线性系统理论结课作业

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研究生结课作业

学年学期：

课程名称：线性系统理论

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目录

1刖百.................................................................1

2.1状态反馈控制.................................................1

2.2数学模型.....................................................3

3直流电动机调速系统的设计与仿真.....................................5

3.1系统的能控性能观性分析.......................................5

3.1.1能控性定义.............................................5

3.1.2能控性判据.............................................5

3.1.3能观性定义.............................................7

3.1.4能观性判据.............................................7

3.1.5判断系统的能观性能观性.................................8

3.2系统的稳定性分析..............................................9

3.3LQR最优调节器的设计与仿真...................................10

3.4通过状态反馈实现系统的极点配置..............................12

3.4.1状态反馈的基本原理....................................12

3.4.2状态反馈的matlab实现.................................13

4状态观测器的设计...................................................15

4.1状态观测器的基本原理........................................15

4.2状态观测器的matlab实现.....................................16

5利用离散化方法研究系统的特性......................................20

5.1连续线性系统离散化的概念.....................................20

5.2采样周期和仿真时间的选择....................................21

5.3控制系统的离散化............................................21

5.3.1零阶保持器............................................22

5.3.2双线性变换法离散化....................................25

5.3.3采用一阶保持器离散化..................................28

参考文献.............................................................32

直流电动机调速系统的建模与控制系统

的设计

1前言

直流电机，是指输出或输入为直流电能的旋转电机，它是能实现直流电能

和机械能互相转换的电机。当它作电动机运行时是直流电动机，将电能转换为

机械能；作发电机运行时是直流发电机，将机械能转换为电能。直流电机由定

子（由机座、主磁极、换向磁极、前后端盖和刷架等部件组成）和转子（由电

枢、换向器（又称整流子）和转轴等部件构成）两部分组成，其间有一定的气

隙。电能够实现直流电能这机械能相互转化的电机，当它作电动机运行时是直

流电动机，将直流转换为机械能；作发电机运行时是直流发电机，将机械能转

化为直流电能。

电动机作为最主要的机电能量转换装置，其应用范围已遍及国民经济为各

个领域和人们的日常生活。无论是在工农业生产，交通运输，国防，航空航

天，医疗卫生，商务和办公设备中，还是在日常生活的家用电器和消费电子产

品（如电冰箱，空调，DVD等）中，都大量使用着各种各样的电动机。据资料

显示，在所有动力资源中，百分之九十以上来自电动机。同样，我国生产的电

能中有百分之六十是用于电动机的。电动机与人的生活息息相关，密不可分。

电气时代，电动机的调速控制一般采用模拟法，对电动机的简单控制应用比较

多。简单控制是指对电动机进行启动，制动，正反转控制和顺序控制。这类控

制可通过继电器，可编程控制器和开关元件来实现。还有一类控制叫复杂控

制，是指对电动机的转速，转角，转矩，电压，电流，功率等物理量进行控

制

2直流电动机调速系统数学模型的建立

2.1状态反馈控制

控制系统最基本的形式是受控系统和反馈控制规律所构成的反馈系统，在现

代控制理论中，通常采用状态反馈⑴。

状态反馈方块图如图2-1所示。

图2-1状态反馈方块图

受控系统巨=(AB,C,D)，其线性反馈规律为：V=U-KxX(1)

通过状态反馈构成的闭环系统的状态方程和瑜出方程为：

X=(A-BK)X+Bu]⑵

Y=(C-DK)X+Du]

式中：K,为系统的反馈增益矩阵。

状态反馈控制系统的状态响应是由(A-8()的特征值决定的，改变控制增

益可以调整根极点的位置，以获得期望的状态响应。

当状态变量不可测量时，要用观测器来获得状态的观测量，以实现状态反

馈.因此，便得到了具有全状态观测器的状态反馈(SFC),如图2-2所示。

观测器

图2-2具有全观测器的状态反馈控制系统

状态观测器的完整模型为：

X=(A-LCr-BK^)X+BU+LCrX(3)

式中：L为状态观测器的增益矩阵。

定义误差向量为：E=X-X(4)

