

B、如果A可逆，则存在可逆矩阵P,使得PB二E

C、如果AWE,则旧|和

D、存在可逆矩阵P与Q,使得PAQ二B

标准答案：A

知识点解析：两矩阵等吩的充要条件是秩相同.当A可逆时，有r(A)=n,因此有

r(B)=n,也即B是可逆的，故B"B=E,可见(B)中命题成立.A三E的充要条件也

是r(A尸n,此时也有r(B)=n,故|B|，0,可见(C)中命题也是成立的.矩阵A,B等

价的充要条件是存在可逆矩阵P与Q，使得PAQ二B,可知(D)中命题也是成立

的.故唯一可能不成立的是(A)中的命题.事实上，当|A|>0时，我们也只能得到

r(B)=n,也即|B|/0,不一定有故选(A).

3、已知向量组(1)四,(X2,(X3，04线性无关,则与(I)等价的向量组是()

A、囚十。2，a2+(X3，(13+04，cu+ai

B、a1-(12，。2<3，013-04，04-01]

C>ai+a2，口243，013+04，O4-ai

D、ai+a2，a2-a3，。3-四，04-ai

标准答案：D

知识点解析:因(A)ai+a2-(a2+a3)+(a3+a4)-(a4+ai)=0；(B)(ai-a2)+(a2-a3)+(03-

O4)+(a4-ai)=0；(C)(a|4-a2)-(a2-a3)-(a3+a4)+(a4-ai)=0,故均线性相关，而[ai+a2»

-loo-r

1100

o-iio

Q2-Q3，013-04，O4-a|]=[ai,。2，L00-11J=8]，。2,013，

100-1

110

1100

|C|==14-0-11=2#0.

V0—11nV

00-1

00-11

O4JC.其中故ai+a2>a2-

Ct3，（13-04，O4-CU线性无关，两向量组等价.

4、齐次线性方程组的系数矩阵A4X5=[d，。2,。3,饱，。5]经过初等行变换化成阶

-152-

260

A=Eft科,房，A遇

040,

。。0」则（）

梯形矩阵为

A、”不能由03,的，火线性表出

B、的不能由衍，饱，。5线性表出

C、饱不能由01，。2,05线性表出

D、p4不能由m，02,由线性表出

标准答案：D

知识点解析：能能否由其他向量线性表出，只须将屈视为是非齐次方程的右端自由

项（无论它原在什么位置）有关向量留在左端，去除无关向量，看该非齐次方程是否

有解即可,由阶梯形矩阵知,令不能由伙，。2,为线性表出.

5、设A为n阶矩阵，下列命题正确的是（）

A、若a为人T的特征向量，那么a为A的特征向量

B、若a为A*的特征向量，那么a为A的特征向量

C、若a为A2的特征向量，那么a为A的特征向量

D、若a为2A的特征向量，那么a为A的特征向量

标准答案：D

知识点解析：（I）矩阵人丁与A的特征值相同，但特征向量不一定相同，故（A）铺

误.（2）假设a为A的特征向量，九为其特征值，当杼0时a也为A*的特征向

量.这是由丁Aa=WnA・Aa=M・anA,a=「4Q•但反之，a为A*的特征向

量，那么a不一定为A的特征向量.例如：当r（A）Vn—1时，A+=O,此时，任意

n维非零列向量都是A*的特征向量，故A*的特征向量不一定是A的特征向量.可

知（B）错误.（3）假设a为A的特征向量，入为其特征值，则a为A2的特征向

量.这是由于A%=A（Aa尸入AaM2a.但反之，若a为A2的特征向量，a不一定为

A的特征向量.例如:假设A0i=pi，A02二一历，其中B1，仞翔.此时有

A2(pi+p2)=A2pi+A2p2=Pl+p2,可知仇+的为A2的特征向量.但A是矩阵A两

个不同特征值的特征向量，它们的和P1+02不是A的特征向量.故(C)错误.(4)若

a为2A的特征向量，则存在实数九使得2Aa=M,比时有Aa=2,因此a为A

的特征向量，可知(D)是正确的，故选(D).

00---100■

-10(D)0-10

0-1..00-1.

A、

B、

C、

D、

标准答案：B

知识点解析：因f=xTAX=Xl2+2xlX2+X32(X]+X2)2-X22+X32=y]2+y22—y32,故选

(B).

二、填空题(本题共4题，每题7.0分，共4分。)

1,4,二

7、设01=[1,2,3],0=123」，A=anp,则A*=

标准答案：3n-'A

3~zr1

知识点解析：L2」

An=(aTp)n=(aTP)(aTP)...(aTp)=aT(pa)T(pa)T...(paT)p=3n-1A.