将式(3)代入(4)便得到误差向量的动态模型：E=(A-LCT)E(5)

2

如果状态矩阵的所有特征值都具有负实部，则上式描述的是一个无驱动的

稳定系统。因此误差向量E⑴随时间趋向于零，从而戈⑺-x（r）。

由上述原理可知，反馈增益矩阵（和状态观测器增益矩阵L的确定是状态

反馈控制器设计的关键。利用Ackerman公式或极点配置法，可以最终确定这

两个参数。

2.2数学模型

图2-3为直流电机的等效电路图⑵，其中L和R分别为转子绕组的等效电

感和等效电阻，。是额定励磁的感应电动势，H为转轴的位置，乙为电机的负载

力矩。

图2-3直流电机等效电路图

根据电路回路的电压平衡关系与力矩平衡关系列出下列微分方程：

V-iR-L--K—=O（6）

dtvxdt

...d20dO_..

K—J--------L>n-------1.=U

dtdt（7）

式中:《为速度常数；K,为力矩常数；J为转动惯量;；B为阻尼常数。

由式（6）、（7）得直流电机的调速系统的完整数学模型：

diR.KvdO

dtLLdtL,0

r18

2

d0_K,.BdOTL

为了得到直流电机的状态方程描述，取状态变量:，=内,夕=々，。=0

写成状态方程空间形式：

3

RK1

y00

LILLr--1L

X当L—1

K,B1V

—00(9)

X=%T工2+

lA3.LA'-d

01000

假定系统输出为转轴的位置，且电机负载为常数，则系统输出方程为:

(10)

式(9)、(10)即为直流电机调速系统的状态方程表示。

由上述状态方程瓦知，直流电机调速系统控制为3维系统，系统开环传递

函数有3个极点，即det(A-2/)=0(11)

要想将这些系统极点调整到需要的位置，控制器至少需3个独立变量，因

此仅仅将系统输出信号进行反馈将不能满足控制器设计的要求，面要将所有状

态变量X都进行反馈,即通过状态反馈实现直流电机调速系统的控制。

用MATLAB将状态方程转化成传递函数，直流电机参数包括：

瞬时转动惯量J=3.2284xKT6版〃〃2；

机械机构的阻尼比b=3.5077x106

电测力矩系数K=K,.=K,=0.0274M?/A;

等效电阻R=4C；

电感L=2.75x1

原状态空间表达式为：

40.0274

r-1-2.75x10--2.75xl0-60

v“0.02743.5077x10-6

1V

2-66

'-3.2284x103.2284xKT3.2284xlO-6T

6」o1L

0

001z

y=八rx,x,X-.

10()JL1-」

输入matlab的程序为：

A=[-4000000/2.75-274(X)/2.750;27400/3.2284-3.5077/3.22840;01()1;

B=[1000000/2.750;0-1000000/3.2284;00];

4

C=[001;100];

D=[()();()()];

[num,den]=ss2tf(A.B,C,D,2);

printsys(num,den);

运行结果：

num(1)/den=

4.6566e-010sA2-309750.9599s-450546851240.6932

sA3+1454546.5411sA2+86143521.6992s

num(2)/den=

2.3283e-0l0sA2+3086245930.9988s

sA3+1454546.5411sA2+86143521.6992s

3直流电动机调速系统的设计与仿真

3.1系统的能控性能观性分析

3.1.1能控性定义

对系统x=A(t)x(t)4-B(t)u(t)若存在输入信号u(t),能在有限时间区间[。切

内将系统的任意一个初始状态x(t0)转移到终端状态称x⑴在t()时刻或

区间上是完全能控的，或称系统在10时刻是能控的，否则不能。

能控性的直观讨论：

从状态空间的角度进行讨论：输入和输出构成系统外部变量,状态为系统内

部变量。能控性主要看其状态是否可由输入影响。每一个状态变量的运动都可

由输入来影响和控制，由任意的始点到达原点，为能控,反之为不完全能控。具体

来说就是指外加控制作用Mt)对受控系统的状态变量x⑴和输出变量y(t)的支配

能力，它回答了u⑴能否使x(t)和y(t)作任意转移的问题。

3.1.2能控性判据

我们利用线性系统的能控性判据来判断其能控性。

设线性定常系统状态方程为：

x=Ar+BM,X(0)=r>0(1)

x为维状态向量，v为〃维输入向量，45为“〃,〃乂〃常阵。

1、格拉姆矩阵判据

线性定常系统(1)为完全能控的充分必要条件是，存在时刻乙〉°,使如

下定义的格拉姆(Gram)矩阵叼0"]=("*8"「。力为非奇异。

5

其中，该判据的证明用到了范数理论中的矩阵范数，在此不再赘述。

2、秩判据

线性定常系统（1）为完全控的充分必要条件是rw永上AB=

其中，n为矩阵A的维数，QC=[B：ABA，13]称为系统的能控性判别矩

阵。

3、PBH秩判据

线性定常系统（1）为完全能控的充分必要条件是，对矩阵A的所有特征

值4=。=1,2,…均成立，rank\\l-AyB]=n（Z=l,2,/）或等价地表示为

rank[Sl-AyB\=n,VseZ也即（SLA）和B是左互质的。

4、PBH特征向量判据

线性定常系统（1）为完全能控的充分必要条件是A不能有与B的所有列

相正交的非零左特征向量。也即对A的任一特征值，使同时满足=

=0的特征向量。三0。

5、约当规范形判据

线性定常系统完全能控的充分必要条件是：

（1）当矩阵A的特征值入1,入2,…入n为两两相异时，有系统的对角规范形

4

4

X=x+Bu

A

其中8包含元素全为零的行。

（2）当矩阵A的特征值为入1,入2,…入n,且（。1+。2+・・・+ol）=n时，有

约当规范形2=鼠+加

其中：

J,2

4“

A

A瓦2

Bi=

（Ojxp）ik

%+…+"）=6

6

瓦伏=1,2,…0)的最后一行所组成的矩阵隘2.瓦J对i=l,2「・,l均为线

性无关。

3.1.3能观性定义

若系统S对于"时刻，存在［时刻，即"vTa,根据⑴，7；］时刻上的y⑴

测量值能够唯一地确定系统在心时刻的初始状态X。，则称X。为系统在7J

区间上的能观状态⑶。

对系统x=Ar+B”，y=Cx若对任意给定的u(t),在有限观测时间内，能唯

一地确定x4),则称MJ)是能观的，如果每个工玲)是能观，称状态完全能观，

简称状态能观。

3.1.4能观性判据

考虑输入u=0时系统的状态方程和输出方程：

x=Ax,x(0)=x0J>0,y=ex

式中，x为n维状态向量；)，为q维输出向量；A和C分别是〃x〃和常

值矩阵。

1、格拉姆矩阵判宪

线性定常连续系统完全能观的充分必要条件是：存在时刻乙>°,使如下定

义的格拉姆矩阵：加(()4心£7科。7瓶力为非奇异14］。

2、秩判据

线性定常连续系统完全能观的充分必要条件是：

-C-

CA

rank=n

CA"T

或m欣卜ArCr(A，)2。/…(44一匕“二〃

以上两个式子中的矩阵均称为系统能观性判，别矩阵，简称能观性矩阵。

3、PBH秩判据

线性定常连续系统完全能观的充分必要条件是：对矩阵A的所有特征值

4(，=1,2,...,〃)均有：

「C］

rank=n；i=

Aj—A

或等价地表示为:

7

rank=n；V5GC

si-A

4、对角线规范型判据

线性定常连续系统完全能观的充分必要条件是：

矩阵A的特征值4,4,两两相异时，由£=Ax线性变换导出的对角线

规范型为：

No一

A2

x=xy=Cx

0

L%

式中c不包含元素全为零的列。

3.1.5判断系统的能观性能观性

在matlab中输入以下程序：

Qc=ctrb(A,B)；

rc=rank(Qc);n=size(A);

ifrc==n

disp('systemiscontrolled.*)

elseifrc<n

disp('systeinisuncontrolled.')

end

Vo=obsv(A,C);ro=rank(Vo);

ifro==n

disp(*systemisobservable.*)

elseifro<n

disp('systcmisnoobservable.*)

end

运行结果如下：

systemiscontrolled.

systemisobservable.