8、设。尸[1,0,一1,2]T,a2=[2,一1,一2,6|T,(X3=[3,1,t,4]T,p=[4,

一1,一5,IO]、已知B不能由a”a2>a3线性表出，则t=.

标准答案：一3

知识点解析:

-1234--1234-1234-

0-11-10-11-10-11-1

»«2必，同=

-1-2t-500-3-100r+3-1

.26410..02-22..0000.

P不能由y293线性表出U>£=—3.

T\+乃+13=仇，4

—211H-xg—2x3—»

一々-4=63，

9、设线性方程组3©+5生+74=”有解，则方程组右端

幻

仇

与

T

+k|,k2,k3是任意常数，方程组有解，即[ki，k2,k3].或说瓜」是方程组左

端系数矩阵的列向量的线性组合时，方程组有解.

--122-

A=2a—2

10、已知a=[a,1,if是矩阵2一2一1」的逆矩阵的特征向量，那么

a=.

标准答案：-1

知识点解析：a是矩阵A"属于特征值比的特征向量，由定义A」a=Xo(i,于是

即

人o(—a+2+2)=a.

<(2a+a—2)=1,

A0(2a-2-l)=b

即解得

a=?oAa,

三、解答题(本题共73题，每题1.0分，共13分。)

11、设f(x)=

2x-lN+13JH-14x

2r(x+1)2工+3

sinxarctan(x4-l)ln(l+h)2JT4~1，试证明：3$6(0,1)，使得/弦)=0.

iK

tanxarcsinxn---6r-13x4-1

标准答案：f(x)显然在［0,1］上连续，在(0,1)上可寻.而

—1110

1244

e-1113

1富44

/(0)=O-7-OI=0,/(1)=sin1arctan2In23=0.

4

tan1ge-14

0子014

.4

可知f(x)

在［0,1］上满足罗尔定理的条件，故立6(0,1),使得「@=0.

知识点解析：暂无解析

12、证明：方阵A是正交矩阵，即AAT=E的充分必要条件是：(1)A的列向量组

_)1，i=，，

组成标准正交向量组，即10,或(2)A的行向量组组成标准正

G_Jl，i=，，

交向量组，即AE0,i/j・

a”a12a1“

«2i«22Q容

设A=••*♦且A是正交矩阵.

••*

••*

标准答案：如1QnZJ(1)AAT=E,A,AT互为

逆矩阵，有AfA=E故

di如-an}«11012…100-

«12U2242a。2201-0

2l=

•••••**

•••,•*••*•

•••••*••*

・・・a

0ka%-amE_.00•••1-

㈡七与气={:'i二j，

A-lIvti丰(2)AAT=E,即

r

a”a12…al.a”取1l0•••0-

々2ia*•,a囚2。220献01…

222n=0

••••••

••••*••

•••::■.*•

]•

4ti42…a~O””2・•••aE--00•••1.

I.，=j，

.OX。必=,

),

4-1(i*j・

知识点解析：暂无解析

0…0_

11…0

A=.•・,

*••

1」求四中元素的代数余子式之和

13、已知n阶矩阵Ll…1

济为第j行元素的代数余子式之和毕42…n及主对角元的代

数余子式之和2

标准答案：AA'二|A|E=E,

反旬儿=〃—(〃-1)=1,

由A•可知：

mi1

i,।%G

〃.2台7AL

>-1o.i#

知识点解析：暂无解析

设有矩阵Amxn，Bnxm，Em+AB可逆.

14、验证：En+BA也可逆，且(En+BA)/=En—B(Em+AB)"A：

111

标准答案：(En+BA)(En-B(Em+AB)-A)=En+BA-B(Em+AB)-A-BAB(Em+AB)-A

_1

=En+BA-B(En+AB)(Em+AB)A=En，故(En+BA)/=En-B(Em+AB)/A.

知识点解析：暂无解析

1+勺％々的

xy\1+彳2”①2%

P=2=E+XT,

S工必=1・

…1+“"一

15、设其中->利用

⑴证明：P可逆，并求P,

X|>2…xxyn'

•IzM1+12北72”

p=•••nE+XF,

•••♦

-…1+工”

标准答案：其中x=[xi，

TT

X2，…，xn],Y=lyi，y2，…，yn].因1+丫1乂=1+一’=2翔，由⑴知

P^(E+XY1)l=E-X(l±yTX)lYT=E---Xyr

7111

1一万耳y…RI%

1I11

L'/z”…

•*

**■*

11.1

一毛。？…一

P=E+XYT可逆，且

知识点解析：暂无解析

Xi+13=4，

<但+”2+2工3=2+2,

16、问九为何值时，线性方程组16为+工2+4川=22+3有解，并求出解的一般形

式.