»

从而表明系统是完全能控能观的。

8

3.2系统的稳定性分析

稳定性是系统的重要特性，是系统正常工作的必要条件，它描述初始条件

下系统方程的解是否具有收敛性，而与输入作用无关。经典控制理论中我们可

以用代数判据、奈奎斯特判据、对数判据、跟轨迹判据来判断线性定常系统的

稳定性，但不适用于非线性、时变系统。1892年俄国学者李雅普诺夫提出的稳

定性理论是确定系统稳定性的更一般性理论，它采用了状态向量描述，不仅适

用于单变量、线性、定常系统，而且适用于多变量，非线性、时变系统°李雅

普诺夫理论在建立一系列关于稳定性概念的基础上，提出了判断系统稳定性的

两种方法：一种方法是利用线性系统微分方程的解来判断系统稳定性，称为李

雅普诺夫第一法或间接法；另一种方法是首先利用经验和技巧来构造李雅普诺

夫函数，进而利用李雅普诺夫函数来判断系统稳定性，称为李雅普诺夫第二法

或直接法⑺。

利用MATLAB进行系统稳定性的判断，通过求取矩阵A特征根来判定系

统的稳定性，程序如下：

A=[-4000000/2.75-27400/2.750:27400/3.2284-3.5077/3.2284();010];

8=11000000/2.750;0-1000000/3.2284:00J;

C=[001;100];

D=[()();()()];

P=poly(A);

v=roots(P)

运行结果为：

v=

1.06+006*

0

-1.4545

-0.0001

»

特征值为l.Oe+OO6木(0,-1.4545,-O.OOO1),有0根，该系统不稳定，等副

震荡。根据上面得到的系统状态方程，对其进行阶跃性分析：

输入step(A,B,C,D)

该系统被控对象的单位阶跃响应如图3-1所示，从曲线中也可以看出该系

统是不稳定的。

9

StepResponse

Fromln(1)From:ln(2)

OF---------------：---------------

-200•

10•

oL

00.050.10.1500.050.10.15

Time(sec)

图3T被控对象的单位阶跃响应

3.3LQR最优调节器的设计与仿真

LQR(linearquadraticregulator)即线性二次型调节器，其对象是现代控制理

论中以状态空间形式给出的线性系统，而目标函数为对象状态和控制输入的二

次型函数。LQR最优设计指设计出的状态反馈控制器K要使二次型目标函数J

取最小值，而K由权矩阵Q与R唯一决定，故此Q、R的选择尤为重要。LQR

理论是现代控制理论中发展最早也最为成熟的一种状态空间设计法。特别可贵

的是，LQR可得到状态线性反馈的最优控制规律，易于构成闭环最优控制。而

且Matlab的应用为LQR理论仿真提供了条件、更为我们实现稳、准、快的控

制目标提供了方便网。

所谓最优控制，就是根据建立的系统的数学模型，选择一个容许的控制规

律，在一定的条件下，使得控制系统在完成所要求的控制任务时，使某一指定

的性能指标达到最优值、极小值或极大值。本文利用线性二次型最优调节器

(LQR)方法对移动高架吊车进行最优控制。控制目的是使移动高架吊车能在不

平衡点达到平衡，并且能够经受一定的外加干扰阳。

现在用MATLAB中提供的函数lqr(A,B,Q,R,N)得出最优反馈控制港K。

Lqr函数允许选择两个参数一一R和Q,这两个参数用来平衡系统对输入量和状

态量的敏感程度取R为0.2。

I0

A=[-4000000/2.75-27400/2.750;27400/3.2284-3.5077/3.22840;010];

B=[l()()00(X)/2.750;0-1000000/3.2284;00];

C=[001;100];

D=[00;00];

Q=[l00;()1();()()1];R=[10;()l];N=0;

K=lqr(A,B,Q,R,N)

AA=A-B*K

step(AA,B,C,D,)

运行结果为：

K=

0.12310.00480.0056

-0.0041-0.9999-1.0000

AA=

1.0e+006*

-1.4993-0.0117-0.0021

0.0072-0.3097-0.3097

00.00000

此时，极点变为：1.0e+006*(-1.4992,-0.3098,-0.0000)

StepResponse

From:h⑴From:h(2)

0

-0.2

0

-0.4

3

0

:

ap)

n-1

_=0

d0.25

vm

1

0.2

CBM0.15

0

6

1

0.05

0

Time(sec)

图3-21.QR最有控制优化后系统阶跃响应曲线

11

由图，通过LQR最优调节器的设计，系统的稳定性非常变得好。

3.4通过状态反馈实现系统的极点配置

3.4.1状态反馈的基本原理

无论是在经典控制理论中，还是在现代控制理论中，反馈都是系统设计的

主要方式。由于经典控制理论是用传递函数来描述系统的，因此，只能从输出

引出信号作为反馈量。而现代控制理论是用系统内部的状态来描述系统的，所

以除了输出反馈外，还可以从系统的状态引出信号作为反馈量。采用状态反馈

不但可以实现闭环系统的极点任意配置，而且它也是实现系统解耦和构成线性

最优调节器的主要手段。因此，采用状态反馈对单电机伺服系统进行极点配

置。

状态反馈可实现任意极点配置的充要条件是系统完全能控。前面已经证明

该系统完全能控，在系统完全能控的情况下，可以进行任意极点配置。也就是

说，该系统的4个极点的位置，都可以进行任意配置，使系统的闭环特征根出

现在期望的位置。

极点配置就是通过选择反馈矩阵K,将闭环系统的极点恰好配置在根平面

上所期望的位置，以获得所希望的动态性能。无论是在经典控制理论中，还是

在现代控制理论中，反馈都是系统设计的主要方式。由于经典控制理论是用传

递函数来描述系统的，因此，只能从输出引出信号作为反馈量。而现代控制理

论是用系统内部的状态来描述系统的，所以除了输出反馈外，还可以从系统的

状态引出信号作为反馈量。采用状态反馈不但可以实现闭环系统的极点任意配

置，而且它也是实现系统解耦和构成线性最优调节器的主耍手段。因此，采用

状态反馈对单电机伺服系统进行极点配置。状态反馈是将系统的每一个状态变

量乘以相应的反馈系数，然后反馈到输入端与参考输入相加形成控制律，作为

受控系统的控制输入。

多输入多输出系统的状态反馈系统如图3-3所示。

K-

图I3-3多输入多输出系统的状态反馈结构

图中受控系统X°(A,B,C,D)的状态空间表达式为

12

(3)

式中A——矩阵；

B——矩阵；

C---mxn矩阵；

D——〃zxr矩阵。

状态反馈捽制律为

u=r-Kx（4）

式中i----rxl参考输入；

K——rx〃状态反馈矩阵。对单输入系统，K为lx〃行向量。

把式（4）代入式（3）中整理后，可得状态反馈闭环系统的状态空间表达

式为

x=（A-BK）x+Br

\y=（C-DK）x+Dr（5）

若D=0,则

（6）

简记为Z=［（A—BK）,B,C］。

经过状态反馈后，系统的传递函数阵为

Gk（s）=C［sl-（A-BK）『/?（7）

由此可见，经过状态反馈后，系数矩阵B和C没有变化，仅仅是系统矩阵

A发生了变化，变成了A-3K；也就是状态反馈K的引入，没有引入新的状态

变量，也不增加系统的维数，但可以通过K阵的选择自由地改变闭环系统的特

征值，从而使系统获得所要求的性能。

3.4.2状态反馈的matlab实现

设计直流电动机状态反馈控制器最简单的方法是采用极点配置，具体方法如

下：

1）检查系统是否可控；

2）由综合指标及二阶系统性能指标。

关系式确定希望的极点=3）对于三维控制系统可以且必须给定三个

希望的极点.系统的性能主要是由主导极点决定的，远极点只有微小影响。

…一番）

13

_冗

04正一

例=与后再产/工F

>.2=-弧±/4

式中：彳，”为二阶系统的阻尼系数和自然频率；。，J分别为输出超调量

和超调时间；例为系统频宽。

则由希望极点构成的特征多项式为：

3

32

s,=n(s7=s+axs+a2s+a3(8)

3)建政闭环系统的特征方程，即

(4-(〃-%))=0(9)

联立式(1)和式(2)使其对应项相等即可确定(.