■101：01.A

B—[A'b]=4121-2；-3入+2

.61400：-A+l-

线性方程组有解㈡NA)=r(B)㈡T+1=0=4=1,其通解为

决为任意常数.

标准答案：

知识点解析：暂无解析

17、A是nxn矩阵，对任何n维列向量X都有AX=0.证明：A=O.

标准答案：由于对任何X均有AX=0,取X=[1,0,…，0]T,由

■1'

0

%：L0J

an=a2i=...=ami=0.类似地，分别取x为

TT

ei=[l,0,0],e2=[0,1,0,0],en=[0,0,代入方程，可

证每个ajj=0,故A=O.

知识点解析：暂无解析

a“Zl+ai2工2十01313+。14*4=a15，

a-2\X\4"。22乃+。2313+。24工4=。25»

+。3272+。33工3+034-r4»

。4111+。“2+。43工3十。4"4=。45的通解为[2,1.0,1]T+k[1,

已知线性方程组

一1,2,0]T.记aj=[a]j,a2j,«3j,(X4j]T»j=L2，…，5.问:

18、04能否由ai,。2，我3，。5线性表出，说明理由.

标准答案：04能由川，。2,。3,a5线性表出.由线性非齐次方程组的通解[2,1,

0>1]T+k[1,-1,2,0]丁知a5=(k+2)ai+(—k+1)a2+2ka3+o4,故O4=-(k+2)ai-一(-

k+1)a2—2kas+a5.

知识点解析：暂无解析

19^04能否由a[,。2，(X3线性表出，说明理由.

标准答案：04不能由ai，a2,a3线性表出，因对应齐次方程组的基础解系只有一

个非零向量，故r(ai，。2，04尸r(ai，a2，«4，«5)=4—1=3,且由对应齐次

方程组的通解知，ai—a2+2as=0,即⑴。2，ct3线性相关，r(a),ao,as)<3,若

04能由ai，。2,a3线性表出,则rQ，ai»(12,a3)=r(ai,a2，a3)<3,这和r(ai，

a2，a3，04)=3矛盾，故cm不能由a”a2，(13线性表出.

知识点解析：暂无解析

20、已知B是n阶矩阵，满足B?=E(此时矩阵B称为对合矩阵).求B的特征值的

取值范围.

标准答案：设B有特征值入，对应的特征向量为"即B1=运.左乘B,得

B24=E片片入B[=产官，(^2-i)^=o,考#),故入=1,或入=一1,B的特征值的取值

范围是{1,一I}.

知识点解析：暂无解析

"a-1c'

A=563

21、设矩阵L-c0且网=一1,A的伴随矩阵A*有特征值X，属

于M的特征向量为a=[-l,-1,1]T,求a,b,c及X的值.

标准答案：A*a=Xoa,左乘A,得AA*a—|A|a=-a=k）Aa.即

a-1c-r--r

Ac5b3-i-i

A-c0-1.i..i.

由此得

Ao（—a+l+c）=l,①

人。（-5—6+3）=1,②

2o（£—1-a）=-1,③

由①.③解得久。=1•代人①・②得b=-3.m.

由|A|=-l,a=c•有

a-1a

5—33=a—3=-1.

1-a0-a

得a=c=2,故得a=2,b=-3,c=2,Xo=l.

知识点解析：暂无解析

TT

22、设。=[。1，a2，…，an]^0,A=a,求可逆阵P,使P/AP=A.

标准答案：(1)先求A的特征值.利用特征值的定义.设A的任一特征值为入，对

应于X的特征向量为《，则A^=aaT^=X5.若aT^=0,则植=0,导0,故入=0；若

.......................大片・

ar&#)，①式两端左乘Jaraar^=(aqa)a1^=X(ar^).因a,导0,故入=(11(1=加】

(2)再求A的对应于入的特征向量.当人=0时，

~a\an-。2&•"一°：J1＞三.

即解方程。口|+。212+",+。，”=0，

得特征向量为(设为工0)

&=［。2，—。1，0,…，0丁，

t2=［。3，0，一为，…，0了，

鼠7=［%，0,0,…，一q］T.

当a=时，

(AE-A)X=

由观察知品=［。1,。2,…，

(3)由备，匕2，…，小，得

且

P.

知识点解析：暂无解析

23、设A为n阶正定矩阵，证明：存在唯一正定矩阵H,使得A=H2.

标准答案：由于A为n价正定矩阵，故存在正交矩阵U,使得

斯

4=1八”.