希望极点：

5)2=-1.5±3y53=-10

Matlab程序为:

clear

A=[-4000000/2.75-27400/2.750;27400/3.2284-3.5077/3.22840;010];

B=[l()()00()0/2.750;0-10()0()00/3.2284;0()];

C=[001;100];

D=[00;00];

p=[-1.5+3j;-1.5-3j;-10];

K=place(A,B，p)

A1=A-B*K

step(Al,B,C,D,2)

matlab得出结果为：

K=

-4.0000-0.02740.0000

-0.0274-().()()()()-0.000()

Al=

-10.00000-0.0000

0-3.0000-11.2500

01.00000

14

系统阶跃响应曲线如下图所示，从曲线中也可以看出，经过状态反馈的极

点配置后，该系统由不稳定系统变成了渐进稳定的系统。极点配置后系统的阶

跃响应如下图所示：

4

x1oStepResponse

0

-1

O-2

-3

(Dp

n•4

M

d25

E

<

2

CML5

亏

O

81

1

图3-4极点配置后系统的阶跃响应

4状态观测器的设计

4.1状态观测器的基本原理

对于完全能控的线性定常系统，通过状态反馈配置期望的极点，使闭环系

统具有期望要求的动态特性。在实际系统中，并不是所有的状态变量都能观测

到。但为了实现状态反馈控制律，必须对状态变量进行测量，因此要设法利用

已知的信息（输入量与输出量），通过一个模型（或系统、软件）来对状态变量进行

评估。为了解决这类问题，提出了状态重构问题。

重构状态就是在系统的实际状态下不能得到的情况卜.构造系统，利用原系

统可直接测量的输入变量"和输出变量）'重新构造一个状态元Q），使之在一定的

指标下和系统的真实状态工⑺等价，即limx（，）=limy⑴。

设线性定常系统的状态X是不能直接测量的，如果动态系统

Z以工的输入〃和输巴），作为它的输入量，Z的输出双，）满足如下等价性指标

linW）-x（r）］

r—>oo

则称动态系统Z为Z。的状态观测器。

15

4.2状态观测器的matlab实现

①判断系统的可控性，只有系统是可控的，设计状态观测器才有意义。

②判断系统的可观性，只有系统是可观的，才能才系统的测量信号估计状

态。

③确定系统的极点，若根据控制要求给定了极点，则分别确定状态反馈增

益矩阵尸和观测器增益矩阵K

④设计数字补偿器，系统中的估计状态和输出序列两部分均由计算机实

现，将两部分的功能合成一个数字补偿器算式，以便于在计算机上实现。

前文中已经使用了状态反馈的方法进行了极点配置，在此不再重复，配置

状态观测器极点为：＜-1.5+3j,-1.5-3j,-10)

求出极点配置之后的系统的传递函数：

clear

A=[-4000()00/2.75-274(X)/2.750;27400/3.2284

-3.5077/3.22810;0I0];

B=[l000000/2.750;0-1000000/3.2284;00];

C=[001;l00];

D=[00;001;

p=[-l.5+3j;-l.5-3j;-l()];

K=place(A,B,p)；

Al=A-B*K;

G=tf(ss(Al,B,C,D))

运行结果为：

TransferfunctionfrominputItooutput...

#l:0

3.636c005

#2:.........

s+10

Transferfunctionfrominput2tooutput...

-3.098e005

#l:----------------

sA2+3s+11.25

16

2.228e-010

#2:

sA3+13sA2+41.25s+112.5

对极点配置后稳定系统的由输入2到输出1的传递函数设计状态观测器

已知输入2到输出1的传递函数为：

-3.098e005

#1：-------------

s八2+3s+11.25

由matlab程序：

clear

num=[-3.O98eOO5];

den=[1,3,11.25];

ss(tf(num,den))

运行结果为：

a=

xlx2

xl-3-2.813

x240

b=

ul

xl256

x20

c=

xlx2

yl0-302.5

d=

ul

yl0

设计[A,B,C,D]所表示由输入2到输出1的状态观测器

clear

A=[-3-2.813;40];

17

B=[256;0];

C=[0-302.5];

D=[0J;

p=f-3,-3];

L=acker(A',C',p);

h=(L),

A2=A-h*C

结果为：

h=

0.0093

-0.0099

A2=

-3.00000.0000

4.0000-3.0000

Matlab仿真模型为:

A2Scope2

图4Tmatlab仿真模型

各单位阶跃响应ilh线如下：

18

图4-2输入2到输出1的状态方程的阶跃响应

图4-3状态观测器输出曲线

19

140

图4-4状态变量曲线

5利用离散化方法研究系统的特性

5.1连续线性系统离散化的概念

线性连续系统状态方程离散化的实质是将矩阵微分方程化为矩阵差分方

程，它是描述多输入多输出离散系统的一种方便的数学模型。

在推导离散化系统的方程时，假定系统是周期性采样，并且采样脉冲宽度

远小于采样周期，采样周期T的选择满足香农采样定理，还假设系统具有零阶

保持特性，即在两个采样瞬间之间，采样值不变，并等于前一个采样时刻的

值。

在上述假定下，将连续系统方程进行离散化。

对于线性时变系统：

x=AQ)x+BQ)M

y=C(f)x+D(t)u

进行离散化后可得到：

x(k+1)=G(—+H-)

y(k)=C(—+D(k)U(k)

对于线性定常系统：

x=Ax+Bu

y=Cv4-Du

离散化后得到：

x(k+1)=Gx(k)+Hu(k)

y(k)=Cx(k)+DU(k)

20

5.2采样周期和仿真时间的选择

计算步距和仿真时间是两个重要的仿真参数[5],特别是计算步距。如果

选择的不得当，就可能造成较大的计算误差，甚至可以是一个本来稳定的系统

歪曲成一个不稳定的系统。计算步距不仅和被彷真的系统有关，还和仿真算

法，精度要求等因素有关。因此，要在仿真计算之前准确地选好这两个参数是

件不容易的事情。

根据香农采样定理，为了使被采样的信号无失真的再现，必须满足

<ymin>o式中：0M为最低采样频率；M为被再现信号的频带限。

但是，在仿真中所遇到的大多数被再现信号是没有频带限的，所以一般取

采样频率再现信号主要频带中的最高频率的5~10倍。

随着系统环节数目的增多，加入的离散-再现环节就可能增多。这时计算步

距应相应地减小。下面针对控制系统工程设计的需要，提供估计这两个仿真参

数的简单方法。

计算步距的估计

。丁=或~包

5010

式中：DT为计算步距；n为被控对象传递函数的阶次；T为被控对象传递

函数的时间常数。

如果被控对象有若干个，则应以其中〃丁最小的为准。一般使用者按上述区

间选择一个适当的计算步距，其仿真结果是令人满意的。一般来说，计算步距

选择的越小，计算精度就越高(但步距太小，也可能由于计算机的舍入误差占

了主导地位而降低了计算精度)，耗费的计算时间就越长；反之，就会导致计

算精度差，计算时间短。但对于一般工程设计来说，最关心的是系统的稳定

性，能够大致观察过渡过程曲线就行，对计算数据精确度的要求并不高，所以

只需采用试算的方法求计算步距即可。如果过渡过程曲线的第一个半波含有20

到30个计算点，则说明计算步距选择是恰当的。否则，可适当增大或减小计算

步距，再试算。

仿真时间的估计：一般仿真时间取为过渡过程时间，即从加入扰动开始到

系统基本稳定为止的时间。如果主要是为了观察系统的稳定性，仅计算系统响

应的3〜4个周期就足够了。所以仿真时间的估算公式可选为ST=(5~20)〃T

式中：S7为仿真时间；n为被控对象传递函数的阶次；T为被控对象传递

函数的时间常数。

如果被控对象有若干个，则应以其中〃丁最大的为准。仿真时间的大小不影

响仿真精度，因此，也可以用试算的方法选择仿真时间。

5.3控制系统的离散化

21

5.3.1零阶保持器

1、基本原理

零阶保持器的脉冲响应函数为：&）⑺=1⑺-1（一（）。

零阶保持器可以将脉冲序列变成连续的方波信号，即将前一个采样周期的

数值保留到下一个采样点到来的时候。

零阶保持器是低通滤波器，不是一个理想滤波器，除了允许主频谱分量通

过外，还允许附加的高频谱分量的一部分通过。因此，被回复的信号频率响应

与原信号的频率响应还是有差别的，包含有部分被衰减的高频分量。

2、matlab实现

我们用极点配置后的系统来仿真，极点配置后A矩阵变为（A-BK）矩阵：

-1000

A-BK=0-3-11.25

010

程序如下：

A=[-l()0();()-3-11.25;01()];

B=[1000000/2.750;0-1000000/3.2284;00];

C=[001;100];

D=[00;00];

[H,IJ,K]=c2dm(A,B,C,D,0.001,'zoh');

dstep(H,I,J,K,2)

取采样时间为0.001s,0.005s,0.2s,Is时，分别得到仿真图形如下所示:

22

StepResponse

E

3

9

O

1

①

p

n

u

-

d

m

y

S

D

O

6

1

1000150020002500300035004000

Time(sec)

图5T第一组T=0.001s

StepResponse

200300400500600700800

Time(sec)

图5-2第二组T=0.005s

23

StepResponse

1015202530

Time(sec)

图5-3第三组T=0.2s

StepResponse

①

p

m

=

d

E

4

5

&

5

0

0Qo.

6

1

5

345678910

Time(sec)

图5-4第四组T=1s

24

结果分析：用欧拉法进行离散化，通过分析不同采样时间下的仿真图形，

我们看到：随着采样时间的增大，离散系统的输出不能够精确的反应系统的动

态特性，甚至失真。当T=0.005s时，系统失真较小，当T=ls时失真已经很大

了。当继续增加采样时间时，连续系统的信息量无法被正确的采集，导致离散

控制系统的输出达不到所期望的值。

5.3.2双线性变换法离散化

1、基本原理

。⑶二D(5)2对

双线性变换法又称突斯汀变换法，其离散化公式为‘节而，其

T

实质为将梯形面积X(k+\)=X(k)+-[e(A-+1)+e(k)]近似代替积分

X(/)=『G⑺山,对上述公式进行Z变换可以得到

Jo

Tx-_[、

yr/\""(1+ZJ«

X(z)=Z-'X(Z)+-[E(Z)4-Z-,£(Z)J,D(z)=—=2------=——-。

2E(z)1-z-'2(z-1)

r(z+i)

根据双线性变换的离散化公式，可以求出系统状态空间表达式的差分方程

为

X(A+l)=FX(Z)+GU(k)

Y(k+1)=CX(&+1)+EU(k+1)

其中，F=G=2尸-G，E=D+CF「G，/<=/--,G、=亭,

22

这种方法使用方便，且有•定的精度和•些好的特性，工程上应用较为普遍。

这种方法的主要缺点是高频特性失真严重，主要用于低通环节的离散化，不宜

用于高通环节的离散化。

matlab实现

程序如下：

A=[-1000;0-3-11.25;010];

B=[1000000/2.750;0-1000000/3.2284;00];

C=[001;1001;

D=[()();()()];

[H,I,J,K]=c2dm(A,B,C,D,0.001；tustin');

dstep(H,I,J,K,2)

取采样时间为0.001s,0.005s,0.2s,Is时，分别得到仿真图形如下所示:

25

x10StepResponse

1000150020002500300035004000

Time(sec)

图5-5T=0.001s

StepResponse

200300400500600700800

Time(sec)

图5-6T=0.005s

26

x10StepResponse

101520253035

Time(sec)

图5-7T-0.2s

StepResponse

68101214161820

Time(seel

图5-8T=Is

27

结果分析：采用双线性变换法进行离散化，通过分析不同采样时间下的仿

真图形，我们看到：随着采样时间的增大，离散系统的输出不能够精确的反应

系统的动态特性，甚至失真。当T=0.1s时，系统失真较小，当T=0.5s时失真已